西安市高新第一中学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》测试(含答案解析)

一、选择题
1．设动点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，
11D P
D B
λ=，当APC ∠为锐角时，λ的取值范围是（ ）
A ．10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭
B ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
2．如图，在60︒二面角的棱上有两点A 、B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，若AB =4,AC =6,BD =6，则线段CD 的长为（ ）
A ．29
B ．10
C ．241
D ．213
3．定义向量的外积：a b ⨯叫做向量a 与b 的外积，它是一个向量，满足下列两个条件： （1）a a b ⊥⨯，b a b ⊥⨯，且a ，b 和a b ⨯构成右手系（即三个向量两两垂直，且三个向量的方向依次与拇指、食指、中指的指向一致）；
（2）a b ⨯的模sin ,a b a b a b ⨯=⋅（,a b 表示向量a 、b 的夹角）； 如图，在正方体1111ABCD A B C D -，有以下四个结论：
①1AB AC ⨯与1BD 方向相反； ②AB AC BC AB ⨯=⨯；
③6BC AC ⨯与正方体表面积的数值相等； ④()
1AB AB CB ⨯⋅与正方体体积的数值相等. 这四个结论中，正确的结论有（ ）个 A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
4．在边长为2的菱形ABCD 中，23BD =，将菱形ABCD 沿对角线AC 对折，使二面角B AC D --的余弦值为1
3
，则所得三棱锥A BCD -的内切球的表面积为（ ） A ．
43
π B ．π
C ．
23
π D ．
2
π 5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线
1A M 与DN 所成角的大小是( )
A ．30
B ．45
C ．60
D ．90
6．已知A,B,C 三点不共线,对于平面ABC 外的任一点O,下列条件中能确定点M 与点A,B,C 一定共面的是( ) A ．OM OA OB OC =++ B ．2OM OA OB OC =-- C ．1123OM OA OB OC =+
+ D ．111
236
OM OA OB OC =
++ 7．在正方体ABCD --A 1B 1C 1D 1中，E 是C 1C 的中点，则直线BE 与平面B 1BD 所成角的正弦值为( ) A ．10
B 10
C ．15
D ．
155
8．侧棱长都都相等的四棱锥P ABCD -中，下列结论正确的有（ ）个
①P ABCD -为正四棱锥；②各侧棱与底面所成角都相等； ③各侧面与底面夹角都相等；④四边形ABCD 可能为直角梯形 （ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为1BB 的中点，则点C 到平面11A D E 的距离为 A ．
55
B ．
52
C ．
53
D ．
35
10．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是边长为4的正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为平面ABCD 上的动点，且满足•0MP MC =，则点M 到直线AB 的最远距离为（ ）
A ．25
B ．35+
C ．45+
D ．422+
11．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，12BC AA ==，点,E O 分别是线段1,C C BC 的中点，111
3
A F A A =
，分别记二面角1F OB E --，1F OE B --，1F EB O --的平面角为,,αβγ，则下列结论正确的是（ ）
A ．γβα>>
B ．αβγ>>
C ．αγβ>>
D ．γαβ>>
12．以下命题
①||||a b -||a b =+是,a b 共线的充要条件；
②若{,,}a b c 是空间的一组基底，则{,,}a b b c c a +++是空间的另一组基底； ③|()|||||||a b c a b c ⋅=⋅⋅． 其中正确的命题有（ ） A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
二、填空题
13．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，,M N 分别为1,CC BC 的中点，点P 在直线11A B 上且满足111().A P A B R λλ=∈若平面
PMN 与平面ABC 所成的二面
角的平面角的大小为45，则实数λ的值为______．
14．在空间四边形ABCD 中，连接AC 、BD ,若BCD 是正三角形，且E 为其中心，则
13
22
AB BC DE AD +
--的化简结果为________． 15．ABC △中，90C ∠︒＝，60A ∠︒＝，2AB ＝，M 为AB 中点，将BMC △沿CM 折叠，当平面BMC ⊥平面AMC 时，A ，B 两点之间的距离为_____．
16．在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B （含端点）上的任一点，则直线ME 与平面1D EF 所成角的正弦值的最小值为_________. 17．在棱长为2的正方体△ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1、CD 的中点，则点B 到截面AMC 1N 的距离为_____.
18．已知平面α⊥平面β，且l αβ⋂=，在l 上有两点A ，B ，线段AC α⊂，线段
BD β⊂，并且AC l ⊥，BD l ⊥，6AB =，24BD =，8AC =，则CD =______．
19．如图，在四面体D ABC -中，5AD BD AC BC ====，6AB DC ==.若M 为线段AB 上的动点（不包含端点），则二面角D MC B --的余弦值取值范围是__________．
20．向量()1,,2a λ=与()2,1,1b =-互相垂直，则λ=__________．
三、解答题
21．在三棱台ABC DEF -中，2,60AB BC DE DAB EBA ∠∠====，平面
ABED ⊥平面,.ABC BC BE ⊥
（1）求证：平面ABED ⊥平面BCFE ； （2）求直线DF 与平面ABF 所成角的正弦值.
