数学归纳法

数学归纳法

[考纲解读] 1.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的命题．(重点)

2.数学归纳法的主要作用是证明与自然数有关的不等式及数列问题．(难点)

[考向预测]从近三年高考情况来看，对本讲并没有直接涉及，当遇到与正整数n 有关的不等式的证明，且其他方法不易证时，可以考虑用数学归纳法进行证明求

解.

数学归纳法的定义

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

1．(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；

2．(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝□01k＋1时命题也成立．

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，

上述证明方法叫做数学归纳法．

1．概念辨析

(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．()

(2)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．()

(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．()

(4)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.()

答案(1)×(2)×(3)×(4)√

2．小题热身

(1)下列结论能用数学归纳法证明的是()

A．x>sin x，x∈(0，π)

B．e x≥x＋1(x∈R)

C．1＋1

2＋

1

22＋…＋

1

2n－1

＝2－

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫1

2

n－1(n∈N*)

D ．sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(α，β∈R ) 答案 C

解析 数学归纳法是用来证明与自然数有关的命题的一种方法，由此可知C 符合题意．

(2)用数学归纳法证明1＋a ＋a 2

＋…＋a n ＋1

＝1－a n ＋2

1－a

(a ≠1，n ∈N *)，在验证n

＝1时，等式左边的项是( )

A ．1

B ．1＋a

C ．1＋a ＋a 2

D ．1＋a ＋a 2＋a 3

答案 C

解析 验证n ＝1时，等式左边的项是1＋a ＋a 2.

(3)用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，当第二步假设n ＝2k －1(k ∈N *)命题为真时，进而需证n ＝________时，命题亦真．

答案 2k ＋1

解析 由于步长为2，所以2k －1后一个奇数应为2k ＋1.

题型 一 用数学归纳法证明恒等式

设i 为虚数单位，n 为正整数，θ∈[0,2π)．用数学归纳法证明：(cos θ＋isin θ)n ＝cos nθ＋isin nθ.

证明 ①当n ＝1时，左边＝右边＝cos θ＋isin θ，所以命题成立； ②假设当n ＝k 时，命题成立，即 (cos θ＋isin θ)k ＝cos kθ＋isin kθ， 则当n ＝k ＋1时，

(cos θ＋isin θ)k ＋1＝(cos θ＋isin θ)k ·(cos θ＋isin θ) ＝(cos kθ＋isin kθ)(cos θ＋isin θ)

＝(cos kθcos θ－sin kθsin θ)＋i(sin kθcos θ＋cos kθsin θ) ＝cos(k ＋1)θ＋isin(k ＋1)θ，

所以当n＝k＋1时，命题成立．

综上，由①和②可得，(cosθ＋isinθ)n＝cos nθ＋isin nθ.

数学归纳法证明等式的思路和注意点

(1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．

(2)注意点：由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程．

提醒：归纳假设就是证明n＝k＋1时命题成立的条件，必须用上，否则就不是数学归纳法.

用数学归纳法证明：

12 1×3＋

22

3×5

＋…＋

n2

(2n－1)(2n＋1)

＝

n(n＋1)

2(2n＋1)

(n∈N*)．

证明①当n＝1时，左边＝

12

1×3

＝

1

3，

右边＝

1×(1＋1)

2×(2×1＋1)

＝

1

3，

左边＝右边，等式成立．

②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立．

即

12

1×3

＋

22

3×5

＋…＋

k2

(2k－1)(2k＋1)

＝

k(k＋1)

2(2k＋1)

，

当n＝k＋1时，

左边＝

12

1×3

＋

22

3×5

＋…＋

k2

(2k－1)(2k＋1)

＋

(k＋1)2

(2k＋1)(2k＋3)

＝

k (k ＋1)2(2k ＋1)

＋

(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)

＝

k (k ＋1)(2k ＋3)＋2(k ＋1)2

2(2k ＋1)(2k ＋3)

＝

(k ＋1)(2k 2＋5k ＋2)2(2k ＋1)(2k ＋3)

＝

(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)

，

右边＝

(k ＋1)(k ＋1＋1)2[2(k ＋1)＋1]

＝

(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)

，

左边＝右边，等式成立．

由①②知，对n ∈N *，原等式成立． 题型 二 用数学归纳法证明不等式

用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式⎝ ⎛

⎭⎪

⎫1＋13⎝ ⎛

⎭⎪⎫1＋15·…·

⎝ ⎛⎭

⎪⎫1＋12n －1>2n ＋12均成立． 证明 ①当n ＝2时， 左边＝1＋13＝43，右边＝5

2. ∵左边>右边，∴不等式成立．

②假设当n ＝k (k ≥2，且k ∈N *)时不等式成立． 即⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1>2k ＋1

2.

则当n ＝k ＋1时，

⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1·⎣⎢⎡⎦

⎥⎤1＋12(k ＋1)－1