安徽省阜阳市第三中学2019-2020学年高一上学期第二次调研考试数学试题

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安徽省阜阳市第三中学2019-2020学年高一上学期第二次调
研考试数学试题
试卷副标题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题)
请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题
1．已知集合{}{}
1,2,3,4,30A B x x ==-≤，则A B =( )
A ．{}3
B ．{}2,3
C ．{}1,2,3
D ．{}1,2
2．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是（ ） A ．出租车车费与出租车行驶的里程 B ．商品房销售总价与商品房建筑面积 C ．铁块的体积与铁块的质量 D ．人的身高与体重 3．函数y ＝1
x
＋log 2(x ＋3)的定义域是( ) A ．R B ．(－3，＋∞)
C ．(－∞，－3)
D ．(－3,0)∪(0，
＋∞)
4．下列四个函数中，在()0,∞+上为增函数的是（ ）． A ．()3f x x =- B ．()2
3f x x x =-
C ．()11
f x x =-
+ D ．()f x x =-
5．已知1sin 3α=
，则()3sin cos 2ππαα⎛⎫
++-=
⎪⎝⎭
（ ）
装…………○…………订…※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答装…………○…………订…A ．23
-
B ．
23
C ．13
-
D ．0
6．已知函数()f x 满足()()22f x f x ＝，且当12x ≤＜时，()2
f x x ＝，则()3f ＝( ) A ．
98
B ．
94
C ．
92
D ．9
7．若3log 0.3a =，0.3log 0.2b =，0.30.2c =，则（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．a c b <<
D ．b a c <<
8．下列四个图象中，表示函数1
()f x x x
=-
的图象的是( ) A ． B ．
C ．
D ．
9．若函数()log 2(0,1)a f x x a a =->≠在区间()0,2上是增函数，则()f x 在区间
()2+∞，
上( ) A ．是增函数且有最大值 B ．是增函数且无最大值 C ．是减函数且有最小值
D ．是减函数且无最小值
10．已知()y f x =是定义在R 上的函数，①直线x a =与()y f x =的图像的公共点个
数一定是1；②若()y f x =在区间](
-1∞，上是单调增函数，在()1
+¥，上也是增函数，
则()y f x =在R 上一定是单调增函数；③若()f x 是奇函数，则一定有(0)0f =；④若
(1)(1)f f -≠，则()y f x =一定不是偶函数.上述说法正确的个数是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
x
外………内………()f x 的零点的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．5
12．已知函数241y x x =-+的定义域为[]1,t ，在该定义域内函数的最大值与最小值之和为-5，则实数t 的取值范围是（ ） A ．(1,3] B ．[2,3]
C ．(1,2]
D ．(2,3)
第II 卷（非选择题)
请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题
13．若集合2{|10}x ax x ++=有且只有一个元素,则实数a 的取值集合是___________. 14．弧长为l ，圆心角为2弧度的扇形，其面积为S =___________. 15．设函数()246,0
6,0
x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，若互不相同的实数123,,x x x 满足
()()()123f x f x f x ==，且123x x x <<，则123x x x ++的取值范围是________
16．已知3
3112404x a y a x y
-+=--=，则()cos 2x y +=________ 三、解答题
17．（1）求值：1
213(lg15lg 42-+-； （2）若角
20203
π的终边经过点(,4)a ，求a
的值．
18．设关于x 的二次方程22190x ax a -+-=和的解集分别是集合A
和B ，若A B ⋂为单元素集，求a 的值.
19．设集合110,,,122A B ⎡⎫⎡⎤==⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦ ，函数1
,()222,x x A f x x x B ⎧+∈⎪=⎨⎪-∈⎩，已知m A ∈，且()()f f m A ∈，求实数m 的取值范围.
20．已知函数()21log 2x
f x a ⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
. （Ⅰ）若函数()f x 是R 上的奇函数，求a 的值；
（Ⅱ）若函数()f x 的定义域是一切实数，求a 的取值范围；
（Ⅲ）若函数()f x 在区间[]
0,1上的最大值与最小值的差不小于2,求实数a 的取值范围．
21．为净化新安江水域的水质，市环保局于2017年底在新安江水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，2018年二月底测得蒲草覆盖面积为224m ，2018年三月底测得覆盖面积为236m ，蒲草覆盖面积y （单位：2m ）与月份x （单位：月）的关系有两个函数模型(0,1)x
y ka k a =>>与2
(0)y mx n m =+>可供选择. （Ⅰ）分别求出两个函数模型的解析式；
（Ⅱ）若市环保局在2017年年底投放了211m 的蒲草，试判断哪个函数模型更合适？并说明理由；
（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论，求蒲草覆盖面积达到2320m 的最小月份．
（参考数据：lg20.3010=，lg30.4771=）
22．已知函数()f x 对任意实数x 、y 恒有()()()f x y f x f y +=+，当x>0时，f (x )<0，且(1)2f =-.
(1)判断()f x 的奇偶性；
(2)求()f x 在区间[-3,3]上的最大值；
(3)若2()22f x m am <-+对所有的[][]1,1,1,1x a ∈-∈-恒成立，求实数m 的取值范围.
参考答案
1．C 【解析】 【分析】
先化简集合B ，再求A B 得解.
【详解】
由题得{}
30={|3}B x x x x =-≤≤， 所以{1,2,3}A B =.
故选：C 【点睛】
本题主要考查集合的交集运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 2．D 【解析】 【分析】
根据函数的概念来进行判断。

