计量经济学导论：ch07 多元回归分析：虚拟变量
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MBR b0 d1CR1 d2CR2 d3CR3 d4CR4 其他因素
d j系数含义可解释为：保持其他因素不变，信用等级为j
级的城市和信用等级为零级的城市之间在MBR上的差异。 其中，j 1, 2,3, 4。
问题：两种估计方法中，哪种方法更优？
16
例7.7 相貌吸引力对工资的影响
在劳动力市场中，除了存在性别歧视之外，还 可能存在相貌、身高等歧视。如果将样本相貌 分为三类：一般水平、低于一般水平、高于一 般水平，并以一般水平组作为基组，分别对男 人、女人估计方程得：
y = b0 + d0d + b1x + u
This can be interpreted as an intercept shift
If d = 0, then y = b0 + b1x + u If d = 1, then y = (b0 + d0) + b1x + u
The case of d = 0 is the base/benchmark group
虚拟变量与非虚拟变量之间也有交互作用，使 得出现不同的斜率。
female 0,男性组截距是b0，受教育的斜率是b1； female 1,女性组的截距是b0 d0，受教育的斜率是b1 d1。
24
25
我们关心的两个假设： ➢ 男性和女性受教育的回报是相同的。
H0：d1 0
➢ 受教育水平相同的男性和女性的平均工资相同。
将式7.13中的调整R 平方与把排名作为一个单独变量得到
的调整R 平方比较，前者是0.905，后者是0.836。所以，式
7.13 增加了回归的灵活性。 另外，式 7.13中所有其他变量都变得不显著了，联合显著性
检验给出P值为0.055；当 rank以其原有形式被包括在模型中时， 联合显著性检验的P值在小数点后四位数都是零。
女人组的情况如何？ 通过这两个回归方程，你得到什么启示？
18
例7.8 法学院排名对起薪的影响
定义虚拟变量top10, r11 ~ 25, r26 ~ 40, r41 ~ 60, r61 ~ 100, 并让这些变量在排名落在相应的区间时取值1。以排名在 100名以后的法学院为基组，所估计的方程是：
19
如何检约束模型，R2 0.352
F
Ru2r 1 Ru2r
Rr2 / q / n k 1
0.406 0.352 / 4 1 0.406 / 366 7 1
8
30
如何解释男女运动员GPA的差异？ 如果只看变量female，结论是：保持其他因素不变， 女性的GPA将比男性少约0.353.但这只是假设sat, hsperc,tothrs都等于零时所得到的估计差异，这 种情况并不是很有意义。
colˆGPA 1.26 0.157 PC 0.447hsGPA 0.008ACT
(0.33) (0.057)
(0.094) （0.0105）
n 141, R2 0.219 tPC 0.157 / 0.57 2.75
7
例7.3 培训津贴对培训小时数的影响
hrseˆmp 46.67 26.25grant 0.98 log sales 6.071log employ
Dummy variables are also called binary variables, for obvious reasons
2
A Dummy Independent Variable
Consider a simple model with one continuous variable (x) and one dummy (d)
3 可以考虑在样本的平均受教育水平（12.5）上估计性别 工资差异，即以female edu - 12.5取代female edu重新进行
回归。这只会改变female的系数及其标准误。
28
检验不同组之间回归函数上的差别
现在，我们考察的虚拟假设是：两个总体或两 组具有同一个回归函数；对立假设是，各组间 有一个或多个斜率是不同的。
wage b1male b2 female b2educ u
将总截距去掉，将每一组的虚拟变量包括进来，
男人的截距是b1，女人的截距是b
，因为没有总
2
截距，所以不存在虚拟变量陷阱。但检验截距的
差值更困难，而且对于不含截距项的回归R2计算
方法没有一致同意的方法。
5
例7.1 是否存在性别歧视
waˆge 1.571.81 female 0.572educ 0.025exp er 0.141tenure
27
1男性的教育回报约为8.2%；
女性的教育回报是0.082-0.0056=0.0764(7.64%).
