吉林省通化县综合高级中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学(理)试卷

高二数学（理科）
注意事项：
1、本试卷答题时间120分钟，满分120分。

2、本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两
部分。

第I卷选出正确答案后，填在答题纸上方的第I 卷答题栏内，不要答在第I卷上。

第II卷试题答案请写在答题纸上。

交卷时只交答题纸。

第Ⅰ卷(选择题共40分)
一、选择题：本大题共10题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知p:∃x0∈R,,那么¬p为
A. ∀x∈R,3x<x3
B. ∃x0∈R,
C. ∀x∈R,3x≥x3
D. ∃x 0∈R,≥
2、过点(2,1)且与直线3x-2y=0垂直的直线方程为
A. 2x-3y-1=0
B. 2x+3y-7=0
C. 3x-2y-4=0
D. 3x+2y-8=0
3、某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()
A. 46
B. 48
C. 36
D. 32
4、已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（）
A. 2
B. 3
C. 6
D. 9
5、已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( )
A.x 24＋y 23＝1
B.x 24＋y 2
＝1 C.y 24＋x 2
3
＝1 D.y 2
4
＋x 2＝1 6、以点(2，-1)为圆心，且与直线3x -4y +5=0相切的圆的方程为( ) A. (x -2)2+(y +1)2=3 B. (x +2)2+(y -1)2=3 C. (x +2)2+(y -1)2=9 D. (x -2)2+(y +1)2=9 7、如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．
的是( )
A ．BD ∥平面C
B 1D 1 B ．A
C 1⊥BD
C ．AC 1⊥平面CB 1
D 1 D ．异面直线AD 与CB 1所成的角为60° 8、若平面α的一个法向量n ＝(2,1,1)，直线l 的一个方向向量为a ＝(1,2,3)，则l 与α所成角的正弦值为( )
A.
176 B.216 C ．－216 D.21
3
9、“a =3”是“直线ax +2y +2a =0和直线3x +(a -1)y -a +7=0平行”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条
10、若圆(x +1)2+y 2=m 与圆x 2+y 2-4x +8y-16=0内切,则实数m 的值为
A. 1
B. 11
C. 121
D. 1或121
第Ⅱ卷(非选择题共80分)
二、非选择题：
填空题 共4道小题 每题5分 共20分：
11、已知长方体一个顶点上三条棱的长分别是3、4、5，且它的顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是________
12、已知A (－1,0)，B (1,0)，且MA
→·M B →＝0，则动点M 的轨迹方程是________
13、已知双曲线-=1(a >0)和抛物线y 2=8x 有相同的焦点,则双曲线的离心率为 .
14、下列各项中，描述正确的是________．(填序号)
①∀x∈R，不等式x2＋2x>4x－3成立；
②已知p：0∈{x|(x+2)(x-3)<0}；q：={0}.则“p或q”为假
③命题“若a>b>0且c<0，则c
a>
c
b”的逆否命题是真命题；
④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.
解答题共5道小题每题12分：
15、已知直线l与圆C相交于点P(1，0)和点Q(0，1).
(1)求圆心所在的直线方程；
(2)若圆C的半径为1，求圆C的标准方程.
16、如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，
，且底面.
（1）证明：平面；
（2）若为的中点，求三棱锥的体积.
17、中心在原点，一焦点为F
1
（0，52）的椭圆被直线y=3x－2截得的弦的中
点横坐标是
2
1，求此椭圆的方程。

