最新命题逻辑第四节课件
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命题逻辑ppt课件
解 令 p：王晓用功，q：王晓聪明，则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q.
9
例 (续)
(4) (p)∧q. 令 r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生
(5) r∧s. (6) 令 t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .
说明: (1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性. (5) 中“与”联结的是句子的主语成分，因而(5)
命题的真值: 判断的结果 真值的取值: 真与假 二者取一 真命题: 真值为真的命题 假命题: 真值为假的命题
注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题 陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题
3
例 下列句子中那些是命题？ (1) 2是无理数. (2) 2 + 5 ＝8. (3) x + 5 ＞ 3. (4) 你有铅笔吗？ (5) 这只兔子跑得真快呀！ (6) 请不要讲话！ (7) 我正在说谎话.
这就产生了矛盾。
5
命题的分类
简单命题(原子命题)： 简单陈述句构成的命题
复合命题： 由简单命题用联结词联结而成的命题
6
简单命题符号化
在本书中用小写英文字母 p, q, r, … ,pi,qi,ri (i≥1）表示简单命题，将 表示命题的符号放在该命题的前面，称为命题符号化。 用“1”表示真，用“0”表示假 对简单命题而言，它的真值是确定的，因而又称为命题常项或命题常元。
表达。 3：命题公式 层次 成真赋值 成假赋值 真值表的定义 4：构造真值表的具体步骤，重言式 矛盾式 可满足式 定
义
29
上节知识复习
1:定义：命题 真(假)命题 命题常(变)项 2:五个联结词定义及取值情况，对应的
语言表达 3:复合命题符号化的步骤 4:命题公式 命题公式的层次定义及判断 5:成真赋值 成假赋值 重言式 矛盾式
9
例 (续)
(4) (p)∧q. 令 r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生
(5) r∧s. (6) 令 t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .
说明: (1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性. (5) 中“与”联结的是句子的主语成分，因而(5)
命题的真值: 判断的结果 真值的取值: 真与假 二者取一 真命题: 真值为真的命题 假命题: 真值为假的命题
注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题 陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题
3
例 下列句子中那些是命题？ (1) 2是无理数. (2) 2 + 5 ＝8. (3) x + 5 ＞ 3. (4) 你有铅笔吗？ (5) 这只兔子跑得真快呀！ (6) 请不要讲话！ (7) 我正在说谎话.
这就产生了矛盾。
5
命题的分类
简单命题(原子命题)： 简单陈述句构成的命题
复合命题： 由简单命题用联结词联结而成的命题
6
简单命题符号化
在本书中用小写英文字母 p, q, r, … ,pi,qi,ri (i≥1）表示简单命题，将 表示命题的符号放在该命题的前面，称为命题符号化。 用“1”表示真，用“0”表示假 对简单命题而言，它的真值是确定的，因而又称为命题常项或命题常元。
表达。 3：命题公式 层次 成真赋值 成假赋值 真值表的定义 4：构造真值表的具体步骤，重言式 矛盾式 可满足式 定
义
29
上节知识复习
1:定义：命题 真(假)命题 命题常(变)项 2:五个联结词定义及取值情况，对应的
语言表达 3:复合命题符号化的步骤 4:命题公式 命题公式的层次定义及判断 5:成真赋值 成假赋值 重言式 矛盾式
命题逻辑-PPT
q→r
∴p→r
二难推理CD
(p→q) ∧(r→s) p∨r
破坏式二难推理DD
(p→q) ∧(r→s) q∨ s
∴ q∨s
∴ p∨ r
• 例1 如果商品短缺日益严重,那么物价会上涨。如 果存在生产过剩,那么物价不会上涨。如果存在通 货膨胀威胁,那么财政控制将继续。如果政府改组, 那么财政控制将取消。或者存在生产过剩,或者政 府改组。因此,商品短缺不会日益严重,或者不再存 在通货膨胀威胁。
• 第2类符号就是逻辑常元,她们有确定得逻辑 解释因而能够表达某种确定得真假联系。
• 第3类符号则就是为避免歧义以构造合式命 题公式所需要得辅助符号。
• 形成规则
• 1、所有命题变元就是命题公式;
• 2、如果就是命题公式,那么就是命题 公式
• 3、如果、就是命题公式,那么 (),(∧)、(Φ∨Ψ)和(ΦΨ)也就是命 题公式;