22．如图，多面体PABCDE 的底面ABCD 是菱形，PA ⊥底面ABCD ，//PA DE ，且
2PA AD DE ==.
（1）证明:平面PAC ⊥平面PCE ;
（2）若直线PC 与平面ABCD 所成的角为45︒，求二面角P CE D --的余弦值. 23．如图，在三棱锥P ABE -中，AB AE ⊥，PA ⊥平面ABE ，D 是AE 的中点，C 是线段BE 上的一点，且5AC =
，1
22
AB AP AE ==
=.
（1）求证：//CD 平面PAB ；
（2）求直线PE 与平面PCD 所成角的正弦.
24．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ，
4OA =，3OB =，4OP =，OP ⊥底面ABCD ，设点M 是PC 的中点．
（1）直线PB 与平面BDM 所成角的正弦值． （2）点A 到平面BDM 的距离．
25．在多面体ABCDE 中，平面ACDE ⊥平面ABC ，四边形ACDE 为直角梯形，
//CD AE ，AC AE ⊥，AB BC ⊥，1CD =，2AE AC ==，F 为DE 的中点，且点
E 满足4EB EG =.
（1）证明：//GF 平面ABC .
（2）当多面体ABCDE 的体积最大时，求二面角A BE D --的余弦值.
26．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，已知
2,6PB PD PA ===，E 为PA 的中点．
（1）求证PC BD ⊥；
（2）求直线PC 与平面 PBD 所成角的正弦值．
（3）求二面角B PC E --的余弦值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．A 解析：A 【分析】
建立空间直角坐标系，APC ∠为锐角等价于cos 0PA PC APC PA PC
⋅∠=
>，即
0PA PC ⋅>，根据向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】
如图建立空间直角坐标系：则()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()10,0,1D ，
()11,1,1D B =-，()()111,1,1,,D P D B λλλλλ==-=-， ()11,01D A =-，()10,1,1D C =-，
所以()()()111,01,,1,,1PA D A D P λλλλλλ=-=---=---，
()()()110,1
,1,,,1,1PC DC D P λλλλλλ=-=---=---， 由APC ∠为锐角得cos 0PA PC APC PA PC
⋅∠=
>，即0PA PC ⋅>，
所以()()2
2110λλλ--+->，即()()1310λλ-->，解得：1
03
λ<<
， 当0λ=时，点P 位于点1D 处，此时1APC AD C ∠=∠显然是锐角，符合题意， 所以103
λ≤<， 故选：A 【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是APC ∠为锐角等价于cos 0PA PC APC PA PC
⋅∠=
>，即
0PA PC ⋅>，还需利用11PA D A D P =-，11PC DC D P =-求出PA 、PC 的坐标，根据向量数量积的坐标运算即可求解.
2．D
解析：D 【解析】 【分析】
CD CA AB BD =++，利用数量积运算性质可得
2
2
2
2
222CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++++．根据CA AB ⊥，BD AB ⊥，可得0CA AB =，0BD AB =，由60︒二面角可得；cos120CA BD CA BD =︒，代入计算即可
得出． 【详解】
解：CD CA AB BD =++，
∴2222222CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++++，
CA AB ⊥，BD AB ⊥，
∴0CA AB =，0BD AB =，
1
cos12066182
CA BD CA BD =︒=-⨯⨯=-．
∴222264621852CD =++-⨯=， ∴213CD =
故选：D ． 【点睛】
本题考查了利用向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
3．D
解析：D 【分析】
根据外积的定义逐项判断即可得到结果. 【详解】
对于①，根据向量外积的第一个性质可知1AB AC ⨯与1BD 方向相同，故①错误； 对于②，根据向量外积的第一个性质可知AB AC ⨯与BC AB ⨯方向相反，不会相等，故②错误；
对于③，根据向量外积的第二个性质可知sin
4
ABCD
BC AC BC AC S
π
⨯=⋅⋅=，则
6BC AC ⨯与正方体表面积的数值相等，故③正确；
对于④，1AB AB ⨯与CB 的方向相反，则()
10AB AB CB ⨯⋅<，故④错误.
【点睛】
本题考查正方体的性质和信息迁移，解题的关键在于依据新概念的性质进行推理论证，属难题.
