正态分布

2. 一般正态分布的概率计算
对于一般正态分布的概率计算，可以应用定积分的
换元法将其转化为标准正态分布的概率计算.
定理 设X~ N(, ) ，则 X ~ N(0,1).

这样，若X~ N(, )，并记其分布函数为 F(x)，则
从而
F ( x)

P{X

x}

P

X



x


P

X
1 2

5
1
2

2
0.9772
P{0

X
1.6}
P

0
1 2

X 1 2

1.6 1
2

0.3 0.5
0.3 0.5 1
0.6179 0.6915 1 0.3094
P{
解：由题意知 X ~ N (10.05,0.062 )，于是
P{
X
10.05

0.12}
P

0.12 0.06

X
10.05 0.06

0.12
0.06

2 2
22 1
2 0.9772 1 0.9544
例4 设 X ~ N(, )，求 P{ X }, P{ X 2 },
越小，图形越陡峭.
o
1 x
0.5 1 1.5
x
特别地，当 0， 1时，称 X 服从标准正态分布，
记为 X ~ N(0,1)，其概率密度函数为
(x)
1
x2
e2
( x )
2
y
其图形如右图所示
其分布函数为
x
1
x t2
(x) (t)dt
P

X1.5 25源自51.5 2

2

0.9772
P{X

2.5}

1
P{X

2.5}
1
P

X
1.5 2

2.5 1.5
2

1 0.5
1 0.6915 0.3085
P{
X
1

3}

P{2

X

4}
P

2
1.5 2
练习4 某班一次数学考试成绩X ~ N (70,102 ) ，若规定 低于60分为不及格，高于85分为优秀，问该班：
(1) 数学成绩优秀的学生占总人数的百分之几？ (2) 数学成绩不及格的学生占总人数的百分之几？ 已知（ (1) 0.8413,(1.5) 0.9332 ）
X
3

2}
P{1
X
5}

P
1
1 2

X 1 2

5 1
2

20
0.9772 0.5 0.4772
练习1 设 X ~ N(1.5,4),试求 F(5.5), P{X 2.5},P{ X 1 3}.
F (5.5)

P{X

5.5}
P{X b} (b) P{X a} 1 (a)
例1 设 X ~ N(0,1)，试求 P{1 X 2}, P{ X 1},
P{ X 2}, P{X 1}.
解：P{1 X 2} (2) (1) 0.9772 0.8413 0.1359
二、正态分布的概率计算
1. 标准正态分布的概率计算
(1)标准正态分布表给出了 x 0 时，(x)的数值， 利用正态分布密度函数的对称性，还可得 y
(x) 1 (x)
(2)设X~N(0,1)，其分布函数为(x) ，x o x x 则 P{a X b} (b) (a)
第四节 正态分布
一、正态分布的定义及其性质 二、正态分布的概率计算
一、正态分布的定义及其性质
1. 定义 若随机变量 X 的概率密度为
f (x)
1
( x )2
e 2 2
( x )
2
则称 X 服从参数为 , 的正态分布，记为X ~ N(, )
在自然现象和社会现象中，大量的随机变量都服从 或近似地服从正态分布。例如，产品的质量指标、元件 的尺寸、人的身高或体重、测量误差、信号噪音、农作 物的产量、考试成绩等等。在历史上，高斯曾对正态分 布的研究作出了贡献，因此正态分布也称高斯分布.
e 2 dt

2
o
x
其值可通过查标准正态分布表求得. P138
例如，求 (0) 0.5
(2.58) 0.9951
(0.75) 0.7734 (3) 0.9987
(1) 0.8413 (3.09) 1.0000 (1.51) 0.9345 (5.02) 1.0000
P{ X 3 }.
解：P{ X } P{ X } P{1 X 1}

1 1 2 1 1 0.6826
类似可得：P{ X 2 } 0.9544
P{ X 3} 0.9974
P{ X 1} P{1 X 1} (1) (1) 2(1) 1 2 0.8413 1 0.6826
P{X 1} (1) 1 (1) 1 0.8413 0.1587
P{ X 2} P{X 2} P{X 2} 1 (2) (2) 2 2(2) 2 2 0.9772 0.0456
解： P{X 175} 1 P{X 175}

1
P

X 170 7.69

175 170 7.69

1 0.65
1 0.7422 0.2578
即该地区成年男性的身高超过175厘米的概率为0.2578.
练习2 已知某台机器生产的螺拴长度 X (单位:厘米) 服从参数为 10.05, 0.06 的正态分布 . 规定螺栓长度在 10.05 0.12内为合格品，试求螺栓为合格品的概率.







x




P{a

X

b}

P

a




X



b






b







a




例2 设 X ~ N(1,4),试求 F(5), P{0 X 1.6}, P{ X 3 2}.
解：F(5)
P{X

5}
上述结果说明，尽管随机变量 X 的取值范围是 (,) 但它的值几乎全部集中在区间 ( 3 , 3 ) 内，超出 这个范围的可能性仅占不到0.3%，这在统计学上称为 3 准则.
练习3 设某厂生产的灯泡的寿命 X ~ N (2000,2002 ) 若规定寿命不足1600小时的灯泡为次品，求全厂的次品 率.（已知 (2) 0.9772 ）
2. 正态分布的图形特征 右图给出了正态分布的密度函 y
数的图象，它是一条钟形曲线.
(1) 曲线关于x 对称，且当
x 时，f (x) 达到最大值.
o
(2) 曲线在x 处有拐点，
且以 x 轴为渐近线.
(3) 确定了曲线的位置；
y
而 确定了曲线的几何形状.
越大，图形越平坦；

X
1.5 2

4
1.5
2

1.25 1.75
1.25 1.75 1
0.8944 0.9599 1 0.8543
例3 假设某地区成年男性的身高 X ~ N (170,7.692 )， （单位：厘米），求该地区成年男性的身高超过175厘米 的概率.