• 例2、判定命题公式“(p∧q) →r”与“p∨(q →r)”就是否逻辑等值。
2、1命题公式之间得逻辑等值
• 如果两个公式就是等值得,那么以这两个公 式为子公式构造一个等值式:
• (﹁p∨ ﹁ q )(﹁ (p∧q))。 • 这个等值式就是恒真得,由此可推知,一个等
值式就是重言式,那么她得两个子公式逻辑 等值。
• ① 恒真式。不论其中得变元取什么样得值,函项 式得值恒为真。
• ② 恒假式。无论其中得变元取什么样得值,函项 式得值恒为假。
• ③ 协调式。既不就是恒真式也不就是恒假式函 项式。显然,协调式在其变元得某些取值组合下为 真,在另一些取值组合下又为假得。因此。协调式 得真假由变元得真假决定。
第二节命题公式之间得逻辑等值 关系
• 例1 如果商品短缺日益严重,那么物价会上涨。如 果存在生产过剩,那么物价不会上涨。如果存在通 货膨胀威胁,那么财政控制将继续。如果政府改组, 那么财政控制将取消。或者存在生产过剩,或者政 府改组。因此,商品短缺不会日益严重,或者不再存 在通货膨胀威胁。
《命题逻辑教学》课件
添加副标题
命题逻辑教学
汇报人：PPT
目录
CONTENTS
01 添加目录标题
02 命题逻辑的基本概 念
03 命题逻辑的推理规 则
04 命题逻辑的推理系 统
05 命题逻辑的应用
06 命题逻辑的局限性 和未来发展
添加章节标题
命题逻辑的基本 概念
命题的定义和表示
命题：陈述句或判断句，表示一个事实或观点 命题的表示：使用符号或公式表示命题，如P、Q、R等 命题的真值：命题的真假，用T（真）或F（假）表示 命题的连接词：与、或、非等，用于连接多个命题，形成复合命题
语义分析：利用 命题逻辑对句子 进行语义分析， 提高自然语言处 理的智能化程度
情感分析：利用 命题逻辑对句子 进行情感分析， 提高自然语言处 理的人性化程度
在形式化方法中的应用
描述系统：使用 命题逻辑描述系 统状态和操作
验证系统：使用命 题逻辑验证系统正 确性和安全性
设计算法：使用 命题逻辑设计算 法和程序
添加标题
包括命题、命题连接词、命题公 式等基本概念
添加标题
添加标题
推理系统的主要方法包括演绎推 理和归纳推理
推理系统的正确性和可靠性
命题逻辑的推理 系统是基于逻辑 规则的，这些规 则是客观存在的， 因此推理系统的 正确性是客观的。
命题逻辑的推理系 统是建立在公理和 定理的基础上的， 这些公理和定理是 普遍适用的，因此 推理系统的可靠性 是普遍的。
命题逻辑的推理 规则
直接推理规则
肯定前件，肯 定后件（P→Q，
P，所以Q）
否定后件，否 定前件（P→Q， ¬Q，所以¬P）
肯定后件，肯 定前件（P→Q，
Q，所以P）
否定前件，否 定后件（P→Q， ¬P，所以¬Q）
命题逻辑教学
汇报人：PPT
目录
CONTENTS
01 添加目录标题
02 命题逻辑的基本概 念
03 命题逻辑的推理规 则
04 命题逻辑的推理系 统
05 命题逻辑的应用
06 命题逻辑的局限性 和未来发展
添加章节标题
命题逻辑的基本 概念
命题的定义和表示
命题：陈述句或判断句，表示一个事实或观点 命题的表示：使用符号或公式表示命题，如P、Q、R等 命题的真值：命题的真假，用T（真）或F（假）表示 命题的连接词：与、或、非等，用于连接多个命题，形成复合命题
语义分析：利用 命题逻辑对句子 进行语义分析， 提高自然语言处 理的智能化程度
情感分析：利用 命题逻辑对句子 进行情感分析， 提高自然语言处 理的人性化程度
在形式化方法中的应用
描述系统：使用 命题逻辑描述系 统状态和操作
验证系统：使用命 题逻辑验证系统正 确性和安全性
设计算法：使用 命题逻辑设计算 法和程序
添加标题
包括命题、命题连接词、命题公 式等基本概念
添加标题
添加标题
推理系统的主要方法包括演绎推 理和归纳推理
推理系统的正确性和可靠性
命题逻辑的推理 系统是基于逻辑 规则的，这些规 则是客观存在的， 因此推理系统的 正确性是客观的。
命题逻辑的推理系 统是建立在公理和 定理的基础上的， 这些公理和定理是 普遍适用的，因此 推理系统的可靠性 是普遍的。
命题逻辑的推理 规则
直接推理规则
肯定前件，肯 定后件（P→Q，
P，所以Q）
否定后件，否 定前件（P→Q， ¬Q，所以¬P）
肯定后件，肯 定前件（P→Q，
Q，所以P）
否定前件，否 定后件（P→Q， ¬P，所以¬Q）
公共逻辑课课件 第四章 直言命题及其推理
主项存在问题
对当关系成立要以主项的存在为条件。如果主项不存在，即个体 词所指称的东西不存在。则对当关系中除了矛盾关系外，均不成 立。
当x不存在时，即个体域是空集，那么我们可以去掉量词，只考虑不带量 词的情况。全称肯定命题是（x）（FxEx），去掉量词是FxEx，x 不存在则Fx是假的，那么，依据实质蕴涵的定义，无论Ex是真还是假， FxEx都是真的。因此（x）（FxEx）真；同理也可以看出。全称 否定命题（x）（FxEx）是真的；反对关系是“不可同真的，可以 同假”的关系，因此，主项不存在时反对关系不存在。 再看下反对关系，在x不存在，当Fx假时，则Fx∧Ex一定为假， Fx∧Ex也一定为假；因此“不可同假，可以同真”的下反对关系不存 在。 差等关系是“全称命题真则存在命题真，反之不成立，存在命题假则全 称命题假。反之不成立”，从上面的分析可知差等关系在主项不存在时 也不成立。 矛盾关系成立：因为在主项不存在时全称命题恒真，而且存在命题恒假， 因此它们有“不同真，不同假”的矛盾关系。要注意主项不存在时，不 仅A与O，E与I之间有矛盾关系，而且A与I，E与O之间也有矛盾关系。
