人教版数学八年级下册《期中考试试卷》附答案解析

人 教 版 数 学 八 年 级 下 学 期
期 中 测 试 卷
学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________
一、选择题(每小题3分,共30分)
1. 下列式子中,属于最简二次根式的是( ) A. 4 B. 5 C. 0.2 D. 13
2. 使二次根式2x -有意义的x 的取值范围是( )
A. x≠2
B. x ＞2
C. x≤2
D. x≥2．
3. 下列计算正确的是( )
A. 103=7-
B. 23=5+
C. 333=23-
D. 22=22+ 4. 下列各组数中,以a 、b 、c 为边三角形不是直角三角形的是( )
A. a ＝1,b ＝2,c ＝3
B. a ＝32,b ＝2,c ＝52
C. a ＝5,b ＝12,c ＝13
D. a ＝7,b ＝24,c ＝25
5. 在平行四边形ABCD 中,∠A 比∠B 大40°,那么∠C 的度数为( )
A 60° B. 70° C. 80° D. 110°
6. 在下列给出的条件中,能判定四边形ABCD 为平行四边形的是()
A. AB ＝BC ,CD ＝DA
B. AB //CD ,AD ＝BC
C. AB //CD ,∠A ＝∠C
D. ∠A ＝∠B ,∠C ＝∠D
7. 如图,正方体的棱长为2,B 为一条棱的中点．已知蚂蚁沿正方体的表面从A 点出发,到达B 点,则它运动的最短路程为( )
A 13 B. 4 C. 17 D. 5
8. 菱形ABCD的边长为2,∠A＝60°,点G为AB的中点,以BG为边作菱形BEFG,其中点E在CB的延长线上,点P为FD的中点,则PB＝( )
A
7
2
B. 3
C.
51
2
D.
5
3
9. 将一个边长为10的正方形铁片,过两个顶点剪掉一个三角形,以下四个剪法中,裁剪线的长度所标的数据不可能的是( )
A. B.
C. D.
10. 将一张正方形纸片按如图的步骤,通过折叠得到④,再沿虚线剪去一个角,展开平铺后得到⑤,其中FM、
GN为折痕,若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积之比为4：5,则FM
FG
的值为( )
A. 622-
B. 22
C. 255
D. 522
- 二、填空题(每小题3分,共18分)
11. 化简：()()2
255-+＝_____． 12. 若a ＝2+3,b ＝2﹣3,则ab 的值为_____．
13. 点D 、E 、F 分别是△ABC 三边的中点,若△ABC 的周长是16,则△DEF 的周长是_____．
14. 如图,在3×
3的正方形网格中,每个小正方形边长为1,点A ,B ,C 均为格点,以点A 为圆心,AB 长为半径作弧,交格线于点D ,则CD 的长为_____．
15. △ABC 中,AB ＝AC ,∠BAC ＝90°
,AD ⊥BC 于D ,分别以AD 、BD 、CD 为长对角线作全等的三个菱形,如图所示,若菱形较短的对角线的长为2,点G 刚好在AE 的延长线上,则其中一个菱形AEDF 的面积为_____．
16. △ABC 中,AD ⊥BC 于D ,AB ＝m ,AC ＝n ,∠ACB ＝2∠BAD ,用m 、n 表示AD 的长为_____．
三、解答题(共72分)
17. 计算：
(1)
1 2712
3
-+=
(2)(3622)2
-÷=
18. 已知：如图,点E,F分别在□ABCD的AB,DC边上,且AE=CF,联结DE,BF．
求证：四边形DEBF是平行四边形．
19. 已知=51-,求代数式256
x x
+-的值.
