高中数学选择性必修三 6 3 二项式定理(精讲)(含答案)

6.3 二项式定理（精讲）
考法一 二项式定理展开式
【例1】(1)求4
的展开式为 ． （2）（2020·江苏省太湖高级中学高二期中）已知0
1
2
2
3
3
444(1)4729n n n
n n n n n C C C C C -+-++-=，则n
的值为
【答案】（1）1x 2＋12x
＋54＋108x ＋81x 2
【解析】（1）方法一 ⎝
⎛⎭⎪⎫3x ＋
1x 4
＝(3x )4＋C 14(3x )3·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋C 24(3x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 3
4(3x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 4＝81x 2
＋108x ＋54＋12x ＋1x
2.
方法二 ⎝
⎛
⎭⎪⎫3x ＋
1x 4
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫3x ＋1x 4＝1x 2(1＋3x )4＝1x 2·[1＋C 14·3x ＋C 24(3x )2＋C 34(3x )3＋C 44(3x )4
]＝1x 2(1＋12x ＋54x 2＋108x 3＋81x 4)＝1x
2＋12x
＋54＋108x ＋81x 2
.
（2）由012
233
444(1)4729n n n
n n n n n C C C C C -+-+
+-=得
()()()()()01203123
12301414141414729n
n n n n n n
n n n n C C C C C ---⋅⋅-+⋅⋅-⋅⋅-+⋅⋅-⋅-++
+=⋅则
()
12479n
-=，即()()6
72933n =-=-，解得6n =.
【一隅三反】
1．（2021·全国课时练习）化简多项式(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1的结果是( ) A ．(2x+2)5 B ．2x 5 C ．(2x-1)5 D ．32x 5
【答案】D
【解析】依题意可知，多项式的每一项都可看作()
()
55211r
r
r
C x -+-，故为()5
211x ⎡⎤+-⎣⎦的展开式，化简
()()5
5
5211232x x x ⎡⎤+-==⎣⎦
.故选D. 2．（2020·江苏宿迁市·宿迁中学高二期中）化简：
20122
2241
2333...3n n n n n n n n C C C C ---⋅+⋅+⋅++⋅=_________.
【答案】101n -
【解析】()
()
()()
1
1
202
1
21
121
2(31)313
1 (3)
1
3
1n n n n n n n n n
n
n
C C C
C ----+=⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯
则20122
2241
2233
331(31)10n n n n n n n n n n C C C C ---⋅+⋅+⋅++⋅+=+=
所以20
1
22
2241
233
3...3101n
n n n n n n n n C C C C ---⋅+⋅+⋅++⋅=-故答案为：101n -.
考法二 二项式指定项的系数与二项式系数
【例2】（1）（2020·全国高二单元测试）在(x 10
的展开式中，x 6
的系数是
（2）（2020·广东佛山市·高二期末）二项式8
1x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中常数项是______（用数字作答）
（3）（2020·安徽省蚌埠第三中学高二月考）30
的有理项共有 项
【答案】（1）94
10C （2）70（3）6
【解析】（1）由T k +1=10k
C x 10-k (k ，令10-k =6，解得k =4，∴系数为(44
10C =94
10C
（2）二项式8
1x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式的通项公式8821881r r r r
r r T C x C x x --+==，令820r -=，得4r =,则常数项为4
588765
=
=704321
T C ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，故答案为：70
（3）30
的通项公式为：53010613030r
r
r
r
r r T C C x --+==，
06
1051730300,,6,r T x r T x C C ====， 1218
0513********,,18,r T x r T x C C -====，
24
30
10152531303024,,30,r T x r T x C C --====，
所以有理项共有6项，故选：C 【一隅三反】
1．（2020·北京市鲁迅中学高二月考）二项式2
6
1(2)x x
-的展开式中的常数项是_______.（用数字作答） 【答案】60
【解析】有题意可得，二项式展开式的通项为：()
62612316
612(1)2r
r
r r r r r
r T C
x C x
x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
令1230r -=可得4r = ，此时24
56260T C ==.
2.（2021·上海青浦区）在6
212x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭二项展开式中，常数项是_______. 【答案】60
【解析】展开式的通项公式是(
)
626123166122r
r
r
r r
r r T C x
C x x ---+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭
，当1230r -=时，4r = 24416260T C +=⋅=.故答案为60
3.．（2020·青海西宁市）若8
x ⎛
+ ⎝
的展开式中4x 的系数为7，则实数a =______. 【答案】
1
2
【解析】根据二项展开式的通项公式可得：48883
3
1888=r
r r r r r r r r r r T C x C a x C a x ---
-+==， 令4843r -=，可得3r =，3388==7r r C a C a ，解得：12
a =，故答案为：12
4．（2020·梁河县）已知3
1(2)n x x
+的展开式的常数项是第7项，则n =________.
