2020中考数学 限时训练：等腰三角形与直角三角形(含答案)

2020中考数学限时训练：等腰三角形与直角三角形
（含答案）
命题点1一般等腰三角形的判定与计算
1.已知△ABC的周长是l，BC＝l－2AB，则下列直线一定为△ABC的对称轴的是()
A. △ABC的边AB的垂直平分线
B. ∠ACB的角平分线所在的直线
C. △ABC的边BC上的中线所在的直线
D. △ABC的边AC上的高所在的直线
2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E两点分别在AC、BC上，BD是∠ABC的
第2题图
平分线，DE∥AB，若BE＝5 cm，CE＝3 cm，则△CDE的周长是()
A. 15 cm
B. 13 cm
C. 11 cm
D．9 cm
3. 腰长为10，一条中线长为6的等腰三角形的底边长为()
A. 16
B. 8
C. 8或22
D. 16或22
4. 如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有()
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
第4题图
第5题图
5.如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝110°.AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝________度．
6.如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝5－1
2，在AC边上截取AD＝BC，连接BD.
(1)通过计算，判断AD2与AC·CD的大小关系；
(2)求∠ABD的度数．
第6题图
命题点2等边三角形的判定与计算
7.如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 3个以上
第7题图
第8题图
8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC ＝∠E＝60°，若BE＝6 cm，DE＝2 cm，则BC的长为()
A. 4 cm
B. 6 cm
C. 8 cm
D. 12 cm
9.已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之
和为()
A.
3
2B.
33
2C.
3
2D. 不能确定
10. 如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的角平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q，若BF＝2，则PE的长为________．
第10题图
第11题图
11.如图，在△ABC中，AB＝10，∠B＝60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD＝BE ＝4.将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE(点B′在四边形ADEC内)，连接AB′，则AB′的长为________．
命题点3直角三角形的判定与计算
12.如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF并延长交AC于点E.若AB＝10，BC＝16，则线段EF的长为()
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
第12题图
第13题图
13.如图，已知△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，连接CD，则CD＝()
A. 3
B. 4
C. 4.8
D. 5
14.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，P是AB边上一动点，PD⊥AC 于点D，点E在P的右侧，且PE＝1，连接CE.P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S1＋S2的大小变化情况是()
A. 一直减小
B. 一直不变
C. 先减小后增大
D. 先增大后减小
第14题图
第15题图
15. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC、BD交于点P，且AB＝BD，AP＝4PC＝4，则cos∠ACB的值是________．
16.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD, M、N分别为AC、CD的中点，连接BM, MN, BN.
(1)求证：BM＝MN;
(2)若∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN的长．
第16题图
命题点4等腰直角三角形的判定与计算
17.如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，点O是AB的中点，且AB＝6，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC、BC相交，交点分别为D、E，则CD＋CE等于()
A. 2
B. 3
C. 2
D. 6
第17题图
第18题图
18. △ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：
①AE＝CF；②△EPF是等腰三角形；③EF＝AP；④S四边形AEPF＝1
2S△ABC；当∠EPF在
△ABC内绕P旋转时(点E不与A、B重合)，则上述结论始终正确的有()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
19.在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，点P为边BC的三等分点，连接AP，则AP的长为________．
20.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D在边AC上，且AD＝2CD，DE⊥AB，垂足为点E，连接CE.求：
(1)线段BE的长；
(2)∠ECB的余切值．
第20题图
1. C 【解析】∵△ABC 的周长是l ，BC ＝l －2AB ，∴AB ＝AC ，∴△ABC 是等腰三角形，它的对称轴为底边BC 上的中线所在直线，故选C.
2. B 【解析】∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ，∵DE ∥AB ，∴∠DEC ＝∠ABC ＝∠C ，∠ABD ＝∠BDE ，∴DE ＝DC ，∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠ABD ＝∠DBE ，∴∠DBE ＝∠BDE ，∴BE ＝DE ＝DC ＝5 cm ，∴△CDE 的周长为DE ＋DC ＋EC ＝5＋5＋3＝13 cm.
3.
