华师大版初中数学九年级上册22.2.4 一元二次方程根的判别式

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4.一元二次方程根的判别式
1．理解并掌握一元二次方程根的判别式，能运用判别式，在不解方程的前提下
判断一元二次方程根的情况；(重点、难点) 2．通过一元二次方程根的情况的探究过程，体会从特殊到一般、猜想及分类讨
论的数学思想，提高观察、分析、归纳的能力． 一、情境导入
老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方
程呢，小强突然站起来说出每个方程解的
情况，你想知道他是如何判断的吗？
二、合作探究
探究点一：一元二次方程的根的情况
【类型一】判断一元二次方程根的情况
不解方程，判断下列方程的根的
情况．
(1)2x 2＋3x －4＝0； (2)x 2－x ＋＝0； 14(3)x 2－x ＋1＝0.
解析：根据根的判别式我们可以知道
当b 2－4ac ≥0时，方程才有实数根，而b 2－4ac <0时，方程没有实数根．由此我们不解方程就能判断一元二次方程根的情况． 解：(1)2x 2＋3x －4＝0，a ＝2，b ＝3，c ＝－4，∴b 2－4ac ＝32－4×2×(－4)＝41＞0.∴方程有两个不相等的实数根． (2)x 2－x ＋＝0，a ＝1，b ＝－1，c ＝14.∴b 2－4ac ＝(－1)2－4×1×＝0.∴方程1414有两个相等的实数根．
(3)x 2－x ＋1＝0，a ＝1，b ＝－1，c ＝
1.∴b 2－4ac ＝(－1)2－4×1×1＝－3＜
0.∴方程没有实数根． 方法总结：给出一个一元二次方程，
不解方程，可由b 2－4ac 的值的符号来判
断方程根的情况．当b 2－4ac ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b 2－4ac ＝0时，一元二次方程有两个相等的实
数根；当b 2－4ac ＜0时，一元二次方程无
实数根．
【类型二】由一元二次方程根的情况
确定字母系数的取值
已知关于x 的一元二次方程(a －
1)x 2－2x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( )
A ．a >2
B ．a <2
C ．a <2且a ≠1
D ．a <－2
解析：由于一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式大于0，得到一个不等式，再由二次项系数不为0知a －1不为0.即4－4(a －1)＞0且a －1≠0，解得a ＜2且a ≠1.选C. 方法总结：若方程有实数根，则b 2－4ac ≥0.由于本题强调说明方程是一元二次
方程，所以，二次项系数不为0.因此本题还是一道易错题． 【类型三】 一元二次方程根的判别式
与三角形的综合
已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三
边长，求证：关于x 的方程b 2x 2＋(b 2＋c 2－a 2)x ＋c 2＝0没有实数根． 解析：欲证一元二次方程没有实数根，只需证明它的判别式Δ<0即可．由a ，b ，c 是三角形三条边的长可知a ，b ，c
都是正数．由三角形的三边关系可知a ＋b >c ，a ＋c >b ，b ＋c >a . 证明：∵b 为三角形一边的长，∴b ≠
0，∴b 2≠0，∴b 2x 2＋(b 2＋c 2－a 2)x ＋c 2＝0是关于x 的一元二次方程．∴Δ＝(b 2＋c 2
－a
2)2－4b 2c 2＝(b 2＋c 2－a 2＋2bc )(b 2＋c 2－a 2－2bc )＝[(b ＋c )2－a 2][(b －c )2－a 2]＝(b ＋c
＋a)(b＋c－a)(b－c＋a)(b－c－a)＝(a＋b＋c)[(b＋c)－a][(a＋b)－c][b－(a＋c)]．∵a，b，c是三角形三条边的长，∴a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c>0，a＋b>c，b＋c>a，a ＋c>b.∴(b＋c)－a>0，(a＋b)－c>0，b－(a ＋c)<0，∴(a＋b＋c)[(b＋c)－a][(a＋b)－c][b－(a＋c)]<0，即Δ<0.∴原方程没有实数根．
方法总结：利用根的判别式与三角形的三边关系：常根据判别式得到关于三角形三边的式子，再结合三边关系确定Δ符号．
【类型四】利用根的判别式解决存在性问题
是否存在这样的非负整数m，使
关于x的一元二次方程m2x2－(2m－1)x＋1
＝0有两个不相等的实数根？若存在，请求
出m的值；若不存在，请说明理由．
解：不存在，理由如下：
假设m2x2－(2m－1)x＋1＝0有两个不
相等的实数根，则[－(2m－1)]2－4m2>0，
解得m<.∵m为非负整数，∴m＝0.
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而当m＝0时，原方程m2x2－(2m－1)x
＋1＝0是一元一次方程，只有一个实数
根，与假设矛盾．
∴不存在这样的非负整数，使原方程
有两个不相等的实数根．
易错提醒：在求出m＝0后，常常会草
率地认为m＝0就是满足条件的非负整数，
而忽略了二次项系数不为0的这一隐含条
件，因此解题过程中务必考虑全面．
三、板书设计
本节课是在一元二次方程的解法的基础
上，学习根的判别式的应用．学生容易在
计算取值范围的时候忘记二次项系数不能
为零，这是本节课需要注意的地方，应予
以特别强调
.
相信自己，就能走向成功的
第一步
教师不光要传授知识，还要
告诉学生学会生活。

数学思
维可以让他们更理性地看待
人生。