证明
ＳＯＰ→ＳＩＰ真，当且仅当，SOP真并且SIP不假。 用欧拉图可以知道SOP真有三种情况：S真包含P、交叉和全异。 S与P有真包含关系、交叉关系、全异关系情况，用有影线的部分表示P：
例如，“苏格拉底是个哲学家”和 “人是哲学家”这两个命题中的“苏 格拉底”是个体，“人”是个体类。 个体的“苏格拉底”本身就有存在的 含义，但“人”只是一个“类”，是 用来陈述所有属于这个类的个体的一 个方便的语词，当然它也概括反映了 全部此类个体的共同性质。因此，用 “哲学家”描述苏格拉底是合适的， 但用来描述“人”就不是合适的。因 为哲学家可能是某个人的性质，但决
第四节 假言命题及其推理
[例1] p.天下雨; q.地湿
2.必要条件
如果一种事物情况p不存在，则另一种事物情况q就一 定不存在；如果p存在，则q可能存在，也可能不存在， 这样，p就是q的必要条件。
如果无p，就无q；如果有p，未必就有q（可能有， 可能没有）。
“无之必不然，有之未必然”。
[例2] p. 一人年满18岁; q.他入党
[例1]如果天下雨，那么地就湿； 今天天下雨；
所以，今天地湿。
（1）肯定前件式： 在前提中肯定假言命题的前 件，结论肯定它的后件。
逻辑形式：
如果p，那么q p 所以，q
（（p→q）∧ p）→q
[例2]如果天下雨，那么地就湿； 今天地不湿； 所以，今天天没有下雨。
逻辑形式： 如果p，那么q 非q 所以，非p
1. p(T) q (T) 2. p(T) q (F) 3. p(F) q (T) 4. p(F) q (F)
命题的真值
p← q (T) p← q (F) p← q (F) p← q (T)
充分必要条件假言命题的真值表：
p
q
p↔q
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
F
T
（三）
下列命题是何种命题？写出形式，判定真值。
（3）必要条件假言命题的逻辑值
一个必要假言命题的真假，取决于、而且仅 仅取决于其前件是否是后件的必要条件，如果 是，命题真；否则，命题假。
前件是否是后件的必要条件，可以通过前件与后件的 真假关系来反映。
一个必要条件假言命题前 件和后件的真假组合有四 种：
1. p(T) q (T) 2. p(T) q (F) 3. p(F) q (T) 4. p(F) q (F)
2.必要条件
如果一种事物情况p不存在，则另一种事物情况q就一 定不存在；如果p存在，则q可能存在，也可能不存在， 这样，p就是q的必要条件。
如果无p，就无q；如果有p，未必就有q（可能有， 可能没有）。
“无之必不然，有之未必然”。
[例2] p. 一人年满18岁; q.他入党
[例1]如果天下雨，那么地就湿； 今天天下雨；
所以，今天地湿。
（1）肯定前件式： 在前提中肯定假言命题的前 件，结论肯定它的后件。
逻辑形式：
如果p，那么q p 所以，q
（（p→q）∧ p）→q
[例2]如果天下雨，那么地就湿； 今天地不湿； 所以，今天天没有下雨。
逻辑形式： 如果p，那么q 非q 所以，非p
1. p(T) q (T) 2. p(T) q (F) 3. p(F) q (T) 4. p(F) q (F)
命题的真值
p← q (T) p← q (F) p← q (F) p← q (T)
充分必要条件假言命题的真值表：
p
q
p↔q
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
F
T
（三）
下列命题是何种命题？写出形式，判定真值。
（3）必要条件假言命题的逻辑值
一个必要假言命题的真假，取决于、而且仅 仅取决于其前件是否是后件的必要条件，如果 是，命题真；否则，命题假。
前件是否是后件的必要条件，可以通过前件与后件的 真假关系来反映。
一个必要条件假言命题前 件和后件的真假组合有四 种：
1. p(T) q (T) 2. p(T) q (F) 3. p(F) q (T) 4. p(F) q (F)
逻辑学第五章 复合命题及其推理(上) 第四节
经典故事2: 经典故事 :铁齿铜牙纪晓岚 人物: 人物:纪晓岚 乾隆皇帝 只有皇上是昏君,我才跳河去死, 只有皇上是昏君,我才跳河去死, 现在皇上圣明(不是昏君), 现在皇上圣明(不是昏君), 所以,我不能跳河去死. 所以,我不能跳河去死.
(2)肯定后件式 ) 可由肯定后件得出肯定前件. 可由肯定后件得出肯定前件. 只有深山解冻,野兔才会在村庄出没; (C)只有深山解冻,野兔才会在村庄出没; 野兔在村庄出没了; 野兔在村庄出没了; 所以深山解冻了. 所以深山解冻了. p←q q ∴p [或(p←q)∧q →p] ) ]
三,必要条件假言命题及其推理
(一)什么是必要条件假言命题 1.含义 . 必要条件假言命题, 必要条件假言命题,是断定前件是后件的必要条 件的复合命题. 件的复合命题. ①只有了解学生,才能教育学生. ②只有控制人口增长,才能解决资源短缺问题. ③退一步才能进两步.