第3题解图
D 【解析】当中线是底边中线时，底边＝2×102－62＝2×8＝16；当中线是腰上的中线时，如解图所示，设AB ＝AC ＝10，中线CD ＝6，过点C 作C
E ⊥AB 于点E ，BE ＝x ，则：DE ＝5－x ，AE ＝10－x ，由勾股定理得：AC 2－AE 2＝CE 2＝CD 2－DE 2，∴102－(10－x )2＝62－(5－x )2，解得：x ＝1110，∴CE 2＝CD 2－DE 2＝2321
100
，∴BC ＝BE 2＋CE 2＝22.
4. D 【解析】本题考查等腰三角形的性质及判定．∵∠A ＝36°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ＝1
2(180°－36°)＝72°，△ABC 是等腰三角形．∵BD 是∠ABC 的角平分线，∴∠ABD ＝
∠DBC ＝1
2∠ABC ＝36°，∴∠BDC ＝180°－∠C －∠DBC ＝72°，∴∠C ＝∠BDC ＝72°，∴△
BCD 是等腰三角形．∴BC ＝BD .∵BE ＝BC ，∴BE ＝BD ，∴△BED 是等腰三角形．∵∠EBD ＝36°，∴∠A ＝∠ABD ＝36°，∴△ABD 是等腰三角形．∵∠BED ＝1
2(180°－36°)＝72°，∴
∠AED ＝180°－∠BED ＝108°，∵∠A ＝36°，∴∠ADE ＝180°－∠A －∠AED ＝180°－36°－108°＝36°，∴△AED 是等腰三角形．∴等腰三角形有△ABC 、△BCD 、△ABD 、△BED 、△AED 共5个．
5. 35 【解析】∵AB ＝BC ，∠ABC ＝110° ，∴∠A ＝∠C ＝35° ，
∵DE 垂直平分AB ，∴DA ＝DB ，∴∠A ＝∠ABD ＝35°. 6. 解：(1)∵AD ＝BC ＝5－1
2
， ∴AD 2＝(
5－12)2＝3－5
2， ∵AC ＝1， ∴CD ＝1－
5－12＝3－5
2
， ∴AD 2＝AC ·CD ；
(2) ∵AD 2＝AC ·CD ，
∴BC 2＝AC ·CD ，即BC AC ＝CD
BC ，
又∠C ＝∠C ，
∴△ABC ∽△BDC ， ∴
AB BD ＝AC BC
， 又AB ＝AC ，
∴BD ＝BC ＝AD ，
∴∠A ＝∠ABD ，∠ABC ＝∠C ＝∠BDC ，
设∠A ＝∠ABD ＝x ，则∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝2x ， ∴∠ABC ＝∠C ＝∠BDC ＝2x ，
∵∠A ＋∠ABC ＋∠C ＝x ＋2x ＋2x ＝180°， 解得x ＝36°. ∴∠ABD ＝36°.
第7题解图
7. D 【解析】如解图，当
OM 1＝2，点N 1与点O 重合时，△PM 1N 1是等边三角形；当ON 2＝2，点M 2与点O 重合时，△PM 2N 2是等边三角形；当点M 3，N 3分别是OM 1，ON 2的中点时，△PM 3N 3是等边三角形；当取∠M 1PM 4＝∠OPN 4时，易证△M 1PM 4≌△OPN 4，∴PM 4＝PN 4，又∵∠M 4PN 4＝60°，∴△PM 4N 4是等边三角形，∴此时点M ，N 有无数个，综上所述，故选D.
8.
第8题解图
C 【解析】如解图所示，延长E
D 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，作DF ∥BC
于交BEF ，∵AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，∴AN ⊥BC ，BN ＝CN ，∵∠EBC ＝∠E ＝60°，∴△BEM 为等边三角形，∴△EFD 为等边三角形，∵BE ＝6 cm ，DE ＝2 cm ，∴DM ＝4 cm ，∵△BEM 为等边三角形，∴∠EMB ＝60°，∵AN ⊥BC ，∴∠DNM ＝90°，∴∠NDM ＝30°，∴NM ＝2 cm ，∴BN ＝4 cm ，∴BC ＝2BN ＝8 cm.