20. 如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,点A、B、C均在格点上．
(1)直接写出AC的长为,△ABC的面积为；
(2)请在如图所示网格中,用无刻度的直尺作出AC边上的高BD,并保留作图痕迹；
(3)求BD的长．
21. 如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,DE∥AC,CE∥BD,
求证：四边形OCED是菱形．
22. 在△ABC中,AB＝AC＝5．
(1)若BC＝6,点M、N在BC、AC上,将△ABC沿MN折叠,使得点C与点A重合,求折痕MN的长；
(2)点D在BC的延长线上,且BC：CD＝2：3,若AD＝10,求证：△ABD是直角三角形．
23. ▱ABCD中,点E、F分别在AB、AD上,∠EAF＝∠B＝60°,AD＝nAB．(1)当n＝1时,求证：△AEF为等边三角形；
(2)当n＝1
2
时,求证：∠AFE＝90°；
(3)当CE＝CF,DF＝4,BE＝3时,直接写出线段EF的长为．
24. 书籍和纸张的长与宽比值都有固定的尺寸,如常用的A3、A4、A5的纸张长与宽的比值都相等．一长方形纸张对折后的小长方形的长与宽的比值与原长方形的长与宽的比值相等．
(1)求满足这样条件的长方形的长与宽的比值；
(2)如图所示的长方形ABCD长与宽之比也满足以上条件,其中宽AB＝2．
①点P是AD上一点,将△BP A沿BP折叠得到△BPE,当BE垂直AC时,求AP的长；
②若将长方形ABCD绕点B旋转得到长方形A1BC1D1,直线CC1交DD1于点M,N为BC的中点,直接写出MN的最大值：．
答案与解析
一、选择题(每小题3分,共30分)
1. 下列式子中,属于最简二次根式的是()
B. C. D.
A.
[答案]B
[解析]
[分析]
根据最简二次根式是被开方数不含分母,被开方数不含开的尽方的因数或因式,可得答案．
[详解]解：A.
=2,故不符合题意；
B.
C.
,故不符合题意；
5
D. ,故不符合题意
故选：B．
[点睛]本题考查了最简二次根式,最简二次根式是被开方数不含分母,被开方数不含开的尽方的因数或因式．2. x的取值范围是( )
A. x≠2
B. x＞2
C. x≤2
D. x≥2．
[答案]D
[解析]
[分析]
根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式,解不等式即可．
[详解]解：由题意得,x-2≥0,
解得x≥2,
故选：D．
[点睛]本题考查的是二次根式有意义的条件,掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．3. 下列计算正确的是( )
C. D. 2
[答案]C
[解析]
[分析]
先把各个二次根式化成最简二次根式再合并判断即可．
[详解]解：A,故该选项不符合题意；
B不能计算,故该选项不符合题意；
C、正确,符合题意；
D,故该选项不符合题意；
故选：C．
[点睛]此题考查二次根式的加减,关键是先把各个二次根式化成最简二次根式再合并解答．
4. 下列各组数中,以a、b、c为边的三角形不是直角三角形的是( )
A. a＝1,b,c
B. a＝3
2
,b＝2,c＝
5
2
C. a b,c
D. a＝7,b＝24,c＝25
[答案]C
[解析]
[分析]
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方,那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系,就是直角三角形,没有这种关系,就不是直角三角形．
[详解]解：A、1
2+2＝2,符合勾股定理的逆定理,是直角三角形,故此选项错误；
B、22+(3
2
)2＝(
5
2
)2,符合勾股定理的逆定理,是直角三角形,故此选项错误；
C、2+)2≠2,不符合勾股定理的逆定理,不是直角三角形,故此选项正确；
D、72+242＝252,符合勾股定理的逆定理,是直角三角形,故此选项错误．
故选：C．
[点睛]本题考查了勾股定理的逆定理,在应用勾股定理的逆定理时,应先认真分析所给边的大小关系,确定最大边后,再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系,进而作出判断．