【答案】8
【解析】根据题意，可知第7项为()
6
6
6
36
6324122n n n n n C x
C x x ---⎛⎫⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭
，而常数项是第7项，则 3240n -=，故8n =.故答案为：8.
考法三 多项式系数或二项式系数
【例3】（1）（2020·福建三明市·高二期末）5
2212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭
的展开式中常数项是（ ） A ．-252
B ．-220
C ．220
D ．252
（2）．（2021·四川成都市）若5
(2)a x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭
的展开式中常数项为80-，则a =（ ）
A ．2
B ．1
C ．2-
D ．1-
【答案】（1）A （2）C 【解析】(1）由2
5
10211(2)()x x x x
+
-=-， 可得二项式10
1()x x
-的展开式通项为10102110101()(1)r
r
r r r r r T C x
C x x
--+=-=-， 令1020r -=，解得=5r ，所以展开式的常数项为55
10(1)252C -=-.故选：A.
（2）
5
a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
的展开式的通项公式为：55251(1)r r r r r T C a x
--+=⋅⋅⋅-，显然，25r -为奇数， 若求5
(2)a x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭
展开式的常数项，251r ∴-=-，解得2r
故5
(2)a x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭
的展开式的常数项等于：23
580C a ⋅=-2a ∴=-故选：C.
【一隅三反】
1．（2020·全国高三专题练习）4
211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭
展开式中常数项为（ ）.
A ．11
B ．11-
C ．8
D ．7-
【答案】B 【解析】将21x x +
看成一个整体，展开得到：4142
1()(1)r r r
r T C x x
-+=+- 42
1()r x x
-+
的展开式为：4243144m r m m m r m
m r r T C x x C x -----+--=⋅=取430r m --=
当0m =时，4r = 系数为：40440(1)1C C ⨯⨯-= 当1m =时，1r = 系数为：111
43(1)12C C ⨯⨯-=-
常数项为11211-=- 故答案选B
2．（2020·全国高三专题练习）5
2431x x
x ⎛⎛
⎫-+- ⎪ ⎝⎭⎝
的展开式中常数项为( )
A ．30-
B ．30
C ．25-
D ．25
【答案】C
【解析】51
⎛- ⎝ 的通项为15(1)r r r r T C +=-， 55
224311x x x x ⎛⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎝ 5
5
4311x
x ⎛
⎛--+ ⎝⎝
，根据式子可知当4r = 或2r
时有常数项，令4r =
4
14
55(1)T C ⇒=- ; 令2
32352(1)r T C =⇒=-;故所求常数项为13553C C -⨯
53025=-=- ，故选C.
3．（2020·河南商丘市）()6
4111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭
的展开式的常数项为（ ）
A ．6
B ．10
C ．15
D ．16
【答案】D
【解析】由题意得6
11x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
的展开式的通项为()160,1,2,,6r r r T C x r -+=⋅=⋅⋅⋅，
令4r =，则46
15C =，所以()6
4
111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭
的展开式的常数项为11516+=.故选：D. 4．（2020·枣庄市第三中学高二月考）在102020
1
(1)x x
++的展开式中，x 2
项的系数为（ ） A ．30 B ．45
C ．60
D ．90
【答案】B
【解析】在10
20201
(1)x x ++的展开式中，通项公式为T r +110
r
C =•20201r
x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
.
对于20201r
x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
，通项公式为T k +1k
r C =•x r ﹣2021k ，k ≤r ，r 、k ∈N ，r ≤10.
令r ﹣2021k ＝2，可得r ＝2+2021k ，故k ＝0，r ＝2，故x 2项的系数为2
10C •0
2C =45，故选：B .
