高三数学向量专题复习(高考题型汇总及讲解)(1)

向量专题复习
向量是高考的一个亮点，因为向量知识，向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视。

一、平面向量加、减、实数与向量积 （一）基本知识点提示
1、重点要理解向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量、反向量、相等向量、两向量的夹角等概念。

2、了解平面向量基本定理和空间向量基本定理。

3、向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。

4、向量形式的三角形不等式：｜｜a ｜-｜b ｜｜≤｜a ±b ｜≤｜a ｜+｜b ｜(试问：取等号的条件是什么?)；
向量形式的平行四边形定理：2（｜a ｜2
+｜b ｜2
）=｜a －b ｜2
+｜a +b ｜2
5、实数与向量的乘法（即数乘的意义）
实数λ与向量的积是一个向量，记λ，它的长度与方向规定如下：
(1)｜λa ｜=｜λ｜²｜a ｜;
(2)当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ=0时，λ=,方向是任意的.
6、共线向量定理的应用：若≠，则∥⇔存在唯一实数对λ使得=λ⇔x 1y 2-x 2y 1=0(其中=（x 1，y 1）
，=（x 2，y 2）) （二）典型例题
例1、O 是平面上一 定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足
).,0[|
||
|+∞∈+
+=λλAC AB 则P 的轨迹一定通过△ABC 的
（ ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
+
是在∠BAC 的平分线上，∴选B
例2、对于任意非零向量与，求证：｜｜｜-｜｜｜≤｜±｜≤｜｜+｜｜
证明：(1)两个非零向量与不共线时，+的方向与，的方向都不同，并且｜
｜-｜｜＜｜±｜＜｜｜+｜｜
(3)两个非零向量a 与b 共线时，①a 与b 同向，则a +b 的方向与a 、b 相同且｜a +b ｜
=｜a ｜＋｜b ｜.②a 与b 异向时，则a +b 的方向与模较大的向量方向相同，设|a |＞||，则|+|=||-||.同理可证另一种情况也成立。

（三）巩固练习
1、已知A 、B 、C 是不共线的三点，O 是△ABC 内的一点，若OA +OB +OC =0，则O 是△ABC 的（ ）
（A ）重心 （B ）垂心（C ）内心（D ）外心 2、下列5个命题中正确的是
①对于实数p,q 和向量a ,若p a =q a 则p=q ②对于向量a 与b ，若|a |a =|b |b 则a =b ③对于两个单位向量与，若|+|=2则=④对于两个单位向量与，若k =，则=⑤在△ABC 中，若点P 满足；+
则直线AP 必经过△ABC 的内心
3、已知与方向相同，且||=3，||=7，则|2－|=
4、设非零向量与满足||=||=|+|，则与+的夹角是
5、求函数f(x)=1x x 13x 6x 3x 2424+--+--的最大值 答案：（1）A （2）②③⑤（3）1（4）
3
π
（5）10 二、向量的坐标运算及应用 （一）基本知识回顾
1、向量的坐标概念和坐标表示法
2、向量的坐标运算（加、减、实数和向量的乘法、数量积）
3、线段的定比分点概念及定比分点坐标公式
4、图形的平移概念及平移变换公式
例3 已知点A(x,5)，B(-2,y)，直线AB 上的点C(1,1)，使|AC|=2|BC|, 求向量按向量=(1,1)平移的向量坐标.
解法1：（坐标运算法）∵|AC|=2|BC|，且A 、B 、C 共线，∴=±2，(1,1)－(X,5)=±2[(1,1)－(-2,y)], x=7, y=-1; x=-5,y=3;
解法2：用线段的定比分点公式法，∵=2∴点C 分所成的比为2；∵=－2∴点C 分所成的比为－2；再用定比分点坐标公式可求出点A 、点B 的坐标。