5. 在平行四边形ABCD中,∠A比∠B大40°,那么∠C的度数为( )
A. 60°
B. 70°
C. 80°
D. 110°
[答案]D
[解析]
[分析]
根据平行四边形的对角相等,邻角之和为180°,即可求出该平行四边形各个内角的度数．
[详解]画出图形如下所示：
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C,∠A+∠B=180°,
又∵∠A﹣∠B=40°,
∴∠A=110°,∠B=70°,
∴∠C=110°．
故选D．
[点睛]此题考查了平行四边形的性质．理解平行四边形的对角相等,邻角互补是解题的关键．
6. 在下列给出的条件中,能判定四边形ABCD为平行四边形的是()
A. AB＝BC,CD＝DA
B. AB//CD,AD＝BC
C. AB//CD,∠A＝∠C
D. ∠A＝∠B,∠C＝∠D
[答案]C
[解析]
分析]
根据平行四边形的判定定理,分别进行判断,即可得到答案．
[详解]解：如图：
A、根据AB=BC,AD=DC,不能推出四边形ABCD是平行四边形,故本选项错误；
B、根据AB∥CD,AD=BC不能推出四边形ABCD平行四边形,故本选项错误；
C、由AB∥CD,则∠A+∠D=180°,由∠A=∠C,则∠D+∠C=180°,则AD∥BC,可以推出四边形ABCD是平行四边形,故本选项正确；
D、∵∠A=∠B,∠C=∠D,∠A+∠B+∠C+∠D=360°,
∴2∠B+2∠C=360°,
∴∠B+∠C=180°,
∴AB∥CD,
但不能推出其它条件,即不能推出四边形ABCD是平行四边形,故本选项错误；
故选：C．
[点睛]本题考查了对平行四边形判定定理和等腰梯形的判定的应用,注意：平行四边形的判定定理有：①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形,②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形,③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形,④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形,等腰梯形的定义是两腰相等的梯形．
7. 如图,正方体的棱长为2,B为一条棱的中点．已知蚂蚁沿正方体的表面从A点出发,到达B点,则它运动的最短路程为( )
13 B. 417 D. 5
[答案]A
[解析]
[分析]
正方体侧面展开为长方形,确定蚂蚁的起点和终点,根据两点之间线段最短、勾股定理即可求出最短路径长．
[详解]一．如图,它运动的最短路程
2
2
(22)217
2
1
AB
⎛⎫
=++⨯=
⎪
⎝⎭
二、如图,它运动的最短路程
2
2
22+213
1
2
AB
⎛⎫
=+⨯=
⎪
⎝⎭
故选：A．
[点睛]本题考查了正方体的侧面展开图、两点之间线段最短、勾股定理,掌握正方体的侧面展开图是解题关键．
8. 菱形ABCD的边长为2,∠A＝60°,点G为AB的中点,以BG为边作菱形BEFG,其中点E在CB的延长线上,点P为FD的中点,则PB＝( )
A
7
2
3 C.
51
2
D.
5
3
[答案]A [解析]
[分析]
连接BF、BD,根据菱形ABCD的边长为2,可得AB＝BC＝CD＝2,由∠A＝60°,可得△BCD是等边三角形,进而可求∠DBF＝90°,再根据勾股定理分别求出BF、DF的长,进而可得PB的长．
[详解]解：如图,连接BF、BD,
∵菱形ABCD的边长为2,
∴AB＝BC＝CD＝2,
∵∠A＝60°,
∴△BCD是等边三角形,
∴BD＝BC＝2,∠DBC＝60°,
∴∠DBA＝60°,
∵点G为AB的中点,
∴菱形BEFG的边长为1,
即BE＝EF＝BG＝1,
∵点E在CB的延长线上,∠GBE＝60°,
∴∠FBG＝30°,
连接EG,
∴EG⊥FB于点O,
3
∴OB
∴FB3
∵∠DBF＝∠DBA+∠FBG＝90°,
根据勾股定理,得
DF227
DB BF ,
∵点P为FD的中点,
∴PB ＝12DF ＝72
． 故选：A ．
[点睛]本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、勾股定理,解决本题的关键是掌握菱形的性质．
9. 将一个边长为10的正方形铁片,过两个顶点剪掉一个三角形,以下四个剪法中,裁剪线的长度所标的数据不可能的是( )