4．C
解析：C 【分析】
作出图形，利用菱形对角线相互垂直的性质得出DN ⊥AC ，BN ⊥AC ，可得出二面角B ﹣AC ﹣D 的平面角为∠BND ，再利用余弦定理求出BD ，可知三棱锥B ﹣ACD 为正四面体，可得出内切球的半径R ，再利用球体的表面积公式可得出答案． 【详解】 如下图所示，
易知△ABC 和△ACD 都是等边三角形，取AC 的中点N ，则DN ⊥AC ，BN ⊥AC ． 所以，∠BND 是二面角B ﹣AC ﹣D 的平面角，过点B 作BO ⊥DN 交DN 于点O ，可得BO ⊥平面ACD ．
因为在△BDN 中，3BN DN ==，所以，BD 2＝BN 2+DN 2﹣2BN •DN •cos ∠BND 1
332343
=+-⨯⨯=， 则BD ＝2．
故三棱锥A ﹣BCD 为正四面体，则其内切球半径为正四面体高的1
4
，又正四面体的高为棱长的
6
3
，故662126R =⨯=
． 因此，三棱锥A ﹣BCD 的内切球的表面积为226244(3
R π
ππ=⨯=
． 故选C ． 【点睛】
本题考查几何体的内切球问题，解决本题的关键在于计算几何体的棱长确定几何体的形状，考查了二面角的定义与余弦定理，考查计算能力，属于中等题．
5．D
解析：D
可以建立空间直角坐标系，求出向量1AM 与DN 的夹角进而求出异面直线1A M 与DN 所成角． 【详解】
解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为2， 则1(2,A 0，2)，(0,M 1，0)，(0,D 0，0)，
(0,N 2，1)，
1
(2,AM =-1，2)-，(0,DN =2，1)， 设异面直线1A M 与DN 所成角为θ， 则11cos 0A M DN A M DN
θ⋅=
=⋅，90θ∴=．
∴异面直线1A M 与DN 所成角的大小为90．
故选D ．
【点睛】
本题考查异面直线所成角的求法，考查正方体的结构特征，异面直线所成角等基础知识，是基础题．
6．D
解析：D 【分析】
根据点M 与点,,A B C 共面，可得1x y z ++=，验证选项，即可得到答案. 【详解】
设OM xOA yOB zOC =++，若点M 与点,,A B C 共面,,则1x y z ++=，只有选项D 满足，.故选D. 【点睛】
本题主要考查了向量的共面定理的应用，其中熟记点M 与点,,A B C 共面时，且
OM xOA yOB zOC =++,则1x y z ++=是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问
题的能力.
7．B
解析：B 【分析】
以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BE 与平面1B BD 所成角的正弦值． 【详解】
以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以1DD 为z 轴，建立如图空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则()000D ，，，()220B ，，，()1222B ，，，()021E ，，，
∴() 220BD =--，，，()1 002BB =，，，() 201BE =-，，，
设平面1B BD 的法向量为()
,,x n y z =， ∵ n BD ⊥，1
n BB ⊥， ∴220
20
x y z --=⎧⎨=⎩，令y 1=，则() 110n =-，，， ∴10cos ,5
n BE n BE n BE
⋅=
=
⋅， 设直线BE 与平面1B BD 所成角为θ， 则10
sin cos ,5
n BE θ==，故选B ． 【点睛】
本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用，准确得到面的法向量是解题的关键，是中档题．
8．A
解析：A 【解析】
分析：紧扣正四棱锥的概念，即可判定命题的真假.
详解：由题意，当四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为一个矩形时， 设AC BD O ⋂=且PO ⊥底面ABCD ，此时可得PA PB PC PD ===，
而四棱锥此时不是正四棱锥，所以①不正确的，同时各个侧面与底面所成的角也不相等，所以③不正确的；
因为四棱锥P ABCD -满足PA PB PC PD ===，所以顶点P 在底面ABCD 内的射影O 为底面ABCD 的外心，而直角梯形ABCD 没有外接圆，所以底面不可能是直角梯形，所以④不正确；
设四棱锥P ABCD -满足PA PB PC PD ===，所以顶点P 在底面ABCD 内的射影O 为底面ABCD 的外心，所以各条测量与底面ABCD 的正弦值都相等，所以②正确的， 综上，故选A.
点睛：本题主要考查了正四棱锥的概念，我们把底面是正方形，且顶点在底面上的射影是底面正方形的中心的四棱锥，叫做正四棱锥，其中紧扣正棱锥的概念是解答的关键.
9．A
解析：A 【解析】
分析：建立空间直角坐标系，结合题意得到点的坐标，然后利用空间向量求解点面距离即可.
详解：如图所示，建立空间直角坐标系，则()10,0,1A ()10,1,1D
，11,0,2E ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
， 据此可得：()110,1,0A D =，1
11,0,2A E ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
， 设平面11A D E 的法向量为()111,,m x y z =，则：11101
02y x z =⎧⎪
⎨-=⎪⎩
， 据此可得平面11A D E 的一个法向量为()1,0,2m =，
而()1,1,0C ，据此有：()1
1,1,1AC =-， 则点C 到平面11A D E
的距离为115
AC m m
⋅=
= 本题选择A 选项.
