2.3等差数列的前n项和3汇总

A、25 B、35 C、36 D、45
2.数列{an}中，an=26-2n,当前n项和Sn最大时， n=__1_2_或__1_3____
3.已知等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差d<0, 则使前 n项和取得最大值时n的值是( ). B
A. 4 和 5
B. 5 和 6
C. 6和7
D. 不存在
例1. 在等差数列an 中， S6 30 ， S12 100 ，
求 S18 .
方法一：方程思想
方法二： S6，S12 S6， S18 S12
成等差数列
结论：等差数列依次 k 项之和
Sk ，S2k Sk 、S3k S2k 成等差数列.
练习：已知一个等差数列的前 10 项的和是 10， 前 30 项的和是 20，求其前 20 项和.
an1 an 常数
2an an1 an1
an kn b（其中k,b为常数）
Sn an2 bn(a,b为常数)
练习： 1.数列{an}的前 n 项和 Sn＝2n2－8，则{an}的通项 公式为 an＝________. 2.在小于 100 的正整数中共有多少个数 被 3 除余 2？这些数的和是多少？
解解:解(且∴1::)((且 ∴且 ∴由公a11n))＝由 公a由 公a差2nn＝a＝差a差22nd1a＋＋aa＝and11nd1＋＝＋＝＋＋(＝a1n41＝ 4＝(aa－－－(an44nn44a－ － －＋a－ － －a11n2n＋1)＋a11＋＝da112)12＋＝)1＝ d＋a＝ d2＝na＝－－23a可n2－ －n3可－ －823可得＝n82得82＝＋n得{＝n－＋a{－＋1an{－210}na2是0.1}.n是.2.0}是等.. 等等差差差数数数列列列，，，
∵∵∵n∵n∈∈nN∈NN**，*，N，∴*∴，∴当当∴当nn当＝n＝＝1n12＝21或2或1或2113或31时时31，时3，S时，Snn有，有Sn最S最有n大大有最值值最大，，大值值，，
且方方且方方且最且法最法法法大最三大大三三三值大值值为为值同为同同同S为方S方方1S方1221＝法法＝S2法法＝1S一一S2一1＝S1一33得＝得1＝得S3得＝111dd333d＝＝＝10d0＝3..＝－1－0－3.－53053..53. 53. . 又又又又由由由SSSS1110100＝0＝＝＝SSSS1115515得5得得得aaa11a111＋1＋＋1＋aaa112a12＋＋21＋2＋aa1a133a1＋＋31＋3a＋a1a1441＋a＋41＋4aa＋11a55＝1＝a51＝050＝..0.0. ∴∴∴555aaa11113333＝＝＝＝0000，，，，即即即即aaa1a1133＝13＝＝3＝000..0. . ∴∴当当当nnn＝＝＝111222或或或或11131333时时时时，，，，SSSnnSn有有n有有最最最大最大大值大值值．．值．．
((((((222222)))))即 ∴∴ 当 ＝ ＝ ＝即 ∴∴ 当 ＝ ＝ ＝即 ∴ 即 ∴ 即 ∴∴ 当 ＝ ＝ ＝ ∴ 当 ＝ ＝ ＝ ∴ 当 ＝ ＝ ＝)令令即 ∴令 令令∴ 当 ＝ ＝ ＝令当S当 － －a当S当 － －a当 当当SSS当 － － 当－ － 当 － －aaan当S当 － －annnnaa1naaan1n1111nnnna≥1＋n≥＝＋n≥ ≥≥＋ ＋ ＋＝n((＝ ＝ ＝nnnn((≥＋((((((＝nnn≥n((n－a≥nnnnnn≥ ≥≥－a－ － －aaann≥－a≤≤6a1≤≤6≤ ≤≤a1≤ ≤≤666aaa1111≤≤6a1＋＋0＋ ＋ ＋－ n2n0－ n2n000－ n－ n－ n2n22n2n＋时0－ n时2n＋时 时时＋，＋ ＋ ＋55时，5252， ，，555555＋ 2222222222，55a22＋ －a＋ －aaan＋ － ＋ － ＋ －nnnna＋ －时时 ，时时 ，n…时 时时2时 ， 时，时 ，…2得… … …2222时时 ， 得2得 得得…22＋2222＋得＋ ＋ ＋2＋ 99＋ ＋ 99＋ 9＋ 9＋ 9999＋ 99，， S，， S＋， ，，， S，S， Snn＋＋ ＋ ＋nn，nnnnnn， S＋…nnn…nn… … …nnnn9nnnn＋)… 9n＋999)＋ ＋ ＋)))n＝9a＝S＋≤)＋＝ ＝＝aS≤aaaa＋SSS≤ ≤≤n＋ ＋ ＋a＝naaaannnS≤＋a＋nn＋nn＋ ＋ ＋nnnn5nnnnn54＋5555＝n4≥444＝n＝ ＝＝5≥＝ |－≥ ≥≥＝ |－45＝ |＝|＝ |2－ － －＝52≥a5552220＝ |a－aaa000052aa0a.×aaa.×1...× × ×1a1111a.0×aaaa0|(n1|000|(n||||(nn(n(na|||0a＋|a(n＋|aaaa1)＋ ＋＋，a1)aaa，1111)))a， ，，＋(a1＋)＋， (1＋(((＋1＋ ＋＋＋ ＋ ＋611116(－6666＋＋1－|－－ －n|n6＋|||nnnnn＋nnn－＋ |＋＋ ＋＋ ||＋ |＋|＋ |nnn＋annnn＋ |aaaa≥≤a2n≥≤a≥≥ ≥a2≤≤ ≤aaa2225≥≥≤a225≥2555≥ ≥≥22222a(2a5|≥(2|2a22a2a|(((|||||||22aa＋(＋2aa|＋2222＋|aaaa＋ ＋＋＋ ＋＋56aaa75672＋a565656＋7777＋＋ a＋＋ ＋65627＋162＋ ＋66622221＋＋ ＋1111..62...＋|1＋||||＋.，＋＋ ＋…＋ …，…＋ …|，， ，… ……＋ … ＋…＋ …＋时4时 ，…＋ …时 时时4444…时…4…… …5…5a555a＋aaa… ＋＋5… ＋＋ ＋＋… ＋ …＋… ＋a，)，＋… ＋， ，， )2)))2＋2222，＋)＝＋＋ ＋＝2＋＝＝ ＝＋＋＋＋ ＋＝＋a＋ |a＋ |aaa＋ |＋|＋ |aaaaa＋ |aaaaaaanaaannaaannnnn…nnnnn…nan…… n…nnnn＝nnnnn＝＝ ＝＝ …nn|nn<||nnnn||<|2＝|<<<||2|a2222na|)aaa<|)2－)))－a－－ －0)＋0n＋000－＋＋ n＋－nnnn－0－ －－ ＋n|.－|.|||...|.99999aa9aaannnannnnnnnn55n5555252)＋2222)＋)＋)＋ )＋2＋＋)＋＋ ＋＋＋44444994999090000nn0nnn，n，，， ，.，.....
从而得到 a7>0，a8<0，故 n＝7 时，Sn 最大． 方法二 由 S3＝S11，可得 3a1＋3d＝11a1＋55d，把 a1＝13 代入， 得 d＝－2，故 Sn＝13n－n(n－1)＝－n2＋14n，根据二次函数的 性质，知当 n＝7 时，Sn 最大．
1.已知在等差数列{an}中，a1<0,S25=S45,若Sn最 小，则n为 B
| a3 || a9 d0
|
a3
a9
a3 a9 0
2a6 0 S5 S6
4.
（B）
a8 0, a9 0.
三、解答题 7.已知数列{an}中,a1＝8,a4＝2,且满足 an＋2＋an＝2an＋1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 Sn 是数列{|an|}的前 n 项和，求 Sn.
