新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式23二次函数与一元二次方程不等式第2课时二次函数与一(

2021-4-29 20XX年复习资料
教学复习资料
班级：科目：
第二章 2.3 第2课时
A 组·素养自测
一、选择题
1．若不等式x 2
＋mx ＋m
2>0的解集为R ，则实数m 的取值范围为( D )
A ．m >2
B ．m <2
C ．m <0，或m >2
D ．0<m <2
[解析] 由Δ＝m 2－4×m
2
＝m 2
－2m <0可得．
2．已知不等式x 2
＋ax ＋4<0的解集为空集，则a 的取值范围是( A ) A ．－4≤a ≤4 B ．－4<a <4 C ．a ≤－4，或a ≥4
D ．a <－4，或a >4
[解析] 由Δ＝a 2－4×4≤0可得．
3．若存在x 0∈R ，使得x 2
0＋2x 0＋m <0成立，则实数m 的取值范围是( B ) A ．m ≤1 B ．m <1 C ．m >1
D ．m ≥1
[解析] 由题意可得Δ＝4－4m >0，∴m <1.
4．已知关于x 的不等式x 2
－ax －b <0的解集是{x |2<x <3}，则a ＋b 的值是( C ) A ．－11 B ．11 C ．－1
D ．1
[解析] 由已知可得2,3是方程x 2
－ax －b ＝0的根，故a ＝5，b ＝－6，∴a ＋b ＝－1，故选C ．
5．如果ax 2
＋bx ＋c >0的解集为{x |x <－2，或x >4}，那么对于函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c ，应有( D )
A ．f (5)<f (2)<f (－1)
B ．f (2)<f (5)<f (－1)
C ．f (－1)<f (2)<f (5)
D ．f (2)<f (－1)<f (5)
[解析] 由条件知a >0，且⎩⎪⎨⎪⎧
－b
a
＝－2＋4，c
a ＝－2×4，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
b ＝－2a ，
c ＝－8a ，
所以f (x )＝ax 2
－2ax －8a ＝a [(x －1)2
－9]， 则f (－1)＝－5a ，f (2)＝－8a ，f (5)＝7a .
又因为a >0，所以f (2)<f (－1)<f (5)．
6．如果方程x 2
＋(m －1)x ＋m 2
－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是( D )
A ．－2<m < 2
B ．－2<m <0
C ．－2<m <1
D ．0<m <1
[解析] 令f (x )＝x 2
＋(m －1)x ＋m 2
－2，
则⎩
⎪⎨⎪⎧
f 1＝m 2
＋m －2<0，f －1＝m 2
－m <0，
解得0<m <1，故选D ．
二、填空题
7．若不等式x 2
－ax －a ≤－3的解集为空集，则实数a 的取值范围是__{a |－6<a <2}__. [解析] 不等式x 2
－ax －a ≤－3可化为x 2
－ax －a ＋3≤0，
由不等式x 2
－ax －a ≤－3的解集为空集，得Δ＝(－a )2
－4(－a ＋3)<0， 即a 2
＋4a －12<0，解得－6<a <2，则实数a 的取值范围是{a |－6<a <2}． 8．若关于x 的不等式x －a
x ＋1
>0的解集为{x |x <－1或x >4}，则实数a ＝__4__. [解析] 不等式x －a
x ＋1
>0等价于(x －a )(x ＋1)>0， 因为不等式
x －a
x ＋1
>0的解集为{x |x <－1或x >4}，所以a ＝4. 9．若不等式x 2
＋2x ＋2>|a －2|对于一切实数x 均成立，则实数a 的取值范围是__{a |1<a <3}__.
[解析] ∵x 2
＋2x ＋2＝(x ＋1)2
＋1≥1，
∴当x ＝－1时，x 2
＋2x ＋2有最小值，最小值为1， 由不等式x 2
＋2x ＋2>|a －2|对于一切实数x 均成立， 得|a －2|<1，解得1<a <3， ∴实数a 的取值范围是{a |1<a <3}． 三、解答题
10．关于x 的不等式E ：ax 2
＋ax －2≤0，其中a ∈R . (1)当a ＝1时，求不等式E 的解集；
(2)若不等式E 在R 上恒成立，求实数a 的取值范围．
[解析] (1)当a ＝1时，不等式E ：ax 2
＋ax －2≤0可化为x 2
＋x －2≤0， 即(x ＋2)(x －1)≤0，方程(x ＋2)(x －1)＝0的两根为x 1＝－2，x 2＝1， 则不等式x 2
＋x －2≤0的解集是{x |－2≤x ≤1}， ∴当a ＝1时，不等式E 的解集为{x |－2≤x ≤1}．
(2)当a ＝0时，不等式E 化为0·x 2
＋0·x －2≤0，对x ∈R 恒成立，即a ＝0满足题意．
当a ≠0时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
a <0，Δ＝a 2
－4a －2≤0
⇒⎩
⎪⎨
⎪⎧
a <0，
－8≤a ≤0，解得－8≤a <0.
综上可知，a 的取值范围为{a |－8≤a ≤0}．
11．汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速为40 km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ．已知甲、乙两种车型的刹车距离s (m)与车速x (km/h)之间分别有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2
，s 乙＝0.05x ＋0.005x 2
.
问：甲、乙两车有无超速现象？
[解析] 由题意知，对于甲车，有0.1x ＋0.01x 2
>12，即x 2
＋10x －1 200>0，解得x >30或x <－40(不符合实际意义，舍去)，这表明甲车的车速超过30 km/h.