平移后向量的坐标为(-9,-6) , (3,-2)
例4 已知O 为△ABC 内部一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设=，=，=，
且||=2，||=1，| |=3，用与表示
解：如图建立平面直角坐标系xoy ，其中i , 是单位正交基底向量, 则B （0，1），C （-3，0），设A （x ，y ），则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A （1，-3），也就是= －3, =， =-3所以-3=33+|即=3－33 巩固练习
1、 已知函数f(x)的图象沿直线y=-x 向下平移22个单位得到函数y=lgx 的图象，则f(x)=
2、(10)平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1），B （-1，3），若
点C 满足OC OA OB αβ=+
，其中,R αβ∈，且1,αβ+=则点C 的轨迹方程为（ D ）
（A ）32110x y +-=（B ）22(1)(2)5x y -+-=（C ）20x y -=（D ）250x y +-=
3、已知=（6，2）与=（-4，2
1
），直线l 过点A(3,-1)且与向量+2垂直，则直线l 的一般方程是
4、已知=(5,4)与=(3,2)，则与2－3平行的单位向量为
5、已知a =(-5,3)与b =(-1,2)，且λa +b 与2a +b 互相垂直，则实数λ的值等于 答案：1、f (x)=lg(x+2)+2; 2, D 3, 2x-3y-9=0 4, ±(
55, 5
5
2) 5, －83
例5、（03年全国高考18．（本小题满分12分））
如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，侧棱
21=AA ，D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G
(I)求B A 1与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） (II)求点1A 到平面AED 的距离
（Ⅰ）解：连结BG ，则BG 是BE 在ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角. 设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，
.3
2
arcsin
.32
3
136sin .3,32,22,2.
36
321,2)
4(.3,1,3
1
.,,,,,,112211所成的角是与平面于是分中
在直角三角形的重心是连结为矩形平面又的中点分别是ABD B A EB EG EBG EB B A AB CD FC EG ED FD EF FD FD FG EF EFD DF G ADB G DE CDEF ABC DC B A CC E D ∴=⋅==
∠∴===∴===⨯===∴==⋅=∈∴∆∴⊥
（Ⅱ）解：,,,F AB EF EF ED AB ED =⋂⊥⊥又
.
36
23623
2222,.,.,.,.,111111*********的距离为到平面中在的距离到平面是即平面垂足为作面且面平面平面面又面AED A AB B A A A K A AB A AED A K A AED K A K AE K A AE AB A AED AB A AED AED ED AB A ED ∴=⨯=⋅=
∆⊥∴⊥=⋂⊥∴⊂⊥∴
巩固练习
1、a =（1，1，0）与b =（1，1，1），若b =b 1 +b
2
且a ∥b 1，a ⊥b
2
，求b 1，b
2
；
2、（新课程01年高考20）以正棱锥V-ABCD 底面中心O 为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz ，其中OX ∥BC ，OY ∥AB ，E 为VC 的中点，正四棱锥底面边长为2a ，高为h （1）
求cos ,BE DE <>
；（2）记面BCV 为α，面DCV 为β，若∠BED 是二面角VC αβ--的
平面角，求cos ∠BED 的值。

（理改为“求∠BED 的值。

”）
3、如图：已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB=4，BB 1=3，D 为AB 的中点，F 为A 1C 1的中点，E 在BB 1上，且BE=
3
1
BB 1 （1）求DF 与CF 所成角的大小；（2）若在BB 1上取一点P ，问直线CP 与平面ABC 所成角为多少时，CP ⊥DF 答案：1、1 =（1，1，0），2=（0，0，1）
2、结果 ：（1）求cos ,BE DE <> =22
22
610a h a h -++；（2）记面BCV 为α，面DCV 为β，若
∠BED 是二面角VC αβ--的平面角，求cos ∠BED 的值为1
3
-。

（理改为“求∠BED 的值。

”） 3、 arccos
221
221
5 , arctan 32
例6、（03年新课程高考21．（本小题满分14分））
已知常数a >0，向量c =（0，a ），i =（1，0），经过原点O 以c +λi 为方向向量的直线与经过定点A （0，a ）以i －2λc 为方向向量的直线相交于点P ，其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E 、F ，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，说明理由.
21．本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力，满分12分.
解：根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P 到两定点距离的和为定值.
∵i =（1，0），c=（0，a ）， ∴c+λi =（λ，a ），i －2λc=（1，－2λa ）. 因此，直线OP 和AP 的方程分别为 ax y =λ 和 ax a y λ2-=-.
消去参数λ，得点),(y x P 的坐标满足方程222)(x a a y y -=-.
整理得 .1)2
()2(812
2
2
=-+
a
a y x ……① 因为,0>a 所以得：
（i ）当2
2
=
a 时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E 和F ； （ii ）当2
20<<a 时，方程①表示椭圆，焦点)2,2121(2a a E -和)2,2121(2a a F --为合
乎题意的两个定点；
（iii ）当22>a 时，方程①也表示椭圆，焦点))2
1(21,0(2-+a a E 和
))21
(21,0(2--a a F 为合乎题意的两个定点.
巩固练习
1、椭圆14
y 9x 2
2=+的焦点为F 1，F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是
2、已知抛物线)0p (,px 2y 2
>=，上有两点A 、B ，且OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求M 点的轨迹方程。

3、（02年新课程高考（21）（12分））已知两点M （-1，0），N （1，0），且点P 使MP ·MN
，
PM ·PN ,NM ·NP 成公差小于零的等差数列（1）点P 的轨迹是什么曲线？（2）若点P 坐标为（,o o x y ），记θ为PM 与PN 的夹角，求tan θ；
4、已知△OFQ 的面积为S ，且·=1 ①若21＜S ＜2
3
，求与的夹角θ的取值范围；②设||=c ，S=
4
3
c ，若以O 为中心，F 为焦点的椭圆经过点Q ，当|OQ |取得最小值时，求此椭圆的方程。

