高中数学第十章概率典型例题(带答案)

高中数学第十章概率典型例题
单选题
1、“某彩票的中奖概率为
1100
”意味着（ ）
A ．购买彩票中奖的可能性为1
100 B ．买100张彩票能中一次奖 C ．买100张彩票一次奖也不中 D ．买100张彩票就一定能中奖 答案：A
分析：根据概率的定义，逐项判定，即可求解.
对于A 中，根据概率的定义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，由某彩票的中奖概率为
1100
，可得购买彩票中奖的可能性为
1
100
，所以A 正确；
对于B 、C 中，买任何1张彩票的中奖率都是1
100
，都具有偶然性，可能中奖，还可能中奖多次，也可能不中
奖，故B 、C 错误；
对于D 选项、根据彩票总数目远大于100张，所以买100张也不一定中一次奖，故D 错误. 故选：A.
2、北京2022年冬奥会新增了女子单人雪车､短道速滑混合团体接力､跳台滑雪混合团体､男子自由式滑雪大跳台､女子自由式滑雪大跳台､自由式滑雪空中技巧混合团体和单板滑雪障碍追逐混合团体等7个比赛小项，现有甲､乙两名志愿者分别从7个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作，且甲､乙两人的选择互不影响，那么甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是（ ） A ．2
49B ．6
49C ．1
7D ．2
7 答案：C
分析：根据古典概型概率的计算公式直接计算.
由题意可知甲､乙两名志愿者分别从7个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作共有7×7=49种情况， 其中甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作共7种，
所以甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是7
49=1
7
，
故选：C.
3、某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）
A．62%B．56%
C．46%D．42%
答案：C
分析：记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A⋅B，然后根据积事件的概率公式P(A⋅B)=
P(A)+P(B)−P(A+B)可得结果.
记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A⋅B，
则P(A)=0.6，P(B)=0.82，P(A+B)=0.96，
所以P(A⋅B)=P(A)+P(B)−P(A+B)=0.6+0.82−0.96=0.46
所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.
故选：C.
小提示：本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.
4、若随机事件A，B互斥，且P(A)=2−a，P(B)=3a−4，则实数a的取值范围为（）
A．(4
3,3
2
]B．(1,3
2
]C．(4
3
,3
2
)D．(1
2
,4
3
)
答案：A
分析：根据随机事件概率的范围以及互斥事件概率的关系列出不等式组，即可求解.
由题意，知{0<P(A)<1 0<P(B)<1
P(A)+P(B)≤1，即{
0<2−a<1
0<3a−4<1
2a−2≤1
，
解得4
3<a≤3
2
，所以实数a的取值范围为(4
3
,3
2
].
故选：A.
5、甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投2次，则两人投中次数不等的概率是（）A．0.6076B．0.7516C．0.3924D．0.2484
答案：A
分析：先求出两人投中次数相等的概率，再根据对立事件的概率公式可得两人投中次数不相等的概率.
两人投中次数相等的概率P＝0.42×0.32+C21×0.6×0.4×C21×0.7×0.3+0.62×0.72=0.3924，
故两人投中次数不相等的概率为：1﹣0.3924＝0.6076.
故选：A.
小提示：本题考查了对立事件的概率公式和独立事件的概率公式，属于基础题.
6、下列各对事件中，不互为相互独立事件的是（）
A．掷一枚骰子一次，事件M“出现偶数点”；事件N“出现3点或6点”
B．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”
C．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”
D．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”
答案：C
分析：利用对立事件和相互独立事件的概念求解．
解：对于选项A，事件M={2,4,6}，事件N={3,6}，事件MN={6}，基本事件空间Ω={1,2,3,4,5,6}，所以
P(M)=3
6=1
2
，P(N)=2
6
=1
3
，P(MN)=1
6
=1
2
×1
3
，即P(MN)=P(N)P(M)，因此事件M与事件N是相互独立
事件；
对于选项B，袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”，则事件M发生与否与N无关，同时，事件N发生与否与M无关，则事件M与事件N是相互独立事件；
对于选项C，袋中有3白、2黑，5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事
件N “第二次摸到黑球”， 则事件M 发生与否和事件N 有关，故事件M 和事件N 与不是相互独立事件；
对于选项D ，甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M “从甲组中选出1名男生”，事件N “从乙组中选出1名女生”，则事件M 发生与否与N 无关，同时，事件N 发生与否与M 无关，则事件M 与事件N 是相互独立事件； 故选：C.
