山东省聊城市—度第一学期高三数学期末统考试题

山东省聊城市2007—2008学年度第一学期高三期末统考
数学试题（理科）
考生注意：请将本试题第一大题的答案填在答题卡上，其余答案全部按规定位置写在答卷纸
上，最后只交答卷和答题卡.时间：100分钟，满分：120分.
一、选择题（本大题共12个小题；每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求.） 1．已知集合A B A m x x B x x ⊆<=<-=若集合},|{},1|2||{，则m 的取值范围是（ ）
A ．}3|{≥m m
B ．}2|{≤m m
C ．}3|{>m m
D ．}2|{<m m
2．已知数列}{n a 是公差为2的等差数列，且521,,a a a 成等比数列，则a 2为 （ ）
A ．－2
B ．－3
C ．2
D ．3
3．右图表示一个几何体的三视图及相应数据， 则该几何体的体积是 （ ） A ．3
48π
+
B ．3
44π+
C ．π48+
D ．
3
10π
4．偶函数)(x f 在区间[0,a]（a>0）上是单调函数， 且f （0）·f （a ）<0，则方程0)(=x f 在区间 [－a,a ]内根的个数是
（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．0
5．曲线2
x y =和曲线x y =
围成一个叶形图
（如图所示阴影部分），其面积是 （ ）
A ．1
B ．
21
C ．
2
2
D ．
3
1 6．以点（2，－2）为圆心并且与圆01422
2
=+-++y x y x 相外切的圆的方程是（ ） A ．9)2()2(2
2
=+++y x B ．9)2()2(2
2=++-y x
C ．16)2()2(2
2
=-+-y x
D ．16)2()2(2
2
=++-y x
7．函数)(x f 的定义域为（a,b ），其导函数 ),()(b a x f 在'内的图象如图所示，则函 数)(x f 在区间（a,b ）内极小值点的个数
是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8．给出下面类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）： ①“若a,b b a b a R =⇒=-∈0,则”类比推出“若a,b b a b a C =⇒=-∈0,则”；
②“若a,b,c,d d b c a di c bi a R ==⇒+=+∈,,则复数”类比推出“若a,b,c,d ,Q ∈则d b c a d c b a ==⇒+=+,22”；
③“若a,b b a b a R >⇒>-∈0,则” 类比推出“若a,b b a b a C >⇒>-∈0,则”； 其中类比结论正确的个数是
（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
9．函数)(x f y =的图象如图所示，则函数)(log 2.0x f y =的图象大致是 （ ）
10．当实数x,y 满足条件x y y x 3
,1||||-=<+μ变量时的取值范围是 （ ）
A ．（－3，3）
B ．)3
1,31(-
C ．),3()3,(+∞--∞
D ．),3
1
()31,(+∞--∞
11．已知点F 1，F 2分别是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左、右焦点，过F 1且垂直于x
轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是锐用三角形，则该双曲线离心率的取值
范围是 （ ）
A ．),21(+∞+
B ．)21,1(+
C ．)3,1(
D ．)22,3(
12．2006年1月份开始实施的《个人所得税法》规定：全月总收入不超过1600元的免征个
人工资、薪金所得税，超过1600元的部分需征税，设全月总收入金额为x 元，前三级税率如下表： （ ）
当全月总收入不超过3600元时，计算个人所得税的一个算法框图如上所示，则输出①，输出②分别为 （ ） A ．0.05x,0.1x B ．0.05x, 0.1x －185 C ．0.05x －80, 0.1x D ．0.05x －80, 0.1x －185 二、填空题（本大题共4个小题；每小题4分，共16分）
13．轮船A 和轮船B 在中午12时同时离开海港C ，两船航行方向的夹角为120°，两船的
航行速度分别为25nmile/h, 15nmile/h ，则下午2时两船之间的距离是 nmile. 14．有以下四个命题：
①两直线m,n 与平面α所成的角相等的充要条件是m//n ；
②若1sin ,:,1sin ,:>∈∀⌝≤∈∀x R x p x R x p 则； ③不等式),0(102+∞>在x x 上恒成立；
④设有四个函数32
131
1
,,,x y x y x y x y ====-，其中在R 上是增函数的函数有3个. 其中真命题的序号是 .（漏填、多填或错填均不得分） 15．定义在R 上的奇函数)(x f 满足：对于任意).()3(,x f x f R x -=+∈有
若)cos sin 15(,2tan αααf 则=的值为 .