点睛：本题主要考查空间向量的应用，点面距离的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10．B
解析：B 【分析】
建立空间直角坐标系，求出点M 的轨迹，然后求出点M 到直线AB 的最远距离 【详解】
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，过D 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系
则(2,0,23P ,()0,4,0,C 设(),,0M a b ，04,04a b ≤≤≤≤
(2,,23MP a b ∴=--,(),4,0MC a b =--
•0MP MC =,
22•240MP MC a a b b ∴=-+-+=，整理得()()2
2
125a b -+-=
M ∴为底面ABCD 内以()12O ，
为圆心，以r = 则点M 到直线AB
的最远距离为413-=+故选B 【点睛】
本题考查了运动点的轨迹问题，需要建立空间直角坐标系，结合题意先求出运动点的轨迹，然后再求出点到线的距离问题
11．D
解析：D 【分析】
过点C 作//Cy AB ，以C 为原点，CA 为x 轴，Cy 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角的余弦值得答案． 【详解】
解：因为1AB AC ==
，1BC AA =222
AB AC BC +=，即AB AC ⊥
过点C 作//Cy AB ，以C 为原点，CA 为x 轴，Cy 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(1F ，0
，1(2O ，12，0)，(0E ，0
，1(1B ，1
，
111(,22OB =
，11(,22OE =--，
11(,22OF =-
，1EB =
，EF =，
设平面1OB E 的法向量(),,m x y z =，
则111·02211·0
222m OB x y m OE x y z ⎧=++=⎪⎪⎨⎪
=--+=⎪⎩
，取1x =，得()1,1,0m →=-，
同理可求平面1OB F 的法向量(52,n =-，
平面OEF 的法向量2(2p =-
，平面1EFB 的法向量2
(,2
q =-． ∴461cos 61||||m n m n α=
=，434cos 34||||m p m p β==46
cos 46||||
m q m q γ== γαβ∴>>．
故选：D ．
【点睛】
本题考查二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
12．B
解析：B 【分析】
①||||||a b a b -=+共线，反之不成立，即可判断出结论； ②利用基底的定义即可判断出真假；
③|()||||||||cos ,|a b c a b c a b =<>，即可判断出真假． 【详解】
①||||||a b a b a -=+⇒，b 共线，反之不成立，
||||||a b a b -=+是a ，b 共线的充分不必要条件，因此不正确；
②若{a ，b ，}c 是空间的一组基底，假设,,a b b c c a +++共面， 则存在唯一一组实数,x y ，使=()()a b x b c y c a ++++成立， 即()a b xb x y c ya +=+++， 所以1,1,0x y x y ==+=，显然无解， 假设不成立，即,,a b b c c a +++不共面，
则{a b +，b c +，}c a +是空间的另一组基底，正确；
③|()|||||||cos ,a b c a b c a b =<>，而cos ,a b <>不一定等于1， 因此不正确．
其中正确的命题有一个． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了向量共线、共面定理、数量积运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
二、填空题
13．【分析】从二面角的大小入手利用空间向量求解【详解】以N 为坐标原点NCNA 所在直线分别为x 轴y 轴建立空间直角坐标系如图则由可得设为平面的一个法向量则即令可得易知平面ABC 的一个法向量为因为平面与平面所
【分析】
从二面角的大小入手，利用空间向量求解. 【详解】
以N 为坐标原点，NC,NA 所在直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系，如图
则()()()()()
10,0,0,1,0,1,1,0,0,3,0,3,2N M B A A - ,
由111
A P A
B λ=可得()
11111133,2NP NA A P NA A B NA AB λλλλ=+=+=+=-, ()1,0,1NM =,
设(),,n x y z =为平面PMN 的一个法向量，则0
n NM n NP ⎧⋅=⎨
⋅=⎩,即)03120x z x y z λλ+=⎧⎪
⎨
--+=⎪⎩
， 令1z =-，可得
()
()321,,131n λλ⎛⎫+=- ⎪ ⎪-⎝⎭
，易知平面ABC 的一个法向量为()0,0,1m =. 因为平面PMN 与平面ABC 所成的二面角的平面角的大小为45，
所以1cos45n m
n m n ⋅︒==，即2n =，所以2
1211231λλ+⎛⎫++= ⎪-⎝⎭
，解得2λ=-. 【点睛】
本题主要考查空间向量的应用，利用二面角求解参数.二面角的求解和使用的关键是求解平面的法向量，把二面角转化为向量的夹角问题.
14．【分析】由题意结合重心的性质和平面向量的三角形法则整理计算即可求得最终结果【详解】如图取BC 的中点F 连结DF 则∴【点睛】本题主要考查空间向量的运算法则及其应用意在考查学生的转化能力和计算求解能力 解析：0
【分析】
由题意结合重心的性质和平面向量的三角形法则整理计算即可求得最终结果.
如图，取BC 的中点F ，连结DF ，则2
3
DF DE =， ∴13
22
AB BC DE AD +
--AB BF DF DA =+-+AF FD DA =++0=.
