北师大版九年级下册数学第三章《圆》综合能力提升训练

九年级下册北师大版数学第三章《圆》综合能力提升训练密卷
一、单选题
1．已知⊙O 的半径为6，点A 与点O 的距离为5，则点A 与⊙O 的位置关系是（ ）
A ．点A 在圆外
B ．点A 在圆内
C ．点A 在圆上
D ．不确定
2．下列说法中，不正确的是（ ）
A ．圆既是轴对称图形又是旋转对称图形
B ．一个圆的直径的长是它半径的2倍
C ．圆的每一条直径都是它的对称轴
D ．直径是圆的弦，但半径不是弦
3．如图，在⊙O 中，弦AB 的长为16cm ，圆心O 到AB 的距离为6cm ，则⊙O 的半径是（ ）
A ．6cm
B ．10cm
C ．8cm
D ．20cm
4．如图，已知A ，B ，C 在O 上，AOB ∠的度数为80°，C ∠的度数是（ ）
A ．30
B ．40︒
C ．50︒
D ．60︒
5．下列有关圆的一些结论：①任意三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，④三角形的外心到三角形各顶点的距离相等．其中错误的结论有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
6．如图，AB 是O 的直径，AD 是O 切线，BD 交O 与点C ，50CAD ∠=︒，则B ∠=（ ）
A ．30
B ．40︒
C ．50︒
D ．60︒
为（）
A．52°B．51°C．61°D．64.5°
8．如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA、OE分别交于点F、G，点M为劣弧FG的中点．若FM＝22，则⊙O的半径为（）
A．2 B．6C．22D．26
9．用一个圆心角为120°，半径为4的扇形，做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的全面积（侧面与底面面积的和）为（）
A．56
3
π
B．
64
3
π
C．
56
9
π
D．
64
9
π
10．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为10，则GE+FH的最大值为（）
A．5 B．10 C．15 D．20
11．如图，AB是⊙O的直径，AB=10，P是半径OA上的一动点，PC⊥AB交⊙O于点C，在半径OB上取点Q，使得OQ=CP，DQ⊥AB交⊙O于点D，点C，D位于AB两侧，连接CD交AB于点F，点P从点A 出发沿AO向终点O运动，在整个运动过程中，△CEP与△DEQ的面积和的变化情况是（）
A ．一直减小
B ．一直不变
C ．先变大后变小
D ．先变小后变大
12．如下图，已知⊙O 的直径为AB ，AC ⊥AB 于点A, BC 与⊙O 相交于点D ，在AC 上取一点E ，使得ED=EA ．下面四个结论：①ED 是⊙O 的切线；②BC=2OE ③△BOD 为等边三角形；④△EOD ∽ △CAD ，正确的是（ ）
A ．①②
B ．②④
C ．①②④
D ．①②
③④
二、填空题 13．如图，O 是ABC ∆的外接圆，30ABC ∠=︒，4AC =，则弧AC 的长为__________．
14．如图，四边形ABCD 内接于O ，若80ADC ∠=︒，则ABC ∠的度数是______．
15．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点E ， CD ＝16，BE ＝4，则CE ＝____，⊙O 的半径为_____．
16．如图在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的半径为2，小圆的半径为1，100AOB ∠=︒．则阴影部分的面积是_____________．
17．如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D ，E ，F ，已知∠A ＝40°，连接OB ，OC ，DE ，EF ，则∠BOC ＝__________°，∠DEF ＝__________°．
18．如图，在等腰ABC 中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，点D 是AC 边上动点，连接BD ，以AD 为直径的圆交BD 于点E ，则线段CE 长度的最小值为___________．
三、解答题
19．如图， AC 与⊙O 相切于点C ， AB 经过⊙O 上的点D ，BC 交⊙O 于点E ，DE ∥OA ，CE 是⊙O 的直径．
（1）求证：AB 是⊙O 的切线；
（2）若BD ＝4，CE ＝6，求AC 的长．
20．如图，AB 是半圆O 的直径，点C 是半圆上不同于A ，B 的一动点，在弧BC 上取点D ，使DBC ABC ∠=∠，DE 为半圆O 的切线，过点B 作BF DE ⊥于点F ．