A. B.
C. D.
[答案]B
[解析]
[分析]
直接验证三角形三边的平方之间的关系即可作出判断．
[详解]解：对于A 选项,((2255160100+=>,三角形为锐角三角形,合理；
对于B 选项,102+42＜112,说明边长为11的边所对的角是钝角,这个时候三角形不可能完全处在正方形内,故不合理；
对于C 选项,(22210839+>,说明边长为239,三角形为锐角三角形,合理； 对于D 选项,62+72＜102,说明边长为10的边所对的角为钝角,合理．
故选：B ．
[点睛]本题主要考查了正方形的性质和勾股定理,正确判断各三角形的形状是解答的关键．
10. 将一张正方形纸片按如图的步骤,通过折叠得到④,再沿虚线剪去一个角,展开平铺后得到⑤,其中FM、
GN为折痕,若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积之比为4：5,则FM
FG
的值为( )
A. 62
2
-
B.
2
2
C.
25
5
D.
52
2
-
[答案]A
[解析]
[分析]
连接HF,直线HF与AD交于点P,根据正方形EFGH与五边形MCNGF的面积之比为4：5,设正方形EFGH 与五边形MCNGF的面积为4x2,5x2,可得GF＝2x,根据折叠可得正方形ABCD的面积为24x2,进而求出FM,最后求得结果．
[详解]如图,连接HF,直线HF与AD交于点P,
∵正方形EFGH与五边形MCNGF的面积之比为4：5,
设正方形EFGH与五边形MCNGF的面积为4x2,5x2,
∴GF2＝4x2,
∴GF＝2x,
∴HF2
2GF＝2,
由折叠可知：
正方形ABCD的面积为：4x2+4×5x2＝24x2,
∴PM 2＝24x 2,
∴PM ＝x ,
∴FM ＝PH ＝12(PM ﹣HF )＝12
(x ﹣x )＝)x ,
∴FM GF = 故选：A ．
[点睛]本题考查了剪纸问题,解决本题的关键是掌握对称的性质．
二、填空题(每小题3分,共18分)
11. 2＝_____． [答案]10
[解析]
[分析]
根据二次根式的性质计算．
[详解]2 ＝5+5
＝10．
故答案为：10．
[点睛]本题考查了二次根式的混合运算：
在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能事半功倍．
12. 若a ＝,b ＝2则ab 的值为_____．
[答案]1
[解析]
[分析]
直接利用平方差公式计算得出答案．
[详解]解：∵22a b ==
∴ab ＝(22+＝4﹣3＝1．
故答案为：1．
[点睛]此题主要考查了二次根式的化简求值,正确运用乘法公式是解题关键．
13. 点D、E、F分别是△ABC三边的中点,若△ABC的周长是16,则△DEF的周长是_____．
[答案]8．
[解析]
[分析]
据D、E、F分别是AB、AC、BC的中点,可以判断DF、FE、DE为三角形中位线,利用中位线定理求出DF、FE、DE与AB、BC、CA的长度关系即可解答．
[详解]如图,∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点,∴ED、FE、DF为△ABC中位
线,∴DF
1
2
=BC,FE
1
2
=AB,DE
1
2
=AC,∴DF+FE+DE
1
2
=BC
1
2
+AB
1
2
+AC
1
2
=(AB+BC+CA)
1
2
=⨯16＝8．
故答案为8．
[点睛]本题考查了三角形的中位线定理,根据中点判断出中位线,再利用中位线定理是解题的基本思路．14. 如图,在3×3的正方形网格中,每个小正方形边长为1,点A,B,C均为格点,以点A为圆心,AB长为半径作弧,交格线于点D,则CD的长为_____．
[答案]37
[解析]
[分析]
由勾股定理求出AB,再由勾股定理求出DE,即可得出CD 的长．
[详解]解：连接AB ,AD ,如图所示：
∵AD ＝AB ＝222222+=,
∴DE ＝()222217-=,
∴CD ＝37-．
故答案为：37-．
