2019届高考数学一轮复习 题组层级快练83 含解析

题组层级快练(八十三) 1．下列函数是正态密度函数的是( )

A．f(x)＝

1

2πσ

e

x－μ2

2σ2

，μ、σ(σ＞0)都是实数

B．f(x)＝

2π

2π

e－

x2

2

C．f(x)＝1

2 2πe－

x－σ

4

D．f(x)＝－1

2π

e

x2

2

答案 B

解析A中的函数值不是随着|x|的增大而无限接近于零．而C中的函数无对称轴，D中的函数图像在x轴下方，所以选B.

2．关于正态曲线性质的叙述：

①曲线关于直线x＝μ对称，这个曲线在x轴上方；

②曲线关于直线x＝σ对称，这个曲线只有当x∈(－3σ，3σ)时才在x轴上方；

③曲线关于y轴对称，因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数；

④曲线在x＝μ时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低；

⑤曲线的对称轴由μ确定，曲线的形状由σ确定；

⑥σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“高瘦”．

上述说法正确的是( )

A．只有①④⑤⑥B．只有②④⑤

C．只有③④⑤⑥D．只有①⑤⑥

答案 A

3．设随机变量X～N(μ，σ2)，则随着σ的增大，概率P(|x－μ|<3σ)将会( )

A．单调增加B．单调减少

C．保持不变D．增减不定

答案 C

解析P(|x－μ|<3σ)＝P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝0.997 4是一个常数．

4．(2015·广东惠州一模)设随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，若P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，则a ＝( )

A．3 B.5 3

C．5 D.7 3

答案 D

解析 因为ξ服从正态分布N (3,4)，P (ξ<2a －3)＝P (ξ>a ＋2)，所以2a －3＋a ＋2＝6，a ＝7

3，故

选D.

5．(2015·湖北荆州中学第一次质检)若随机变量X ～N (1,4)，P (X ≤0)＝m ，则P (0<X <2)＝( ) A ．1－2m B.1－m

2

C.1－2m

2

D ．1－m

答案 A

解析 因为随机变量X ～N (1,4)，所以正态曲线的对称轴为x ＝1，因此P (0<x <2)＝1－P (x ≤0)－P (x ≥2)＝1－2P (x ≤0)＝1－2m ，故选A.

6．(2015·山东聊城重点高中联考)已知服从正态分布N (μ，σ2

)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率分别为68.3%,95.4%和99.7%.某校为高一年级1 000名新生每人定制一套校服，经统计，学生的身高(单位：cm)服从正态分布(165,52

)，则适合身高在155～175 cm 范围内的校服大约要定制( )

A ．683套

B ．954套

C ．972套

D ．997套

答案 B

解析 P (155<ξ<175)＝P (165－5×2<ξ<165＋5×2)＝P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.4%. 因此服装大约定制1 000×95.4%＝954套．故选B.

7．已知变量x 服从正态分布N (4，σ2

)，且P (x >2)＝0.6，则P (x >6)＝( ) A ．0.4 B ．0.3 C ．0.2 D ．0.1

答案 A

解析 因为P (x >2)＝0.6，所以P (x <2)＝1－0.6＝0.4.因为N (4，σ2

)，所以此正态分布的图像关于x ＝4对称，所以P (x >6)＝P (x <2)＝0.4.故选A.

8．(2015·皖南十校联考)在某市2015年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N (98,100)．已知参加本次考试的全市理科学生约9 450人．某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第多少名？( )

A ．1 500

B ．1 700

C ．4 500

D ．8 000

答案 A

解析 因为学生的数学成绩X ～N (98,100)，所以P (X ≥108)＝12[1－P (88<X <108)]＝1

2[1－P (μ－

σ<X <μ＋σ)]＝1

2

(1－0.682 6)＝0.158 7，故该学生的数学成绩大约排在全市第0.158 7×9 450≈1 500

名，故选A.

9．(2015·南昌调研)某单位1 000名青年职员的体重x (单位：kg)服从正态分布N (μ，22

)，且正态分布的密度曲线如图所示，若体重在58.5～62.5 kg 属于正常，则这1 000名青年职员中体重属于正常的人数约是( )

A ．683

B ．841

C ．341

D ．667

答案 A

解析 ∵P (58.5<X <62.5)＝P (μ－σ<X <μ＋σ)≈0.683，∴体重正常的人数约为1 000×0.683＝683人．

10．(2015·河南安阳专项训练)已知某次数学考试的成绩服从正态分布N (116,64)，则成绩在140分以上的考生所占的百分比为( )

A ．0.3%

B ．0.23%

C ．1.5%

D ．0.15% 答案 D

解析 依题意，得μ＝116，σ＝8，所以μ－3σ＝92，μ＋3σ＝140.而服从正态分布的随机变量在(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率约为0.997，所以成绩在区间(92,140)内的考生所占的百分比约为99.7%.从而成绩在140分以上的考生所占的百分比为

1－99.7%

2＝0.15%.故选D. 11．如果随机变量X 的概率分布密度函数是φμ，σ

(x )＝1

22π

e －

x ＋

2

8

(x ∈R )，那么E (2X －1)＝

________.

答案 －5

解析 σ＝2，μ＝－2，E (2X －1)＝2E (X )－1＝2×(－2)－1＝－5.

12．(2015·山东青岛一模)已知随机变量ξ服从正态分布N (0，1)，若P (ξ>1)＝a ，a 为常数，则

P (－1≤ξ≤0)＝________.

答案 12

－a

解析 由正态曲线的对称轴为ξ＝0，又P (ξ>1)＝a ，故P (ξ<－1)＝a .所以P (－1≤ξ≤0)＝

1－2a

2＝12－a ，即答案为1

2

－a . 13．(2015·河北唐山二模)商场经营的某种袋装大米质量(单位：kg)服从正态分布N (10,0.12

)，任取一袋大米，质量不足9.8 kg 的概率为________．(精确到0.000 1)