（1）求证：2DBF CAD ∠=∠；
（2）连接OC ，CD ．探究：当CAB ∠等于多少度时，四边形COBD 为菱形，并且写出证明过程．
21．如图，AB AC ，分别是半O 的直径和弦，OD AC ⊥于点D ，过点A 作半O 的切线,AP AP 与OD 的延长线交于点P ．连接PC 并延长与AB 的延长线交于点F ．
（1）求证：PC 是半O 的切线；
（2）若30,10CAB AB ︒∠==，求线段BF 的长．
22．如图，AB 为⊙O 的直径，点C ，D 是⊙O 上的点，AD 平分∠BAC ，过点D 作AC 的垂线，垂足为点E ．
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）延长AB 交ED 的延长线于点F ，若⊙O 半径的长为3，tan ∠AFE ＝34
，求CE 的长．
23．如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，点O 在AB 上，⊙O 经过A 、D 两点，交AC 于点E ，交AB 于点F ．
（1）求证：BC 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径是2cm ，E 是弧AD 的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号）
24．如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD．延长PD交圆的切线BE于点E
(1)判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；
(2)如果∠BED=60°，PD=3，求PA的长；
(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE 为菱形．
25．如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F，BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC=PB，
（1）求证：BG∥CD；
（2）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB=DH，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．
参考答案
1．B
解：∵OA=5，r=6，
∴OA＜r，
∴点A在圆内，
2．C
A、因为圆旋转任意一个角度都能够与自身重合，所以圆不仅是中心对称图形，也是旋转对称图形，该选项正确；
B、一个圆的直径的长是它半径的2倍，该选项正确；
C、圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，该选项错误；
D. 直径是圆的弦，但半径不是弦，该选项正确；
3．B
解：如图，过O作直径CD⊥AB于E，连接OA，
则OE=6cm，AE=BE=1
2
AB=8cm，
在Rt△AEO中，由勾股定理得：2222
OE+AE=6+8（cm），
4．B
解：∵∠AOB=80°，∠AOB=2∠C，
∴∠C=40°；
5．C
解：不在同一直线上的三点确定一个圆，故①错误；
在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故②错误；
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故③错误；三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，故④正确；
综上，错误结论的序号为：①②③，共有3个，
解：∵AB 是O 的直径，
∴90ACB ∠=︒，
∴90CAB CBA ∠+∠=︒，
∵AD 是O 切线，
∴90DAB ∠=︒，
∴90CAD CAB ∠+∠=︒，
∴50CBA CAD ∠=∠=︒，
7．B
∵PA ，PB 是O 的切线，AC 是O 的直径，
∴∠CAP=90°，PA=PB ，
∴∠PAB=∠PBA ，
∵25.5BAC ∠=︒，
∴∠PAB=∠CAP-BAC ∠=64.5°，
∴P ∠=180°-64.5°-64.5°=51°．
8．C
解：如图，连接OM ，
∵正六边形OABCDE ，
∴∠FOG ＝120°，
∵点M 为劣弧FG 的中点，
∴∠FOM ＝60°，OM ＝OF ，
∴△OFM 是等边三角形，
∴OM ＝OF ＝FM ＝2．
则⊙O 的半径为2．
解：圆锥的侧面积＝π×42×120?
360?
＝
16
3
π
，
圆锥的底面半径＝2π×4×120?
360?