【详解】
对于A 选项，出租车车费实行分段收费，与出租车行驶里程成分段函数关系；
对于B 选项，商品房的销售总价等于商品房单位面积售价乘以商品房建筑面积，商品房销售总价与商品房建筑面积之间是一次函数关系；
对于C 选项，铁块的质量等于铁块的密度乘以铁块的体积，铁块的体积与铁块的质量是一次函数关系；
对于D 选项，有些人又高又瘦，有些人又矮又胖，人的身高与体重之间没有必然联系， 因人而异，D 选项中两个变量之间的关系不是函数关系。

故选：D 。

【点睛】
本题考查函数概念的理解，充分理解两个变量之间是“一对一”或“多对一”的形式，考查学生对这些概念的理解，属于基础题。

3．D 【解析】
试题分析：由题意,得0{30
x x ≠+>，解得30x x >-≠且.故选D.
考点：函数的定义域. 4．C 【解析】 【分析】
A ，
B 可直接通过一次函数的单调性和二次函数的单调性进行判断；
C 利用1
y x
=-以及平移的思路去判断；D 根据y x =-的图象的对称性判断. 【详解】
A ．()3f x x =-在R 上是减函数，不符合；
B ．()2
3f x x x =-在3,
2⎛⎫-∞ ⎪
⎝⎭上是减函数，在3,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上是增函数，不符合； C ．()1
1f x x =-+可认为是1y x
=-向左平移一个单位所得，所以在()1,-+∞上是增函数，符合；
D ．()f x x =-图象关于y 轴对称，且在(),0-∞上是增函数，在()0,∞+上是减函数，不符合； 故选：C. 【点睛】
（1）一次函数()0y kx b k =+≠、反比例函数()0k
y k x
=≠的单调性直接通过k 的正负判断；
（2）二次函数的单调性判断要借助函数的对称轴和开口方向判断； （3）复杂函数的单调性判断还可以通过平移、翻折等变换以及图象进行判断. 5．A 【解析】 【分析】
利用诱导公式()πα+和3()2
π
α-，进行变形，再代入求值。

【详解】
sin()sin παα+=-，3cos()sin 2
π
αα-=-。

32sin()cos(
)sin sin 2sin 23
ππααααα∴++-=--=-=- 故选A 。

【点睛】
诱导公式口诀，“奇变偶不变，符号看象限”。

6．C 【解析】 【分析】
利用()()22f x f x ＝，可以得到()3f 的表达式，根据当12x ≤＜时，()2
f x x ＝，求出()
3f 的值. 【详解】
∵()()22f x f x =，且当12x ≤＜时，()2
f x x ＝，∴()2
33932()2()222
f f ==⨯=
.选C. 【点睛】
本题考查了求函数值问题，根据所给式子进行合理的变形是解题的关键. 7．C 【解析】 【分析】
利用指数函数、对数函数性质，逐个分析abc 取值范围，进而比较大小。

