江西省奉新县2018届高三数学上学期第二次月考试题 文

江西省奉新县2018届高三数学上学期第二次月考试题 文
(考试时间:120分钟 总分:150分)
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共22题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，只交答题卡。

注意事项：
1、答题前，考生务必先将自己的姓名，学号填涂在答题卡上，并认真核对。

2、各题答案均使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）.
1、已知集合}3,1,1{-=A ，1lg B x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭
，则A B ⋂= ( )
A ．{}3-
B ．{}3
C ．{}1,3
D ．{}1,1,3- 2、已知R y x ∈,, (i 为虚数单位)若i y xi 3)2(1--=+，则=+yi x （ ） A ．2 B ．5 C ．3 D ．10
3、在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若34825a a a ++=，则9S = ( ) A ．60 B ．75 C.90 D ．105
4、已知平面向量),1(m a = ，)1,3(-=b 且b b a
//)2(+，则实数m 的值为（ ）
A ．
31 B ．31- C ．32 D ．3
2- 5、在ABC ∆中，22,120AB AC BAC ==∠=︒，点D 为BC 边上一点，且2BD DC =，
则AB AD ⋅= ( )
A ．3
B ．2
C ． 73
D ．2
3
6、已知函数2
()lg(4)f x x x =-，则（ ）
A ．()f x 在(0,4)单调递增
B ．()f x 在(0,4)单调递减
C ．()y f x =的图象关于直线2x =对称
D ．()y f x =的图象关于点(2,0)对称 7、函数)sin(2)(ϕω+=x x f )2
2
,0(π
ϕπ
ω<
<->的部分图象如图，
将)(x f 的图象向左平移6
π
个单位后的解析式为（ ）
A ．)6
2sin(2π
-=x y B ．)2sin(2x y =
C ．)6
2sin(2π
+
=x y D ．)3
2sin(2π
+
=x y
8、已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，若任意的x R ∈，都有(2)(2)f x f x +=-， 当[0,2]x ∈时，()21x
f x =-，则(2017)(2018)f f -+=（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
9、已知等差数列}{n a 的前n 项和是n S ，若015>S ，016<S ，则n S 最大值是( ) A ．1S B ．7S C ．8S D ．15S
10、设函数(2),2()1()1,22
x a x x f x x -≥⎧⎪
=⎨-<⎪⎩，()n a f n =，若数列{}n a 是单调递减数列，
则实数a 的取值范围为（ ）
A ．(,2)-∞
B ．7
(,)4-∞ C ． 13(,]8
-∞ D ．13[,2)8
11、若直线ax ﹣y=0（a ≠0）与函数
图象交于不同的两点A ，B ，且
点C （6，0），若点D （m ，n ）满足，则m+n=（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．a
12、定义在R 上的可导函数
()f x 满足()11=f ，且()12>'x f ，当3,2
2x ππ⎡⎤
∈-⎢
⎥⎣⎦
时，不等式
()232cos 2sin 22
x
f x >
-的解集为(
)
A ．4,33ππ⎛⎫
⎪⎝⎭ B ．4,
33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭
C ．0,3π⎛⎫
⎪⎝⎭ D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,3ππ 第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13、已知α是锐角，且1cos()6
3
πα+=，则cos()3
π
α-=
14、数列}{n a 满足,131+=+n n a a 且11=a ，则数列}{n a 的通项公式=n a 15、设函数()32f x x ax =+，若曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处的切线方程为0x y +=，
则实数a = ．
16、定义在R 上的函数)0()(2
3
≠++=a cx bx ax x f 单调递增区间为）
1,1(-，若关于x 的方程0)(2))((32
=++c x bf x f a 恰有6个不同的实根，则实数a 的取值范围______. 三、解答题：(本大题共6小题，17题10分,18-22题12分,共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17、（本小题满分10分）
已知数列{a n }是等比数列，满足a 1=3，a 4=24，数列{b n }是等差数列，满足 b 2=4，b 4=a 3．
（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）设c n =a n ﹣b n ，求数列{c n }的前n 项和．
18、（本小题满分12分） 在
ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,已知
C A C A B t a n t a n )t a n (t a n s i n =+．
（1）求证：c b a ,,成等比数列；
（2）若2,1==c a ，求ABC ∆的面积S ．
19、（本小题满分12分）
已知函数()f x 的图象与函数()1
h x x x
=+的图象关于点()0,1A 对称. （1）求函数()f x 的解析式；
（2）若()()g x xf x ax =+，且()g x 在区间(]0,4上为减函数，求实数a 的取值范围.