第9题解图
9. B 【解析】 如解图，△ABC 是等边三角形，AB ＝3，点P 是三角形内任意一点，过点P 分别向三边AB ，BC ，CA 作垂线，垂足依次为D ，E ，F ，过点A 作AH ⊥BC 于点H .则BH ＝32，AH ＝AB 2－BH 2＝332 .连接P A ，PB ，PC ，则S △P AB ＋S △PBC ＋S △PCA ＝S △ABC ，∴
12AB ·PD ＋12BC ·PE ＋12CA ·PF ＝12BC ·AH .∵AB ＝BC ＝CA ，∴PD ＋PE ＋PF ＝AH ＝332
.
10. 3 【解析】∵△ABC 是等边三角形，点P 是∠ABC 的角平分线BD 上一点，∴∠FBQ ＝∠EBP ＝30°，∴在Rt △BFQ 中，BQ ＝BF ·cos ∠FBQ ＝2×
3
2
＝3，又∵QF 是BP 的垂直平分线，∴BP ＝2BQ ＝2 3.∵在Rt △BPE 中，∠EBP ＝30°，∴PE ＝1
2
BP ＝ 3.
第11题解图
11. 27 【解析】如解图，过点B ′作B ′O ⊥AD 交AD 于点O . 将等边△BDE 沿DE 折叠后得等边△B ′DE ，那么四边形BDB ′E 是菱形；在Rt △ODB ′中，由折叠知∠BDE ＝∠B ′DE ＝∠ODB ′＝60°，B ′D ＝4，可求得OD ＝2，OB ′＝23；在Rt △AOB ′中，AO ＝AB －OD －BD ＝10－2－4＝4，AB ′＝AO 2＋OB ′2＝42＋（23）2＝27 .
12. B 【解析】∵AF ⊥BF ，点D 是AB 边上的中点，∴DF ＝BD ＝1
2AB ＝5，∴∠DBF
＝∠DFB ，∵BF 平分∠ABC ，∴∠DBF ＝∠CBF ＝∠BFD ，∴DE ∥BC ，故DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝1
2
BC ＝8，∴EF ＝DE －DF ＝8－5＝3.
13. D 【解析】∵AB ＝10，BC ＝6，AC ＝8，∴AB 2＝AC 2＋BC 2，∴∠ACB ＝90°，∵DE 垂直平分AC ，∴∠AED ＝90°，AE ＝CE ＝4，∴DE ∥BC ，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝1
2
BC ＝3.在Rt △CED 中，CD ＝CE 2＋DE 2＝5 .
第14题解图
14. C 【解析】如解图，过点D 作DN ⊥AB 于点N ，过点C 作CM ⊥AB 于点M .在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝2，根据勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝42＋22＝2 5 ，利用等面积法，即S △ABC ＝12AC ·CB ＝1
2AB ·CM ，可求CM ＝AC ·BC AB ＝45 5.设AP ＝x ，易证
△ADP ∽△ACB ，∴
S 1S △ACB
＝(
AP AB )2 ，∴S 1＝(x 25
)2×12×4×2＝15x x 2 ，S 2＝1
2×(AB －AP －PE )·CM ＝12×(25－x －1)×455＝－255x ＋4－255，∴S 1＋S 2＝15x 2－255x ＋4－25
5，此函
数为二次函数，a ＝15>0，∵对称轴为x ＝－b
2a ＝5，AB ＝25>5，∴图象开口向上，故先减
小，后变大，故选C.
15.
第15题解图
3
3
【解析】如解图所示，作BE ⊥AD 于E ，则BE ∥CD ，由AB ＝BD 得E 是AD 的中点，因此OE 是△ACD 的一条中位线，从而O 是AC 的中点，以O 为圆心，OA 为半径作圆．则由∠ABC ＝∠ADC ＝90°可知该圆经过A 、B 、C 、D 四点，易知AP ＝4，PC ＝1，AC ＝AP ＋PC ＝5，因此，OA ＝OC ＝52，OP ＝OC －PC ＝3
2，由BE ∥CD 得，BP ∶PD ＝OP ∶PC
＝32，因此BP ＝32DP ，从而AB ＝BD ＝BP ＋PD ＝5
2PD ，由相交弦定理得BP ·PD ＝AP ·PC ＝4，即32PD 2＝4，因此PD 2＝83，从而AB 2＝(52PD )2＝254PD 2＝50
3，由勾股定理得BC 2＝AC 2－AB 2
＝52－503＝253，因此BC ＝533，∴cos ∠ACB ＝BC ∶AC ＝33
.