【详解】
3log 0.30a =<，0.30.3log 0.2log 0.31b =>=， 0.300.20.21c =<=，且0c >，则01c <<
a c
b ∴<<
故选C 【点睛】
对数式和指数式比较大小题型，通常将数与0、1、2或-1等比较，确定范围，再比较大小。

8．A 【解析】
【分析】
先判断函数的奇偶性排除B,再考虑函数的单调性确定答案. 【详解】
由题得函数的定义域为{|0}x x ≠，
1
()()f x x f x x
-=-+
=-， 所以函数是奇函数. 所以排除选项B.
当0x >时，函数1
,y x y x
==-都是单调递增函数， 由复合函数的单调性原理得1
()f x x x
=-单调递增.
所以排除C,D. 故选：A 【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 9．D 【解析】 【分析】
先根据已知求出a 的范围，再利用复合函数的单调性分析得解. 【详解】
由于函数|2|y x =-在区间()0,2上是减函数，
因为函数()log 2(0,1)a f x x a a =->≠在区间()0,2上是增函数 所以函数log a y x =是减函数，
所以01a <<.
由于函数|2|y x =-在区间()2+∞，
上是增函数，函数log a y x =是减函数，
所以()f x 在区间()2+∞，
上是减函数，没有最小值. 故选：D 【点睛】
本题主要考查复合函数的单调性和对数函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 10．B 【解析】 【分析】
根据函数的定义及性质，逐一分析给定四个结论的真假，可得答案． 【详解】
①直线x a =与()y f x =的图像的公共点个数一定是1，故正确；
②若()f x 在(,1)-∞是增函数，在[1，)+∞也是增函数，则函数()f x 在R 不一定是增函数（对于某些分段函数，在(,1)-∞是增函数，1x →时，y →+∞，在[1，)+∞也是增函数，且(1)0f =.此函数在R 上不是增函数.），故错误；
③若()f x 为定义在R 上的奇函数，则一定有(0)0f =，故正确； ④若(1)f f -≠（1），则函数()f x 一定不是偶函数，故正确． 故选：B 【点睛】
本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，主要考查函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 11．C 【解析】 【分析】
当0x >时，先利用零点判定定理进行判断，然后结合奇函数的性质进行判断即可． 【详解】
当0x >时，2019()2019log x f x x =+，
结合指数与对数函数的单调性可知2019()2019log x f x x =+，在(0,)+∞上单调递增， f （1）0>，0x →时，()0f x <，
则()f x 在(0+)∞，
上有唯一的零点， 因为奇函数()f x 的图象关于原点对称，故当0x <时也有唯一零点，且(0)0f =，
综上可得，程()0f x =的实根个数为3个. 故选：C 【点睛】
本题主要考查了函数零点个数的判断，考查了指数对数函数的图象性质，零点判定定理及奇函数性质的应用是求解的关键． 12．B 【解析】
∵ 函数241y x x =-+
∴函数2
41y x x =-+是开口向上，对称轴为2x =的抛物线
∵函数2
41y x x =-+的定义域为[]
1,t
∴当1x =时，2y =-，当2x =时，3y =- ∵函数在定义域内函数的最大值与最小值之和为-5 ∴当2y =-时，1x =或3x = ∴23t ≤≤ 故选B
13．{|0a a =或1}4
a = 【解析】 【分析】
讨论两种情况，结合判别式为零即可得结果. 【详解】
当0a =时，{}1A =-，合题意； 当0a ≠时，若集合A 只有一个元素， 由一元二次方程判别式140a =-=得14
a =． 综上，当0a =或14a =时，集合{}
2
10x ax x ++=只有一个元素，故答案为10,4⎧⎫⎨⎬⎩⎭
. 【点睛】
本题主要考查集合的表示方法以及元素与集合的关系，属于中档题.集合的表示方法，主要
有列举法、描述法、图示法、区间法，描述法表示集合是最常用的方法之一，正确理解描述法并加以应用的关键是一定要清楚：1,、元素是什么；2、元素的公共特性是什么.
14．2
【解析】
【分析】
【详解】
设扇形的半径为R ，则2l R =，212
S l R R =⨯⨯=， 2
=.填2. 【点睛】 扇形的面积公式为12
S Rl =，其中R 为扇形的半径，这个公式可和三角形的面积公式联系在一起记忆：把R 看成扇形的高，l 看成扇形的底.
