高考理科数学(经典版)复习-高考大题冲关系列(2) 三角函数的综合问题

命题动向：三角函数不仅是数学的重要基础知识，同时也是解决其他问题的一种数学工具．高考命题者常在三角函数、解三角形和平面向量、数列等知识的交汇处命题．对三角函数与平面向量的考查，多以解答题的形式出现，难度中等．备考中注意与平面向量的加法、减法的几何意义，平行、垂直的条件以及数量积的定义相结合来寻找解题突破口，三角函数与数列相交汇时，常常用到数列的基本性质．
题型1 三角函数图象与性质的综合
例1 (2017·山东高考)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3.
已知f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π6＝0.
(1)求ω；
(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π4，3π4上
的最小值．
解 (1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫ωx －π2，
所以f (x )＝32sin ωx －1
2cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －3
2cos ωx
＝3sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫ωx －π3.
由题设知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z .
故ω＝6k ＋2，k ∈Z .又0＜ω＜3，所以ω＝2. (2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x －π3，
所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫x －π12.
因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，
当x －π12＝－π3，即x ＝－π
4时， g (x )取得最小值－3
2.
[冲关策略] 解决此类问题，一般先由图象或三角公式确定三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b 等)的解析式，然后把ωx ＋φ看成一个整体研究函数的性质．
变式训练1 (2019·揭阳模拟)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小
正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π2上的单调性．
解 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫ωx ＋π4
＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin2ωx ＋cos2ωx )＋ 2 ＝2sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2ωx ＋π4＋ 2.
因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0，从而有2π
2ω＝π， 故ω＝1.
(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π4＋ 2.
若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π
4.
当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π
8时，f (x )单调递增； 当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x ≤π
2时，f (x )单调递减．
综上可知，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π8，π2上单调递减．
题型2 解三角形与数列的综合问题
例2 (2018·衡中模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
已知cos 2B ＋cos B ＝1－cos A cos C .
(1)求证：a ，b ，c 成等比数列； (2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．
解 (1)证明：在△ABC 中，cos B ＝－cos(A ＋C )． 由已知，得(1－sin 2B )－cos(A ＋C )＝1－cos A cos C ， ∴－sin 2B －(cos A cos C －sin A sin C )＝－cos A cos C ， 化简，得sin 2B ＝sin A sin C .由正弦定理，得b 2＝ac ， ∴a ，b ，c 成等比数列． (2)由(1)及题设条件，得ac ＝4.
则cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝1
2，
当且仅当a ＝c 时，等号成立． ∵0<B <π，∴sin B ＝
1－cos 2B ≤
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
122＝32.
∴S △ABC ＝12ac sin B ≤12×4×3
2＝ 3. ∴△ABC 面积的最大值为 3.
[冲关策略] 纵观近年的高考试题，许多新颖别致的三角函数解答题就是以数列为出发点设计的．在这类试题中数列往往只是起到包装的作用，实质是考查考生利用三角函数的性质、三角恒等变换与正、余弦定理来解决问题的能力．解决这类问题的基本思路是脱掉数列的外衣，抓住问题的实质，选择合理的解决方法，灵活地实现问题的转化．
变式训练2 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，已知a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝3
2b .
(1)求证：a ，b ，c 成等差数列； (2)若B ＝π
3，S ＝43，求b . 解 (1)证明：由正弦定理， 得sin A cos 2C 2＋sin C cos 2A 2＝3
2sin B ，
即sin A ·1＋cos C 2＋sin C ·1＋cos A 2＝3
2sin B ， ∴sin A ＋sin C ＋sin A cos C ＋cos A sin C ＝3sin B ， 即sin A ＋sin C ＋sin(A ＋C )＝3sin B . ∵sin(A ＋C )＝sin B ，
∴sin A ＋sin C ＝2sin B ，即a ＋c ＝2b ， ∴a ，b ，c 成等差数列．
(2)∵S ＝12ac sin B ＝3
4ac ＝43，∴ac ＝16.
又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ＝(a ＋c )2－3ac ， 由(1)得a ＋c ＝2b ，∴b 2＝4b 2－48， ∴b 2＝16，即b ＝4.
题型3 三角变换与解三角形的综合
例3 (2018·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知b sin A ＝a cos ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫B －π6.
(1)求角B 的大小；
(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin (2A －B)的值．
解 (1)在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝b
sin B ，得b sin A ＝a sin B ， 又b sin A ＝a cos ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫B －π6，
∴a sin B ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，即sin B ＝cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫B －π6
＝cos B cos π6＋sin B sin π6＝32cos B ＋1
2sin B ， ∴tan B ＝3， 又B ∈(0，π)，∴B ＝π
3.
(2)在△ABC 中，a ＝2，c ＝3，B ＝π
3，由余弦定理得b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝
7，由b sin A ＝a cos ⎝
⎛⎭⎪⎫B －π6，得sin A ＝37，
∵a<c ，∴cos A ＝
27
，∴sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17， ∴sin (2A －B)＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝33
14.
[冲关策略] 三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边角，再代入到三角函数中，三角函数和差公式的灵活运用是解决此类问题的关键．
变式训练3 (2019·长春模拟)设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝2b sin A.