7、2021年12月9日，中国空间站太空课堂以天地互动的方式，与设在北京、南宁、汶川、香港、澳门的地面课堂同步进行.假设香港、澳门参加互动的学生人数之比为5：3，其中香港课堂女生占3
5
，澳门课堂女生占1
3
，
若主持人向这两个分课堂中的一名学生提问，则该学生恰好为女生的概率是（ ） A ．1
8
B ．3
8
C ．1
2
D ．5
8
答案：C
分析：利用互斥事件概率加法公式计算古典概型的概率即可得答案.
解：因为香港、澳门参加互动的学生人数之比为5：3，其中香港课堂女生占3
5，澳门课堂女生占1
3， 所以香港女生数为总数的5
8
×3
5
=3
8
，澳门女生数为总数的3
8
×1
3
=1
8
，
所以提问的学生恰好为女生的概率是38+18=1
2. 故选：C.
8、某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表：
60％ B ．该教职工具有研究生学历的概率超过50％ C ．该教职工的年龄在50岁以上的概率超过10％
D ．该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率超过10％ 答案：D
分析：根据表中数据，用频率代替概率求解.
A.该教职工具有本科学历的概率p=75
120=5
8
=62.5%>60%，故错误；
B.该教职工具有研究生学历的概率p=45
120=3
8
=37.5%<50%，故错误；
C.该教职工的年龄在50岁以上的概率p=10
120=1
12
≈8.3%<10%，故错误；
D.该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率p=15
120=1
8
=12.5%>10%，故正确.
小提示：本题主要考查概率的求法，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.
多选题
9、下列有关古典概型的说法中，正确的是（）
A．试验的样本空间的样本点总数有限
B．每个事件出现的可能性相等
C．每个样本点出现的可能性相等
D．已知样本点总数为n，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的概率P(A)=k
n
答案：ACD
分析：根据古典概型的定义逐项判断即可.
由古典概型概念可知：试验的样本空间的样本点总数有限；每个样本点出现的可能性相等.
故AC正确；每个事件不一定是样本点，可能包含若干个样本点，所以B不正确；
根据古典概型的概率计算公式可知D正确．
故选：ACD
10、某学校为调查学生迷恋电子游戏情况，设计如下调查方案，每个被调查者先投掷一枚骰子，若出现向上的点数为3的倍数，则如实回答问题“投掷点数是不是奇数?”，反之，如实回答问题“你是不是迷恋电子游戏?”．已知被调查的150名学生中，共有30人回答“是”，则下列结论正确的是（）
A．这150名学生中，约有50人回答问题“投掷点数是不是奇数?”
B．这150名学生中，必有5人迷恋电子游戏
C．该校约有5%的学生迷恋电子游戏
D．该校约有2%的学生迷恋电子游戏
答案：AC
分析：先由题意计算出回答问题一的人数50人，再计算出回答问题一“是”的人数25人，故可得到回答问题二“是”的人数5人,最后逐一分析四个选项即可.
由题意可知掷出点数为3的倍数的情况为3,6，故掷出点数为3的倍数的概率为1
3
，故理论上回答问题一的人
数为150×1
3=50人.掷出点数为奇数的概率为1
2
，理论上回答问题一的50人中有25人回答“是”，故回答问题
二的学生中回答“是”的人数为30-25=5人.
对于A, 抽样调查的这150名学生中，约有50人回答问题一，故A正确.
对于B, 抽样调查的这150名学生中，约有5人迷恋电子游戏，“必有”过于绝对，故B错.
对于C,抽样调查的150名学生中，50名学生回答问题一，故有100名学生回答问题二，有5名学生回答
“是”，故该校迷恋电子游戏的学生约为5
100
=5%，故C正确.