2 female和female edu之间存在多重共线性，导致参数
估计值标准误增大，t统计量显著性下降。实际上，female 的参数值衡量的是当edu 0时男性与女性的工资差异， 但样本中没有一个人具有甚至是接近于零年的受教育水平。
17
如何解释两方程中相貌因素对工资的作用： 对于男人组，那些相貌低于平均水平的人，在其他方面相同
的情况下，预计比相貌处于平均水平的男人约少挣16.4%，且 t统计量为-3.57，表明这个影响在统计上是显著异于零的；类 似地，相貌高于平均水平的男人预计要多挣约1.6%，尽管这种 影响在统计上并不显著（t<0.5）。
1 模型的基组是？ 2已婚男性组的截距是？ 3已婚女性组的截距是？ 4 未婚女性组的截距是？
单身男性，截距为0.321. 0.321+0.213=0.534 0.321-0.110+0.213-0.301=0.123 0.321-0.110=0.211
22
例7.9 计算机使用对工资的影响
1 模型的基组是？ 2 相对于基组，工作中使用计算机（但在家里不使用）者估计回报差值是？ 3 相对于基组，在家里使用（但在工作中不使用）计算机者估计回报差值是？ 4 相对于基组，在工作中和家里都使用计算机者估计回报差值是？
在sat 1100, hsperc 10和tothrs=50时，女性与男性之间的
差异为-0.353+0.000751100 0.0005510 0.0001250 0.461
31
一般的检验方法：邹至庄统计量
在含有k个解释变量和一个截距项的一般模型中，假设有两组， 称为g=1和g=2。我们想检验这两组的截距和所有的斜率都相同。
13
如果要比较特定两组之间工资的差异，可以重 新设定基组进行回归分析。例如，为检验单身 女人和已婚女人之间的估计差异是否显著，以 已婚女人组作为基组重新估计得到：
tsingfem 0.088 / 0.052 1.69
在方程中包括虚拟变量来象征不同组的一般原 则：如果回归模型有g组或g类不同的截距，在 模型中则包含g-1个虚拟变量和一个1截距。
20
涉及虚拟变量的交互作用
虚拟变量之间的交互作用 例7.6根据婚姻状况和性别定义了四个类别，在模 型中引入三个虚拟变量，以单身男性为基组研究 了不同类别之间的工资差异。除此之外，还有什 么方法？
21
此外，我们还可以在female和married分别出 现的模型中，增加一个female和married的交 互项，同样可以进行组别工资差异比较。
H0：d0 0，d1 0
26
例7.10 对数小时工资方程
1 方程中男性与女性的教育回报分别是多少？统计显著性如何？ 2 方程中female及其交互项系数t统计量分别为1.64、0.42，可以
由此断定没有统计显著的证据拒绝女人在相同的edu,exper和tenure 时得到较低的回报吗？
3 如何解决可能存在的多重共线性问题？
多元回归分析：虚拟变量
y = b0 + b1x1 + b2x2 + . . . bkxk + u
1
Dummy Variables
A dummy variable is a variable that takes on the value 1 or 0
Examples: male (= 1 if are male, 0otherwise), south (= 1 if in the south, 0 otherwise), etc.
级面板数据中，甚至会引入n-1个地区虚拟变 量。 ➢ 虚拟变量可以描述包含序数的信息：信用等级
12
例7.6 工资方程
估计一个工资对如下四组都不同的模型：已婚男人、已婚女人、单身男人、单 身女人。首先选择基组：单身男人，对剩下的每一组定义一个虚拟变量，并称 之为marrmal,marrfem,和singfem。因此，三个虚拟变量的估计量度量的都是与 单身男人相比，工资的比例差异。
本模型以在家里和工作中都不使用计算机者为基组
约等于17.7%；更精确的估计值是exp0.177 -1=19.4% 约等于7%；更精确的估计值是exp0.07 -1= 7.25% 约等于26.4%；更精确的估计值是exp0.264 -1= 30.2%
23
容许出现不同的斜率
虚拟变量之间的交互项反映的是截距之间的差 异，斜率并未发生变化。含义是：样本回归曲 线是平行的。
不受约束模型除了截距项和变量本身外，还有一组虚拟变量和交互项，
其自由度为n-2 k+1。不受约束模型的残差平方和可通过两个分离的回
归得到。令SSR1、SSR
表示第一组、第二组估计所得到的残差平方和，
2
SSR为受约束模型的残差平方和（将两组混合并估计一个方程所得到）。
(0.72) (0.26)
(0.049) (0.012)
(0.021)
n 526, R2 0.364 是否存在性别歧视？
waˆge 7.10 2.51 female (0.21) (0.30)
n 526, R2 0.116
均值比较检验
6
例7.2 拥有计算机 与大学GPA
colGPA b0 d0PC b1hsGPA b2 ACT u
在保持其他因素不变的情况下，一套殖民地建筑风格的住房的卖价预计高出约5.4%。
9
当y有较大比例变化时，如何更准确估 计y变化的百分比？