[点睛]本题考查了勾股定理,由勾股定理求出AB 、DE 是解题的关键．
15. △ABC 中,AB ＝AC ,∠BAC ＝90°
,AD ⊥BC 于D ,分别以AD 、BD 、CD 为长对角线作全等的三个菱形,如图所示,若菱形较短的对角线的长为2,点G 刚好在AE 的延长线上,则其中一个菱形AEDF 的面积为_____．
[答案]222
[解析]
[分析]
如图所示,连接HG ,设EG 交DH 于点K ,先证明△GDE 是等腰直角三角形,再证明∠GKD ＝90°,从而在Rt △GHK 中,由勾股定理得x 2+22)x x -＝4,求得x 2的值,再根据菱形的面积等于底乘以高,得出菱形BGDH 的面积,即菱形AEDF 的面积．
[详解]如图所示,连接HG ,设EG 交DH 于点K ,则HG ＝2,
∵三个菱形全等,
∴GD ＝ED ,∠ADE ＝∠BDG ,
∵AD ⊥BC 于D ,
∴∠ADB ＝∠ADE+∠BDE ＝90°,
∴∠GDE ＝∠BDG+∠BDE ＝90°,
∴△GDE 是等腰直角三角形,
∴∠EGD ＝∠GED ＝45°,
∵四边形AEDF 为菱形,
∴AE ∥DF ,
∴∠EDF ＝∠GED ＝45°,
∴∠GDK ＝45°,
∴∠GKD ＝90°,
设GK ＝DK ＝x ,则GD ＝DH 2x ,HK 2x ﹣x ,
在Rt △GHK 中,由勾股定理得：x 2+2(2)x x ＝4,
解得：x 2＝2∴菱形BGDH 的面积为：DH•GK 2x•x 2x 2＝2+2,
∴菱形AEDF 的面积为：2+2．
故答案为：2+2．
[点睛]本题考查了菱形的性质、菱形的面积计算、等腰直角三角形的判定及勾股定理在计算中的应用,明确菱形的性质及根据勾股定理构建方程是解题的关键．
16. △ABC 中,AD ⊥BC 于D ,AB ＝m ,AC ＝n ,∠ACB ＝2∠BAD ,用m 、n 表示AD 的长为_____．
[答案]2242-m n m n
[解析]
[分析]
延长BC 至E ,使CE ＝AC ,连接AE ,根据三角形的外角性质、等腰三角形的性质得到∠B ＝∠BAC ,得到BC ＝AC ＝n ,根据勾股定理、三角形的面积公式计算即可．
[详解]延长BC 至E ,使CE ＝AC ,连接AE ,
则∠CAE ＝∠E ,
∵∠ACB ＝∠CAE+∠E ,
∴∠CAE ＝∠E ＝12
∠ACB , ∵∠ACB ＝2∠BAD ,
∴∠E ＝∠BAD ,
∵AD ⊥BC ,
∴∠B+∠BAD ＝90°,
∴∠B+∠E ＝90°,即∠BAE ＝90°,
∴∠BAC+∠CAE ＝90°,
∵∠B+∠E ＝90°,∠CAE ＝∠E ,
∴∠B ＝∠BAC ,
∴BC ＝AC ＝n ,
由勾股定理得,AE 22BE AB -224n m -
S △BAE ＝12×AB×AE ＝12×BE×AD ,即m×224n m -＝2n×AD ,
解得：AD 224-m n m , 22
4-m n m ． [点睛]本题考查的是等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理,掌握三角形的外角性质、灵活运用三角形的面积公式是解题的关键．
三、解答题(共72分)
17. 计算：
(1127123
= (2)(3622)2÷=
[答案](1)
33；(2)332． [解析]
[分析]
(1)先化简二次根式,再计算二次根式的加减法即可；
(2)利用二次根式除法的分配律进行计算即可．
[详解](1)原式3233
33= 433
=； (2)原式362222=332=．
[点睛]本题考查了二次根式的加减法、除法运算,熟记运算法则是解题关键．
18. 已知：如图,点E ,F 分别在□ABCD 的AB ,DC 边上, 且AE=CF ,联结DE ,BF ．
求证：四边形DEBF 是平行四边形．
[答案]见解析
[解析]
[分析]
由四边形ABCD 是平行四边形,可得AB ＝CD ,AB ∥CD ,再说明EB=DF ,从而根据一组对边既平行又相等的四边形是平行四边形即可得证.
