2016-2017学年高中数学第二章概率2.2超几何分布学业分层测评苏教版选修2-3

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第二章 概率 2.2 超几何
分布学业分层测评 苏教版选修2-3
(建议用时：45分钟)学业达标]
一、填空题
1．10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．
【解析】 由超几何分布的概率公式可得P (恰好取到一件次品)＝C 13C 3
7C 410＝1
2.
【答案】 1
2
2．有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为________．(用式子表示)
【解析】 二级品不多于1台，即一级品有3台或者4台，其概率为C 13C 3
97＋C 4
97
C 4
100. 【答案】 C 13C 3
97＋C 4
97
C 4
100
3．下列随机事件中的随机变量X 服从超几何分布的是________． ①将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数为X ；
②从7男3女的10名学生干部中选出5名优秀学生干部，女生的人数为X ； ③某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为X ；
④盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X 是首次摸出黑球时摸球的总次数．
【解析】 ①③均为重复试验，不符合超几何分布总体的分类要求；②④总体分为明确的两类，但④中的随机变量X 不是抽取样本中一类元素的个数．
【答案】 ②
4．一个盒子里装有相同大小的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为X ，则P (X ≤1)＝________.
【解析】 由已知X ～H (2,4,26)， 则P (X ＝0)＝C 04C 2
22C 226，P (X ＝1)＝C 14C 1
22
C 226
，
故P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 2
22＋C 1
22C 1
4C 2
26＝319
325. 【答案】
319
325
5．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取3台，其中两种品牌的彩电齐全的概率是
________．
【解析】 P ＝C 13C 2
2C 35＋C 23C 1
2C 35＝9
10.
【答案】
910
6．某校从学生会中的10名女生干部与5名男生干部中随机选取6名学生干部组成“文明校园督察队”，则组成4女2男的“文明校园督察队”的概率是________．(用式子表示)
【解析】 组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为C 4
10C 2
5C 615.
【答案】 C 4
10C 2
5
C 615
7．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为________．(结果用最简分数表示)
【解析】 从这30瓶饮料中任取2瓶，设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A ，则P (A )＝C 1
27C 1
3C 230＋C 23C 230＝28
145
.
【答案】
28145
8．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n 张，为了使这n 张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n 至少为________. 【导学号：29440040】
【解析】 用X 表示中奖票数， P (X ≥1)＝C 12C n －1
48C n 50＋C 22C n －2
48
C n 50>0.5，
解得n ≥15. 【答案】 15 二、解答题
9．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：
(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列； (2)他能及格的概率．
【解】 (1)设抽到他能背诵的课文的数量为X ，X ～H (3,6,10)． 则P (X ＝k )＝C k 6C 3－k
4
C 310
(k ＝0,1,2,3)，
P (X ＝0)＝C 06C 3
4C 310＝130，P (X ＝1)＝C 16C 2
4C 310＝3
10，
P (X ＝2)＝C 26C 1
4C 310＝12，P (X ＝3)＝C 36C 0
4C 310＝1
6
.
所以X 的分布列为
(2)他能及格的概率为P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝2＋6＝2
3
.
10．袋中有形状大小完全相同的4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．
(1)求得分X 的概率分布； (2)求得分大于6分的概率．
【解】 (1)从袋中随机取4个球有1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红四种情况，分别得分为5分，6分，7分，8分，故X 的可能取值为5,6,7,8.
∴P (X ＝5)＝C 14C 3
3C 47＝435，P (X ＝6)＝C 24C 2
3C 47＝18
35，
P (X ＝7)＝C 34C 1
3C 47＝1235，P (X ＝8)＝C 44C 0
3C 47＝1
35.
故所求概率分布为
(2)根据随机变量X P (X >6)＝P (X ＝7)＋
P (X ＝8)＝1235＋135＝1335
.
能力提升]
1．在六个数字1,2,3,4,5,7中，若随机取出三个数字，则剩下三个数字都是奇数的概率是________．
【解析】 剩下三个数字都是奇数，则取出的三个数字为两偶一奇．故P ＝C 2
2·C 1
4C 36＝4
20＝
0.2.
【答案】 0.2
2．现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是5
7
，则语文课本有________本. 【导学号：29440041】
【解析】 设语文课本有m 本，任取2本书中的语文课本数为X ，则X 服从参数为N ＝7，M ＝m ，n ＝2的超几何分布，其中X 的所有可能取值为0,1,2，且P (X ＝k )＝C k m C 2－k
7－m
C 27
(k ＝0,1,2)．
由题意，得P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 0m C 27－m C 27＋C 1m C 1
7－m C 27＝1
2
×
7－m
6－m
21
＋
m 7－m
21
＝5
7
， ∴m 2
－m －12＝0，解得m ＝4或m ＝－3(舍去)． 即7本书中语文课本有4本． 【答案】 4
3．某电视台在一次对收看新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了45名电视观众，其中20至40岁的有18人，大于40岁的有27人．用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，在这5名观众中再任取2名，则恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率为_____________________________________．
【解析】 由于是分层抽样，所以5名观众中，年龄为20至40岁的有18
45×5＝2人．设
随机变量X 表示20至40岁的人数，则X 服从超几何分布H (2,2,5)，故P (X ＝1)＝C 12C 1
3C 25＝3
5
.
【答案】 3
5
4．从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A “取出的2件产品都是二等品”的概率P (A )＝0.04.
(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率；
(2)若该批产品共10件，从中任意抽取2件，X 表示取出的2件产品中二等品的件数，求X 的概率分布．
【解】 (1)设任取一件产品是二等品的概率为p ，依题意有P (A )＝p 2
＝0.04，解得p 1
＝0.2，p 2＝－0.2(舍去)．
故从该批产品中任取1件是二等品的概率为0.2.
(2)若该批产品共10件，由(1)知其二等品有10×0.2＝2件，故X 的可能取值为0,1,2. P (X ＝0)＝C 2
8C 210＝2845，P (X ＝1)＝C 18C 1
2C 210＝1645，
P (X ＝2)＝C 22C 210＝1
45.
所以X 的概率分布为
X 0 1 2 P
2845
1645
145。