(1)求B 的大小；
(2)求cos A ＋sin C 的取值范围． 解 (1)∵a ＝2b sin A ，
根据正弦定理得sin A ＝2sin B sin A ， ∵sin A ≠0，∴sin B ＝12，
又△ABC 为锐角三角形，∴B ＝π
6. (2)∵B ＝π
6，
∴cos A ＋sin C ＝cos A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6－A ＝cos A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6＋A ＝cos A ＋12cos A ＋32
sin A ＝3sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫A ＋π3.
由△ABC 为锐角三角形知，A ＋B>π
2， ∴π3<A<π2，∴2π3<A ＋π3<5π6，
∴12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3<32，∴32<3sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫A ＋π3<32，
∴cos A ＋sin C 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫
32，32.
题型4 三角函数与平面向量的综合
例4 (2019·龙岩模拟)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(sin2x,2sin 2x －1)，x ∈R . (1)若a ∥b ，且x ∈[0，π]，求x 的值；
(2)记f (x )＝a ·b (x ∈R )，若将函数f (x )的图象上的所有点向左平移π
6个单位得到函数g (x )的图象．当x ∈⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤0，π2时，求函数g (x )的值域．
解 (1)因为a ∥b ，所以3(2sin 2x －1)－sin2x ＝0，即sin2x ＝－3cos2x . 若cos2x ＝0，则sin2x ＝0，与sin 22x ＋cos 22x ＝1矛盾，故cos2x ≠0.所以tan2x ＝－3，又x ∈[0，π]，所以2x ∈[0,2π]，所以2x ＝2π3或2x ＝5π3，即x ＝π3或x ＝5π
6，即x 的值为π3或5π
6.
(2)因为f (x )＝a ·b ＝(3，1)·(sin2x ，－cos2x )＝3sin2x －cos2x ＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π6，
所以g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
2⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以2sin ⎝ ⎛
⎭⎪
⎫2x ＋π6∈[－1,2]，
即当x ∈⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤0，π2时，函数g (x )的值域为[－1,2]．
[冲关策略] (1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．
变式训练4 (2018·合肥模拟)已知a ＝(sin x ，3cos x )，b ＝(cos x ，－cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋3
2.
(1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；
(2)若方程f (x )＝1
3在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值． 解 (1)f (x )＝a ·b ＋3
2
＝(sin x ，3cos x )·(cos x ，－cos x )＋32
＝sin x ·cos x －3cos 2x ＋3
2 ＝12sin2x －32cos2x ＝sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x －π3.
令2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝5π12＋k π
2(k ∈Z )， 即函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝5π12＋k π
2(k ∈Z )．
(2)由(1)及已知条件可知(x 1，f (x 1))与(x 2，f (x 2))关于x ＝5π12对称，则x 1＋x 2＝5π
6， ∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－x 1
＝cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x 1－5π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝
⎛⎭⎪⎫2x 1－π3－π2 ＝sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x 1－π3＝f (x 1)＝13.
题型5 解三角形与平面向量的综合
例5 (2019·昆明模拟)已知角A ，B ，C 是△ABC 的内角，a ，b ，c 分别是其所对边，向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
23sin A 2，cos 2A 2，n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫cos A 2，－2，m ⊥n .
(1)求角A 的大小；
(2)若a ＝2，cos B ＝3
3，求b 的长．
解 (1)已知m ⊥n ，所以m ·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23sin A 2，cos 2A 2·
⎝ ⎛⎭⎪⎫
cos A 2，－2＝3sin A －(cos A ＋1)＝0，
即3sin A －cos A ＝1，即sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫A －π6＝12.
因为0<A <π，所以－π6<A －π6<5π
6. 所以A －π6＝π6，所以A ＝π
3.
(2)在△ABC 中，A ＝π3，a ＝2，cos B ＝3
3， sin B ＝
1－cos 2B ＝
1－13＝63.
由正弦定理知a sin A ＝b
sin B ，
所以b ＝a sin B sin A ＝2×63
32
＝42
3.
[冲关策略] 解决解三角形与平面向量综合问题的关键：准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数的问题解决．
变式训练5 (2019·成都模拟)锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知c tan B 是b tan A 和b tan B 的等差中项．
(1)求角A 的大小；
(2)若m ＝(sin B ，sin C )，n ＝(cos B ，cos C )，求m ·n 的取值范围． 解 (1)由题意知b tan A ＋b tan B ＝2c tan B ， ∴sin B sin A cos A ＋sin B sin B cos B ＝2sin C ·
sin B cos B ，
∵sin B ≠0，∴sin A cos B ＋cos A sin B ＝2sin C cos A ， ∴sin C ＝2sin C cos A ，∵sin C ≠0，∴cos A ＝1
2， 又0<A <π，∴A ＝π
3.
(2)m ·n ＝sin B cos B ＋sin C cos C ＝12sin2B ＋1
2sin2C ＝12sin2B ＋12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
4π3－2B ＝32sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2B －π6，
∵⎩⎪⎨⎪⎧
0<B <π2，
0<C <π
2，
B ＋
C ＝2π3，
∴π6<B <π2.
∴34<m ·n ≤32，即m ·n 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤34
，32.。