logˆ wageF logˆ wageM 0.297 1 wageF wageM wageM exp 0.297 1 0.257
这表明，一个女人的工资比一个与他相当的男人 的工资大致低25.7%。
10
log y log y1 log y0 b2x2
log
y1 y0
log
y1
y0 y0
y0
b2x2
log
y y0
y0
b2x2
log
y y0
1
b2x2
y y0
exp b2x2
1
11
Dummies for Multiple Categories
在应用研究中，我们需要使用多个虚拟变量。 ➢ 在控制性别的基础上，研究婚姻状态的影响； ➢ 在区域研究中，往往区分东、中、西部；在省
3
Example of d0 > 0
y y = (b0 + d0) + b1x
d= 1
slope = b1
{d0
d= 0
b0
y = b0 + b1x
x
4
wage b0 b1male b2 female b2educ u
由于female male 1, 模型同时引入male和female 将产生完全共线性，产生所谓的虚拟变量陷阱。
14
通过虚拟变量来包含序数信息
序数变量：穆迪或标准普尔对地方政府债券的 质量进行了级别评定，假设等级范围从零到四， 零为最低的信用等级，四位最高的信用等级， 记为CR。然而，很难有意义地解释CR变化一 个单位对MBR的影响。
MBR b0 b1CR 其他因素
15
可以考虑如下模型，其中，如果CR 1，则CR1 1，否则CR1 0； 如果CR 2，则CR2 1，否则CR2 0；如此等等。即以等于零的 信用等级作为基组，得到如下方程：
43.41 5.59 3.54
3.88
n 105, R2 0.237 t grant 4.7
问题的关键是：定性变量所度量的影响是否为因果性？ 办法之一是，尽可能控制与虚拟变量及因变量相关的因素。
8
当因变量为log(y)时对虚拟变量系数的解释
当自变量中有一个或多个虚拟变量时，因变量 以对数形式出现，虚拟变量的系数具有一种百 分比解释。
d j系数含义可解释为：保持其他因素不变，信用等级为j
级的城市和信用等级为零级的城市之间在MBR上的差异。 其中，j 1, 2,3, 4。
问题：两种估计方法中，哪种方法更优？
16
例7.7 相貌吸引力对工资的影响
在劳动力市场中，除了存在性别歧视之外，还 可能存在相貌、身高等歧视。如果将样本相貌 分为三类：一般水平、低于一般水平、高于一 般水平，并以一般水平组作为基组，分别对男 人、女人估计方程得：
y = b0 + d0d + b1x + u
This can be interpreted as an intercept shift
If d = 0, then y = b0 + b1x + u If d = 1, then y = (b0 + d0) + b1x + u
The case of d = 0 is the base/benchmark group
虚拟变量与非虚拟变量之间也有交互作用，使 得出现不同的斜率。
female 0,男性组截距是b0，受教育的斜率是b1； female 1,女性组的截距是b0 d0，受教育的斜率是b1 d1。
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25
我们关心的两个假设： ➢ 男性和女性受教育的回报是相同的。
H0：d1 0
➢ 受教育水平相同的男性和女性的平均工资相同。
将式7.13中的调整R 平方与把排名作为一个单独变量得到
的调整R 平方比较，前者是0.905，后者是0.836。所以，式
7.13 增加了回归的灵活性。 另外，式 7.13中所有其他变量都变得不显著了，联合显著性
检验给出P值为0.055；当 rank以其原有形式被包括在模型中时， 联合显著性检验的P值在小数点后四位数都是零。
女人组的情况如何？ 通过这两个回归方程，你得到什么启示？
18
例7.8 法学院排名对起薪的影响
定义虚拟变量top10, r11 ~ 25, r26 ~ 40, r41 ~ 60, r61 ~ 100, 并让这些变量在排名落在相应的区间时取值1。以排名在 100名以后的法学院为基组，所估计的方程是：
19
如何检约束模型，R2 0.352
F
Ru2r 1 Ru2r
Rr2 / q / n k 1
0.406 0.352 / 4 1 0.406 / 366 7 1
8
30
如何解释男女运动员GPA的差异？ 如果只看变量female，结论是：保持其他因素不变， 女性的GPA将比男性少约0.353.但这只是假设sat, hsperc,tothrs都等于零时所得到的估计差异，这 种情况并不是很有意义。
colˆGPA 1.26 0.157 PC 0.447hsGPA 0.008ACT
(0.33) (0.057)
(0.094) （0.0105）
n 141, R2 0.219 tPC 0.157 / 0.57 2.75
7
例7.3 培训津贴对培训小时数的影响
hrseˆmp 46.67 26.25grant 0.98 log sales 6.071log employ
