四川省眉山一中2017-2018学年高一数学下学期期中试题

四川省眉山一中2017-2018学年高一数学下学期期中试题
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。

1.化简 =+- （ ）
A ．0
B ．
C ．2AD
D ．2DA
2．在等差数列{a n }中，已知a 3 = 5，a 7 =－7，则a 11的值为
（ ） A ．2 B ．5 C ．－19
D ．－16
3.在锐角△ABC 中,角A B C 、、所对应的边分别为,,a b c ，若2sin b a B =
则角A 等于( )
A. 30o
B. 45o
C. 60o
D. 75o
4.已知向量a ＝(1，2)，b ＝(1，0)，c ＝(3，4).若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，
则λ等于( ) A . 14
B . 12
C. 1
D .2
5.在等比数列{a n }中，a 2=2，a 5=16，记{a n }的前n 项和为Sn ，则S 6=（ ）
A .31 B. 32 C. 64 D. 63
6．在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →
|等于( )
A ．1
B ．4
C ．3
D ．2
7.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次
成等差数列，且1,ABC a b S ∆==则=（ ）
A C ．
2
D ．2 8.已知数列{a n }满足7
5
1-=+n n a a ，且51=a ，设{a n }的前n 项和为n S ，则使得n S 取得最大值的序号n 的值为( )
A.7
B.8
C.7或8
D.8或9
9.已知等比数列{}n a 的各项都为正数, 且3a ，
52
1
a ，4a 成等差数列,
则
35
46
a a a a ++的值是 （ ）
A
．12 B
．1
2
C ．
32 D
．32+ 10.已知△ABC 外接圆的半径为R ，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c 且
B b a
C A R sin )2()sin (sin 222-=-，那么角C 的大小为( )
A
30 B.60° C.45° D.90°
11.在△ABC 中，若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 边的三等分点，则AE →·AF →
＝( )
A.89
B.109
C.259
D.269
12.下列命题：
①在ABC ∆中，若π4
3
=
+B A ，则2)tan 1)(tan 1(=--B A ； ②已知a =（1，-2），b =（2，λ）且 a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是1λ<；
③已知O 是平面上一定点，A
B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足
)(AC AB OA OP ++=λ,(0)λ∈+∞，
，则P 的轨迹一定通过ABC △的重心； ④在ABC ∆中，60A ∠=，边长,a c
分别为4,a c ==ABC ∆只有一解 其中正确命题的个数
A 1 B.2 C.3 D.4 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k ,2)，若(a －c )⊥b ，则k ＝___
14.等差数列{a n }前n 项和为 S n ，S 3=30，S 6=100，S 9=___
15.如图，在圆C 中弦AB=4,则=∙
16.数列{a n }中，已知对任意*N ∈n
,13321-=++++n n a a a a ，则2232221n a a a a ++++ 等
于 .
三、解答题：本大题共6小题，共计70分。

17.（本题10分）.已知等差数列{}n a 的前三项为1,4,2,a a -记前n 项和为n S ．
(1) 求a 和数列{}n a 的通项公式； (2)设S k =420, 求k 的值.
18.（本题12分）在△ABC 中，A ∠ =60°，3
7
c a =.
（1）求sin C 的值； （2）若7a =，求△ABC 的面积.
19.（本题12分）已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＞0，且2a 、5a 、14a 分别是一个等比数列的前三项．
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）设
2
a =n
b n （n ∈N *），,......21n n b b b S +++= 求n S .
20（本题12分）如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？
21.(本小题满分12分)
△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC . （1）求sin∠B
sin∠C
；
（2）若∠BAC ＝60°，求∠B .
22（本题12分）.设{}n a 是正项数列，其前n 项和为n S ，且对于所有的*
N n ∈，都有
2)2(8+=n n a S .
⑴求数列{}n a 的通项公式；
⑵设1
4+⋅=
n n n a a b ，n T 是{}n b 的前n 项和，求使得20m T n <对所有*
N n ∈都成立的最小正整
数m 的值.
1-----12 BCABD DCCAC BB
13.0 14 210 15 8 16 -1)
20. 【解】 如图所示，连结A 1B 2.
由已知A 2B 2＝102，
A 1A 2＝302×20
60
＝102，
∴A 1A 2＝A 2B 2.
又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°， ∴△A 1A 2B 2是等边三角形， ∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2.
由已知A 1B 1＝20，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°. 在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得
B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 2
2－2A 1B 1·A 1B 2·cos 45°
＝202＋(102)2
－2×20×102×2
2
＝200， ∴B 1B 2＝10 2.
因此，乙船的速度为102
20×60＝302(海里/小时)．
21 解：(1)由正弦定理得
AD sin∠B ＝BD sin∠BAD ，AD sin∠C ＝DC
sin∠CAD . 因为AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC ， 所以sin∠B sin∠C ＝DC BD ＝12
.
(2)因为∠C ＝180°－(∠BAC ＋∠B )，∠BAC ＝60°， 所以sin∠C ＝sin(∠BAC ＋∠B ) ＝
32cos∠B ＋1
2
sin∠B .
由(1)知2sin∠B＝sin∠C，
所以tan∠B＝
3
3
，即∠B＝
30°.。