20、（本小题满分12分）
某同学用“五点法”画函数f （x ）=Asin （ωx+φ）在某一个周期的图象时，列表并填入的部分数据如下表：
（1）求x 1，x 2，x 3的值及函数f （x ）的表达式；
（2）将函数f （x ）的图象向左平移π个单位，可得到函数g （x ）的图象，
求函数y=f （x ）•g（x ）在区间（0，）的最小值．
21、（本小题满分12分）
设数列}{n a 的前n 项和为n S ，11=a ，满足),2(1n n n S S S a -=+→
，),2(n b =→，→
→b a //． （1)求证：数列}{
n
S n
为等比数列； （2）求数列}{n S 的前n 项和n T ．
22、（本小题满分12分）
已知函数()()ln 0=+
>a
f x x a x
. （1) 若函数()f x 有零点, 求实数a 的取值范围; (2) 证明: 当2
a e
≥时, ()->x f x e .
2018届高三上学期第二次月考数学试卷(文)答案
一、选择题（本大题共有12小题，每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B
D
B
B
D
C
B
A
C
B
B
D
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13
322 14 )13(21-n 15 22或- 16 2
1
-<a 三、解答题：(本大题共6小题，17题10分,18-22题12分,共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17、（本小题满分10分）
已知数列{a n }是等比数列，满足a 1=3，a 4=24，数列{b n }是等差数列，满足 b 2=4，b 4=a 3．
（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）设c n =a n ﹣b n ，求数列{c n }的前n 项和． 解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，由题意，得
，解得：q=2．
∴∴a 3=12．
设等差数列{a n }的公差为d ，∵b 2=4，b 4=12，∵b 4=b 2+2d ，∴12=4+2d ， 解得：d=4，∴b n =b 2+（n ﹣2）d=4+（n ﹣2）×4=4n ﹣4，b n =4n ﹣4．…（6分） （2）由（1）知，b n =4n ﹣4，因此
．
从而数列{c n }的前n 项和
=
=3×2n ﹣3﹣n （2n ﹣2）…（12分）=3×2n ﹣3﹣2n 2
+2n 10分
18、（本小题满分12分） 在
ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,已知
C A C A B t a n t a n )t a n (t a n s i n =+．
（1）求证：c b a ,,成等比数列；
（2）若2,1==c a ，求ABC ∆的面积S ． （1）证明：∵sinB （tanA+tanC ）=tanAtanC ∴sinB
（
）
=
∴si
nB•
=
∴sinB
（sinAcosC+sinCcosA ）=sinAsinc ∴sinBsin （A+C ）=sinAsinC ，
∵A+B+C=π∴sin （A+C ）=sinB 即sin 2
B=sinAsinC ，由正弦定理可得：b 2
=ac ， 所以a ，b ，c 成等比数列． 6分 （2）若a=1，c=2，则b 2
=ac=2，∴，
∵0＜B ＜π∴sinB=
∴△ABC 的面积
． 12分
19、（本小题满分12分）
已知函数()f x 的图象与函数()1
h x x x
=+的图象关于点()0,1A 对称. （1）求函数()f x 的解析式；
（2）若()()g x xf x ax =+，且()g x 在区间(]0,4上为减函数，求实数a 的取值范围. 解：(1)∵f(x)的图象与h(x)的图象关于点A(0,1)对称，设f(x)图象上任意一点坐标为B(x ，y)，其关于A(0,1)的对称点B ′(x ′，y ′)，
则∴
{
''2x x y y
=-=- ……………4分
∵B ′(x ′，y ′)在h(x)上，∴y ′＝x ′＋.∴2－y ＝－x －，∴y ＝x ＋ +2，
即f(x) ＝x ＋
+2. ………………6分
(2)∵g(x)＝xf(x)+ax=x 2
+(a+2)x+1且g(x)在(0,4]上为减函数， ……………………8分 ∴a 2
2
+-
≥4，即a ≤－10. ∴a 的取值范围为(－∞，－10]． ………………12分 20、（本小题满分12分）
某同学用“五点法”画函数f （x ）=Asin （ωx+φ）在某一个周期的图象时，列表并填入的部分数据如下表：
（1）求x 1，x 2，x 3的值及函数f （x ）的表达式；
（2）将函数f （x ）的图象向左平移π个单位，可得到函数g （x ）的图象，
求函数y=f （x ）•g（x ）在区间（0，）的最小值．
解：（1）由φ=0，φ=0可得：ω=，φ=﹣，…（2分）