② S奇 S偶 an ③ S偶 n 1
S奇已知 a1＝13，
S3＝S11，当 Sn 最大时，n 的值是 ( )
A．5
B．6
C．7
D．8
解析
方法一 由 S3＝S11，得 a4＋a5＋…＋a11＝0，根据等差数列的性
质，可得 a7＋a8＝0，根据首项等于 13 可推知这个数列递减，
∴ 且∴ 且∴ 且最 当最 当当 最大大大nnn＝＝＝值值值111为为为222 或或或SSS111333111＝＝＝333SS时时S时111222，，，＝＝＝SSS111nn2n22取取××取×得得22得2000最＋最＋最＋大1大1大1222值×值×值×222 ，1，1，1111×××((
55 33
a1 ___ ，公差 d ___ .
(3)已知一个等差数列中d=0.5，S100 145,
则a1 a3 a5 a99 =____.
(4)已知Sn是等差数列{an}的前n项和， 若 a5 3,则 S13 _____ .
整体思想 比值问题
T7
S9
(5)已知Sn，Tn是等差数列{an},{bn}的前n项和，
∴∴aann＝＝220＋0＋(n(－n－1)×1)×( (53) ＝53 )－＝53n－＋536n35＋. 635.
∴∴∴aaa111333＝＝＝000，，，即即即当当当 nnn≤≤≤111222 时时时，，，aaannn>>>000，，，nnn≥≥≥111444 时时时，，，aaannn<<<000，，，
(4)在项数为2n+1的等差数列中，所有奇数项的和 为165，所有偶数项的和为150，则n=____.
等差数列性质：
若an共有2n项,则
①
S2n
n(a1
a2n ) 2
n(an an1 ) 2
② S偶 S奇 nd
③ S偶 an1 S奇 an
若an共有2n 1项,则
① S2n1 (2n 1)an
例2.(1)已知某等差数列共有20项，其奇数项 之和为15，偶数项之和为30，则其公差为___.
(2) 一个等差数列的前12项之和为354,前12项中 偶数项与奇数项之比为32:27,则公差____.
(3)在项数为2n的等差数列中,各奇数项的和为75, 各偶数项为90,末项与首项的差为27, 则项数2n的 值为____.
))
＝＝＝111333000...
题 型 三 等差数列的前n项和及综合应用
方方方法方法法二法二二二同同同方方同方法法方法一一法一求求一求得得求得dd＝得＝d－＝－d＝53－53..－53. 53.
∴∴∴S∴Snnn＝＝S＝n2＝22000nn2n＋＋0＋nnn＋nnn2－n2－2－1n12－1··((·1(53·53())53＝＝)53－＝－) 56＝－56nn2－562＋＋n56121n＋6262255＋n1n62＝＝1562－n－5＝n5656＝(－(nn－56(562n2225(5n))222＋＋252323)5221214)2＋42255＋.3. 2134
例 1.在等差数列{an}中,已知 a1＝20,前 n 项和为 Sn ,且 S10＝S15,求当 n 取何值时,Sn 取得最大值，并求出它的 最大值；
方方法法一一(1()1∵)∵a1a＝1＝202，0S，10S＝10S＝15，S15， ∴∴1100××220＋0＋101× 20×29d9＝d1＝5×152×0＋2015＋×21154×d2，14∴dd，＝∴－d53＝. －53.
且且且最最最大大大值值值值为为为为SSS1S11221＝2＝＝2＝SSS11S313＝3＝1＝3＝1131310303.0. 0. .
例3
（1）等差数列{an}中，a5+a16=30,则S20=_______.
（2）已知等差数列{an} 的项数为 24，且奇数的和为 24，偶
数项的和为 30，最后一项与首项之差为 10.5，则数列的首项
等差数列的前n项和公式
公式1
Sn
n（a1 2
an )
公式2
an a1 (n 1)d
n（n 1)
Sn na1
2
d
a1、an、d、n、Sn五个量中“知三求二”.（方程的思想）
1.已知Sn，求an.
an
SSn1
(n Sn1(n
1) 2)
2.等差数列判定方法：
（1）定义法： （2）等差中项法： （3）通项法： （4）前n项和法：
若 Sn 2n 3 ,则 a9 =______，a14 =______
Tn 3n 1 b9
b14
例 3.等差数列{an}的前 n 项和 Sn，已知 a1=-11，
a2 为整数，且 Sn S6 对任意的n N*恒成立，
(1)求{an}的通项公式； (2)求数列{|an|}的前 n 项和 Tn.