2020-2021学年江苏省扬州市蒋王中学高一上学期期中考试数学试题

江苏省五校2020-2021学年高一上学期12月联考数学试卷
一、选择题．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．
． 1．设集合{}{}
2log 1,21M x x N x x =<=-<<，则M N ⋂= （ ）
A ．(0,1)
B ．(2,2)-
C ．(0,2)
D ．(2,1)- 2．设0.40.420.5,log 0.3,log 0.4a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 （ ） A ．b c a << B ．c a b << C ．a b c <<
D ．b a c <<
3．设函数321
()2
x y x y -==与的图象的交点为00(,)x y ，则0x 所在的区间是 （ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2.3) D ．(3,4) 4．将014852π(02π,)k k αα-+≤<∈Z 化成的形式是 （ ） A ．π
8π4
-- B ．
7π
8π4- C ．
π
10π4
- D ．7π
10π4
- 5． 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，
设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A. )02a b
a b +>>>
B.
()
2220a b ab a b +>>>
C. )20ab
a b a b <>>+
D. )
02a b a b +<>>
6．已知函数()11f x x x a =++-+有零点，则a 的取值范围是 （ ） A ．2a ≥ B ．2a ≤ C ．2a ≥- D ．2a ≤-
7．若两个正实数,x y 满足4x y xy +=，且不等式234
y
x m m +>-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．{}14m m -<<
B ．{}
14m m m <->或 C ．{}41m m -<< D ．{}
03m m m <>或
8．若函数2()lg(1)[2,)f x x ax a =+--+∞在上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ）
A ．[4,)-+∞
B ．(,4]-∞-
C ．(3,)-+∞
D ．(,3)-∞-
二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上）
9．若0a b >>，则下列不等式成立的是（ ） A ．22ac bc ≥
B ．22a ab b << C
．
2ab
a b <+
D ．
11a b
> 10．下列函数既是偶函数，又在(0,)+∞上的递增单调是（ ） A ．3x
y = B ．2y x -=
C ．1y x x
=-
D ．2
2
2x
y +=
11．下列结论正确的是 （ ）
A ．7π
6
-
是第三象限角 B ．若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则扇形的面积为3π
2
C ．若角α为锐角，则2α为钝角
D ．若α为第三象限角，则sin cos tan 0ααα> 12．已知函数
22log ,04
()()()()()270
8,433x x f x a b c d f a f b f c f d x x x ⎧<≤⎪=<<<===⎨-+>⎪⎩
若，且，则下列成立的是 （ ）
A ．1ab =
B ．6c d +=
C ．(4,6)c ∈
D ．(32,35)abcd ∈ 三、填空题．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．
．
13．计算：13
1log 4
291
3
()lg 2lg 25162
+++= . 14．已知实数0a ≠函数2,1
()(1)(1)2,1x a x f x f a f a x a x +<⎧=-=+⎨--≥⎩
若，则a 的值
为 .
15．已知关于x 的不等式22430(0)x ax a a -+<>的解集为{}
12x x x x <<，则
1212
a
x x x x ++
⋅的最小值是 . 16．已知函数()f x 为偶函数，且当[0,)()21x x f x ∈+∞=-+时，，如果实数t 满足
1
(ln )(ln )2(1)f t f f t
+>，那么t 的取值范围是 .
四、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．设命题{}
21:2:12x P A x x a Q B x x ⎧-⎫
=-<=<⎨⎬+⎩⎭
集合，命题集合，若命题P 是命
题Q 的充分条件，求实数a 的取值范围.
18．若角θ
终边过点(,3)(0),cos P x x x θ≠=且，能否求出sin ,tan θθ的值？若能，求出其值；若不能，请说明理由.
19．已知()1,() 1.f x ax g x x =+=- （1）a 是常数，若函数()()ln
()
f x h x
g x =为奇函数，函数()()2x
H x h x =+，求a 的值和(2)(2)H H -+的值；
（2）当a R ∈，求关于x 的不等式()()0f x g x ⋅<的解集.
20．（1）已知14x ≤≤，求函数2
43
()2x x f x -+=的值域；
（2）已知12
33log 2x -≤≤-
，求函数2()log ()(
22
x f x =⋅的值域.
21．新型冠状病毒感染的肺炎治疗过程中，需要某医药公司生产的某种药品，此药品的年固定成本为250万元，每生产x 千件需另投入生产成本()C x 万元，当年产量不足80千件时，
且2
1()103
C x x x =
+（万元），当年产量不小于80千件时，且10000()511450C x x x =+-（万元），每件商品售价0.05万元，在疫情期间，该公司生产的药品能全部售完. （1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数关系式；（利润＝销售额
－成本）
（2）该公司决定将此药品所获利润的001用来捐赠防疫物资，当年产量为多少千件时，在这一药品的生产中所获利润最大？此时可捐赠多少万元的物资款？
22．已知函数2
()2 1.f x x ax =-+
（1）,(2)0x
x R f ∈>恒成立，求a 的取值范围； （2）已知函数()442(22)3,x
x
x x g x a x R --=+-++∈的最小值是5-，求a 的值.
