高考数学全国统一模拟考试江苏卷、参考答案与评分标准

高考数学全国统一模拟考试
数 学（江苏卷）
第I 卷(选择题 共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，恰．有一项．．．
是符合题目要求的。

1. 已知集合}1
1log |{2+-==x x
y x M ,]}1,0[,|{3∈+==x x x y y N 且,M ∩N = A.]2,1(
B.)1,1(-
C.)1,0[
D.)1,0(
2. 数列}{n a (*
N n ∈)中,1231,3,5a a a ===,且1237n n n n a a a a +++⋅⋅⋅=,则99a =
A.1
B.3
C.5
D.无法确定
3. n
x
x )1(+的展开式中常数项等于20,则n 等于
A.4
B.6
C.8
D.10
4. 空间直线b a ,是成060的异面直线,分别过b a ,作平面βα,,使βα,也成060.这样的平面βα,
A.有无穷对
B.只有5对
C.只有3对
D. 只有1对
5. 如图AOB ∆，MN 是边AB 的垂直平分线，交OB 于点N ，设b OB a OA ==,，且
OB ON λ=，则=λ
A ．b b a 2+
B ．)(22
2b a b b a -⋅-
C ．b
b a 2-
D ．)
(22
2
a b b b a -⋅-
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1、本试卷共4页，包含选择题（第1题～第10题，共10题）、填空题（第11题～第16题，共6题）、
解答题（第17题～第21题，共5题）三部分。

本次考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2、答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在试卷及答题卡
上。

3、请认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人的相符。

4、作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一
律无效。

作答选择题必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

5、如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。

6. 函数),,()(2
3R d c b d
cx bx x x f ∈+++=的部分图像
如图所示，若方程02)(=-x f 恰有两个不等根，则有 A.27
49
=d 或3=d B.27
49
<
d 或3>d C.
327
49
<<d
D. 以上都不对
7．已知不等式2
2
2y ax xy +≤对于]2,1[∈x ,]3,2[∈y 恒成立,则实数a 的取值范围是 A. ]2,1[-
B.]1,(-∞
C ]2,0( .
D. ),1[+∞-
8．椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的中心、右焦点、右顶点、右准线与x 轴的交点依次为O 、F 、
A 、H ，则
OH FA
的最小值为
A ．2
B ．3
C ． 4
D ．不能确定
9．某学校的生物实验室里有一个鱼缸，里面有12条大小差不多的金鱼，8条红色，4条黑色，实验员每次都是随机的从鱼缸中有放回的捞取1条金鱼.若该实验员每周一、二、三3天有课，且每天上、下午各一节，每节课需要捞一条金鱼使用，用过放回.则该实验员在本周有课的这三天中，星期一上、下午所捞到的两条金鱼为同色，且至少有一天捞到不同的颜色金鱼的概率是
A ．
5681 B ．325729 C ． 280
729
D ．604729
10．设方程22l g 1x
o x ⋅=的两根为1x ，2x （1x <2x ），则
A ．120,0x x <>
B ．1201,2x x <<>
C ．121x x >
D ．1201x x <<
第II 卷(非选择题 共100分)
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上．．．．．．．．。

11．垂直于直线x －3y ＝0且与曲线323y x x =-相切的直线方程为 ▲ ．
12.若x 、y 满足22||
16,y x x y x y N ≥⎧⎪
+≤⎨⎪∈⎩
,则2z x y =+的最大值为 ▲ ．
13．数列{a n }中，11a =，545a =，且1(1)n n na n a t +=++，则常数t ＝ ▲ ．
14. 椭圆2
2122:1(0)y x C a b a b
+=>>的左准线为l ，左右焦点分别为12,,F F 抛物线2C 的准线为
l ，一个焦点为2F ，1C 与2C 的一个交点为P ，则12112||||
||||
F F PF PF PF -
= ▲ ． 15.ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，已知0
60=A ，7=a ，现有以下判断:
① c b +不．
可能等于15 ② 若12=⋅AC AB ,则36=∆ABC S
③
bc b B c C 7
cos cos =
+ ④ 若3=b ,则B 有两解
⑤ 作A 关于BC 的对称点'A ,则|'AA |的最大值是37 ⑥ 若,B C 为定点,则动点A 的轨迹围成的封闭图形的面积是π3
49
. 请将所有正确．．的判断序号填在横线上 ▲ ． 16. 已知函数⎩⎨
⎧≥+-<+=),
1(3),
1(|1|)(x x x x x f 且不等式1)(≥x f 的解集 ▲ ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本题满分12分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分
ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、
c ，已知326
cos ,tan cot ,9.5225
B B A c =+== （1）求tan B 的值； （2）求AB
C ∆的面积。

18．（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分
已知R （-3，0）,点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满
足0RP PM ⋅=，230PM MQ +=。