÷2π＝
4
3
，
圆锥的底面积＝π×(4
3
)2＝
16
9
π，
圆锥的表面积＝侧面积＋底面积＝1616
=
39
64
9
π
π
π
+．
10．C
如图1，连接OA、OB，
，
∵∠ACB=30°，
∴∠AOB=2∠ACB=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB为等边三角形，
∵⊙O的半径为10，
∴AB=OA=OB=10，
∵点E，F分别是AC、BC的中点，
∴EF=1
2
AB=5，
要求GE+FH的最大值，即求GE+FH+EF（弦GH）的最大值，∵当弦GH是圆的直径时，它的最大值为：10×2=20，
∴GE+FH的最大值为：20-5=15．
故选C．
11．B
连接OC，OD，PD，CQ．设PC＝x，OP＝y，OF＝a，
∵PC⊥AB，QD⊥AB，
∴∠CPO＝∠OQD＝90°，∵PC＝OQ，OC＝OD，
∴Rt△OPC≌Rt△DQO，∴OP＝DQ＝y，
∴S
阴＝S
四边形PCQD−
S△PFD−S△CFQ
＝1
2
（x＋y）2−1
2
•（y−a）y−
1
2
（x＋a）x
＝xy＋1
2
a（y−x），
∵PC∥DQ，
∴PC PF DQ FQ
=，
∴x y a
y a x
-
=
+
，
∴a＝y−x，
∴S
阴＝xy＋
1
2
（y−x）（y−x）＝
1
2
（x2＋y2）＝
25
2
12．C
解：如图，连接OD．∵AC⊥AB，∴∠BAC=90°，即∠OAE=90°．在△AOE与△DOE中，∵OA=OD，AE=DE，OE=OE，∴△AOE≌△DOE（SSS），∴∠OAE=∠ODE=90°，即OD⊥ED．又∵OD是⊙O的半径，∴ED是⊙O的切线．故①正确；
∵△AOE≌△DOE，∴∠AOE=∠DOE，∵OB=OD，∴∠B=∠BDO，∵∠B+∠BDO=∠AOE+∠DOE，∴∠B=∠AOE，∴OE∥BC，∵AO=OB，∴OE是△BAC的中位线，∴BC=2OE,故②正确；
∵OE∥BC，∴∠AEO=∠C．∵△AOE≌△DOE，∴∠DEO=∠C，∠ODE=∠OAE=90°，∴∠ODE=ADC=90°，∴△EOD∽△CAD，∴正确的①②④．故选C．
13．43
π 解：连接OC ，OA
∵∠AOC=2∠ABC ，∠ABC=30°，
∴∠AOC=60°，
∵OA=OC, ∴△AOC 是等边三角形，
∴OA=AC=4
∴AC =60441803
ππ=， 14．100°
解：∵四边形ABCD 内接于O ，
∴180ADC ABC ∠+∠=︒，
∵80ADC ∠=︒，
∴100ABC ∠=︒．
15．8 10
（1） AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点E ， CD ＝16
由垂径定理可得，CE=
16822
CD == 故答案为：8
（2） 连结OC ，设⊙O 半径为r ，则OC=r ，OE =r-4，
弦CD ⊥AB
∴△OCE 是Rt △OCE
∴OE 2+CE 2=OC 2，
∴（r-4）2+82=r 2，解得r=10，
即⊙O 半径为10．
故答案为：10．
16．5 6π
阴影部分面积=
22
100(2-1
360
π⨯)
=
5
6
π．
故答案为5
6π．
17．110 70
∵∠A=40︒，
∴∠ABC+∠ACB=140︒，∵O是△ABC的内切圆，
∴∠OBC=1
2
∠ABC，∠OCB=
1
2
∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=70︒，
∴∠BOC=18070110
︒-︒=︒，
如图，连接OD，OF，
∵AB、AC分别切⊙O于D、F点，∴∠ODA=∠OFA=90︒，
∴∠A+∠DOF=180︒，
∴∠DOF=140︒，
∴∠DEF=1
2
∠DOF=70︒．
18．5﹣1
解：连接AE ，如图，
∵AD 为直径，
∴∠AED=90°，
∴∠AEB=90°，
∴点E 在以AB 为直径的圆O 上，
∵2AB AC ==
∴圆O 的半径为1，
∴当点O 、E 、 C 共线时，CE 最小，如图2
在Rt △AOC 中，
∵OA=1，AC=2，
∴225AC OA =+ ∴CE=OC −51，
即线段CE 51．
51．
19．
（1）证明：连接OD ，如图：
∵OE =OD ，
∴∠OED =∠ODE ，
∵DE ∥OA ，
∴∠OED =∠AOC ，∠ODE =∠AOD ，
∴∠AOC =∠AOD .