【点睛】
本题主要考查空间向量的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
15．【解析】【分析】取MC 中点O 连结AOBO 推导出AC ＝BM ＝AM ＝CM ＝1AO ＝BO ＝AO ⊥MCAO ⊥平面BMCAO ⊥BO 由此能求出AB 两点之间的距离【详解】取MC 中点O 连结AOBO ∵△ABC 中∠C ＝ 解析：
10
2
【解析】 【分析】
取MC 中点O ，连结AO ，BO ，推导出AC ＝BM ＝AM ＝CM ＝1，AO ＝
3
2，BO ＝72
，AO ⊥MC ，AO ⊥平面BMC ，AO ⊥BO ，由此能求出A ，B 两点之间的距离． 【详解】
取MC 中点O ，连结AO ，BO ，
∵△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝2，M 为AB 中点， ∴AC ＝BM ＝AM ＝CM ＝1， ∴AO 213
1()2-
BO 2
==
AO ⊥MC ，
将△BMC 沿CM 折叠，当平面BMC ⊥平面AMC 时， AO ⊥平面BMC ，∴AO ⊥BO ，
∴A ，B 两点之间的距离|AB |=
=
故答案为：2
． 【点睛】
本题考查两点间距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
16．【分析】建立直角坐标系设正方体边长为2求出平面的法向量为直线与平面所成角为因为所以当时取到最小值代入即可【详解】解：如图建立直角坐标系设正方体边长为2则002设平面的法向量为由得令故0由设直线与平面
解析：2
5
【分析】
建立直角坐标系，设正方体边长为2，求出平面DEF 的法向量为m ，直线ME 与平面
1D EF 所成角为α，sin cos ,m EM α==
[0a ∈，2]，所以当2
a =时，取到最小值，代入即可． 【详解】
解：如图，建立直角坐标系，设正方体边长为2，AM a =， 则(2E ，0，1)，(2M ，a ，2)，(0D ，0，2)，(2F ，2，1)， 设平面DEF 的法向量为(m x =，y ，)z ， 1(0,2,0),(2,0,1)EF ED ==-，
由0m EF ⋅=，10m D E ⋅=，得0
20
y x z =⎧⎨-+=⎩，令2z =，1x =，故(1m =，0，2)，
由(0,,1)EM a =，
设直线ME 与平面1D EF 所成角为α，
sin cos ,m EM α==
因为[0a ∈，2]，所以当2a =时，
sin α2
5
=
，
故答案为：
25
．
【点睛】
考查立体几何中的最值问题，本题利用向量法求线面所成的角，基础题．
17．【分析】建立空间直角坐标系利用香炉峰能求出点B 到截面的距离得到答案【详解】如图所示建立空间直角坐标系因为棱长为2的正方体中分别是的中点所以则设平面的法向量为则取得所以点B 到截面的距离为【点睛】本题主
解析：
26
3
【分析】 建立空间直角坐标系D xyz -，利用香炉峰能求出点B 到截面1AMC N 的距离，得到答案. 【详解】
如图所示，建立空间直角坐标系D xyz -，
因为棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是11,A B CD 的中点， 所以(2,0,0),(2,1,2),(0,1,0),(2,2,0)A M N B ， 则(0,1,2),(2,1,0),(0,2,0)AM AN AB ==-=， 设平面AMN 的法向量为(,,)n x y z =，
则2020y z x y +=⎧⎨-+=⎩
，取1x =，得(1,2,1)n =-，
所以点B 到截面1AMC N 的距离为426
36
AB n d n
⋅=
=
=.
【点睛】
本题主要考查了利用空间向量求解点到平面的距离问题，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，正确求解平面的法向量，利用向量法准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题.
18．26【分析】推导出=从而=（）2=由此能出CD 【详解】∵平面α⊥平面β且α∩β=l 在l 上有两点AB 线段AC ⊂α线段BD ⊂βAC ⊥lBD ⊥lAB=6BD=24AC=8∴=∴=（）2==64+36+57
解析：26 【分析】
推导出CD =CA AB BD ++，从而2CD =（CA AB BD ++）2=222
CA AB BD ++，由此
能出CD ． 【详解】
∵平面α⊥平面β，且α∩β=l ，在l 上有两点A ，B ，线段AC ⊂α，线段BD ⊂β， AC ⊥l ，BD ⊥l ，AB=6，BD=24，AC=8， ∴CD =CA AB BD ++， ∴2CD =（CA AB BD ++）2 =222CA AB BD ++ =64+36+576 =676， ∴CD=26． 故答案为26． 【点睛】
本题考查两点间距离的求法，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置
关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．
19．【详解】以AB 的中点为原点建立如图所示的空间直角坐标系则平面的一个法向量为设平面的一个法向量为则则令所以平面的一个法向量为所以因为所以所以所以即二面角的余弦值的取值范围是点睛：本题主要考查了空间几何 解析：99(,)1616
-
【详解】
以AB 的中点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则
163(0,,),(0,4,0),(,0,0)(33)22
D C M a a --<<，
平面MBC 的一个法向量为1(0,0,1)n =， 设平面DMC 的一个法向量为2(,,)n x y z =，
则963(0,,),(,4,0)22DC MC a =-=-，则2
29630022
040
n DC y z n MC ax y ⎧⎧⋅=--=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎩⎪-+=⎩
， 令4639,,63z x y a ==
=，所以平面DMC 的一个法向量为2463
(,63,9)n a
=， 所以
1222
99
cos ,16631663
6381144n n a a =
=
⨯⨯+++， 因为33a -<<，所以29<a ，所以216631663
1441442569
a ⨯⨯+>+=， 所以129cos ,16n n <
，即二面角的余弦值的取值范围是99
(,)1616
-.