16．定义b a *是向量a 和b 的“向量积”，它的长度θθ其中,sin |||||*|⋅⋅=b a b a 为向量a
和b 的夹角，若|)(*|),3,1(),0,2(v u u v u u +-=-=则= .
三、解答题（本大题共5小题，共56分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分10分）已知函数.,12cos 3)4
(
sin 2)(2
R x x x x f ∈--+=π
（1）求函数)(x f 的最小正周期； （2）若对]2
,4[π
π∈∀x ，不等式3)(->m x f 恒成立，求实数m 的取值范围.
18．（本小题满分10分）如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M 是线段EF 的中点. （1）求证：AM//平面BDE ； （2）求二面角A —DF —B 的大小.
19．（本小题满分12分）已知定点A （－2，0），动点B 是圆F ：64)2(22=+-y x （F 为圆心）上一点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P. （1）求动点P 的轨迹E 的方程；
（2）直线E x y 与曲线13+=交于M ，N 两点，试问在曲线E 位于第二象限部分上是
否存在一点C ，使OC ON OM 与+共线（O 为坐标原点）？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.
20．（本小题满分12分）某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共
支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元.设)(n f 表示前n 年的纯利润总和（f （n ）=前n 年的总收入一前n 年的总支出一投资额）. （1）该厂从第几年开始盈利？
（2）若干年后，投资商为开发新项目，对该厂有两种处理方案：①年平均纯利润．．．．．．
达到最大时，以48万元出售该厂；②纯利润总和．．．．．达到最大时，以16万元出售该厂，问哪种方案更合算？
21．（本小题满分12分）在直角坐标平面上有一点列,),,(,),,(),,(222111 n n n y x P y x P y x P
对一切正整数n ，点P n 在函数4133+
=x y 的图象上，且P n 的横坐标构成以2
5
-为首项，－1为公差的等差数列{x n }.
（1）求点P n 的坐标；
（2）设抛物线列C 1，C 2，C 3，…，C n ，…中的每一条的对称轴都垂直于x 轴，抛物线
C n 的顶点为P n ，且过点
D n （0，12
+n ）.记与抛物线C n 相切于点D n 的直线的斜率为k n ，求
;11113221n
n k k k k k k -+++ （3）设*},,4|{*},,2|{N n y y y T N n x x x S n n ∈==∈==等差数列}{n a 的任一项
T S a n ∈，其中1a 是T S 中的最大数，12526510-<<-a ，求数列}{n a 的
通项公式.
山东省聊城市2007—2008学年度第一学期高三期末统考
数学试题（理科）参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．A 2．D 3．A 4．B 5．D 6．B 7．A 8．C 9．C 10．C 11．B 12．D
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．70； 14．③； 15．0； 16．.32 三、解答题
17．解：（1）12cos 3)4
(
sin 2)(2
--+=x x x f π
12cos 3)22
cos(
1--+-=x x π
)3
2sin(22cos 32sin π
-
=-=x x x ……………………3分
∴函数)(x f 的最小正周期.2
2ππ
==
T ……………………5分 （2）当],3
2,
6[32,]2,4[π
ππππ∈-∈x x 时 1)(min =∴x f ……………………7分
故只需4,31<->m m 解得……………………9分 即m 的取值范围为)4,(-∞……………………10分
18．（1）解：记AC 与BD 的交点为O ，连接OE ………………1分
∵O ，M 分别是AC 、EF 的中点，且四边形ACEF 是矩形， ∴四边形AOEM 是平行四边形， ∴AM//OE ，
又OE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ， ∴AM//平面BDE.……………………4分
（2）在平面AFD 中过A 作AS ⊥DF ，垂足为S ，连接BS ，
∵AB ⊥AF ，AB ⊥AD ，AD AF=A ，
∴AB ⊥平面ADF.…………………………6分 又DF ⊂平面ADF ，
∴DF ⊥AB ，又DF ⊥AS ，AB AS=A ， ∴DF ⊥平面ABS. 又BS ⊂平面ABS ， ∴DF ⊥SB.
