六年级下册数学试题-超难奥数题：约倍考功底(练习含解析)全国通用

【例1】
已知：a＋b＝667, [a, b]
120 ,求a、b 的值。

（a,b）
【例2】
a＋b＝60,(a,b)＋[a,b]＝84,求a、b 的值。

【例3】
任意选取9 个连续的自然数,设它们的乘积为P,最小公倍数为Q。

求P 除以Q 所得到的商最大可能值是多少？并试构造这样一组连续自然数。

【例4】
两个不同自然数的和是60,它们的最大公约数与最小公倍数的和也是60,问这样的自然数共有多少组？
约倍考功底
⎩ 测试题
【例1】已知两个自然数的和为54,它们的最小公倍数与最大公约数的差为114,求这两个自然数。

【例2】N 为自然数,且N +1, N + 2 、 、N + 9 与690 都有大于1 的公约数。

N 的最小值为。

答案：
【例1】【分析】
方法一：设这两个自然数分别是ma 、mb ,其中a 与 b 互质(不妨设a ≤b ),根据题意有：⎧mb+ma=m（a+b）=54
⎨
mab-m=m（ab-1）=114
所以可以得到m 是54 和114 的公约数。

m = 1,2,3 或6 ,
如果m=1,由m⨯（a+b）=54,有a+b=54；又由m（ab-1）=114,有ab=115。

115 = 1⨯115 = 5 ⨯ 23 ,但是1 + 115 = 116 ≠ 54 , 5 + 23 = 28 ≠ 54 ,所以m ≠ 1 。

如果m=2,由m（a+b）=54,有a+b=27；又由m（ab-1）=114,有ab=58。

58 = 1⨯ 58 = 2 ⨯ 29 ,但是1 + 58 = 59 ≠ 27 , 2 + 29 = 31 ≠ 27 ,所以m ≠ 2 。

如果m=3,由m（a+b）=54,有a+b=18；又由m（ab-1）=114,有ab=39。

39 = 1⨯ 39 = 3 ⨯13 ,但是1 + 39 = 40 ≠ 18 , 3 + 13 = 16 ≠ 18 ,所以m ≠ 3 。

如果m=6,由m（a+b）=54,有a+b=9；又由m（ab-1）=114,有ab=20。

20 表示成两个互质数的乘积有两种形式：20 = 1⨯ 20 = 4 ⨯ 5 ,虽然1 + 20 = 21 ≠ 9 ,
但是有4 + 5 = 9 ,所以取m = 6 是合适的,并有a = 4 ,b = 5 ,两数为：24,30。

方法二：另外像这类问题也可以这么考虑：两个数的最小公倍数和最大公约数的和或差也是
大公约的整数倍 , 所以我们可以把114 分解成两个数的乘积：114
= 1⨯114 = 2 ⨯ 57 = 3 ⨯ 38 = 6 ⨯19 ,来确定大公约和小公倍。

例如大公约如果是2 那么
小公倍对应的就是（57 + 1）⨯ 2 = 116 ,然后再利用短除法,知道了大公约和小公倍,确定
这两个数,且要满足条件两数的和是54。

【例2】【分析】
690 = 2 ⨯ 3 ⨯ 5 ⨯ 23 ,连续9 个数中,最多有5 个是2 的倍数,也有可能有4 个是2
的倍数。

如果有5 个连续奇数,这5 个连续奇数中最多有2 个3 的倍数,1 个5 的倍
数,1 个23 的倍数,所以必然有一个数不是2、3、5、23 的倍数,即与690 没有大于1
的公约数。

所以9 个数中只有5 个偶数,剩下的4 个数,有2 个3 的倍数,1 个5 的倍
数,1 个23 的倍数,则N + 1、N + 3 、N + 5 、N + 7 、N + 9 是偶数,剩下的4 个数中
N + 2 、N + 8 是3 的倍数(5 个偶数当中只有N + 5 是3 的倍数）,还有
N + 4 、N + 6 一个是5 的倍数,一个是23 的倍数。

N + 5 是2 和3 的倍数,且相邻两个数中一个是23 的倍数,另一个是5 的倍数,显然
N + 5 = 24 是最小解,所以N 的最小值为5。