变系数KdV方程组的精确解

xuguiqiongya2hoo得到了该方程组的一种b?cklund变换给出了均为钟状的变速孤立波解以下我们主要利用acobi椭圆正弦函数展开及acobi椭圆余弦函数展开来讨论方程组acobi椭圆正弦函数展开对方程组为待定函数为任意常数依据jacobi椭圆正弦函数法中最高阶线性导数项与非线性项得max的求解分如下两种情形讨论12a2pfa1pfa1pfb0b1pga0b1pf12a2pfa1b1的第一式易得a0其中k0l0均为常数10再由11式代入化作k2k0k2pf满足的约束条件12k0k2dt由此可得到变系数kdv方程组k2snl1sn14其中满足的约束条件由13式给出l1为任意常数14退化为类孤立波解u216其中17情形18a218式代入合并同类项sn后令系数为零得到如下方程组b2pfa1a2gb1b2a0a1pfb0b1pg12a0a2pf可以得到变系数kdv方程组20其中l0为任意常数21退化为一组钟状变速孤立波解文献12中给出的变速孤立波解2526式可看作解23的特殊情形acobi椭圆余弦函数展开应用acobi椭圆余弦函数展开求方程组的精确解此时解的形式可表示为此时25化作26式代入方程组得到包含11个方程的方程组为简便起见方程组不再列出求解所得方程组k0k227其中k2l1为任意常数将27代入26得到变系数kdv方程组28其中满足关系由27式给出29退化为类孤立波解u6k2sechl1sech30其中此时25化作的步骤可得到变系数kdv方程组的又一组周期波解l0为任意常数34退化为一组钟状变速孤立波解u8k2sechk0sechk0l0为任意常数文献6中还通过将解假设为第三类椭圆函数的有限级数得到了一类新周期波解考虑acobi余弦函数与第三类椭圆函数之间存在如下关系dn为模数这样凡由acobi椭圆余弦函数展开法获得的解37变换后都能得到其第三类椭圆函数解对变系数kdv方程组而言由类椭圆余弦波解2833和关系式37acobi椭圆函数展开法扩展应用到含变系数的非线性偏微分方程组中以变系数kdv方程组为例得到了类椭圆正弦波解类椭圆余弦波解及类孤波解据作者所知与文献12中给出的结果一致以外其余均为新的结果jacobi椭圆函数展开法方便简洁普适性较强也适用于其他的变系数非线性方程如变系数kp方程变系数sinegordon方程以及变系数schrdinger方程等heremanerjeekorpelolution
如下两种情形讨论 :
情形 1 M = 2 , N = 1· 此时 (3) 化作
u = a0 ( t) + a1 ( t) sn (ξ, m) + a2 ( t) sn2 (ξ, m) , v = b0 ( t) + b1 ( t) sn (ξ, m) , (5)
式中 a2 ( t) ≠0 , b1 ( t) ≠0· 将 (5) 式代入方程组 (1) 经整理后得 ,
(1)
vt + f ( t) (3 uvx + vxxx) = 0 ,
其中 , u = u ( x , t) , v = v ( x , t) , f ( t) 与 g ( t) 均为时间 t 的任意函数 ,下标表示偏导数 · 对
常系数 KdV 方程组 (即 (1) 中 f ( t) 及 g ( t) 为常数) 的讨论较多 ,如文献[ 4 ]中采用行波约化法 ,
- 8 b2 p3 f (1 + m2) + 2 b2 ( p′x + q′) + 6 a0 b2 pf + 3 a1 b1 pf = 0 ,
2 a2 ( p′x + q′) - 8 a2 (1 + m2) p3 f + 12 a0 a2 pf +
u = a0 ( t) + a1 ( t) sn (ξ, m) + a2 ( t) sn2 (ξ, m) , v = b0 ( t) + b1 ( t) sn (ξ, m) + b2 ( t) sn2 (ξ, m) ,
(18)
a2 ( t) ≠0 , b2 ( t) ≠0· 将 (18) 式代入 (1) ,合并同类项 snj (ξ, m) cn i (ξ, m) dn i (ξ, m) ( i = 0 ,1 ,
b1 ( t) = l1 ,
(11)
l1 为常数·
将 (8) ～ (11) 式代入 (7) 的第 6 、7 式 ,化作
k2 q′=
4 k2 (1
+
m2) p3 f
-
6 k0 k2 pf
+
3
l
2 1
pg
,
q′= (1 + m2) p3 f - 3 k0 pf ,
(12)
解之 ,得到待定函数 q ( t) 以及 f ( t) 与 g ( t) 满足的约束条件
为如下形式
M
N
6 6 u (ξ) = aj ( t) snj (ξ, m) , v (ξ) = bj ( t) snj (ξ, m) ,