[详解]∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AB ＝CD ,AB ∥CD ,
即EB ∥DF.
∵AE ＝CF ,
∴AB －AE ＝CD －CF ,即EB ＝DF ．
∴四边形DEBF 是平行四边形．
[点睛]本题主要考查了平行四边形的性质与判定,熟练掌握平行四边形的性质定理与判定定理是解答本题的关键.
19. 已知51,求代数式256x x +-的值.
[答案]535-+[解析]
[分析]
把x 的值代入多项式进行计算即可．
[详解]当51时,256x x +-=))
2515516+-=6255556--=535-+[点睛]本题考查了二次根式的化简求值,掌握完全平方公式是解题的关键．
20. 如图,在每个小正方形边长为1的网格中,点A 、B 、C 均在格点上．
(1)直接写出AC 的长为 ,△ABC 的面积为 ；
(2)请在如图所示的网格中,用无刻度的直尺作出AC 边上的高BD ,并保留作图痕迹；
(3)求BD 的长．
[答案](1)29,9；(2)见解析；(3)1829
29
[解析]
[分析]
(1)根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论；
(2)根据题意画出线段BD即可；
(3)根据三角形的面积公式即可得到结论．
[详解](1)AC＝22
25
+＝29,
S△ABC＝4×5﹣1
2
×2×4﹣
1
2
×2×5﹣
1
2
×1×4＝9,
故答案为：29,9；
(2)如图所示,BD即为所求,
(3)∵S△ABC＝1
2
AC•BD＝
1
29
2
BD＝9,
∴BD 1829
．
[点睛]本题考查了作图﹣应用与设计作图,三角形的面积的计算,勾股定理,正确的作出图形是解题的关键．21. 如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,DE∥AC,CE∥BD,
求证：四边形OCED 是菱形．
[答案]见解析
[解析]
[分析]
首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED 是平行四边形,再根据矩形的性质可得OC=OD ,即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论．
[详解]证明：∵DE ∥AC ,CE ∥BD ,
∴四边形OCED 是平行四边形．
∵四边形ABCD 是矩形,∴OC=OD=12AC=12
BD ∴四边形OCED 是菱形．
22. 在△ABC 中,AB ＝AC ＝5．
(1)若BC ＝6,点M 、N 在BC 、AC 上,将△ABC 沿MN 折叠,使得点C 与点A 重合,求折痕MN 的长；
(2)点D 在BC 的延长线上,且BC ：CD ＝2：3,若AD ＝10,求证：△ABD 是直角三角形．
[答案](1)
103
；(2)见解析 [解析]
[分析] (1)如图1,过作AD BC ⊥于,根据等腰三角形的性质得到3BD CD ==,求得4=AD ,根据折叠的性质得到
AM CM =,1522
AN AC =
=,设AM CM x ==,根据勾股定理即可得到结论； (2)如图2,过作AE BC ⊥于,根据等腰三角形的性质得到12BE CE BC ==,设2BC t =,3CD t =,AE h =,得到BE CE t ==,根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到结论．
[详解]解：(1)如图1,过作AD BC ⊥于,
5AB AC ==,6BC =,
3BD CD ∴==,
4AD ∴=,
将ABC ∆沿MN 折叠,使得点与点重合,
AM CM ∴=,1522AN AC =
=, 设AM CM x ==,
3MD x ∴=-,
222AD DM AM +=,
2224(3)x x ∴+-=, 解得：256
x , 222225510()()623