2 联结词 主要有"只有……才……","必须 主要有"只有 才 , 必须…… 就不……"等. 才……" ,"不……就不 就不 等 不刻苦学习,就不能取得好成绩. 不刻苦学习,就不能取得好成绩. 只有刻苦学习,才能取得好成绩. 只有刻苦学习,才能取得好成绩. 诸葛亮:非淡泊无以明志,非宁静无以致远. 诸葛亮:非淡泊无以明志,非宁静无以致远.
(2)否定后件式 ) 春天一到,桃花就会开放; 春天一到,桃花就会开放; 桃花未开放; 桃花未开放; 所以春天未到. 所以春天未到. p→q q ∴p [或(p→q)∧q → p] ) ]
典故: 典故: 王戎七岁,尝与诸小儿游, "王戎七岁,尝与诸小儿游,道边李树多 子折枝,诸儿竟走取之.唯戎不动.人问之, 子折枝,诸儿竟走取之.唯戎不动.人问之, 答曰: 树在道边而多子,此必苦李. 答曰:'树在道边而多子,此必苦李.'取之 信然. 王戎有一个假言推理, 信然."——王戎有一个假言推理,可整理为: 王戎有一个假言推理 可整理为: 如为甜李,则它不会长在道边而且多子, 如为甜李,则它不会长在道边而且多子, 此树长在道边而多子; 此树长在道边而多子; 故此树必为苦李. 故此树必为苦李.
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41 2 • ﹁ （p ∨ q）= ﹁ p ∧ ﹁ q 5
0 0 1 1 如0 0 果1 0 生1 0 1 产0 1 下1 0 降1 0 0 或0 1 浪0 1 费0 0 严1 0 1 重1 ，那么将造成物资匮乏
；如果物资匮乏，那么或者物价暴涨，或者人民
生活贫困；如果人民生活贫困，政府将失去民心
。事实上物价没有暴涨，而且政府赢得了民心。
合取
P或者q 选言命题
要么p，要么q
如果p，那么q
假言命题 只有p，才q
q当且仅当p
负命题
并非p
p∨q p⊙q p→q p←q pq ﹁p
相容析取 不相容析取
蕴涵
1逆蕴涵
2等值于
4并非
2
复合命题真值表
0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1
• 联言推理
• 选言推理 相容选言推理
不相容选言推理
1 • 假言推理 充分条件假言推理 必要条件假言推理 充要条件假言推理
4 • 二难推理
2
4
合取命题析取命题的负命题
0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1
• ﹁ （p ∧ q）= ﹁ p ∨ ﹁ q
2 Ⅲ 气温高
4 A．Ｉ B.Ⅱ C. Ⅲ D. Ｉ和Ⅲ 14
蕴含命题唯一为假的情形
0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1
• p∧ ﹁q
41 2 Leabharlann 5小王说：如果明天不下大雨，我一定去看
足球比赛。以下哪项为真，可以证明小王
0 0 1 1 如0 0 果1 0 生1 0 1 产0 1 下1 0 降1 0 0 或0 1 浪0 1 费0 0 严1 0 1 重1 ，那么将造成物资匮乏
；如果物资匮乏，那么或者物价暴涨，或者人民
生活贫困；如果人民生活贫困，政府将失去民心
。事实上物价没有暴涨，而且政府赢得了民心。
合取
P或者q 选言命题
要么p，要么q
如果p，那么q
假言命题 只有p，才q
q当且仅当p
负命题
并非p
p∨q p⊙q p→q p←q pq ﹁p
相容析取 不相容析取
蕴涵
1逆蕴涵
2等值于
4并非
2
复合命题真值表
0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1
• 联言推理
• 选言推理 相容选言推理
不相容选言推理
1 • 假言推理 充分条件假言推理 必要条件假言推理 充要条件假言推理
4 • 二难推理
2
4
合取命题析取命题的负命题
0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1
• ﹁ （p ∧ q）= ﹁ p ∨ ﹁ q
2 Ⅲ 气温高
4 A．Ｉ B.Ⅱ C. Ⅲ D. Ｉ和Ⅲ 14
蕴含命题唯一为假的情形
0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1
• p∧ ﹁q
41 2 Leabharlann 5小王说：如果明天不下大雨，我一定去看
足球比赛。以下哪项为真，可以证明小王
第四章命题逻辑 学习课件
• 规则P：在演绎过程中可以随便使用前题 集合中任一公式;
• 规则Q：在演绎过程中可以随便使用前面 演绎出来的某些公式的逻辑结果;
• 规则D：如果需要演绎出的公式具有P→Q 的形式，则可以将P做为附加前题使用， 设法演绎出Q来.
• 证明的三种方法，即真值表法，直接证法 和间接证法.
返回本章首页 2020/5/25
7
本章小结
•
本章首先引入命题及逻辑联结词，
并在此基础上定义了公式以及公式的等价
、蕴涵、范式等，然后用等价式、蕴涵式
等进行命题演算和推理.本章将初步体现数
理逻辑的基本观点和方法，为将来从事计
算机工作打下良好的基础.