——★ 参*考*答*案 ★——
一、选择题
二、填空题．
13．2； 14．3
4
-；
15． 16．1
t e e
<<； 三、解答题
17．解：因为命题:22,P a x a -<<+是命题:23Q x -<<的充分条件，
所以22
0123
a a a -≥-⎧⇒≤≤⎨
+≤⎩.
18．解：因为角θ终边过点(,3)(0)P x x ≠
cos ,110
x x θ∴=
=
∴=±，
若1,cos tan 3x θθθ==
==时；
若1,cos tan 3.x θθθ=-===-时 19．解：（1）因为1
()ln
1
ax h x x +=-为奇函数， 11111
()(),ln
ln ln ,11111
ax ax x ax x h x h x x x ax x ax -++--+-∴-==-=∴=---+--+即，
2211
,1()1,1(111
ax x ax x a x -+-∴
=∴-=-∴=---+舍）
221212117
()ln
2,(2)(2)ln 2ln 2.121214
x x H x H H x -+-++∴=+∴-+=+++=---- （2）因为不等式()()0f x g x ⋅<为(1)(1)0ax x +-<， 若0,10,1a x x =-<∴<时不等式为；
若11
0,)(1)0,1a x x x a a
>+-<∴-
<<时不等式为(； 若1110,)(1)0,
1a a x x a a a
+<+->--=-时不等式为( 当10,a -<<时不等式解为1
1x x a
>-
<或； 当1,a =-时不等式为2(1)011x x x ->∴><或； 当1,a <-时不等式解为1
1x x a
<-
>或； 综上所述：当10,1a x x a ⎧⎫>-<<⎨⎬⎩⎭
时不等式解集为； 当{}
0,1a x x =<时不等式解集为；当
110,1a x x x a ⎧⎫
-<<>-<⎨⎬⎩⎭
时不等式解集为或；
当1,a =-时不等式解为{}
11x x x ><或； 当11,1.a x x x a ⎧
⎫<-<-
>⎨⎬⎩⎭
时不等式解集为或 20．解：（1）因为当14x ≤≤时，22
43(2)1[1,3]x x x -+=--∈-
2
43
1
()2[,8]2
x
x f x -+∴=∈， （2）33
332
212
3113log ,()(),22
222x x x
---≤≤-∴≤
≤≤≤即
222221
log 1
()log ()(log (log 1)(log 2)2x x f x x x x -=⋅=-=-- 设23t log [,3]2
x =∈，
22311
()()(1)(2)32()[,2].244
f x
g t t t t t t ∴==--=-+=--∈-
21．解：（1）因每件药品售价为0.05万元，则x 千件药品销售额为0.051000x ⨯万元，依题意得：
①当080x <<时，22
11()(0.051000)(10)250402503
3
L x x x x x x =⨯-+-=-
+-， ②当80x ≥时，1000010000
()(0.051000)(511450)2501200()L x x x x x x
=⨯-+--=-+，
所以2
140250,0803(),1000100001200(),80x x x L x x N x x x *⎧-+-<<⎪⎪=∈⎨⎪-+≥⎪⎩
且， （2）因为2
140250,0803(),1000100001200(),80x x x L x x N x x x *⎧-+-<<⎪⎪=∈⎨⎪-+≥⎪⎩
且， 当080x <<时，21
()(60)9503
L x x =--+，此时60x =时，max ()950L x =
80x ≥
时，10000()1200()12001000L x x x =-+≤-=， 此时10000
100x x x
=
=即时，max ()1000950L x =>， 所以当年产量为100千件时，该公司在这一药品生产所获利润最大，此时可捐款10万元物资款. 22．解：（1）
,2(0,)x x R ∈∴∈+∞
(2)0x f >恒成立，转化为0x >时，2
()210f x x ax =-+>恒成立，
所以24400
a x a ⎧∆=-≥⎨=≤⎩或0∆<，解得111a a ≤--<<或，
1a ∴<时，(2)0x f >恒成立；
（2）因为
222()(2)222(2)2(22)32(22)2(22)1x x x x x x x x x x g x a a -----=+⋅⋅++++-=+-++
令222x x t -=+≥，则原函数为2
21(2)y t at t =-+≥，
当2
min 5
22221522
t a y a a =<=-⋅+=-∴=>时，，
，不合条件；
当2
2min 22156,t a y a a a a a =≥=-⋅+=-∴==时，，
a ∴。