MN AM AN ∴=-=-=； (2)如图2,过作AE BC ⊥于, AB AC =,
12
BE CE BC ∴==, :2:3BC CD =,
设2BC t =,3CD t =,AE h =,
BE CE t ∴==, 5AB =,10AD =,
2225h t ∴+=,222(4)10h t +=,
联立方程组解得,5t =(负值舍去),
55BD ∴=
222222
510125(55)
AB AD BD
+=+===,
ABD
∴∆是直角三角形．
[点睛]本题考查了翻折变换(折叠问题),等腰三角形的性质,勾股定理的逆定理,勾股定理,正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
23. ▱ABCD中,点E、F分别在AB、AD上,∠EAF＝∠B＝60°,AD＝nAB．
(1)当n＝1时,求证：△AEF为等边三角形；
(2)当n＝1
2
时,求证：∠AFE＝90°；
(3)当CE＝CF,DF＝4,BE＝3时,直接写出线段EF的长为．
[答案](1)见解析；(2)见解析；(339
[解析]
[分析]
(1)根据菱形的判定定理得到平行四边形ABCD为菱形,得到△ACD为等边三角形,证明△F AC≌△EAB,根据全等三角形的性质得到AF＝AE,根据等边三角形的判定定理证明结论；
(2)延长AF至N,使DN＝AD,延长AF至P,使FP＝AF,延长BC、NP交于点H,根据菱形的判定定理得到四边形ABHN为平行四边形,根据(1)中结论解答；
(3)延长EF交AD的延长线于G,延长FE交AB的延长线于H,作DM⊥FG于M,把△AFG绕点A顺时针旋转120°,得到△APH,求出PE的长,证明△F AE≌△P AE,根据全等三角形的性质得到EF＝PE,得到答案．[详解](1)证明：当n＝1时,AD＝AB,
∴平行四边形ABCD 为菱形,
∴∠ACD ＝12
∠BCD ＝60°,∠CAB ＝60°, ∴△ACD 为等边三角形,
∴AC ＝AD ＝AB ,
∵∠EAF ＝60°,
∴∠F AE ＝∠CAB ,
∴∠F AC ＝∠EAB ,
在△F AC 和△EAB 中,
FAC EAB AC AB
FCA EBA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△F AC ≌△EAB (ASA )
∴AF ＝AE ,
又∵∠EAF ＝60°,
∴△AEF 为等边三角形；
(2)证明：如图2,延长AF 至N ,使DN ＝AD ,延长AF 至P ,使FP ＝AF ,延长BC 、NP 交于点H ,
∵DN ＝AD ,FP ＝AF ,
∴DF 是△ANP 的中位线,
∴NP ∥AB ,又AN ∥BH ,
∴四边形ABHN 为平行四边形,
∵AB ＝AN ,
∴平行四边形ABHN 为菱形,
由(1)可知,△APE 为等边三角形,
∵AF ＝FP ,
∴EF ⊥AP ,
∴∠AFE ＝90°；
(3)解：如图3,延长EF交AD的延长线于G,延长FE交AB的延长线于H,作DM⊥FG于M,
把△AFG绕点A顺时针旋转120°,得到△APH,
∵CF＝CE,
∴∠CFE＝∠CEF＝30°,
∵AG∥BC,
∴∠G＝∠CEF＝30°,
∴∠G＝∠DFG,
∴DG＝DF,又DM⊥FG,
∴GM＝MF,
在Rt△DMF中,∠DFM＝30°,
∴DM＝1
2
DF＝2,
由勾股定理得,MF2223
DF DM
-=
∴GF＝3
∴PH＝GF＝3,
同理,∠BHE＝30°,EH＝3,
∴∠PHN＝60°,
∴∠NPH＝30°,
∴NH＝1
2
PH＝3
∴EN＝EH﹣NH3,
由勾股定理得,PN22
PH NH
-6, ∴PE2239
PN EN
-=
∵∠F AE ＝60°,∠BAD ＝120°,
∴∠DAF +∠EAB ＝60°,
∴∠HAP +∠EAB ＝60°,即∠EAP ＝60°,
∴∠F AE ＝∠EAP ,