2020/5/25
返回本章首页
8
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3
第三节 范式
• 范式指的是命题公式规范的表示形式,有两 种范式,即析取范式与合取范式, 概念和结 论有:
• 1.文字、子句、短语、析取范式、合取范 式、主析取范式、主合取范式、对偶式、 对偶原理、极大项、极小项的定义;
• 2. 任一公式必有与之等价的合取范式和析 取范式;
第一节 命题与联结词
• 本节的主要内容有: • 1.给出了命题的概念,即命题是能判断真假
的陈述句； • 2.命题的判断结果称为命题的真值； • 3. 一个命题若不能再分割成更小的命题,则
该命题称为原子命题,否则称为复合命题； • 4.介绍了7个逻辑联结词,其中前5个常用,最
基本的有3个,即非、析取、合取等.
• 1.本节首先给出了公式的蕴涵关系的三个 等价定义,及蕴涵关系具有的性质,给出了 15个基本蕴涵式；
• 2.把蕴涵概念推广,得到公式的逻辑结果的 定义；
•2020/5/25 3返.为回本了章首研页究推理，还引进演绎的概念6 ；
• 规则Q：在演绎过程中可以随便使用前面 演绎出来的某些公式的逻辑结果;
• 规则D：如果需要演绎出的公式具有P→Q 的形式，则可以将P做为附加前题使用， 设法演绎出Q来.
• 证明的三种方法，即真值表法，直接证法 和间接证法.
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7
本章小结
•
本章首先引入命题及逻辑联结词，
并在此基础上定义了公式以及公式的等价
、蕴涵、范式等，然后用等价式、蕴涵式
等进行命题演算和推理.本章将初步体现数
理逻辑的基本观点和方法，为将来从事计
算机工作打下良好的基础.
2020/5/25
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3
第三节 范式
• 范式指的是命题公式规范的表示形式,有两 种范式,即析取范式与合取范式, 概念和结 论有:
• 1.文字、子句、短语、析取范式、合取范 式、主析取范式、主合取范式、对偶式、 对偶原理、极大项、极小项的定义;
• 2. 任一公式必有与之等价的合取范式和析 取范式;
第一节 命题与联结词
• 本节的主要内容有: • 1.给出了命题的概念,即命题是能判断真假
的陈述句； • 2.命题的判断结果称为命题的真值； • 3. 一个命题若不能再分割成更小的命题,则
该命题称为原子命题,否则称为复合命题； • 4.介绍了7个逻辑联结词,其中前5个常用,最
基本的有3个,即非、析取、合取等.
• 1.本节首先给出了公式的蕴涵关系的三个 等价定义,及蕴涵关系具有的性质,给出了 15个基本蕴涵式；
• 2.把蕴涵概念推广,得到公式的逻辑结果的 定义；
•2020/5/25 3返.为回本了章首研页究推理，还引进演绎的概念6 ；
命题逻辑课件
逻辑
5
逻辑是日常生活中的重要工具：
父子对话：
子：爸爸，我要玩游戏 父：不做完作业不能玩
如果以p表示“做完作业”，q表示“玩游戏”：
常理： pq 数学： p q（等价命题：qp）
命题
命题（proposition）是无法严格定义的，一般可用 如下解释
命题
命题指可以判断真假的陈述句 判断下列句子是否为命题 ✓ 税收下降了 ✓ 我的收入上升了 ✓ 今天是星期五 你会说英语吗? 3-x=5 我们走吧! ✓ 任一足够大的偶数一定可以表示为两个素数之和。 他是个多好的人呀！ “我现在说的是假话。”
¬(pq) ¬p¬q ¬(pq) ¬p¬q
p(pq) p p(pq) p
常用的逻辑等价(2)
否定律
名称 支配律
恒等律 排中律 矛盾律
假言易位 归缪论
描述
pT T, pF F pF p, pT p p¬p T p¬p F pq ¬pq pq (pq)(q p) pq ≡(pq)(¬p¬q) pq ¬q¬p pq ¬q¬p (pq)(p¬q) ¬p
29
4
4
5 41
4
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6
7
5
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3
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1
9
6
Sudoku谜题（可满足性问题）
sxyz : 第x行第y列的格子里填上数字z.