16. 解：(1)证明：在△CAD 中，∵M 、N 分别是AC 、CD 的中点， ∴MN ∥AD 且MN ＝1
2AD ，
在Rt △ABC 中，
∵点M 是AC 的中点， ∴BM ＝1
2AC ，
又∵AC ＝AD ，
∴BM ＝12AC ＝1
2
AD ＝MN ，
∴MN ＝BM ；
(2)∵∠BAD ＝60°，且AC 平分∠BAD ， ∴∠BAC ＝∠DAC ＝1
2∠BAD ＝30°，
由(1)知，BM ＝1
2AC ＝AM ＝MC ，
∴∠BMC ＝60° ∵MN ∥AD ，
∴∠NMC ＝∠DAC ＝30°，
∴∠BMN ＝∠BMC ＋∠NMC ＝90°， ∴BN 2＝BM 2＋MN 2，
而由(1)知，MN ＝BM ＝12AC ＝1
2×2＝1，
∴BN ＝ 2.
第17题解图
17. B 【解析】如解图，连接OC ，证明△AOD ≌△COE ，得AD ＝CE ，进而得CD ＋CE ＝AC ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AC 2＋BC 2＝AB 2＝2AC 2＝6，∴AC ＝3，∴CD ＋
CE ＝3，故选B.
18. C 【解析】∵∠APE 、∠CPF 都是∠APF 的余角，∴∠APE ＝∠CPF ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点P 是BC 中点，∴AP ＝CP ，∴∠P AF ＝∠FCP ，又由题意知∠EAP ＝∠P AF ，∴∠EAP ＝∠FCP ，在△APE 与△CPF 中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠EP A ＝∠FPC ∠EAP ＝∠FCP AP ＝CP ，∴△APE ≌△CPF (ASA)，∴
AE ＝CF 同理可证△APF ≌△BPE ，PE ＝PF ，△EPF 是等腰直角三角形，∴S △AEP ＝S △CFP ，∴S 四边形AEPF ＝S △APC ＝12S △ABC ，①②④正确；∵AP ＝12BC ，若EF ＝AP ＝1
2BC ，则EF 是△ABC
的中位线，不能保证结论始终正确，故③错误．故选C.
19. 13或10 【解析】由题知，点P 为直角边BC 的三等分点，显然分两种情况讨
论：(ⅰ)如解图①，当点P 靠近点B 时，∵AC ＝BC ＝3，∴CP ＝2，在Rt △ACP 中，由勾股定理得AP ＝AC 2＋CP 2＝13；(ⅱ)如解图②，当点P 靠近点C 时，∵AC ＝BC ＝3，∴CP ＝1，在Rt △ACP 中，由勾股定理得AP ＝AC 2＋CP 2＝10. 综上可得：AP ＝13或10.
第19题解图
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。

--培根
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20. 解：(1)∵AD ＝2CD ，AC ＝3， ∴AD ＝2， 在Rt △ABC 中， ∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3，
∴∠A ＝45°，AB ＝AC 2＋BC 2＝32，
∵DE ⊥AB ，
∴∠AED ＝90°，∠ADE ＝∠A ＝45°，
∴AE ＝AD ·cos45°＝2，
∴BE ＝AB －AE ＝22，即线段BE 的长是2 2.
第20题解图
(2)如解图，过点E 作EH ⊥BC 于点H ，
在Rt △BEH 中，∠EHB ＝90°，∠B ＝45°，
∴EH ＝BH ＝EB ·cos45°＝2，
又∵BC ＝3，
∴CH ＝1，
在Rt △ECH 中，cot ∠ECB ＝
CH EH ＝12，即∠ECB 的余切值是12
.。