对于D,由C可知该校迷恋电子游戏的学生约为5
100
=5%，故D错.
故选：AC.
11、不透明的口袋内装有红色､绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有（）
A．2张卡片都不是红色B．2张卡片恰有一张红色
C．2张卡片至少有一张红色D．2张卡片都为绿色
答案：ABD
分析：列举出所有情况，然后再利用互斥事件和对立事件的定义判断.
解：6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有：
“2张都为红色”､“2张都为绿色”､“2张都为蓝色”､“1张为红色1张为绿色”､“1张为红色1张为蓝色”､“1张为绿
色1张为蓝色”，
选项中给出的四个事件中与“2张都为红色”互斥而非对立的事件是：“2张都不是红色”，“2张恰有一张红色”，“2张都为绿色”，
其中“2张至少一张为红色”包含事件“2张都为红色”，二者并非互斥.
故选：ABD.
12、设A，B分别为随机事件A，B的对立事件，已知0<P(A)<1，0<P(B)<1，则下列说法正确的是（）
A．P(B|A)+P(B|A)=1
B．P(B|A)+P(B|A)=0
C．若A，B是相互独立事件，则P(A|B)=P(A)
D．若A，B是互斥事件，则P(B|A)=P(B)
答案：AC
分析：计算得AC正确；当A，B是相互独立事件时，P(B|A)+P(B|A)=2P(B)≠0，故B错误；因为A，B 是互斥事件，得P(B|A)=0，而P(B)∈(0,1)，故D错误．
解：P(B|A)+P(B|A)=P(AB)+P(AB)
P(A)=P(A)
P(A)
=1，故A正确；
当A，B是相互独立事件时，则P(B|A)+P(B|A)=2P(B)≠0，故B错误；
因为A，B是相互独立事件，则P(AB)=P(A)P(B)，所以P(A|B)=P(AB)
P(B)
=P(A)，故C正确；
因为A，B是互斥事件，P(AB)=0，则根据条件概率公式P(B|A)=0，而P(B)∈(0,1)，故D错误．故选：AC．
13、袋中有红球3个，白球2个，黑球1个，从中任取2个，则互斥的两个事件是（）
A．至少有一个白球与都是白球
B．恰有一个红球与白、黑球各一个
C．至少一个白球与至多有一个红球
D．至少有一个红球与两个白球
答案：BD
分析：根据互斥事件的定义和性质判断.
袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，
在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立.
在B中，恰有一个红球和白、黑球各一个不能同时发生，是互斥事件，故B成立；
在C中，至少一个白球与至多有一个红球，能同时发生，故C不成立；
在D中，至少有一个红球与两个白球两个事件不能同时发生，是互斥事件，故D成立；
故选：BD.
小提示：本题考查互斥事件的判断，根据两个事件是否能同时发生即可判断，是基础题. 填空题
14、甲、乙两队进行篮球决赛，采取三场二胜制（当一队赢得二场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以2:1获胜的概率是_____． 答案：0.3
解析：甲队以2:1获胜的是指甲队前两场比赛中一胜一负，第三场比赛甲胜，利用独立事件的概率乘法公式和概率的加法公式能求出甲队以2:1获胜的概率． 甲队的主客场安排依次为“主客主”．
设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立， 甲队以2:1获胜的是指甲队前两场比赛中一胜一负，第三场比赛甲胜， 则甲队以2:1获胜的概率是：P =0.6×0.5×0.6+0.4×0.5×0.6=0.3. 所以答案是：0.3．
小提示：本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15、已知事件A ，B ，C 相互独立，若P (AB )=1
6，P(BC)=1
4，P(ABC)=1
12，则P (A )=______． 答案：1
3
分析：根据相互独立事件的概率公式，列出P (A ),P (B ),P(C),P(B)的等式，根据对立逐一求解，可求出P (A )的值.
根据相互独立事件的概率公式，可得{ P (A )P (B )=1
6
P(B)P (C )=14P (A )P (B )P(C)=
112，所以P (A )=1
3． 所以答案是：1
3.