5．（2020·全国高二专题练习）若()
10
21x a x x ⎛⎫-+ ⎪⎝
⎭的展开式中6x 的系数为30，则a 等于（ ） A ．
1
3
B ．
12
C ．1
D ．2
【答案】D
【解析】将题中所给式子可化为()
10
10
10
2
2111x a x x x a x x x x ⎛⎫⎛
⎫
⎛
⎫-+=+-+ ⎪ ⎪
⎪⎝
⎭⎝
⎭⎝
⎭
根据二项式定理展开式通项为1C r
n r
r
r n
T a b -+=,10
1x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项为10102110101r
r r r r r T C x
C x x --+⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭
令1024r
-= 解得3r =
所以6x 的项为234610120x C x
x ⋅=令1026r -=解得2r
所以6x 的项为2661045a C x ax -⋅=-
综上可知, 6x 的系数为1204530a -= 解得2a = 故选:D
考法四 二项式定理的性质
【例2】（1）（多选）（2020·全国高二单元测试）11
1x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中二项式系数最大的项是（ ）
A ．第5项
B ．第6项
C ．第7项
D ．第8项
（2）（2020·山东省桓台第一中学高二期中）（多选）二项式11
21x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中，系数最大的项为（ ）.
A ．第五项
B ．第六项
C ．第七项
D ．第八项
（3）（2020·绵阳市·四川省绵阳江油中学高二开学考试）若1n
x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中只有第7项的二项式
系数最大，则展开式中含2x 项的系数是
A ．462-
B ．462
C ．792
D ．792-
【答案】（1）BC （2）BC （3）D
【解析】(1）因为n ＝11为奇数，所以展开式中第1112+项和第
111
12
++项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大.故选：BC
（2）二项式11
21x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中，每项的系数与二项式系数相等，共有12项 所以系数最大的项为第六项和第七项故选：BC
（3）∵1n
x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大，∴n 为偶数，展开式共有13项，则12n =. 12
1x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式的通项公式为()12
12211C r r r r T x -+=-，令1222r -=，得5r =. ∴展开式中含2x 项的系数是()125
51C 792-=-，故选D ． 【一隅三反】
1．（2020·辽宁沈阳市·高二期中）在()
()1n
x n N +-∈的二项展开式中，若只有第5项的二项式系数最大，
则n
⎛
⎝
的二项展开式中的常数项为（ ）
A ．960
B ．1120
C ．-560
D ．-960
【答案】B
【解析】在（x ﹣1）n （n ∈N +）的二项展开式中，若只有第5项的二项式系数最大，则n=8，
则n
=8
⎛ ⎝
的二项展开式的通项公式为T r+1=8r C •28﹣r
•（﹣1）r •x 4﹣r ， 令4﹣r=0，求得r=4，可得展开式中的常数项为4
8C •24•（﹣1）4=1120，故选B ．
2．（2021·湖南常德市）(ax +1
x )(2x −1)5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为（ ）
A ．
B ．
C ．10
D ．20
【答案】C
【解析】由已知，当x =1时，(a +1
1)(2−1)5=2,即a =1，所以(x +1
x )(2x −1)5展开式中常数项为
1
x ×C 542x ×(−1)4=10，故选C . 3．（多选）（2020·三亚华侨学校高二开学考试）已知()n
a b +的展开式中第5项的二项式系数最大，则n 的值可以为（ ） A ．7 B ．8
C ．9
D ．10
【答案】ABC
【解析】∵已知()n
a b +的展开式中第5项的二项式系数4
n C 最大,则7n =或n ＝8或n ＝9故选：ABC .
4．（2020·全国高二课时练习）已知6
(31)x +展开式中各项系数的和为m ，且2log n m =，求2n
x ⎫⎪⎭展开式中二项式系数最大的项的系数 . 【答案】59136
【解析】设62
60126(31)x a a x a x a x +=+++
+，令1x =，得6612(31)42m =+==，
所以2log 12n m ==，则12
2x ⎫⎪⎭展开式中有13项，且中间一项（第7项）的二项式系数最大，
该项为6
66663
3712122(2)59136T C C x x x --⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭
.故所求的系数为59136.
5．（2020·重庆市第七中学校高二月考）二项式()
*
122n
x n N x ⎛⎫-∈ ⎪⎝
⎭ 的展开式中，二项式系数最大的项
是第4项，则其展开式中的常数项是_________． 【答案】-20
【解析】由题意知，展开式中有7项，6n =．因为
()
66
1122r
r
r
Tr C x x -⎛⎫+=- ⎪
⎝⎭
()6262612r r r r
C x --=- 令620r -=，得3r =，所以常数项为()3
3
6120C -=-．
考法五 二项式系数或系数和
【例5】（2020·安徽省泗县）若2701277()(12)f x x a a x a x a x =+=+++
+.
求：（1）017a a a ++⋯+； （2）1357a a a a +++； （3）0127a a a a +++
+.
【答案】（1）27；（2）14；（3）27.