15．()0,4
【解析】
【分析】
先作出函数()f x 的图象，再求出23x x +的值，求出1x 的范围即得解.
【详解】
函数的图象如下图所示，
二次函数的对称轴为2x =，
所以23=22=4x x +⨯.
由题得二次函数的最小值为2，
所以1266x <+<，
所以140x -<<，
所以12304x x x <++<.
故答案为：()0,4
【点睛】
本题主要考查函数的图象及其性质，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
16．1
【解析】
【分析】 设31
()f x x x
=-，判断函数()f x 的奇偶性和单调性，再证明()(2)f x f y =-，即得20x y +=，代入()cos 2x y +得解.
【详解】 设31()()2f x x f x a x =-∴=-，
， 所以31(2)822f y y a y
=-=， 所以()(2)f x f y =-. 因为31()()f x x f x x
+-=-=-， 所以函数()f x 是奇函数，
所以()(2)f x f y =-.
又因为函数()f x 是增函数（增+增=增），
所以2,20x y x y =-∴+=
所以()cos 2x y +=1.
故答案为：1
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性的判断和单调性的判断，考查函数的奇偶性和单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
17．(1)1； 【解析】
【分析】
（1）利用指数和对数的运算法则化简求解；（2）利用诱导公式和三角函数的定义得到4
,a
=解方程即得解. 【详解】
（1）1213()lg15lg 221142
-+-=-+=. （2）2020167333
πππ=+， 20204
tan ,3a
π∴==
所以3
a =. 【点睛】
本题主要考查指数对数的运算，考查三角函数的诱导公式和三角函数的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18．3a =-或2-.
【解析】
【详解】
试题分析：先解出集合{}2,3B =，根据A B 为单元素集，得到{}2A =或{}3，相当于二次方程22190x ax a -+-=只有一个根2或二次方程22190x ax a -+-=只有一个根3，从而将2或3代入方程中得到参数的取值，求出a 的取值之后，返代22190x ax a -+-=，
得出A ，检验此时的A 是否为{}2或{}3，满足要求的就取，不满足要求的a 的值应该舍去. 试题解析：解方程
，得{}122,3,2,3x x B ==∴= 由A B 为单元素集得{}2A =或{}3
当{}2A =时有221505--=∴=a a a 或3,5-=a 时{}2,3A =不合题意
3a ∴=-
当{}3A =时有23100a a --=5a ∴=或2,5-=a 时{}2,3A =不合题意
2a ∴=-
综上得3a =-或2-.
19．1142⎛⎫ ⎪⎝⎭，
【解析】
【分析】 先求出1(())22()122f f m m m =-+=-，再解不等式10122
m ≤-<
得解. 【详解】 1110,(),1222m A m f m m ⎡⎫∈∴≤<=+∈⎪⎢⎣⎭ 1(())22()122
f f m m m ∴=-+=- (())f f m A ∈
111012242m m ∴≤-<
<≤∴ 因为102
m ≤< 1142
m ∴<< 所以1142m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，
【点睛】
本题主要考查分段函数的性质及参数范围的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
20．（Ⅰ）0a = （Ⅱ）0a ≥（Ⅲ） 1123
a -
<≤- 【解析】
【分析】 （Ⅰ）利用()00f =求得a 后验证()f x 为奇函数即可． （Ⅱ）
102
x a +>在R 上恒成立，参变分离后可得实数a 的取值范围． （Ⅲ）()f x 为[]0,1上减函数，故()()012f f -≥，结合102x a +>在[]0,1上恒成立可得实数a 的取值范围．
【详解】
（Ⅰ）函数是R 上的奇函数，则(0)0f =，求得0a =.又此时()f x x =-是R 上的奇函数．所以0a =为所求．
（Ⅱ）函数的定义域是一切实数，则102x a +>恒成立. 即12x a >-恒成立，由于1(,0)2x
-∈-∞. 故只要0a ≥即可 （Ⅲ）由已知函数