every column contains every number every row contains every number
each of the nine 3 × 3 blocks contains every number
例：(pq) ≡ ((pq)(qp))
(pq) ((pq)(qp)) 真值表：
逻辑课件关系命题及推理PPT资料(正式版)
（2）间接的关系推理 是从两个关系命题推出一个关系命题的关系推理。 A．传递性关系推理：a R b, b R c, 所以， a R c a. a等于b，b等于c，所以a等于c。 b. 长江在淮河之南，淮河在黄河之南，所以长江在黄河之南。
B．反传递关系推理： a R b, b R c, 所以 a R c。
C：非传递关系：如果a R b真，而且b R c也真时，a R c有时为真， 有时为假，那么，关系R就是非传递关系。假如：“老张认识老 李，老李认识小陈”，无法断定老张是否认识小陈。“认识”就 是非传递关系。其它如“相邻”、“朋友”等等关系也就是这种 非传递关系。
3．关系推理 关系推理是以关系命题作为前提或结论的推理。
事实胜于雄辩。其它如“剥削”、“压迫”、“侵略”等等
均为反对称关系。
丙：非对称关系：如一事物对另一事物具有某种关系，而另一
事物既可对前一事物具有某种关系，也可不具有该种关系。即；
a R b真时, b R a有时为真，有时为假，那么R就是非对称关系。
例如：“老张很尊重老李”；其它如：“认识”、“佩服”等
逻辑课件关系命题 及推理
2．最常见的几种关系
（1）对称性关系 甲：对称关系：在两个事物之间，如果一个事物与另一个事物 有着某种关系，另一个事物与这个事物必有着同样的关系，那 么这两个事物之间的关系就叫做对称关系。用公式表示这种关 系则为：如公式a R b真时,公式b R a 也真。
“相等关系”、“相同关系”、“对立关系”、“矛盾关 系”、“反对关系”、“交叉关系”、等等，都是这种对称 关系。 乙：反对称关系：如一事物对另一事物具有某种关系，而另 一事物对前一事物肯定不具有此种关系时，这两种事物之间 的关系就是反对称关系。即：如a R b真时，b R a必假。例如：
B．反传递关系推理： a R b, b R c, 所以 a R c。
C：非传递关系：如果a R b真，而且b R c也真时，a R c有时为真， 有时为假，那么，关系R就是非传递关系。假如：“老张认识老 李，老李认识小陈”，无法断定老张是否认识小陈。“认识”就 是非传递关系。其它如“相邻”、“朋友”等等关系也就是这种 非传递关系。
3．关系推理 关系推理是以关系命题作为前提或结论的推理。
事实胜于雄辩。其它如“剥削”、“压迫”、“侵略”等等
均为反对称关系。
丙：非对称关系：如一事物对另一事物具有某种关系，而另一
事物既可对前一事物具有某种关系，也可不具有该种关系。即；
a R b真时, b R a有时为真，有时为假，那么R就是非对称关系。
例如：“老张很尊重老李”；其它如：“认识”、“佩服”等
逻辑课件关系命题 及推理
2．最常见的几种关系
（1）对称性关系 甲：对称关系：在两个事物之间，如果一个事物与另一个事物 有着某种关系，另一个事物与这个事物必有着同样的关系，那 么这两个事物之间的关系就叫做对称关系。用公式表示这种关 系则为：如公式a R b真时,公式b R a 也真。
“相等关系”、“相同关系”、“对立关系”、“矛盾关 系”、“反对关系”、“交叉关系”、等等，都是这种对称 关系。 乙：反对称关系：如一事物对另一事物具有某种关系，而另 一事物对前一事物肯定不具有此种关系时，这两种事物之间 的关系就是反对称关系。即：如a R b真时，b R a必假。例如：
逻辑学 第六讲：命题逻辑的自然演绎系统三四节
补充材料二：
无效推理的证明
如果推理无效，那么运用推理规则不可能从前提推演出结论 。这意味着形式证明方法不能证明推理是无效的。 1，用真值表证明推理是无效的。 如果一个推理是无效的，至少存在一组赋值使得推理的前提 真而结论假。 例：用真值表判定下列推理是否有效： C（AB），AC /BC 2，用归谬赋值法证明推理的有效或无效。 归谬赋值法的基本思路同间接证明方法类似。我们要证明一 个推理是有效的，先假设它无效，这就是归谬。 例：判定下列推理是否有效： A（BC），（CD）F /AF 3，证明公式集合的协调性。
（附录）练习题：
一，用条件证明规则构造以下推论： 1，JK 2，ZCB，QB 3，P（QR），P（RQ） ） 二，使用间接证明构造以下推论： 1，PQ，PQ 2，FN，NBJ，BFD 3，PR，QS，PQ
/JJK /ZQ /P（QR
（二）条件证明规则的应用
例1： PQ RP ） 例2： P（QS） RP Q
/QR
（证明略
/RS
（证明如下）
证明： （1）P（QS） （2）RP （3） Q （4）R （5）R （6）P （7）QS （8）S （9）RS 证毕
（PQ）R QS PS /） PS （4）P （5）S （6）Q （7）PQ （8）R 证毕
PR PR PR PA-CP （3）、（4），MP （2）、（5）， （4）—（6），CP （1）、（7），MP
有的推论的证明只需一次使用条件证明规则，但是有的却需 要多次使用条件证明规则。 例4： P（QR） R Q（PS）
/PQ
例5： ABC CDE
/A（DEC）
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文字:命题变项及其否定的统称。 简单析取式:有限个文字构成的析取式。
如 pq, pqr, p, q, …。
简单合取式:有限个文字构成的合取式
如 pq, pqr, p, q, …
注意：一个文字既是简单析取式又是简单合取式。
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4
简单析取式与简单合取式
定理2.3 (1) 一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含 某个命题变项和它的否定。 (2) 一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含某个命题 变项和它的否定。
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5
析取范式与合取范式
析取范式:由有限个简单合取式组成的析取式。
设 A1 、 A2Ar 为 简 单 合 取 式 ， 则 A1A2Ar 为 析 取 范 式 ,
如: (pq)(qr)p 合取范式:由有限个简单析取式组成的合取式。
设A1、A2Ar为简单析取式,则A1A2Ar 是合取范式。
如: (pqr)(pq)r 范式:析取范式与合取范式的统称。
小项为止
(3) 消去重复出现的极小项, 即用mi代替mimi
(4) 将极小项按下标从小到大排列
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1,pn
(1) 求A的合取范式A 式 j=1,2, … ,s
=B1B2
…
Bs,
其中Bj是简单析
取
(2) 若某个Bj既不含pi, 又不含pi, 则将Bj展开成
Bj Bj(pipi) (Bjpi)(Bjpi) 重复这个过程, 直到所有简单析取式都是长度为n的极大
项为止
(3) 消去重复出现的极大项, 即用Mi代替MiMi
(4) 将极大项按下标从小到大排列
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17
定理2.7 任何命题公式都存在着与之等值的主析取范式和
主合取范式, 并且是惟一的.
