(济南专版)中考数学 第6章 圆 第1节 圆的有关性质

【解答】作AG⊥BC于点G,延长CA交⊙A于点F,连接BF,如图 所示, ∵∠BAC+∠EAD=180°, 又∵∠BAC+∠BAF=180°, ∴∠DAE=∠BAF. 又∵AD=AB,AE=AF, ∴△ADE≌△ABF,
∴DE=BF=6. ∵AG⊥BC, ∴CG=BG. ∵CA=AF, ∴AG为△CBF的中位线, ∴ 【答案】D
B.
D.OM=MD
CB BD
（1）△ABC为等腰三角形.理由如下 连接AE，如图，
∵ DE , BE
∴∠DAE=∠BAE，即AE平分∠BAC. ∵AB为直径， ∴∠AEB=90°， ∴AE⊥BC， ∴△ABC为等腰三角形.
(2)∵A，B，E，D四点共圆，
∴∠CDE=∠CBA，∠C=∠C，
∴∵△BCCD=E1∽2，△C半B径A，为5CC，DB .ACEC
5.圆内接多边形的性质: （1）圆内接三角形：三角形各边垂直平分线的交点叫外 心，也是圆心；外心到三角形各顶点的距离相等. （2）圆内接四边形：圆内接四边形的对角互补；任意一 个外角等于它的内对角.
考点1 圆周角、圆心角定理
【名师指点】本考点主要考查圆中弦所对的圆周角与圆心 角之间的大小关系，即同弧或等弧所对的圆周角的度数是 圆心角的一半.在同一个圆中，一条弧可能对应几个角，利 用圆周角定理把这些角联系在一起，相互转化是解题的关 键.
2.垂径定理及推论: （1）垂径定理：垂直于弦的直径___平__分____这条弦，并且 _____平__分_____弦所对的两条弧. （2）推论：①平分弦的直径__垂__直___于弦，并且___平__分__ 弦所对的两条弧；
②弦的垂直平分线经过_____圆__心______，并且平分弦所对 的两条弧； ③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且__平__分___ 另一条弧; ④圆的两条平行弦所夹的弧____相__等_____.
AD⊥BC，BE⊥AC，
∴ M∴DMM=EE12==AM12DB=AM=BAM==AMM=ABM=,BM，B，
∴A，B，D，E四点在⊙M上，
∴∠EMD＝2∠DAC.
解：(1)∵BC=CD, ∴∠BCD=180°-2×39°=102°. 又∵四边形ABCD为圆内接四边形, ∴∠BAD=180°-102°=78°.
（2）弦：连接圆上任意两点的____线__段____叫作弦.
（3）直径：经过___圆___心___的弦叫作直径.
（4）弦心距：圆心到弦的距离叫作弦心距.
知识点2 圆的有关性质
1.圆的对称性: （1）圆是轴对称图形，其对称轴是___过__圆__心___的直线， 有_无__数__条对称轴. （2）圆是中心对称图形，对称中心为___圆__心____. （3）圆具有旋转不变性，即圆围绕着它的圆心旋转 __任__意__角__度__，都能与原来的图形重合.
AG 1 BF 3. 2
考点3 圆内接四边形
【名师指点】本考点主要考查圆内接四边形的角之间的关 系，常利用它将圆外的角向圆内进行转移，解决问题的关 键是熟练地掌握圆内接四边形的性质.
【分析】(1)根据圆内接四边形的性质可得∠A+∠BCD =180°，根据邻补角互补可得∠DCE+∠BCD=180°，进而 得到∠A=∠DCE，然后利用等边对等角可得∠DCE=∠AEB， 进而可得∠A=∠AEB. (2)首先证明△DCE是等边三角形，进而可得∠AEB=60°， 再根据∠A=∠AEB，可得△ABE是等腰三角形，进而可得 △ABE是等边三角形.
【解答】(1)∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠BCD=180°. ∵∠DCE+∠BCD=180°， ∴∠A=∠DCE. ∵DC=DE， ∴∠DCE=∠AEB， ∴∠A=∠AEB.
(2)∵∠A=∠AEB， ∴△ABE是等腰三角形. ∵EO⊥CD，∴CF=DF， ∴EO是CD的垂直平分线，∴ED=EC. ∵DC=DE，∴DC=DE=EC， ∴△DCE是等边三角形， ∴∠AEB=60°， ∴△ABE是等边三角形.
3.圆心角、弧、弦之间的关系: （1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ____相__等____，所对的弦____相__等____. （2）推论：①在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条 弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组 量都分别_______相__等________； ②弧的度数等于它所对的圆心角的度数.
知识点1 圆及圆的有关概念
1.圆：平面上到定点的距离等于___定__长____的所有点组成的图形叫 作圆.其中，定点称为__圆__心____，__定___长___称为半径.
2.与圆有关的概念:
（1）弧：圆上任意__两___点__间__的部分叫作圆弧，简称弧.
其中，大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧.
【易错点津】不能利用圆的内接四边形的外角等于内对角 的性质找出角与角的关系，无法将各个条件集中到特殊的 三角形中(如直角三角形或等边三角形).
如图，已知在△ABC中，AD⊥BC，D点为垂足， AC⊥BE，E点为垂足，M点为AB边的中点，连接ME，MD， ED． 求证：∠EMD＝2∠DAC.
【解答】∵M为AB的中点，
由（1）得AC=AB=10，CE=6
，
即 CD ，6解得CD=7.2， ∴AD12=AC10-CD=2.8,
∴sin∠ABD= AD
2.8
.
7
AB 10 25
考点2 垂径定理
【名师指点】垂径定理是圆的重要定理之一，是证明圆中 线段、角相等以及垂直关系的重要依据.在解决与弦、弧有 关的问题时，常常过圆心向弦引垂线，以利用垂径定理构 造直角三角形，利用三角形全等、勾股定理及解直角三角 形的知识解题.
【解答】∵∠BOC=50°，
∴∠BAC= 1 ∠BOC=25°. ∵AC∥OB，2
∴∠OBA=∠BAC=25°. ∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA =25°. 【答案】A
【解答】作点A关于MN的对称点A′,连接A′B,交MN于点P,
连接OA′,
OA，OB,如下图：
∵∠AMN=30°,点B为劣弧 的中点,
4.圆周角定理及推论: （1）定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 ____相__等___，都等于这条弧所对的圆心角的____一__半____. （2）推论：①在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧 ______相__等______； ②半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的2）∵BC=CD,∴∠CBD=∠CDB. 又∵∠BAC=∠BDC, ∴∠CBD=∠BAE. 又∵CB=CE, ∴∠CBE=∠CEB. ∵∠CEB=∠BAE+∠2, ∴∠BAE+∠2=∠CBD+∠1, ∴∠1=∠2.
∴∠BON=30°.
AN
又∵点A关于MN的对称点为A′,
∴∠A′ON=∠AON=2∠AMN=60°,
∴∠A′OB=90°，
又∵半径为1,
∴
即PAA+BPB的2最, 小值为
【答案】A
2.
2.(市中二模)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M ，下列结论不成立的是( )
A.CM=DM C.∠ACD=∠ADC