∴∠BSA 是二面角A —DF —B 的平面角.……………………8分 在Rt △ASB 中，AS ,2,3
6
==AB ∴3tan =
∠ASB
∴∠ASB=60°.……………………………………10分 （本题若利用向量求解可参考给分）
19．解：（1）由题意,8|||||,|||=+=PF PB PB PA 且
∴.||8||||AF PF PA >=+
因此点P 的轨迹是以A ，F 为焦点的椭圆.……………………4分
设所求椭圆的方程为),0(122
22>>=+b a b
y a x
∴42,4,822222===-==c b a a a ∴122
=b
∴点P 的轨迹方程为
.112
162
2=+y x …………………………6分 （2）假设存在满足题意的点),,(),,(),0,0)(,(22110000y x N y x M y x y x C 设><
).,(),(),0,(002121y x m y y x x m R m m =++≠∈=+则且
.,2
10210m
y y y m x x x +=+=
∴ 由.0443815,112
161
322
2
=-+⎪⎩⎪
⎨⎧=+
+=x x y x x y 得……………………8分 .5
2
2)(3,1538212121=++=+-
=+∴x x y y x x .52,153800m
y m x =-
=∴……………………10分
又
.15
1,1121622020==+m y x 解得 .15
15
±
=∴m 又0,000><y x
15
15=
∴m 所以存在满足题意的点C （5
15
2,
558-
）……………………12分 20．解：由题意知72]42
)
1(12[50)(-⨯-+
-=n n n n n f 724022-+-=n n ………………2分
（1）由182,072402,0)(2<<>-+->n n n n f 解得即…………5分 由*N n ∈知，从经三年开始盈利.…………………………6分 （2）方案①：年平均纯利润
16)36
(240)(≤+-=n
n n n f 当且仅当n=6时等号成立.
故方案①共获利6×16+48=144（万元），此时n=6.………………8分 方案②：.128)10(2)(2
+--=n n f 当n=10，.128)(max =n f
故方案②共获利128+16、144（万元）……………………10分
比较两种方案，获利都是144万元，但由于第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①种方案更合算.…………………………12分 21．解：（1）23
)1()1(25--=-⨯-+-
=n n x n .45
34133--=+=∴n x y n n
).4
5
3,23(----∴n n P n ……………………4分
（2）n C 的对称轴垂直于x 轴，且顶点为P n ， ∴设n C 的方程为.4
5
12)232(2+-++
=n n x a y 把1,)1,0(2
=+a n D n 得代入上式，
∴n C 的方程为.1)32(22++++=n x n x y ∵,32|0+='==n y k x n ……………………6分 ∴
],)32(1
)12(1[21)32)(12(111+-+=++=-n n n n k k n n
∴
n
n k k k k k k 132211
11-++
)]321121()9171()7151[(21+-+++-+-=n n =.6
41
101)32151(21+-=+-
n n …………………………8分 （3）*}),32(|{N n n x x S ∈+-==
*}),512(|{N n n y y T ∈+-== *},3)16(2|{N n n y y ∈-+-==
∴S T T T ,= 中最大数a 1=－17.…………………………10分
设}{n a 公差为d ，则a 10=.)125,265
(917--∈+-d 由此得.129
248
-<<-
d 又∵.T a n ∈
∴*)(12N m m d ∈-= ∴24-=d
∴*).(247N n n a n ∈-=……………………12分。