M3M7
得 (pq)r M1M3M7
可记作
(1,3,7)
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20
求p(qr)的主析取范式与主合取范式
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18
实例
例1(续) 求(pq)r 的主析取范式与主合取范式
解 (1) (pq)r (pq)r
pq (pq)1
同一律
(pq)(rr)
排中律
(pqr)(pqr)
分配律
m4m5 r (pp)(qq)r
同一律, 排中律
(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)
m0 m2 m4 m6
如何求合(析)取范式？
(1) 消去A中的, ABAB AB(AB)(AB)
(2) 否定联结词的内移或消去
A A (AB)AB (AB)AB
(3) 使用分配律
A(BC)(AB)(AC) A(BC)(AB)(AC)
求合取范式 求析取范式
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8
范式存在定理
定理2.5 任何命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取 范式.
注意：形如pqr的公式既是析取范式，又是合取范式。 类似地，形如pqr的公式有同样的结论。
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6
析取范式与合取范式
定理2.4 (1) 一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每一个 简单合取式都是矛盾式。 (2) 一个合取范式是重言式当且仅当它的每一个简单析取 式都是重言式。
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7
命题逻辑第四节课件
学习内容
2.3 范式
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2
学习目标
理解简单合(析)取式以及合(析)取范式的概念,能熟练求 一个公式的合(析)取范式。 理解极小项和极大项以及主合(析)取范式的定义，掌握主 合(析)取范式的求法。 理解主合(析)取范式的用途。
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3
简单析取式与简单合取式
如何把简单析取式pq用含命题变项p,q,r的极大项表示? pq(pq)(rr)(pqr)(pqr)
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14
主析取范式与主合取范式
主析取范式:由极小项构成的析取范式 主合取范式:由极大项构成的合取范式
例如，n=3, 命题变项为p, q, r时， (pqr)(pqr) m1m3 是主析取范式 (pqr)(pqr) M1M5 是主合取范式
公式A的范式的步骤：
① 消去A中的,
② 否定联结词的内移或消去 ③ 使用分配律
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9
例1 求(pq)r 的析取范式与合取范式
注意: 公式的析取范式与合取范式不惟一. 求p(qr)的析取范式与合取范式
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10
极小项与极大项
定义2.17 在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)
中,若每个命题变项均以文字的形式出现且仅出现一次，
而且第i(1in)个文字(按下标或字母顺序排列)出现在左 起第i位上,称这样的简单合取式(简单析取式)为极小项
(极大项)。
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11
极小项与极大项
说明：
(1) n个命题变项产生2n个极小项和2n个极大项
(2) 每个极小项(极大项)都有且仅有一个成真(成假)赋值。
(3) 用mi表示第i个极小项,其中i是该极小项成真赋值的十 进制表示. 用Mi表示第i个极大项,其中i是该极大项成假赋
值的十进制表示, mi(Mi)称为极小项(极大项)的名称.
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12
极小项与极大项(续)
公式 pq pq
pq pq
p,q形成的极小项与极大项
极小项 成真赋值
00 01 10 11
名称
m0 m1 m2 m3
极大项
公式 成假赋值
pq
00
pq 0 1
pq 1 0
pq 1 1
名称
M0 M1 M2 M3
定理2.6 大项,
设则mi m与iMi是M由i ,同一M组i 命题m变i 项形成的极小项和极
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13
简单合(析)取式与极小(大)项
如何把简单合取式pq用含命题变项p,q,r的极小项表示? pq(pq)(rr)(pqr)(pqr)
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15
求主析取范式的步骤
(1) 求A的析取范式A =B1 B2 … Bs, 其中Bj是简单合取式 j=1,2, … ,s
(2) 若某个Bj既不含pi, 又不含pi, 则将Bj展开成 Bj Bj(pipi) (Bjpi)(Bjpi)
重复这个过程, 直到所有简单合取式都是长度为n的极
分配律
得 (pq)r m0 m2 m4 m5 m6
可记作
(0,2,4,5,6)
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19
实例(续)
(2) (pq)r (pr)(qr)
pr p0r
同一律
p(qq)r
矛盾律
(pqr)(pqr) 分配律
M1M3 qr (pp)qr
同一律, 矛盾律
(pqr)(pqr) 分配律
如 pq, pqr, p, q, …。
简单合取式:有限个文字构成的合取式
如 pq, pqr, p, q, …
注意：一个文字既是简单析取式又是简单合取式。
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4
简单析取式与简单合取式
定理2.3 (1) 一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含 某个命题变项和它的否定。 (2) 一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含某个命题 变项和它的否定。
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5
析取范式与合取范式
析取范式:由有限个简单合取式组成的析取式。
设 A1 、 A2Ar 为 简 单 合 取 式 ， 则 A1A2Ar 为 析 取 范 式 ,
如: (pq)(qr)p 合取范式:由有限个简单析取式组成的合取式。
设A1、A2Ar为简单析取式,则A1A2Ar 是合取范式。
如: (pqr)(pq)r 范式:析取范式与合取范式的统称。
小项为止
(3) 消去重复出现的极小项, 即用mi代替mimi
(4) 将极小项按下标从小到大排列
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1,pn
(1) 求A的合取范式A 式 j=1,2, … ,s
=B1B2
…
Bs,
其中Bj是简单析
取
(2) 若某个Bj既不含pi, 又不含pi, 则将Bj展开成
Bj Bj(pipi) (Bjpi)(Bjpi) 重复这个过程, 直到所有简单析取式都是长度为n的极大
项为止
(3) 消去重复出现的极大项, 即用Mi代替MiMi
(4) 将极大项按下标从小到大排列
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定理2.7 任何命题公式都存在着与之等值的主析取范式和
主合取范式, 并且是惟一的.