【解析】（1）令1x =，可得301235674()3271f a a a a a a a a ==+++++++=，
∴4012356727a a a a a a a a ++++++=+．①
（2）令1x =-可得3
01235674(1)(1)f a a a a a a a a -=-=-+-+-+-，
∴401235671a a a a a a a a +-+-+-=--．② 由①-②得13572()28a a a a +++=， ∴135714a a a a +++=．
（3）由题意得二项式7
(12)x +展开式的通项为177(2)2r r r r r r T C x C x +==，
∴每项的系数0(0,1,2,,7)i a i >=，
∴01235017647227a a a a a a a a a a a a ++++=++++++=+．
【一隅三反】
1．（2020·北京朝阳区·高二期末）在5
(21)x +的二项展开式中，二项式系数之和为___________；所有项的系数之和为_______. 【答案】32 243
【解析】根据二项展开式的性质，展开式的二项式系数之和为52232n ==， 令1x =可得所有项的系数之和为55
(211)3243==⨯+，故答案为：32，243
2．（2020·全国高二单元测试）若－x )10
＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋…＋a 10x 10
，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2
－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2
＝ 【答案】1
【解析】令1x =，得)
10
01101
a a a ++
+=
，令1x =-，得)
10
0123101
a a a a a -+-++=
，
()()2
2
0210139a a a a a a ++
+-++
+()()
0110012310a a a a a a a a =+++-+-++))
10
10
1
1
1=
=.故选：A.
3．（2020·福建厦门市·厦门双十中学高二期中）已知()11
21011012101112x a a x a x a x a x +=+++++ ，则
12101121011a a a a -+
-+=_____.
【答案】22
【解析】对等式112012(12)x a a x a x +=++10111011a x a x +
++两边求导，得101222(12)2x a a x
+=+
91010111011a x a x +++，令1x =-，则1210112101122a a a a -+-+=.
4．（2020·宁县第二中学高二期中）设2012(21)n n n x a a x a x a x -=++++展开式中只有第1010项的二项式系数最大．
（1）求n ；
（2）求012n a a a a ++++; （3）求.312232222n n
a a a a ++++. 【答案】（1）2018；（2）20183；（3）-1.
【解析】（1）由二项式系数的对称性，
1101020182n n +=∴= （2）201801220180122018=3a a a a a a a a ++++-++
+= （3）令0x = ，得20180(10)
1a =-=， 令12x =
，得21232018232018(11)02222
a a a a ++++=-=，故3201812023201812222a a a a a +++=-=-.
考法六 二项式定理运用
【例6】（1）（2020·上海市七宝中学高二期中）7271除以100的余数是________
（2）（2020·全国高二单元测试）6
(1.05)的计算结果精确到0.01的近似值是_________
【答案】（1）41（2）1.34
【解析】（1）()727217172727270727127270170177070C C C C +==++++21072701()m m N =+⨯+∈2105041m =+ 即7271除以100的余数为41．故答案为：41．
（2）()()66122661.0510.051+0.05+0.05+1+0.3+0.0375=1.3375 1.34C C =+=⋅⋅≈≈故答案为：1.34
【一隅三反】
1．（2020·四川棠湖中学高二月考）已知202074a +能够被15整除，则a =________.
【答案】14
【解析】由题可知，
()0202020275714=-()()()()0120192020020201201920191202002020202020202020751751751751C C C C =-+-++-+- 0202012019201912020202020207575751C C C =-+-+
所以0202012019201912020202022020200775754751C C C a a =-++-++，
而75能被15整除，要使202074a +能够被15整除，只需1a +能被15整除即可， 所以115a +=，解得：14a =.故答案为：14.
2．（2020·江苏泰州市·泰州中学高二期中）83被5除所得的余数是_____________．
【答案】1
【解析】因为883(52)=-0817262778088888855(2)5(2)5(2)5(2)C C C C C =⋅+⋅⨯-+⋅⨯-+
+⋅⨯-+⋅⨯- 071625277808888885(55(2)5(2)(2))5(2)C C C C C =⋅+⋅⨯-+⋅⨯-++-+⋅⨯-，
所以转化为求80885(2)256C ⋅⨯-=被5除所得的余数，
因为2565151=⨯+，所以83被5除所得的余数是1，故答案为：1
3．（2021·河北保定市）60.99的计算结果精确到0.001的近似值是
【答案】0.941
【解析】()()()()66201266663
30.9910.0110.010.010.01...C C C C =-=⨯-⨯+⨯-⨯ 10.060.00150.00002...=-+- 0.941≈故选B。