点睛：本题主要考查了空间几何体的结构特征和二面角的计算问题，空间向量是解决空间几何问题的锐利武器，利用空间向量求解空间角的关键在于“四破”：第一、破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二、破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三、破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四、破“应用公式关”.
20．4【解析】依题意有
解析：4 【解析】
依题意有220,4a b λλ⋅=-+==.
三、解答题
21．（1）证明见解析；（2）4214
. 【分析】
（1）过E 作EH AB ⊥于H ，由面面垂直得EH ⊥平面ABC ，从而有EH BC ⊥，再结合已知,BC BE ⊥可得线面垂直后得线线垂直；
（2）将三棱台ABC DEF -补体成三棱锥P ABC -，以B 为原点建立空间直角坐标系(如图)，设2AB =，得出各点坐标，求出平面ABF 的法向量，由空间向量法求得线面角的正弦值． 【详解】
解：（1）过E 作EH AB ⊥于H ，因为面ABED ⊥面ABC ，面ABED ⋂面
ABC BC =，
所以EH ⊥平面ABC ，而BC ⊂平面ABC ，所以EH BC ⊥， 又,BC BE ⊥BE
EH E =，,BE EH ⊂平面ABED ，
所以BC ⊥面ABED ，又BC ⊂平面BCFE 所以平面ABED ⊥平面;BCFE
（2）将三棱台ABC DEF -补体成三棱锥P ABC -，则,,D E F 分别是,,PA PB PC 的中点，PAB △是正三角形，设2AB =， 以B 为原点建立空间直角坐标系(如图)，
(()()13333,0,2,0,2,0,0,1,,0,22P A C F D ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭
()()131,1,0,0,2,0,1,2DF BA BF ⎛∴=-== ⎝⎭
设平面ABF 的法向量为,,,n x y z
由00n AB n FB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，有013
022y x y z =⎧
⎪⎨++
=⎪⎩
，令2z =得()
3,0,2n =-. 42sin 14||||
n DF n DF θ⋅∴=
=⋅∣．
【点睛】
方法点睛：本题考查证明面面垂直，求直线与平面所成的角．求线面角的常用方法 （1）定义法，作出直线在平面内的射影（主要过直线上一点作平面的垂线），由直线与射影的夹角得出直线与平面所成的角（注意证明），然后解三角形得结论；
（2）空间向量法，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由直线的方向向量与平面的法向量夹角余弦值的绝对值得线面角的正弦值． 22．（1）证明见解析；（2）64
-. 【分析】
（1）连接BD ，交AC 于点O ，设PC 中点为F ，连接OF ，EF ，则由三角形中位线定理可得//OF PA ，且1
2
OF PA =
，再结合已知条件可得四边形OFED 为平行四边形，从而可得//BD EF ，由线面垂直的判定定理可得BD ⊥平面PAC ，进而得EF ⊥平面
PAC ，再利用面面垂直的判定定理可证得结论；
（2）由直线PC 与平面ABCD 所成的角为45︒，再结合已知可得ABC 为等边三角形，设BC 的中点为M ，连接AM ，则AM BC ⊥．以A 为原点，AM ，AD ，AP 分别为
x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，利用空间向量求解即可
【详解】
解：(1)证明:连接BD ，交AC 于点O ， 设PC 中点为F ，连接OF ，EF 因为O ，F 分别为AC ，PC 的中点，
所以//OF PA ，且1
2
OF PA =， 因为//DE PA ，且1
2
DE PA =
， 所以//OF DE ，且OF DE =， 故四边形OFED 为平行四边形， 所以//OD EF ，即//BD EF ，
因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥. 因为ABCD 是菱形， 所以BD AC ⊥. 因为PA
AC A =，
所以BD ⊥平面PAC ， 因为//BD EF ， 所以EF ⊥平面PAC ， 因为FE ⊂平面PCE ， 所以平面PAC ⊥平面PCE .
(2)设2PA AD ==，则1DE =.
因为直线PC 与平面ABCD 所成的角为45︒， 所以45PCA ︒∠=， 所以2AC PA ==， 所以AC AB =， 故ABC 为等边三角形.
设BC 的中点为M ，连接AM ，则AM BC ⊥．以A 为原点，AM ，AD ，AP 分别为
x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -(如图所示).