M3M7
得 (pq)r M1M3M7
可记作
(1,3,7)
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求p(qr)的主析取范式与主合取范式
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实例
例1(续) 求(pq)r 的主析取范式与主合取范式
解 (1) (pq)r (pq)r
pq (pq)1
同一律
(pq)(rr)
排中律
(pqr)(pqr)
分配律
m4m5 r (pp)(qq)r
同一律, 排中律
(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)
m0 m2 m4 m6
如何求合(析)取范式？
(1) 消去A中的, ABAB AB(AB)(AB)
(2) 否定联结词的内移或消去
A A (AB)AB (AB)AB
(3) 使用分配律
A(BC)(AB)(AC) A(BC)(AB)(AC)
求合取范式 求析取范式
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范式存在定理
定理2.5 任何命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取 范式.
注意：形如pqr的公式既是析取范式，又是合取范式。 类似地，形如pqr的公式有同样的结论。
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6
析取范式与合取范式
定理2.4 (1) 一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每一个 简单合取式都是矛盾式。 (2) 一个合取范式是重言式当且仅当它的每一个简单析取 式都是重言式。
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命题逻辑第四节课件
学习内容
2.3 范式
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2
学习目标
理解简单合(析)取式以及合(析)取范式的概念,能熟练求 一个公式的合(析)取范式。 理解极小项和极大项以及主合(析)取范式的定义，掌握主 合(析)取范式的求法。 理解主合(析)取范式的用途。
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3
简单析取式与简单合取式
如何把简单析取式pq用含命题变项p,q,r的极大项表示? pq(pq)(rr)(pqr)(pqr)
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14
主析取范式与主合取范式
主析取范式:由极小项构成的析取范式 主合取范式:由极大项构成的合取范式
例如，n=3, 命题变项为p, q, r时， (pqr)(pqr) m1m3 是主析取范式 (pqr)(pqr) M1M5 是主合取范式
公式A的范式的步骤：
① 消去A中的,
② 否定联结词的内移或消去 ③ 使用分配律
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9
例1 求(pq)r 的析取范式与合取范式
注意: 公式的析取范式与合取范式不惟一. 求p(qr)的析取范式与合取范式
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10
极小项与极大项
定义2.17 在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)
中,若每个命题变项均以文字的形式出现且仅出现一次，
而且第i(1in)个文字(按下标或字母顺序排列)出现在左 起第i位上,称这样的简单合取式(简单析取式)为极小项
(极大项)。
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11
极小项与极大项
说明：
(1) n个命题变项产生2n个极小项和2n个极大项
(2) 每个极小项(极大项)都有且仅有一个成真(成假)赋值。
(3) 用mi表示第i个极小项,其中i是该极小项成真赋值的十 进制表示. 用Mi表示第i个极大项,其中i是该极大项成假赋
值的十进制表示, mi(Mi)称为极小项(极大项)的名称.
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极小项与极大项(续)
公式 pq pq
pq pq
p,q形成的极小项与极大项
极小项 成真赋值
00 01 10 11
名称
m0 m1 m2 m3
极大项
公式 成假赋值
pq
00
pq 0 1
pq 1 0
pq 1 1
名称
M0 M1 M2 M3
定理2.6 大项,
设则mi m与iMi是M由i ,同一M组i 命题m变i 项形成的极小项和极
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简单合(析)取式与极小(大)项
如何把简单合取式pq用含命题变项p,q,r的极小项表示? pq(pq)(rr)(pqr)(pqr)
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求主析取范式的步骤
(1) 求A的析取范式A =B1 B2 … Bs, 其中Bj是简单合取式 j=1,2, … ,s
(2) 若某个Bj既不含pi, 又不含pi, 则将Bj展开成 Bj Bj(pipi) (Bjpi)(Bjpi)
重复这个过程, 直到所有简单合取式都是长度为n的极
分配律
得 (pq)r m0 m2 m4 m5 m6
可记作
(0,2,4,5,6)
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实例(续)
(2) (pq)r (pr)(qr)
pr p0r
同一律
p(qq)r
矛盾律
(pqr)(pqr) 分配律
M1M3 qr (pp)qr
同一律, 矛盾律
(pqr)(pqr) 分配律