18、已知抛物线：（）的焦点为，点在
抛物线上，且，直线与抛物线交于，两点，为坐标原点.
（1）求抛物线的方程；
（2）求的面积.
19、如图，矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，∠ABE=60°，G为BE的中点.
(1)求证：AG⊥平面ADF.
(2)若AB= BC，求二面角D-CA-G的余弦值.
高二数学（理科）答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分, 共40 分 1. 【答案】 C
因为特称命题的否定为全称命题,所以¬p :∀x ∈R ,3x
≥x 3
,故选C. 2. 【答案】B
由题意,设直线方程为2x +3y +b =0,把(2,1)代入,则4+3+b =0,即b =-7,则所求直线方程为2x +3y-7=0. 故选:B. 3. 【答案】B
由三视图可知本题所给的是一个底面为等腰梯形的放倒的直四棱柱(如图所示)，
所以该直四棱柱的体积为 .
4. 【答案】C
设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知 ，即 ，
解得 .
5. 【答案】A
c ＝1，a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3.
∴椭圆的方程为x 24＋y 2
3＝1.
6. 【答案】D
圆心到直线3x -4y +5=0的距离d = =3，即圆的半径为3，故所求
圆的方程为(x -2)2
+(y +1)2
=9.
7. 【答案】D
对于选项D ，∵BC ∥AD ，∴∠B 1CB 即为AD 与CB 1所成角，此角为45°，故D 错． 8. 【答案】B
cos 〈a ，n 〉＝a ·n |a ||n |＝1，2，3·2，1，11＋4＋9·22
＋1＋1＝2＋2＋314×6
＝21
6. l 与α所成角的正弦值为21
6
9. 【答案】A
a =3⇒直线ax +2y +2a =0和直线3x +(a -1)y -a +7=0平行;反之,直线ax +2y +2a =0和3x +(a -1)y -a +7=0平行⇒a (a -1)=2×3,得a =3或a =-2.所以“a =3”是“直线ax +2y +2a =0和直线3x +(a -1)y -a +7=0平行”的充分不必要条件.故选A.
10. 【答案】D
圆(x +1)2
+y 2
=m 的圆心坐标为(-1,0),半径为
;圆x 2+y 2
-4x +8y-16=0,即
(x-2)2
+(y +4)2
=36,故圆心坐标为(2,-4),半径为
6.由两圆内切得
=|
-6|,解得m =1或m =121.故选D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 11. 【答案】50π
长方体的体对角线即为球的直径，∴2R ＝32＋42＋52，∴R ＝5
22，
S 球＝4πR 2＝50π. 12. 【答案】x 2＋y 2＝1
设动点M (x ，y )，则MA →＝(－1－x ，－y )，M B →
＝(1－x ，－y )． 由MA →·M B →
＝0，得(－1－x )(1－x )＋(－y )2＝0，即x 2＋y 2
＝1. 动点M 的轨迹方程是x 2＋y 2＝1.
13. 【答案】
易知抛物线y 2
=8x 的焦点为(2,0),所以双曲线
-=1的焦点为(2,0),则
a 2+2=22,即a =,所以双曲线的离心率e =.
14. 【答案】①③④
①中不等式x 2
＋2x >4x －3⇔x 2
－2x ＋3>0⇔x ∈R . ∴对∀x ∈R ，x 2＋2x >4x －3成立．①正确
②不符合二面角定义，错误；
③中
⎭
⎪⎬⎪⎫
a >
b >0⇒1a <1
b c <0⇒c a >c b ，
原命题为真命题，逆否命题为真命题，∴③正确 ④正确
三、解答题：共5道解答题，每题12分，共60分 15、
(1)PQ 的斜率为k P Q =-1，………………1分
PQ 中点M ( )，………………2分
因为以圆心所在的直线与PQ 垂直，所以所求直线的斜率为1…………3分
所以圆心所在的直线方程为 ………………5分
即y =x . ………………6分
(2)由条件设圆的方程为(x -)2
+(y -b )2
=1，
由圆过P，Q点得………………9分
解得或………………11分
所以圆C的标准方程为x2+y2=1或(x-1)2+(y-1)2=1. ………………12分16、
（1）证明：由题得
，∴，………………2分
∵底面为平行四边形，，∴.………………3分
又∵底面，∴.
∵，………………5分
∴平面.………………6分
（2）三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，…………8分而.…………11分所以三棱锥的体积.………………12分
17、
设椭圆：+（a＞b＞0），则a2-b2=50…①………………2分
又设弦为AB，A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB中点（x0，y0）
∵x 0=21，∴y 0=23－2=－2
1………………4分
由220022212122
221222212222
22221221331
1b a y x b a x x y y k b x x a y y b x a
y b x a y AB =⇒=•-=--=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-⇒=+=+…②……9分
解①，②得：a 2=75，b 2=25，………………11分
∴椭圆方程为
25
752
2x y +=1………………12分
18、 （1）∵
在抛物线 上，且
，
∴由抛物线定义得， ………………2分
∴ ………………3分
∴所求抛物线 的方程为 . ………………4分
（2）由 消去 ，………………5分
并整理得， ，………………5分
设 ， ，则 ，………………7分
由（1）知
∴直线 过抛物线 的焦点 ，
∴ ………………9分
又∵点到直线的距离，………………10分
∴的面积. ………………12分
19、
(1)∵矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，
∴AD⊥AB，
∵矩形ABCD∩菱形ABEF=AB，
∴AD⊥平面ABEF，………………2分
∵AG⊂平面ABEF，∴AD⊥AG，………………3分
∵菱形ABEF中，∠ABE=60°，G为BE的中点.
∴AG⊥BE，即AG⊥AF.∵AD∩AF=A，………………5分
∴AG⊥平面ADF.………………6分
(2)由(1)可知AD，AF，AG两两垂直，以A为原点，AG所在直线为x 轴，AF所在直线为y轴，AD所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
设AB= BC= ，
则BC=1，AG= ，故A(0，0，0)，C ，
D(0，0，1)，G ，………………8分则=(0，0，1)，.
设平面ACD的法向量为n1=(x1，y1，z1)，
则取y1= ，得n1=(1，，0).…19分
设平面ACG的法向量为n2=(x2，y2，z2)，
则取y2=2，得n2=(0，2，)......10分
设二面角D-CA-G的夹角为θ，则|cos θ|= ， (11)
分
易知θ为钝角，∴二面角D-CA-G的余弦值为- (12)
分
11。