则()0,0,2P ，)
3,1,0C
，()0,2,1E ，()0,2,0D ，(
)
3,1,2PC =
-，
()
3,1,1CE =-，()0,0,1DE =，
设平面PCE 的法向量为{}111,,x n y z =，
则00n PC n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111111320
30x y z x y z ⎧+-=⎪⎨-++=⎪⎩， 令11y =，则11
32x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，
所以(
)
3,1,2n =
，
该平面CDE 的法向量为()222,,m x y z =，
则00m DE m CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22220
30z x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，
令21x =，则223
y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，
所以()
1,3,0m =，
设二面角P CE D --的大小为θ，由于θ为钝角， 所以236
cos cos ,4222
n m n m n m
θ⋅=-=-
=-
=-⋅⋅，
所以二面角P CE D --的余弦值为6
4
-
. 【点睛】
关键点点睛：此题考查面面垂直的判定，考查由线面角求二面角，解题的关键是由直线
PC 与平面ABCD 所成的角为45︒，结合已知条件得ABC 为等边三角形，然后取BC 的中点M ，连接AM ，从而以A 为原点，AM ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴，建立
空间直角坐标系A xyz -，利用空间向量求解即可，属于中档题 23．（1）证明见解析；（210. 【分析】
（1）利用直角三角形求出BE ，由1
2
AC BE =
可知C 是BE 的中点，由中位线求出
CD
AB ，即可求证结论；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦. 【详解】 （1）因为1
22
AE =，所以4AE =，又2AB =，AB AE ⊥， 所以2
2
2
2
2425BE AB AE =
+=+=，又因为1
52
AC BE ==
， 所以AC 是Rt ABE △的斜边BE 上的中线， 所以C 是BE 的中点，又因为D 是AE 的中点 所以CD 是ABE △的中位线，所以//CD AB ， 又因为CD ⊄平面PAB ，AB 平面PAB ，
所以//CD 平面PAB ．
（2）据题设知，AB ，AE ，AP 两两互相垂直，以A 为原点，AB ，AE ，AP 分别为
x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为1
22
AB AP AE ==
=，且C ，D 分别是BE ，AE 的中点， 所以4AE =，2AD =，
所以()040E ，
，，()120C ，，，()002P ，，，()020D ，，， 所以()042PE =-，
，，()122PC =-，，，()100CD =-，，， 设平面PCD 的一个法向量为()n x y z →
='''，，，
则0
n CD n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0220x x y z ''''-=⎧⎨+-=⎩，
所以0
x z y
=⎧⎨
='''⎩，令1y '=，则()011n →=，，， 设直线PE 与平面PCD 所成角的大小为θ，则10
sin 10
PE n
PE n
θ→→
⋅=
=
⋅ 故直线PE 与平面PCD 所成角的正弦值为1010
. 【点睛】
方法点睛：向量法求线面角的方法就是求出平面的法向量，然后通过斜线向量与平面的法向量的夹角的余弦的绝对值得到线面角的正弦大小，属于中档题． 24．（1）22
5
；（2）22． 【分析】
（1）根据题意可知OA ，OB ，OP 两两垂直，建立空间直角坐标系，根据题所给的长度可算出面BDM 的法向量和PB 的坐标，再根据线面夹角的向量法，代入公式可得最后答案.
（2）根据（1）可知AM 的坐标和面BDM 的一个法向量n 坐标，根据公式n n
AM ⋅，即
可求出点A 到平面BDM 的距离. 【详解】
（1）∵四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥， 又OP ⊥面ABCD ，OA ∴，OB ，OP 两两垂直，
∴以OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，
根据题可知4OA =，3OB =，4OP =，且M 为PC 中点，
(4,0,0)A ∴，(0,3,0)B ，(0,3,0)D -，(0,0,4)P ，(4,0,0)C -，(2,0,2)M -，
(0,3,4)PB ∴=-，(2,3,2)BM =--，(0,6,0)BD =-，
设面BDM 的法向量为(),,n x y z =，
00n BM n BD ⎧⋅=∴⎨⋅=⎩，232060x y z y --+=⎧∴⎨-=⎩，0y ∴=，令1x =，则1z =，()1,0,1n ∴=，
422
cos 5||||25
n PB n PB n PB ⋅∴〈⋅〉=
==⋅⋅，
∴直线PB 与平面BDM 22
； （2）由（1）可知(6,0,2)AM =-，面BDM 的一个法向量为(1,0,1)n =，
∴点A 到平面BDM 的距离4
|||cos |||2
n AM d AM n AM n ⋅=⋅〈⋅〉=== ∴点A 到平面BDM 的距离为
【点睛】
方法点睛：（1）求直线PB 与平面BDM 所成角的正弦值用向量法：建立空间直角坐标系、求出PB 和平面BDM 的法向量n 的坐标、根据公式cos ||||
n PB
n PB n PB ⋅〈⋅〉=
⋅求解；
（2）求点A 到平面BDM 的距离用向量法：建立空间直角坐标系、在平面BDM 上找一点如M 点、求出AM 的坐标和面BDM 的一个法向量n 坐标、根据公式
|||cos |AM n AM ⋅〈⋅〉求解.