16、在一个口袋中有大小和质地相同的4个白球和3个红球，若不放回的依次从口袋中每次摸出一个球，直到摸出2个红球就停止，则连续摸4次停止的概率等于______．
答案：9
35
分析：根据题设写出基本事件，再应用互斥事件加法公式求概率.
由题意知，连续依次摸出的4个球分别是：白白红红，白红白红，红白白红共3种情况，
第一种摸出“白白红红”的概率为4
7×3
6
×3
5
×1
2
=3
35
，
第二种摸出“白红白红”的概率为4
7×3
6
×3
5
×1
2
=3
35
，
第三种摸出“红白白红”的概率为3
7×4
6
×3
5
×1
2
=3
35
，
所以连续摸4次停止的概率等于9
35
．
所以答案是：9
35
解答题
17、数学兴趣小组设计了一份“你最喜欢的支付方式”的调查问卷（每人必选且只能选一种支付方式），在某商场随机调查了部分顾客，并将统计结果绘制成如下所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中表示“现金”支付的扇形圆心角的度数为多少？
（2）若之前统计遗漏了15份问卷，已知这15份问卷都是采用“支付宝”进行支付，问重新统计后的众数所在的分类与之前统计的情况是否相同，并简要说明理由；
（3）在一次购物中，嘉嘉和琪琪随机从“微信，支付宝，银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率.
答案：（1）条形统计图见解析，90∘；（2）不同，理由见解析；（3）1
3
.
分析：（1）由两幅图可知，用现金、支付宝、其他支付共有人数110人，所占比例为1-15%-30%=55%，可得共调查了多少人，再根据用银行卡、微信支付的百分比可得答案
（2）根据原数据的众数所在的分类为微信，加上遗漏的15份问卷后，数据的众数所在的分类为微信、支付宝可得答案；
（3）将微信记为A 、支付宝记为B 、银行卡记为C ，画出树状图根据古典概型概率计算公式可得答案. （1）由条形统计图可知，用现金、支付宝、其他支付共有人数110人， 所占比例为1-15%-30%=55%，所以共调查了
1100.55
=200人，
所以用银行卡支付的人有200×0.15=30人，用微信支付的人有200×0.3=60人， 用现金支付所占比例为50
200
=0.25，所以0.25×360∘=90∘，在扇形统计图中表示“现金”支付的扇形圆心角的
度数为90°，
补全统计图如图所示：
（2）重新统计后的众数所在的分类与之前统计的情况不同，理由如下：原数据的众数所在的分类为微信，而加上遗漏的15份问卷后，数据的众数所在的分类为微信、支付宝. （3）将微信记为A 、支付宝记为B 、银行卡记为C ，画树状图如下：
∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种， ∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为3
9=1
3.
18、某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑（互不影响）的成绩在13s 内（称为合格）的概率分别为25
，，1
3
.若对这三名短跑运动员的100跑的成绩进行一次检测，则求：
（Ⅰ）三人都合格的概率；
34
（Ⅱ）三人都不合格的概率；
（Ⅲ）出现几人合格的概率最大.
答案：（Ⅰ）110；（Ⅱ）110；（Ⅲ）1人. 分析：记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A ，B ，C ，显然事件A ，B ，C 相互独立，则P(A)=25，P(B)=34，P(C)=13，从而根据不同事件的概率求法求得各小题.
记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A ，B ，C ，
显然事件A ，B ，C 相互独立，则P(A)=25，P(B)=34，P(C)=13 设恰有k 人合格的概率为P k (k =0,1,2,3).
（Ⅰ）三人都合格的概率：P 3=P(ABC)=P(A)⋅P(B)⋅P(C)=25×34×13=110
（Ⅱ）三人都不合格的概率：P 0=P(ABC)=P(A)⋅P(B)⋅P(C)=35×14×23=110.
（Ⅲ）恰有两人合格的概率：P 2=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=25×34×23+25×14×13+35×34×13=2360. 恰有一人合格的概率：P 1=1−P 0−P 2−P 3=1−
110−2360−110=2560=512.
因为512>2360>110，
所以出现1人合格的概率最大.。