第九章曲线积分与曲面积分习题解答(详解)

曲线积分与曲面积分习题详解

习题9-1

1 计算下列对弧长的曲线积分： （1）d C

I y s =⎰

，其中C 是抛物线2y x =上点(0,0)O 到(1,1)A 之间的一段弧；

解: 由于C 由方程

2y x = （01x ≤≤）

给出，因此 1

1

22220

d 1()d 14d C

I y s x x x x x x '==+=+⎰

⎰

⎰

1

232011(14)(551)1212

x ⎡⎤

=+=-⎢⎥⎣⎦.

（2）d C

I x s =⎰，其中C 是圆221x y +=中(0,1)A 到11(

,)2

2

B -

之间的一段劣弧；

解: C AB =的参数方程为：

cos ,sin x y θθ==()4

2

π

π

θ-

≤≤

，于是

2

4

22cos (sin )cos I d ππθθθθ-=-+⎰

2

4

1cos 12

d π

πθθ-==+

⎰．

（3）(1)d C

x y s ++⎰，其中C 是顶点为(0,0),(1,0)O A 及(0,1)B 的三角形的边界；

解: L 是分段光滑的闭曲线，如图9－2所示，根据积分的可加性，则有

(1)C

x y ds ++⎰

(1)OA

x y ds =++⎰(1)AB

x y ds +++⎰ (1)BO

x y ds +++⎰，

由于OA :0y =，01x ≤≤，于是

2222()()10dx dy

ds dx dx dx dx dx

=+=+=，

故 1

3

(1)(01)2

x y ds x dx ++=++=

⎰⎰OA

， 而:AB 1y x =-,01x ≤≤，于是

22

22(

)()1(1)2dx dy ds dx dx dx dx dx

=+=+-=． 故

x

y

o

(1,0)A (0,1)

B x

y

o

A

B

C

1

(1)[(1)1]222AB

x y ds x x dx ++=+-+=⎰⎰，

同理可知:BO 0x =（01y ≤≤），2222(

)()01dx dy

ds dy dy dy dy dy

=+=+=，则 1

3

(1)[01]2

BO

x y ds y dy ++=++=

⎰⎰． 综上所述 33

(1)2232222

C

x y ds -+=

++=+⎰． （4）

22C

x y ds +⎰

，其中C 为圆周22x y x +=；

解 直接化为定积分．1C 的参数方程为

11cos 22x θ=+,1

sin 2

y θ=（02θπ≤≤）,

且

221

[()][()]2

ds x y d d θθθθ''=+=．

于是

2220

1

cos

222

C

x y ds d π

θθ+=⋅=⎰

⎰

．

（5）2 ds x yz Γ

⎰，其中Γ为折线段ABCD ，这里A ,B ,C ,D 的坐标依次为(0,0,0), (0,0,2),(1,0,2),(1,2,3)；

解 如图所示， 2

2

2

2

AB

BC

CD

x yzds x yzds x yzds x yzds Γ

=++⎰⎰

⎰⎰

．

线段AB 的参数方程为 0,0,2(01)x y z t t ===≤≤，则

222

(

)()()dx dy dz ds dt dt dt

=++ 2220022dt dt =++=，

故

02200 1

2

=⋅⋅⋅=⎰

⎰

dt t yzds x AB

．

线段BC 的参数方程为,0,2(01)x t y z t ===≤≤，则

2

2

2

100,ds dt dt =++=

故

1

2

2 0

020BC

x yzds t dt =⋅⋅⋅=⎰

⎰，

x

y

o

C

1

C 1

x

y

z

(0,0,0)A (0,0,2)B (1,0,2)

C (1,2,3)

D

线段CD 的参数方程为1,2,2x y t z t

===+)10(≤≤t ，则

2220215ds dt dt =++=，

故

1

1

22

8

12(2)525)53

CD

x yzds t t dt t t dt =⋅⋅+⋅=+=

⎰

⎰⎰ 2 (2，所以

2222 8

53

AB

BC

CD

x yzds x yzds x yzds x yzds Γ

=++=

⎰⎰

⎰

⎰

．

（6）2

ds y Γ⎰，其中Γ为空间曲线2222,

(0),x y z a a x z a ⎧++=>⎨

+=⎩

. 解: Γ在,x y 平面的投影为：2222()x y a x a ++-=，即22220x y ax +-=，从而

2

221222a x y a ⎛

⎫-+= ⎪⎝

⎭.

利用椭圆的参数方程得Γ的参数方程为

11cos ,22:sin , 02.211

cos ,22

x a a a y z a x a a θθθπθ⎧

=+⎪⎪

⎪

Γ=≤≤⎨⎪⎪=-=+⎪⎩

由于

222222222111d d sin cos sin d d 4242

a

s x y z a a a θθθθθθ'''=++=++=. 则

332π2π2

222 0

1π

ds sin d sin d 222222a a a y a θθθθΓ

===⎰⎰

⎰.

2 设一段曲线ln (0)y x a x b =<≤≤上任一点处的线密度的大小等于该点横坐标的平方，求其质量．

解 依题意曲线的线密度为2x ρ=，故所求质量为2C

M x ds =⎰，其中

:ln (0)C y x a x b =<≤≤．则C 的参数方程为

ln x x

y x

=⎧⎨

=⎩ (0)a x b <≤≤， 故