25．（1）证明见解析；（2） 【分析】
（1）先证明四边形CDNM 是平行四边形，于是//GF DN ，//GF CM ，即可得到线面平
行；（2）要使多面体ABCDE 体积最大，即BH 最大，此时AB BC ==
{},,HB HC HP 为正交基底建立如图所示的平面直角坐标系H xyz -，于是可以得到
(0,1,0)A -，(1,0,0)B ，(0,1,2)E -,(0,1,1)D ，
(1,1,0),(1,1,2),(0,2,1)AB BE DE ==--=-，设两个法向量求解，最后算余弦值时要判
断二面角是钝角还是锐角． 【详解】
（1）分别取,AB EB 中点,M N ，连结,,CM MN ND . 在梯形ACDE 中，//DC EA 且1
2
DC EA =，且,M N 分别为,BA BE 中点 ∴//MN EA ，1
2
MN EA =
∴//MN CD ，MN CD = ∴四边形CDNM 是平行四边形 ∴//CM DN 又1
4
EG EB =
，N 为EB 中点，∴G 为EN 中点， 又F 为ED 中点 ∴//GF DN ∴//GF CM
又CM ⊂平面ABC ，GF ⊄平面ABC ∴//GF 平面ABC （2）在平面ABC 内，过B 作BH AC ⊥交AC 于H . 平面ACDE ⊥平面ABC ，平面ACDE
平面ABC AC =，BH ⊂平面ABC ，
BH AC ⊥，
∴BH ⊥平面ACDE ∴BH 即为四棱锥B ACDE -的高，
又底面ACDE 面积确定，所以要使多面体ABCDE 体积最大，即BH 最大，此时
AB BC ==
过点H 作//HP AE ，易知HB ，HC ，HP 两两垂直，
以{}
,,HB HC HP 为正交基底建立如图所示的平面直角坐标系H xyz - 则(0,1,0)A -，(1,0,0)B ，(0,1,2)E -,(0,1,1)D
(1,1,0),(1,1,2),(0,2,1)AB BE DE ==--=-
设1111(,,)n x y z =为平面ABE 的一个法向量，则
11
0n AB n BE ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩，所以11111020x y x y z +=⎧⎨--+=⎩，取1(1,1,0)n =- 设2222(,,)n x y z =为平面DBE 的一个法向量，则
1100
n DE n BE ⎧⋅=⎪
⎨⋅=⎪⎩，所以222222020y z x y z -+=⎧⎨
--+=⎩，取2(3,1,2)n = 所以121212
7
cos ,7
n n n n n n ⋅=
=
⋅， 由图，二面角A BE D --为钝二面角，所以二面角A BE D --的余弦值为77
-
.
【点睛】
本题考查利用建系法求二面角的余弦值，易错点在于判断二面角是钝角． 26．（1）证明见解析（22
315 【分析】
(1)由PB PD =可得出PO BD ⊥，再由菱形性质可得AC BD ⊥，即可证明BD ⊥平面
POC ，可得PC BD ⊥；
（2）先证明OP ⊥平面ABCD ，可以O 为原点，以OB ，OC ，OP 为坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角；
（3）由（2）利用向量法求二面角的余弦值.
【详解】
（1）设,AC BD 交点为O ,连接PO ，
ABCD 是边长为2的菱形，
,AC BD O ∴⊥是,AC BD 的中点， ,PD O B BD P P =∴⊥，
又PO ⊂平面POC ,AC ⊂平面 POC ，PO
AC O =，
BD ∴⊥平面POC ， PC ⊂平面POC ，
.C BD P ∴⊥
（2）
60,2,A D B D A A B ︒===∠
ABD ∴是等边三角形， 又AB PB PD ==
PBD ∴是等边三角形， 3P OA O ∴==
222OP PA OA +∴=，
OA OP ∴⊥
又,OP OB OA OB O ⊥⋂=
OP ∴⊥平面ABCD ，
以O 为原点，以OB ，OC ，OP 为坐标轴建立空间直角坐标系如图:
则(1,0,0),3,0),3)B C P ，
(0,3,3PC ∴=-，
而OC→=是平面PBD的一个法向量，设直线PC与平面PBD所成角为θ，
则
||
sin
2
|||||
PC OC
PC OC
θ
→→
→→
⋅
===.
所以直线PC与平面PBD
所成角的正弦值为
2
.
(3)由（2
）知(
BC
→
=-
,(
PC=
设平面BPC的法向量n(x,y,z)
→
=，
则
.0
.0
n PC
n BC
⎧=
⎨
=
⎩
,
x
=
∴
-=
⎪⎩
,
令1
y=
，得1
x z
==，
所以n→=，
又BD⊥平面EPC,
(1,0,0)
m
∴=是平面EPC的一个法向量，
3
cos,
||||5
15
m n
m n
m
n
⋅
∴〈〉===
⋅⋅
，
∴二面角B PC E
--的余弦值为
5
.
【点睛】
关键点点睛：根据题目所给条件，利用平面几何知识证明OA OP
⊥，再根据OP OB
⊥，证明OP⊥平面ABCD，得以O为原点，以OB，OC，OP为坐标轴建立空间直角坐标系是解题的关键所在.。