(3)
j =0
j =0
其中 , m 为模数 (0 < m < 1) , aj ( t) ( j = 0 , …, M) , bj ( t) ( j = 0 , …, N) 为待定函数 , M , N 为待
2 Jacobi 椭圆正弦函数展开
对方程组 (1) ,寻求如下形式的行波解
u = u (ξ) , v = v (ξ) ,ξ = p ( t) x + q ( t) + δ,
பைடு நூலகம்
(2)
其中 p ( t) , q ( t) 为待定函数 ,δ为任意常数 · 依据J acobi 椭圆正弦函数法 , u (ξ) , v (ξ) 可表示
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徐 桂 琼 李 志 斌
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条件 g ( t) = cf ( t) ( c 为常数) 下 ,得到了该方程组的一种 B cklund 变换 ,给出了 u , v 均为钟状 的变速孤立波解· 以下我们主要利用 Jacobi 椭圆正弦函数展开及 Jacobi 椭圆余弦函数展开来 讨论方程组 (1) 的精确解·
(8)
其中 k0 , k1 , k2 , l0 均为常数 · 因 a2 ≠0 , b1 ≠0 , p ≠0 , f ≠0 , 由 (7) 的第 2 式及第 3 式 ,有
p = ±
2
k2 m2
,
k2
<
0·
(9)
这样 ,由 (7) 的第 4 式得到
a1 = k1 = 0 ,
(10)
再由 (7) 的第 5 式 ,可得
12 a2 pf ( a2 + 2 m2 p2) CD S3 + 6 a1 pf (3 a2 + m2 p2) CD S2 +
a′2S2 + [6 a21 pf + 12 a0 a2 pf + 2 a2 ( p′x + q′) - 6 b21 pg -
8 a2 (1 + m2) p3 f ]CDS + a′1 S [6 a0 a1 pf - 6 b0 b1 pg + a1 ( p′x + q′) a1 p3 f (1 + m2) ]CD + a′0 = 0 ,
关 键 词 : 椭圆正弦函数展开 ; 椭圆余弦函数展开 ; 类周期波解 ; 类孤波解 ; 变系数 KdV 方程组
中图分类号 : O175. 29 文献标识码 : A
1 引言及问题提出
求解非线性偏微分方程是非常重要的研究领域 ,国内外学者在常系数非线性偏微分方程 方面做了大量工作 ,逐步发展和形成了一系列行之有效的方法[1～7]· 近年来 , 变系数非线性
(6)
3 b1 pf ( a2 + 2 m2 p2) CDS2 + ( b′1 + 3 a1 b1 f ) CDS + [ b1 ( p′x + q′) +
3 a0 b1 pf - b1 (1 + m2) p3 f ]CD + b′0 = 0 , 其中 S = sn (ξ, m) ,C = cn (ξ, m) ,D = dn (ξ, m) ·
(14)
其中 f ( t) , g ( t) 满足的约束条件由 (13) 式给出 , k0 , l1 为任意常数 , k2 < 0 , 且
∫ ξ = ±
- 2 k2 2 m2
x-
k2 + m2 k2 + 6 m2 k0 2 m2
f ( t) d t
+ δ·
(15)
当 m →1 , 解 (14) 退化为类孤立波解
f g
=
k22
+
2 m2 l21 m2 k22 + 2
m2
k0
k2
,
(13)
∫ q ( t) = ±
- 2 k2 ( k2 + m2 k2 + 6 m2 k0) 4 m3
f ( t) dt·
由此可得到变系数 KdV 方程组 (1) 的一组类椭圆正弦波解 ,
u1 = k0 + k2sn2 (ξ, m) , v1 = l1sn (ξ, m) ,
借助于 Ricatti 方程 ,得到了孤立波解 ,文献[ 7 ]中利用混合指数法得到了常系数 KdV 方程组的 两组孤立波解· 文献[ 12 ]采用近年来发展起来的齐次平衡方法讨论了变系数 KdV 方程组 ,在
Ξ 收稿日期 : 2002-11-08 ; 修订日期 : 2004-10-14 基金项目 : 国家重点基础研究发展规划资助项目 (20020269003) ; 上海市自然科学基金资助项目 ( ZD14012) 作者简介 : 徐桂琼 (1973 —) ,女 ,四川自贡人 ,博士 (联系人. Tel : + 86-21-69982992 ; E-mail :xuguiqiong @ya2 hoo. com) ·
j = 0 , …,4) 后令系数为零 ,得到如下方程组 :