（1）当点P 在y 轴上移动时，求M 点的轨迹C 的方程；
（2）设A B 、为轨迹C 上两点，N （1，0），1A x >，0A y >，若存在实数λ，使AB AN λ=，
且16
3
AB =，求λ的值。

19．（本题满分14分）本题共3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分5分，第3小题满分5分
如图，已知正三棱柱111ABC A B C -
中，AB =12AA =，三棱锥P ABC -中，
∈P 平面B B AA 11
，且PA PB ==
（1）求证：11//PA A BC 平面； （2）求二面角1P AC C --的大小； （3）求点P 到平面11BCC B 的距离。

20．（本题满分15分）本题共2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分8分
已知函数32()38f x x bx cx =+++和32()g x x bx cx =++（其中3
02b -<<），
()()5()F x f x g x =+，(1)()0f g m ''==．
（1）求m 的取值范围；
（2）方程()0F x =有几个实根？为什么？
21．（本题满分15分）本题共2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分7分
已知数列{a n }满足218n n a m a +=+ ，*
n N ∈，11a =，m 为正数 .
（1）若1n n a a +>对*
n N ∈恒成立，求m 的取值范围；
（2）是否存在m ，使得对任意正整数n 都有19
20074
n a +<<若存在，求出m 的值； 若不存在，请说明理由。

P
C
A
C 1
B 1
A 1
高考数学全国统一模拟考试
答题卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，恰．有一项．．．
是符合题目要求的。

接填空在答题卡相应位置上．．．．．．．．。

11、 ;12、 ; 13、 ;14、 ; 15、 ;16、 .
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本题满分12分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分 解:(1)
(2)
班 级_________ 学 号________ 姓 名_________ ………………………………………密……封……线……内……不……要……答……题………………………………………………
18．（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分解:(1)
(2)
19．（本题满分14分）本题共3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分5分，第3小题满分5分
解:
(1)
(2)
(3)
P
C
A
C1
B1
A1
解: (1)
(2)
解: (1)
(2)
高考数学全国统一模拟考试
参考答案与评份标准
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，恰．有一项．．．
是符合题目要求的。

接填空在答题卡相应位置上．．．．．．．．。

11、013=-+y x 12、7 13、10
14、1 15、①②③⑤ 16、]2,0[]2,(+--∞
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本题满分12分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分
解: （1）由22
sin cos 12622tan cot 225sin cos sin cos
2222
B B B B B B B B ++===
，得5sin 13B =------------3分 34cos ,sin sin ,55A A B B =∴=>∴为锐角，12
cos 13B ∴=， -------5分
5
tan .12
B ∴= --------------------------6分
（2）sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+4123563
51351365
=⨯+⨯=
---8分 又9c =，sin sin a c A C ∴=
，得52
7a =， --------------------------10分 1152590
sin 9227137
ABC S ac B ∆==⨯⨯⨯=
--------------------------12分 （若通过26tan cot ,225B B +=得出126
tan 25
tan 2
B B +=
，求出1tan 525B =或， 未舍去tan 52
B
=，tan B 得两解，扣2分.）
18．（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分 解: （1）设点(,)M x y ，由230PM MQ +=得(0,)2y
P -，(,0)3
x Q ，
由0RP PM ⋅=，得3(3,)(,
)022
y y
x -⋅=， ------------------------4分
即2
4(0)y x
x =>. ---------------------6分
（2）由(1)知N 为抛物线C ：2
4y x =的焦点，A B 、为过焦点N 的直线与C 的两个交点.
①当直线AB 斜率不存在时，得()1,2A ，(1,2)B -，16
43AB =<
. ----8分 ②当直线斜率存在且不为0时，设:(1)AB y k x =-，代入2
4y x =得
22222(2)0k x k x k -++=.设1122(,),(,)A x y B x y ，
则212222(2)416
2243
k AB x x k k +=++=
+=+=
，得k = ----12分
（或12244AB x k
=-=+）
1,0,A A x y k >>∴=1
3,3
A B x x ==，由AB AN λ=得
1343313
B A N A x x x x λ-
-==
=--。