在△F AE 和△P AE 中,AF AP FAE PAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
,
∴△F AE ≌△P AE (SAS )
∴EF ＝PE ＝39, 故答案为：39．
[点睛]本题考查的是菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、旋转变换的应用,正确作出辅助线、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
24. 书籍和纸张的长与宽比值都有固定的尺寸,如常用的A 3、A 4、A 5的纸张长与宽的比值都相等．一长方形纸张对折后的小长方形的长与宽的比值与原长方形的长与宽的比值相等．
(1)求满足这样条件的长方形的长与宽的比值；
(2)如图所示的长方形ABCD 长与宽之比也满足以上条件,其中宽AB ＝2．
①点P 是AD 上一点,将△BP A 沿BP 折叠得到△BPE ,当BE 垂直AC 时,求AP 的长； ②若将长方形ABCD 绕点B 旋转得到长方形A 1BC 1D 1,直线CC 1交DD 1于点M ,N 为BC 的中点,直接写出MN 的最大值： ．
[答案](1)
2a b
；(2)①232231 [解析]
[分析] (1)设长方形的长与宽分别为a ,b ．根据对折后的小长方形的长与宽的比值与原长方形的长与宽的比值相等,
构建关系式解决问题即可；
(2)①如图1中,延长PE 、BC 交于点G ,证明AC ＝PG ,PG ＝BG 即可解决问题；②如图2中,连接BM ,取BD
的中点O ,连接OM ,ON ,延长CC 1到K ,使得C 1K ＝CC 1在MK 的延长线上取一点J ,使得D 1J ＝D 1K ．想办法证明DM ＝MD 1,推出BM ⊥DD 1,求出OM ,ON 即可解决问题．
[详解](1)设长方形的长与宽分别为a ,b ． 由题意：2a b a b =,
∴a 2＝2b 2,
∴2a b
=； (2)①如图1中,延长PE 、BC 交于点G ,
∵∠PEB ＝90°,
∴PE ⊥BE ,
∵BE ⊥AC ,BE ⊥PE ,
∴PG ∥AC ,
∵四边形ABCD 是矩形,
∴AB ＝CD ＝2,AD ＝BC ＝2,AD ∥BG ,∠ABC ＝90°, ∴四边形APGC 是平行四边形,
∴PG ＝AC 22AB BC +222(22)+23∵AD ∥BC , ∴∠APB ＝∠GBP ,
∵∠APB ＝∠GPB ,
∴∠GBP ＝∠GPB ,
∴GP ＝GB ＝3,
∴AP ＝CG ＝BG ＝BC ＝32；
②如图2中,连接BM,取BD的中点O,连接OM,ON,延长CC1到K,使得C1K＝CC1在MK的延长线上取一点J,使得D1J＝D1K,连接BD1．
∵BC＝BC1,
∴∠BCC1＝∠BC1C,
∵∠BC1D1＝∠BCD＝90°,
∴∠D1C1K+∠BC1C＝90°,∠BCC1+∠DCC1＝90°,
∴∠D1C2K＝∠DCC1,
∵CD＝C1D1,CC1＝C1K,
∴△DCC1≌△D1C1K(SAS),
∴DC1＝KD1＝JD1,∠CC1D＝∠C1KD1,
∵∠JKD1+∠C1JKD1＝180°,∠CC1D+∠DC1M＝180°,
∴∠DC1M＝∠D1KJ,
∵D1J＝D1K,
∴∠J＝∠D1KJ,
∴∠J＝∠DC1M,
∵∠D1MJ＝∠DMC1,
∴△D1MJ≌△DMC1(AAS),
∴D1M＝DM′,
∵BD＝BD1,
∴BM⊥DD1,
取BD的中点O,连接OM,ON,
∵∠BMD＝90°,
∴OM＝1
2
BD3
∵BO＝OD,BN＝CN,
∴ON＝1
2
CD＝1,
∵MN≤OM+ON,
∴,
∴MN+1．
．
[点睛]本题属于几何变换综合题,考查了矩形的性质,旋转变换,平行四边形的判定和性质,全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加辅助线构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题．。