但根据题意知刹车距离略超过12 m ，由此估计甲车的车速不会超过限速40 km/h. 对于乙车，有0.05x ＋0.005x 2
>10，即x 2
＋10x －2000>0，解得x >40或x <－50(不符合实际意义，舍去)，这表明乙车的车速超过40 km/h ，即超过规定限速．
B 组·素养提升
一、选择题
1．不等式组⎩
⎪⎨
⎪⎧
x x ＋2>0，
|x |<1的解集为( C )
A ．{x |－1<x <0}
B ．{x |－2<x <－1}
C ．{x |0<x <1}
D ．{x |x >1}
[解析] 由x (x ＋2)>0，得x >0或x <－2.又由|x |<1，得－1<x <1，所以不等式组
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x x ＋2
>0，
|x |<1的解集为{x |0<x <1}．
2．不等式x 2－2x －2
x 2＋x ＋1
<2的解集为( A )
A ．{x |x ≠－2}
B ．R
C ．∅
D ．{x |x <－2或x >2}
[解析] ∵x 2
＋x ＋1>0恒成立，
∴原不等式⇔x 2
－2x －2<2x 2
＋2x ＋2⇔x 2
＋4x ＋4>0⇔(x ＋2)2
>0，
∴x ≠－2，∴不等式的解集为{x |x ≠－2}．
3．(多选题)不等式x 2
＋ax ＋b ≤0(a ，b ∈R )的解集为{x |x 1≤x ≤x 2}，且|x 1|＋|x 2|≤2，其中错误的命题为( ACD )
A ．|a |≥1
B ．b ≤1
C ．|a ＋2b |≥2
D ．|a ＋2b |≤2
[解析] 由题意知x 1x 2＝b ，|x 1|＋|x 2|≤2，不妨令a ＝－1，b ＝0，则x 1＝0，x 2＝1，但|a ＋2b |＝1，所以C 不正确；令a ＝2，b ＝1，则x 1＝x 2＝1，但|a ＋2b |＝4，所以D 不正确；令a ＝0，b ＝－1，则x 1＝－1，x 2＝1，但|a |＝0，故A 不正确；b ＝
x 1x 2≤(x 1＋x 22
)2≤⎝
⎛⎭
⎪⎫|x 1|＋|x 2|2
2
≤1，所以B 正确，故选ACD ．
4．(多选题)已知关于x 的方程x 2
＋(m －3)x ＋m ＝0，下列结论正确的是( BCD ) A ．方程x 2
＋(m －3)x ＋m ＝0有实数根的充要条件是m ∈{m |m <1或m >9} B ．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有一正一负根的充要条件是m ∈{m |m <0} C ．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有两正实数根的充要条件是m ∈{m |0<m ≤1} D ．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0无实数根的必要条件是m ∈{m |m >1}
[解析] 在A 中，由Δ＝(m －3)2
－4m ≥0得m ≤1或m ≥9，故A 错误；在B 中，当x ＝0时，函数y ＝x 2
＋(m －3)x ＋m 的值为m ，由二次函数的图象知，方程有一正一负根的充要
条件是m ∈{m |m <0}，故B 正确；在C 中，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
Δ＝m －32
－4m ≥0，
3－m >0，
m >0，
解得0<m ≤1，
故C 正确；在D 中，由Δ＝(m －3)2
－4m <0得1<m <9，又{m |1<m <9}⊆{m |m >1}，故D 正确，故选BCD ．
二、填空题
5．若对任意实数x ，不等式2kx 2
＋kx －3<0恒成立，则实数k 的取值范围是__{k |－24<k ≤0}__.
[解析] 当k ＝0时，不等式为－3<0，不等式恒成立；当k ≠0时，若不等式恒成立，
则⎩⎪⎨⎪⎧
k <0，
Δ<0，
解得－24<k <0.
综上所述，－24<k ≤0.
6．关于x 的方程x 2
－(k ＋1)x ＋2k －1＝0的根一个大于4，另一个小于4，则实数k 的
取值范围是__⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫k ⎪⎪⎪
k >
112__. [解析] 令f (x )＝x 2
－(k ＋1)x ＋2k －1，则f (4)<0，即42
－4(k ＋1)＋2k －1<0，整理
有2k －11>0，解得k >11
2
.
7．若不等式x 2
＋ax ＋1≥0对一切x ∈{x |0<x ≤12}成立，则a 的最小值为__－52__.
[解析] ∵x 2
＋ax ＋1≥0对一切x ∈{x |0<x ≤12}成立，
∴a ≥－(x ＋1x )在x ∈{x |0<x ≤1
2
}上恒成立．
令g (x )＝－(x ＋1x )，则g (x )在{x |0<x ≤1
2}上为增函数．
∴g (x )max ＝g (12)＝－52.∴a ≥－5
2.
∴a 的最小值为－5
2.
三、解答题
8.如图，有一长AM ＝30米，宽AN ＝20米的矩形地块，物业计划将其中的矩形ABCD 建为仓库，要求顶点C 在地块的对角线MN 上，B ，D 分别在边AM ，AN 上，其他地方建停车场和路，设AB ＝x 米．
(1)求矩形ABCD 的面积S 关于x 的函数解析式；
(2)若要求仓库占地面积不小于144平方米，求x 的取值范围．
[解析] (1)由题意知，△NDC ∽△NAM ，则DC AM ＝ND NA ，即x 30＝20－AD 20，解得AD ＝20－2
3
x .
所以矩形ABCD 的面积S 关于x 的函数解析式为S ＝20x －23
x 2
(0<x <30)．
(2)由题意得20x －23x 2≥144，即x 2
－30x ＋216≤0，解得12≤x ≤18.故x 的取值范围是
{x |12≤x ≤18}．
结束语
同学们，相信梦想是价值的源泉，相信成功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念。

加油~~。