在△AOD 和△AOC 中，
AO AO AOD AOC OD OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ △AOD ≌△AOC ，
∴ ∠ADO =∠ACO .
∵AC 与⊙O 相切于点C ，
∴ ∠ADO =∠ACO =90°，
又∵OD 是⊙O 的半径，
∴AB 是⊙O 的切线；
（2）解：∵CE =6，
∴OE =OD =OC =3.
在Rt △ODB 中，BD =4，OD =3，
∴222BD OD BO +=，
∴BO =5，
∴BC =BO +OC =8.
∵⊙O 与AB 和AC 都相切，
∴AD =AC .
在Rt △ACB 中，222AC BC AB +=，
即：2228(4)AC AC +=+，
解得：AC =6；
20．
解：（1）如图，连接OD ，
DE 为半圆O 的切线，
90ODF ∴∠=︒，
BF DE ⊥，
90BFD ∠=︒∴，
∵180BFD ODF ∠+∠=︒，
//OD BF ∴，
DBF ODB ∴∠=∠，
OD OB =，
ODB OBD ∴∠=∠，
DBF OBD ∴∠=∠，
DBC ABC ∠=∠，
2OBD DBC ∴∠=∠，
2DBF DBC ∴∠=∠，
∵DBC CAD ∠=∠，
∴2DBF CAD ∠=∠；
（2）当CAB ∠等于60︒时，四边形COBD 为菱形，
证明：如图，连接OC ，OD ，CD ，
四边形COBD 为菱形，
OB BD ∴=，
OB OD
=，
OB OD BD
∴==，
BOD
∴是等边三角形，60
OBD
∠=︒，
1
30
2
ABC OBD
∴∠=∠=︒，
9060
CAB ABC
∴∠=︒-∠=︒，
∴当60
CAB
∠=︒时，四边形COBD为菱形．21．
（1）证明：如解图，连接OC，
∵OD AC
⊥，OD经过圆心O，
∴AD CD
=，
∴PA PC
=，
在OAP
△和OCP
△中，
OA OC
PA PC
OP OP
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
，
∴()
OAP OCP SSS
△≌△，
∴OCP OAP
∠=∠，
∵PA是O的切线，
∴90
OAP
∠=︒，
∴90
OCP
∠=︒，
即OC PC
⊥，
∴PC是O的切线．
（2）解：∵AB是半圆O的直径，10
AB=，∴90
ACB
∠=︒，
1
5
2
OC OB AB
===，
∵30CAB ∠=︒，
∴60COF ∠=︒，
∵PC 是O 的切线，
∴OC PF ⊥，
∴90OCF ∠=︒，
∴3090F COF ∠=∠=︒-︒，
∴210OF OC ==，
∴5BF OF OB =-=．
22．
（1）证明：连接OD ，
∵AD 平分∠BAC ，
∴∠1=∠2，
∵OA=OD ，
∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，
∴OD ∥AE ，
∵AC ⊥DE ，
∴OD ⊥DE ，
∵OD 是⊙O 半径，
∴OD 是⊙O 的切线；
（2）连接BC ，交OD 于点M ，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠E=∠ODE=90°，
∴∠ACB=∠E=∠ODE= 90°
∴四边形CEDM 是矩形，
∴CE=MD ，CM ∥DE ，
∴∠F=∠ABC ，
在Rt △OBM 中，OB=3，tan ∠ABC=34， 设OM=3x ，BM=4x ，
∴222(3)(4)3x x +=，
解得x=35
， ∴OM=95
， ∴CE=MD=3-95=65
． ．
23．
（1）连接OD ．
∵OA =OD ，∴∠OAD =∠ODA ．
∵∠OAD =∠DAC ，∴∠ODA =∠DAC ，∴OD ∥AC ，∴∠ODB =∠C =90°，∴OD ⊥BC ，∴BC 是⊙O 的切线．
（2）连接OE ，OE 交AD 于K ．
∵AE DE =，∴OE ⊥AD ． ∵∠OAK =∠EAK ，AK =AK ，∠AKO =∠AKE =90°，∴△AKO ≌△AKE ，∴AO =AE =OE ，∴△AOE 是等边三角形，