---------------14分 19．（本题满分14分）本题共3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分5分，第3小题满分5分 .解法一：
（1）在1Rt ABA ∆
中，AB =12AA =，
∴1cos ABA ∠=
，取BC 中点H ， PA PB =， PH AB ∴⊥，
在Rt PAH ∆中，1PH =
，
cos PAH ∠=，又1ABA PAH ∠∠、均为锐角，∴1ABA PAH ∠=∠，
---------------2分
1//PA A B ∴，又1PA C 1在平面A B 外， 11//PA A BC ∴平面. ---------------4分
（２）∵平面PAB ⊥平面ABC ，∴PH BC ⊥平面A ，过H 作HE AC ⊥于E ，连结PE ，则PE AC ⊥，
PEH ∠为二面角P AC B --的平面角， ------------------------6分
易知12HE =⋅⎝=2tan 3PH PEH HE ∠==， ∴二面角1P AC C --的大小为
2
π
+. ------------------------9分 （其它等价答案给同样的得分）
（３）
1//PH BB ，P ∴点到平面11BCC B 的距离，就是H 到平面11BCC B 的距离，
-------------------------------11分
过H 作HF BC ⊥于F ，则11HF BCC B ⊥平面，HF 的长度即为所求， 由上
F
E
H A 1B 1C 1A
B C
P
2
HF HE ==
（或用等体积11P B BC C B BP V V --=求）----------------------------------14分 解法二：
如图，建立图示空间直角坐标系.
则(1,0,0)P ，
(0,0,2)A
，(0,0,B ，C ，1(A -.
（1）12BC PB = （2）利用121212
cos ,n n n n n n ⋅=
⋅，其中12,n n 分别为两个半平面的法向量，
或利用1cos ,CC EP 求解.
（3）利用PB n d n
⋅=
，其中n 为平面11BCC B 的法向量。

20．（本题满分15分）本题共2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分8分
解: （1）∵2()323f x x bx c '=++，(1)0f '=，∴3230b c ++=，∴23
3
b c +=-． 1分
2()320g m m bm c '=++=，即223
3203
b m bm ++-=，∴2(26)93m b m -=-． 3分
①当260m -=，即1
3
m =时，上式不成立．……………………………4分
②当260m -≠，即13m ≠时，29326m b m -=-．由条件3
02
b -<<，得到23930226m m --<<-．
由2933262
m m ->--，解得0m <或113
m <<． ……………………5分 由293
026m m
-<-，解得1
3m <<或m >6分 ∴ m 的取值范围是0m <<1m <<． ………………………7分
（2）有一个实根．…………………………………………………………9分 ()0F x =，即3233440x bx cx +++=．
记32()3344Q x x bx cx =+++，则2()964Q x x bx c '=++．
∵302b -<<，233
b c +=-，∴10c -<<． ………………………10分
∴ △＞0，故()0Q x '=有相异两实根1212()x x x x <，．
121224,39x x b x x c +=-⋅=，∴1212014
0.9x x x x <+<⎧⎪
⎨-<<⎪⎩，
显然120x x <<，1249x x >-， ∴1222419x x x x ->+>
+，∴2
2
29940x x --<，∴2403x <<． …………12分 于是22222218()()433Q x x Q x bx cx '=⋅+++2
228043bx cx =+++1632499
b c >++
8(24)49b c =++8(3)49c =-+32
409
->+>．
而2x 为三次函数()Q x 的极小值点，故()Q x 与x 轴只有一个交点． ∴ 方程()0F x =只有一个实根．…………………………15分
21．（本题满分15分）本题共2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分7分
解: （1）∵m 为正数，2
18n n a m a +=+ ①，1a =1，∴n a >0（n ∈N*），……… 1分
又2
18n n a m a -=+ ②，①—②两式相减得1118()()()n n n n n n a a a a a a +---=+-，
∴1n n a a +-与1n n a a --同号， ---------------------4分 ∴1n n a a +>对n ∈N*恒成立的充要条件是21a a ->0. ---------------------7分
由21a a -=
1
18
m +->0，得m >7 . ---------------------8分 （2）证法1：假设存在m ，使得对任意正整数n 都有19
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n a +<< .
则29
4
a >，则m >17 . --------------------9分
另一方面，1n n a a +-=21()8n n m a a +-=2
116(4)88n m a --+168
m -≥
，---------11分 ∴21a a -168m -≥，32a a -168m -≥，……，1n n a a --16
8m -≥，
∴1n a a -16(1)8m n -≥-，∴n a 116(1)8m a n -≥+-=16
1(1)8
m n -+-， ①
--------------------------------14分
当m>16时，由①知，n a →+∞，不可能使1
2007n a +<对任意正整数n 恒成立，
--------------------------------15分
∴m ≤16，这与m >17矛盾，故不存在m ，使得对任意正整数n 都有
19
20074
n a +<< . --------------------------------16分
（2）证法2：假设存在m ，使得对任意正整数n 都有
19
20074
n a +<< . 则29
4
a >
，则m >17 . --------------------9分
另一方面，111()088n n n n a m a a a +=+≥⋅=>， ------------------11分
∴
2104a a ≥>
，3204a a ≥>
，……，104
n n a a -≥>，
∴
1
1(4
n n a a -≥
，14n n a -≥ ① -----------------14分 当m>16时，由①知，n a →+∞，不可能使12007n a +<对任意正整数恒成立， --15分 ∴m ≤16，这与m >17矛盾，故不存在m ，使得对任意正整数n 都有1
920074
n a +<<。

---16分。