答案：1、（－
553，5
53），2、(x －p) 2+y 2=p 2
(x ≠0), 3、①点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆②tan θ=|y 0| 4; ①4π＜θ＜3π 5;
16
y 10x 2
2=+ 三、平面向量的数量积及其应用
1、数量积（点乘或内积）的概念，a ²b =|a ||b |cos θ=x 1x 2+y 1y 2注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”
2、数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直； 例7、下面5个命题：①|a ²b |=|a |²|b |②(a ²b )2
=a 2
²b
2
③a ⊥(b －c )，则a ·c =b ²c
④a ²b =0，则|a +b |=|a －b |⑤a ²b =0，则a =0或b =0，其中真命题是（ ） A ①②⑤ B ③④ C ①③ D ②④⑤ 巩固练习
1、下面5个命题中正确的有（ ）
①a =b ⇒a ²c =b ²c ②a ²c =b ²c ⇒a =b ③a ²（b +c ）=a ²c +b ²c ④a ²（b ²c ）=（²）²⑤
b
2
=
⋅A ①②⑤ B ①③⑤ C ②③④ D ①③ 2、下列命题中，正确命题的个数为（ ）
①若与是非零向量 ，且与共线时，则与必与或中之一方向相同；②若为单位向量，且∥则=|| ③··=||3
④若与共线，与共线，则与共线；⑤若平面内四点A 、B 、C 、D ，必有+=+ A 1 B 2 C 3 D 4
答案：1、D 2、A
例8、设=（1+cos α, sin α）,=(1-cos β, sin β),=(1,0)，α∈(0, π), β∈(π,2π),与
的夹角为θ 1， 与的夹角为θ2，且θ1+ θ2=6
π
，求sin 4β-α的值。

解：Cos θ1=
|2
cos |2cos 1cos 22cos 1|
b ||a |α
=α+=
α
+α+=
⋅ α∈(0, π),∴θ1=
2
α
, |2sin
||
c ||b |cos 2β==
θ ∵ )2
,0(22),2(2π∈π-β∴ππ∈β ∴)22cos()22cos(2sin cos 2π-β=β-π=β=θ ∴ 222π-β=θ ∵θ1+ θ2=6π , ∴6)22(2π=π-β-α ,
3
2π
-=β-α ∴sin 4β-α=sin(－2
1)6-=π
巩固练习： 1、已知=（cos
2x 3,sin 2x 3）与=(cos 2x , sin 2x ) ，且x ∈[0,2
π
]，求①²与|+|，②f(x)= ²－4|+|的最小值 答案：①cosx; 2cos
2
x
②当且仅当cosx=1；即x=0时，f(x)取最小值为－7 如图，已知平行六面体ABCD-1111D C B A 的底面ABCD 是菱形，且CB C 1∠=
BCD CD C ∠=∠=1。

（I ）证明：C C 1⊥BD ； （II ）当
1
CC CD
的值为多少时，能使⊥C A 1平面BD C 1？请给出证明。

（18乙）本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力。

满分 12分。

（I ）证明：连结11C A 、AC ，AC 和BD 交于O ，
连结O C 1。

∵ 四边形ABCD 是菱形，
∴ AC ⊥BD ，BC=CD 。

又∵ C C C C DCC BCC 1111 , =∠=∠， ∴ DC C BC C 11∆≅∆， ∴ D C B C 11=， ∵ DO=OB ，
∴ ⊥O C 1BD ， ——3分 但 AC ⊥BD ，AC ∩O C 1=O ， ∴ BD ⊥平面1AC 。

又 ⊂C C 1平面1AC ，
∴ ⊥C C 1BD 。

——6分 （II ）当
11
=CC CD
时，能使C A 1⊥平面BD C 1。

证明一： ∵
11
=CC CD
， ∴ BC=CD=C C 1，
又 CD C CB C BCD 11∠=∠=∠， 由此可推得BD=D C B C 11=。

∴ 三棱锥C- BD C 1是正三棱锥。

——9分 设C A 1与O C 1相交于G 。

∵ 11C A ∥AC ，且11C A ∶OC=2∶1， ∴ G C 1∶GO=2∶1。

又 O C 1是正三角形BD C 1的BD 边上的高和中线， ∴ 点G 是正三角形BD C 1的中心， ∴ CG ⊥平面BD C 1。

即 C A 1⊥平面BD C 1。

——12分 证明二：
由（I ）知，BD ⊥平面1AC ，
∵ C A 1⊂平面1AC ，∴ BD ⊥C A 1。

——9分 当
11
=CC CD
时 ，平行六面体的六个面是全等的菱形， 同BD ⊥C A 1的证法可得1BC ⊥C A 1。

又 BD ∩1BC =B ，
∴C A 1⊥平面BD C 1。

——12分
巩固练习
1、 用向量方法证明三角形的三条高相交于一点。

2、 已知a A 0=，b B 0=，a ²b =|a －b |=2，当AOB 面积最大时，求a 与b 的夹角θ
3、 已知G 是△ABC 的重点，直线过点G 分别交△ABC 的边AC ，BC 于P 、Q 两点，且
m =，n =，求
n
1
m 1+的值 答案： 1、略；2、
3
π
3、3； 补充：设点A （1，1），B （3，y ），且AB 为直线2x －y+1=0的方向向量，则y=。