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u2 = k0 + k2tanh2 (ξ) , v2 = l1tanh (ξ) ,
(16)
其中 k0 , l1 为任意常数 , k2 < 0 , 且
f g
=
k22
l
2 1
,
+ k0 k2
(17)
∫ ξ = ±
- 2 k2 2
x - (3 k0 + k2) f ( t) d t + δ·
情形 2 M = 2 , N = 2· 此时 (3) 化作
定正整数· 平衡方程组 (1) 中最高阶线性导数项与非线性项得
max (2 M + 1 ,2 N + 1) = M + 3 ,
(4)
M + N +1 = N +3,
求解 (4) ,可得 M = 2 , N ≤2 ,于是 M = 2 , N = 1 或 M = 2 , N = 2· 这样方程组 (1) 的求解分
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变系数 KdV 方程组的精确解
由方程组 (7) 的第一式 ,易得
a0 = k0 , a1 = k1 , a2 = k2 , b0 = l0 ,
6 p (3 f a1 a2 + m2 a1 p2 f - 3 gb1 b2) = 0 , b1 ( p′x + q′) + 3 a0 b1 pf - b1 (1 + m2) p3 f = 0 ,
(19)
6 a0 a1 pf - a1 p3 f (1 + m2) + a1 ( p′x + q′) - 6 b0 b1 pg = 0 ,
徐桂琼1 , 李志斌2
(1. 上海大学 国际工商与管理学院 信息管理系 , 上海 200436 ; 2. 华东师范大学 计算机科学技术系 ,上海 200062 ;)
(张鸿庆推荐)
摘要 : 将 Jacobi 椭圆正弦函数展开法与 Jacobi 椭圆余弦函数展开法引入到变系数 KdV 方程组的 求解中 ,得到了三组类周期波解· 这些解析解在一定条件下退化为类孤波解·
= 0,
(7)
b1 ( p′x + q) + 3 a0 b1 pf - b1 (1 + m2) p3 f = 0 ,
2 a2 ( p′x + q) + 12 a0 a2 pf + 6 a21 pf - 6 b21 pg - 8 a2 (1 + m2) p3 f = 0 ,
6 a0 a1 pf - 6 b0 b1 pg + a1 ( p′x + q) - a1 p3 f (1 + m2) = 0·
令 (6) 式中 Sj , Ci ,D i ( j = 0 , …,3 , i = 0 ,1) 的系数为零 ,即 a′0 = a′1 = a′2 = b′0 = 0 ,
12 a2 pf ( a2 + 2 m2 p2) = 0 ,
3 b1 pf ( a2 + 2 m2 p2) = 0 ,
6 a1 pf (3 a2 + m2 p2) b′1 + 3 a1 b1 f = 0 ,
为一阶常微分方程及代数方程的求解· 在本文中 , 我们同时将 Jacobi 椭圆正弦函数展开法及
Jacobi 椭圆余弦函数展开法引入到变系数非线性偏微分方程组的求解中· 以变系数 KdV 方程
组为例 ,说明使用该方法可得到类椭圆余弦波解 ,类椭圆正弦波解以及类孤波解·
考虑变系数 KdV 方程组
ut + 6 f ( t) uux - 6 g ( t) vvx + f ( t) uxxx = 0 ,
应用数学和力学 ,第 26 卷 第 1 期 (2005 年 1 月)
Applied Mathematics and Mechanics
应重用庆数学出和版力学社编委出会版编
文章编号 :1000-0887 (2005) 01-0092-07
变系数 KdV 方程组的精确解Ξ
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a′2 = a′1 = a′0 = b′2 = b′1 = b′0 = 0 ,
6 b2 pf ( a2 + 4 m2 p2) = 0 ,
3 pf (2 a1 b2 + a2 b1 + 2 m2 b1 p2) = 0 ,
12 p ( a22 f - b22 g + 2 m2 a2 p2 f ) = 0 ,
偏微分方程的研究引起了人们极大的兴趣· 一些常系数非线性方程的求解方法 ,如对称群方
法 、截断展开方法 、齐次平衡方法等 , 正被陆续引入到变系数非线性偏微分方程的研究之 中[8～13]· 最近 ,刘式适等[13]将 Jacobi 椭圆正弦函数展开法应用于变系数非线性方程 ,通过假
设方程的解为 Jacobi 椭圆正弦函数的有限级数形式 ,将变系数非线性偏微分方程的求解转化