Dummy variables are also called binary variables, for obvious reasons
2
A Dummy Independent Variable
Consider a simple model with one continuous variable (x) and one dummy (d)
3 可以考虑在样本的平均受教育水平（12.5）上估计性别 工资差异，即以female edu - 12.5取代female edu重新进行
回归。这只会改变female的系数及其标准误。
28
检验不同组之间回归函数上的差别
现在，我们考察的虚拟假设是：两个总体或两 组具有同一个回归函数；对立假设是，各组间 有一个或多个斜率是不同的。
wage b1male b2 female b2educ u
将总截距去掉，将每一组的虚拟变量包括进来，
男人的截距是b1，女人的截距是b
，因为没有总
2
截距，所以不存在虚拟变量陷阱。但检验截距的
差值更困难，而且对于不含截距项的回归R2计算
方法没有一致同意的方法。
5
例7.1 是否存在性别歧视
waˆge 1.571.81 female 0.572educ 0.025exp er 0.141tenure
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1男性的教育回报约为8.2%；
女性的教育回报是0.082-0.0056=0.0764(7.64%).
2 female和female edu之间存在多重共线性，导致参数
估计值标准误增大，t统计量显著性下降。实际上，female 的参数值衡量的是当edu 0时男性与女性的工资差异， 但样本中没有一个人具有甚至是接近于零年的受教育水平。
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如何解释两方程中相貌因素对工资的作用： 对于男人组，那些相貌低于平均水平的人，在其他方面相同
的情况下，预计比相貌处于平均水平的男人约少挣16.4%，且 t统计量为-3.57，表明这个影响在统计上是显著异于零的；类 似地，相貌高于平均水平的男人预计要多挣约1.6%，尽管这种 影响在统计上并不显著（t<0.5）。
1 模型的基组是？ 2已婚男性组的截距是？ 3已婚女性组的截距是？ 4 未婚女性组的截距是？
单身男性，截距为0.321. 0.321+0.213=0.534 0.321-0.110+0.213-0.301=0.123 0.321-0.110=0.211
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例7.9 计算机使用对工资的影响
1 模型的基组是？ 2 相对于基组，工作中使用计算机（但在家里不使用）者估计回报差值是？ 3 相对于基组，在家里使用（但在工作中不使用）计算机者估计回报差值是？ 4 相对于基组，在工作中和家里都使用计算机者估计回报差值是？
在sat 1100, hsperc 10和tothrs=50时，女性与男性之间的
差异为-0.353+0.000751100 0.0005510 0.0001250 0.461
31
一般的检验方法：邹至庄统计量
在含有k个解释变量和一个截距项的一般模型中，假设有两组， 称为g=1和g=2。我们想检验这两组的截距和所有的斜率都相同。
13
如果要比较特定两组之间工资的差异，可以重 新设定基组进行回归分析。例如，为检验单身 女人和已婚女人之间的估计差异是否显著，以 已婚女人组作为基组重新估计得到：
tsingfem 0.088 / 0.052 1.69
在方程中包括虚拟变量来象征不同组的一般原 则：如果回归模型有g组或g类不同的截距，在 模型中则包含g-1个虚拟变量和一个1截距。
20
涉及虚拟变量的交互作用
虚拟变量之间的交互作用 例7.6根据婚姻状况和性别定义了四个类别，在模 型中引入三个虚拟变量，以单身男性为基组研究 了不同类别之间的工资差异。除此之外，还有什 么方法？
21
此外，我们还可以在female和married分别出 现的模型中，增加一个female和married的交 互项，同样可以进行组别工资差异比较。
H0：d0 0，d1 0
26
例7.10 对数小时工资方程
1 方程中男性与女性的教育回报分别是多少？统计显著性如何？ 2 方程中female及其交互项系数t统计量分别为1.64、0.42，可以
由此断定没有统计显著的证据拒绝女人在相同的edu,exper和tenure 时得到较低的回报吗？
3 如何解决可能存在的多重共线性问题？
多元回归分析：虚拟变量
y = b0 + b1x1 + b2x2 + . . . bkxk + u
1
Dummy Variables
A dummy variable is a variable that takes on the value 1 or 0
Examples: male (= 1 if are male, 0otherwise), south (= 1 if in the south, 0 otherwise), etc.