由x 1﹣=
；x 2﹣=
；x 3﹣=2π可得：
x 1=
，x 2=，x 3=
，又∵Asin （
）=2，∴A=2．
∴f （x ）=2sin （x ﹣），…（6分）
（2）由f （x ）=2sin （x ﹣）的图象向左平移π个单位， 得g （x ）=f （x ）=2sin （x ﹣+
）=2cos （）的图象，…（8分） ∴y=f （x ）•g（x ）=2×2sin （）cos （）=2sin （x ﹣
）…（10分）
∵x ∈（0，）时，x ﹣∈（﹣
，π）
∴当x ﹣
=﹣
时，即x=
时，y min =﹣2，…（12分）
21、（本小题满分12分）
设数列}{n a 的前n 项和为n S ，11=a ，满足),2(1n n n S S S a -=+→
，),2(n b =→，→
→b a //． （1）求证：数列}{
n
S n
为等比数列； （2）求数列}{n S 的前n 项和n T ． 证明：（1）
，
，
．∴n （S n+1﹣2S n ）=2S n ，
∴=2•，∴a 1=1，∴=1，
∴数列是以1为首项，以2为公比的等比数列 4分
（2）由（1）知
，∴，
∴T n =1×20
+2×21
+3×22
+…+n•2
n ﹣1
，
∴2T n =1×21
+2×22
+…+（n ﹣1）•2n ﹣1
+n•2n
，
由错位相减得﹣T n =1+21
+22
+…+2
n ﹣1
﹣n•2n
=﹣n•2n =2n ﹣1﹣n•2n =（1﹣n ）2n
﹣1，
∴T n =（n ﹣1）2n
+1 12分 22、（本小题满分12分）
已知函数()()ln 0=+
>a
f x x a x
. （1) 若函数()f x 有零点, 求实数a 的取值范围;
(2) 证明: 当2
a e
≥
时, ()->x f x e . 解:（1）法1: 函数()ln a
f x x x
=+的定义域为()0,+∞.
由()ln a f x x x =+, 得()221a x a
f x x x x
-'=-=.
因为0a >,则()0,x a ∈时, ()0f x '<;(),x a ∈+∞时, ()0f x '>.
所以函数()f x 在()0,a 上单调递减, 在(),a +∞上单调递增. 当x a =时, ()min ln 1f x a =+⎡⎤⎣⎦.
当ln 10a +≤, 即0a <≤
1
e
时, 又()1ln10=+=>f a a , 则函数()f x 有零点. 所以实数a 的取值范围为10,e ⎛⎤ ⎥⎝
⎦
.
法2：函数()ln a
f x x x
=+的定义域为()0,+∞. 由()ln 0a
f x x x
=+
=, 得ln a x x =- 令()ln g x x x =-，则()()ln 1g x x '=-+.
当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时, ()0g x '>; 当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
时, ()0g x '<.
所以函数()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增, 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减.
故1x e =时, 函数()g x 取得最大值1111ln g e e e e ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
. 因而函数()ln a f x x x
=+有零点, 则10a e <≤. 所以实数a 的取值范围为10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦. 5分
（2） 要证明当2a e
≥
时, ()->x f x e , 即证明当0,x >2a e ≥时, ln x a x e x -+>, 即ln x x x a xe -+>. 令()ln h x x x a =+, 则()ln 1h x x '=+. 当10x e <<时, ()0f x '<;当1x e >时,
()0f x '>. 所以函数()h x 在10,e ⎛
⎫ ⎪⎝⎭上单调递减, 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 当1x e =
时, ()min 1h x a e
=-+⎡⎤⎣⎦. 于是,当2a e ≥时, ()11.h x a e e ≥-+≥ ① 令()x x xe ϕ-=, 则()()1x x x x e xe e x ϕ---'=-=-. 当01x <<时, ()0f x '>;当1x >时,
()0f x '<.
所以函数()x ϕ在()0,1上单调递增, 在()1,+∞上单调递减.
当1x =时, ()max 1x e
ϕ=
⎡⎤⎣⎦. 于是, 当0x >时, ()1.x e ϕ≤ ② 显然, 不等式①、②中的等号不能同时成立. 故当2a e ≥时, ()x f x e -> 12分。