是减函数，故在区间[0,1]上的最大值是2(0)log (1)f a =+， 最小值是21
(1)log ()2
f a =+. 由题设22101lo
g (1)log ()222142
a a a a a ⎧+>⎪+-+≥⇒⎨⎪+≥+⎩，故a 的取值范围为 1123
a -<≤-. 【点睛】
含参数的奇函数或偶函数，可通过取特殊的自变量的值来求参数的大小，注意最后检验必不可少.含参数的不等式的恒成立问题，优先考虑参变分离的方法，把问题归结为不含参数的函数的值域问题.与对数有关的函数问题，在转化过程中注意真数总是正数的要求. 21．（Ⅰ）323()32x y =
,2127255y x =+ （Ⅱ）模型323()32
x y =更为合适 （Ⅲ） 9月 . 【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据题设条件得到每个函数中两个参数的方程组，解这些方程组可得函数的解析式．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中的函数计算0x =时的函数值，比11差的绝对值较小的函数为更合适的模型． （Ⅲ）不等式
323()32032
x ≥的最小正整数解即为所求的月份． 【详解】 （Ⅰ）由已知2
3322433
362k k a k a a ⎧=⎪⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=⎩⎪=⎪⎩ ，所以323()32x y =， 由已知124245936725m m n m n n ⎧=⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩
，所以2127255y x =+. （Ⅱ）若用模型323()32x y =，则当0x =时，1323
y =， 若用模型2127255y x =+，则当0x =时，2725
y =， 易知，使用模型323()32
x y =更为合适. （Ⅲ）由
32323()320log 3032x x ≥⇒≥， 故32lg301lg3 1.4771log 308.383lg3lg 20.1761lg 2
x +≥=
==≈-， 故蒲草覆盖面积达到
的最小月份是9月. 【点睛】
生活中一些现象可以用不同的数学模型来刻画，最佳模型可以根据数据对应的散点图形状来选择，也可以根据误差较小原则来确定最佳模型.
22．（1）奇函数（2）6（3）{2,m m 或者2}m <-
【解析】
【分析】
（1）令x ＝y ＝0⇒f （0）＝0，再令y ＝﹣x ，⇒f （﹣x ）＝﹣f （x ）；
（2）设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，结合条件用单调性的定义证明函数f （x ）为R 上的增函数，从而得到()f x 在区间[-3,3]上的最大值；
（3）根据函数f （x ）≤m 2﹣2am ﹣2对所有的x ∈[﹣1，1]，a ∈[﹣1，1]恒成立，说明f （x ）的最大值2小于右边，因此先将右边看作a 的函数，m 为参数系数，解不等式组，即可得出m 的取值范围．
【详解】
（1）取x=y=0，则f （0+0）=f （0）+f （0）；则f （0）=0；
取y =﹣x ，则f (x ﹣x )=f (x )+f (﹣x )，
∴f (﹣x )=﹣f (x )对任意x∈R 恒成立
∴f (x )为奇函数；
（2）任取x 1，x 2∈（﹣∞，+∞）且x 1＜x 2，则x 2﹣x 1＞0；∴f （x 2）+f (﹣x 1）=f （x 2﹣x 1）＜0； ∴f （x 2）＜﹣f （﹣x 1），
又∵f （x ）为奇函数，
∴f （x 1）＞f （x 2）；
∴f（x ）在（﹣∞，+∞）上是减函数；
∴对任意x∈[﹣3，3]，恒有f （x ）≤f （﹣3）
而f （3）=f （2+1）=f （2）+f （1）=3f （1）=﹣2×
3=﹣6； ∴f （﹣3）=﹣f （3）=6；
∴f （x ）在[﹣3，3]上的最大值为6；
（3）由（2）可知函数()f x 在[]1,1-的最大值为()12f -=
所以要使()222f x m am <-+对所有的[][]
1,1,1,1x a ∈-∈-恒成立 只需要()()2
max 2212m am f x f -+>=-= 即220m am ->对所有[]1,1a ∈-恒成立
令()[]2
2,1,1g a m am a =-∈-，则()()1010g g ⎧->⎪⎨>⎪⎩即222020m m m m ⎧+>⎨->⎩解得22m m ><-，或者
所以实数m 的取值范围是{}
2,2m m m <-或者
【点睛】
本题考查了抽象函数的奇偶性、单调性与函数的值域、不等式恒成立等知识点，属于中档题，解题时应该注意题中的主元与次元的处理．。