级面板数据中，甚至会引入n-1个地区虚拟变 量。 ➢ 虚拟变量可以描述包含序数的信息：信用等级
12
例7.6 工资方程
估计一个工资对如下四组都不同的模型：已婚男人、已婚女人、单身男人、单 身女人。首先选择基组：单身男人，对剩下的每一组定义一个虚拟变量，并称 之为marrmal,marrfem,和singfem。因此，三个虚拟变量的估计量度量的都是与 单身男人相比，工资的比例差异。
本模型以在家里和工作中都不使用计算机者为基组
约等于17.7%；更精确的估计值是exp0.177 -1=19.4% 约等于7%；更精确的估计值是exp0.07 -1= 7.25% 约等于26.4%；更精确的估计值是exp0.264 -1= 30.2%
23
容许出现不同的斜率
虚拟变量之间的交互项反映的是截距之间的差 异，斜率并未发生变化。含义是：样本回归曲 线是平行的。
不受约束模型除了截距项和变量本身外，还有一组虚拟变量和交互项，
其自由度为n-2 k+1。不受约束模型的残差平方和可通过两个分离的回
归得到。令SSR1、SSR
表示第一组、第二组估计所得到的残差平方和，
2
SSR为受约束模型的残差平方和（将两组混合并估计一个方程所得到）。
(0.72) (0.26)
(0.049) (0.012)
(0.021)
n 526, R2 0.364 是否存在性别歧视？
waˆge 7.10 2.51 female (0.21) (0.30)
n 526, R2 0.116
均值比较检验
6
例7.2 拥有计算机 与大学GPA
colGPA b0 d0PC b1hsGPA b2 ACT u
在保持其他因素不变的情况下，一套殖民地建筑风格的住房的卖价预计高出约5.4%。
9
当y有较大比例变化时，如何更准确估 计y变化的百分比？
logˆ wageF logˆ wageM 0.297 1 wageF wageM wageM exp 0.297 1 0.257
这表明，一个女人的工资比一个与他相当的男人 的工资大致低25.7%。
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log y log y1 log y0 b2x2
log
y1 y0
log
y1
y0 y0
y0
b2x2
log
y y0
y0
b2x2
log
y y0
1
b2x2
y y0
exp b2x2
1
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Dummies for Multiple Categories
在应用研究中，我们需要使用多个虚拟变量。 ➢ 在控制性别的基础上，研究婚姻状态的影响； ➢ 在区域研究中，往往区分东、中、西部；在省
3
Example of d0 > 0
y y = (b0 + d0) + b1x
d= 1
slope = b1
{d0
d= 0
b0
y = b0 + b1x
x
4
wage b0 b1male b2 female b2educ u
由于female male 1, 模型同时引入male和female 将产生完全共线性，产生所谓的虚拟变量陷阱。
14
通过虚拟变量来包含序数信息
序数变量：穆迪或标准普尔对地方政府债券的 质量进行了级别评定，假设等级范围从零到四， 零为最低的信用等级，四位最高的信用等级， 记为CR。然而，很难有意义地解释CR变化一 个单位对MBR的影响。
MBR b0 b1CR 其他因素
15
可以考虑如下模型，其中，如果CR 1，则CR1 1，否则CR1 0； 如果CR 2，则CR2 1，否则CR2 0；如此等等。即以等于零的 信用等级作为基组，得到如下方程：
43.41 5.59 3.54
3.88
n 105, R2 0.237 t grant 4.7
问题的关键是：定性变量所度量的影响是否为因果性？ 办法之一是，尽可能控制与虚拟变量及因变量相关的因素。
8
当因变量为log(y)时对虚拟变量系数的解释
当自变量中有一个或多个虚拟变量时，因变量 以对数形式出现，虚拟变量的系数具有一种百 分比解释。