∴∠AOE =60°，∴S 阴=S 扇形OAE ﹣S △AOE 260233604
π⋅⋅=-⨯22233π=-
24．
解：（1）直线PD 为⊙O 的切线，
理由如下：
如图1，连接OD ，
∵AB 是圆O 的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADO+∠BDO=90°，
又∵DO=BO ，
∴∠BDO=∠PBD ，
∵∠PDA=∠PBD ，
∴∠BDO=∠PDA ，
∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD ⊥OD ，
∵点D 在⊙O 上，
∴直线PD 为⊙O 的切线；
（2）∵BE 是⊙O 的切线，
∴∠EBA=90°，
∵∠BED=60°，
∴∠P=30°，
∵PD 为⊙O 的切线，
∴∠PDO=90°，
在Rt △PDO 中，∠P=30°，3， ∴0tan 30OD PD
=，解得OD=1， ∴22PO PD OD +，
∴PA=PO ﹣AO=2﹣1=1；
（3）如图2，
依题意得：∠ADF=∠PDA，∠PAD=∠DAF，
∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF，
∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
设∠PBD=x°，则∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，
∵四边形AFBD内接于⊙O，
∴∠DAF+∠DBF=180°，
即90°+x+2x=180°，解得x=30°，
∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°，
∵BE、ED是⊙O的切线，
∴DE=BE，∠EBA=90°，
∴∠DBE=60°，∴△BDE是等边三角形，
∴BD=DE=BE，
又∵∠FDB=∠ADB﹣∠ADF=90°﹣30°=60°∠DBF=2x°=60°，∴△BDF是等边三角形，
∴BD=DF=BF，
∴DE=BE=DF=BF，
∴四边形DFBE为菱形.
25．
（1）证明：如图1，
∵PC=PB，
∴∠PCB=∠PBC，
∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BCD+∠PCB=180°，
∴∠BAD=∠PCB，
∵∠BAD=∠BFD，
∴∠BFD=∠PCB=∠PBC，
∴BC∥DF，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠ABC=90°，
∴AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∵BG⊥AD，
∴∠AGB=90°，
∴∠ADC=∠AGB，
∴BG∥CD；
（2）由（1）得：BC∥DF，BG∥CD，∴四边形BCDH是平行四边形，
∴BC=DH，
在Rt△ABC中，∵3DH，
∴tan∠ACB=
3
3 AB DH
BC
==，
∴∠ACB=60°，∠BAC=30°，
∴∠ADB=60°，BC=1
2 AC，
∴DH=1
2 AC，
①当点O在DE的左侧时，如图2，作直径DM，连接AM、OH，则∠DAM=90°，
∴∠AMD+∠ADM=90°
∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°，
∴∠BDE+∠ABD=90°，
∵∠AMD=∠ABD，
∴∠ADM=∠BDE，
∵DH=1
2 AC，
∴DH=OD，
∴∠DOH=∠OHD=80°，
∴∠ODH=20°
∵∠AOB=60°，
∴∠ADM+∠BDE=40°，
∴∠BDE=∠ADM=20°，
②当点O在DE的右侧时，如图3，作直径DN，连接BN，
由①得：∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°，
∴∠BDE=∠BDN+∠ODH=40°，
综上所述，∠BDE的度数为20°或40°．。