九江市第四中学八年级数学下册 第19章 矩形、菱形与正方形19.1 矩形 2矩形的判定教案华东师大版

19.1.2 矩形的判定(二)
一、教学目标：
1．理解并掌握矩形的判定方法．
2．使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力
二、重点、难点
1．重点：矩形的判定．
2．难点：矩形的判定及性质的综合应用．
三、例题的意图分析
本节课的三个例题都是补充题，例1在的一组判断题是为了让学生加深理解判定矩形的条件，老师们在教学中还可以适当地再增加一些判断的题目；例2是利用矩形知识进行计算；例3是一道矩形的判定题，三个题目从不同的角度出发，来综合应用矩形定义及判定等知识的．
四、课堂引入
1．什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？
2．矩形有哪些性质？
3．矩形与平行四边形有什么共同之处？有什么不同之处？
4．事例引入：小华想要做一个矩形像框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗？看看谁的方法可行？
通过讨论得到矩形的判定方法．
矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形．
矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形．
（指出：判定一个四边形是矩形，知道三个角是直角，条件就够了．因为由四边形内角和可知，这时第四个角一定是直角．）
五、例习题分析
例1（补充）下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？
（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（×）
（2）有四个角是直角的四边形是矩形；（√）
（3）四个角都相等的四边形是矩形；（√）
（4）对角线相等的四边形是矩形；（×）
（5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（×）（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（√）
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（×）
（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（√）
（9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形． (√)
指出：
（l）所给四边形添加的条件不满足三个的肯定不是矩形；
（2）所给四边形添加的条件是三个独立条件，但若与判定方法不同，则需要利用定义和判定方法证明或举反例，才能下结论．
例2 （补充）已知ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
△AOB是等边三角形，AB=4 cm，求这个平行四边形的面积．
分析：首先根据△AOB 是等边三角形及平行四边形对角线互相平分的性质判定出ABCD 是矩形，再利用勾股定理计算边长，从而得到面积值．
解：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，
∴ AO=
21AC ，BO=2
1
BD ． ∵ AO=BO ，
∴ AC=BD ． ∴ ABCD 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）． 在Rt△ABC 中，
∵ AB=4cm ，AC=2AO=8cm ， ∴ BC=344822=-（cm ）．
例3 （补充） 已知：如图（1），ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H ．求证：四边形EFGH 是矩形．
分析：要证四边形EFGH 是矩形，由于此题目可分解
出基本图形，如图（2），因此，可选用“三个角是直角的四边形是矩形”来证明．
证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD ∥BC ．
∴ ∠DAB ＋∠ABC=180°．
又 AE 平分∠DAB ，BG 平分∠ABC ，
∴ ∠EAB ＋∠ABG=
2
1
×180°=90°． ∴ ∠AFB=90°．
同理可证 ∠AED=∠BGC=∠CHD=90°．
∴ 四边形EFGH 是平行四边形（有三个角是直角的四边形是矩形）．
六、随堂练习
1．（选择）下列说法正确的是（ ）．
（A ）有一组对角是直角的四边形一定是矩形（B ）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形 （C ）对角线互相平分的四边形是矩形 （D ）对角互补的平行四边形是矩形
2．已知：如图 ，在△ABC 中，∠C ＝90°， CD 为中线，延长CD 到点E ，使得 DE ＝CD ．连结AE ，BE ，则四边形ACBE 为矩形．
七、课后练习
1．工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：
⑴ 先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB ＝CD ，EF ＝GH ；
⑵ 摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是 形，根据的数学道理
是： ；
⑶ 将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗
框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学道理
是：；2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、∠B的度数．
第十四章整式的乘法与因式分解
基础过关
满分120分时间100分钟
一．选择题（每题3分，共计30分）
1．（2019 •郑州期末）下列计算正确的是（）
A．a2+a2＝a4B．（2a）3＝6a3
C．a9÷a3＝a3D．（﹣2a）2•a3＝4a5
【答案】D
【解答】A、a2+a2＝2a2，不符合题意；
B、（2a）3＝8a3，不符合题意；
C、a9÷a3＝a6，不符合题意；
D、（﹣2a）2•a3＝4a5，符合题意；
故选：D．
2．（2020•卫辉市期末）已知3a＝1，3b＝2，则3a+b的值为（）
A．1 B．2 C．3 D．27
【答案】B
【解答】∵3a×3b
＝3a+b
∴3a+b
＝3a×3b
＝1×2
＝2
故选：B．
3．（2019 •贵池区期中）计算（）2017×（﹣1.5）2018×（﹣1）2019的结果是（）A． B． C．D．
【答案】D
【解答】（）2017×（﹣1.5）2018×（﹣1）2019
＝（）2017×（）2018×（﹣1）
．
故选：D．
4．计算（x﹣2）x＝1，则x的值是（）
A．3 B．1 C．0 D．3或0
【答案】D
【解答】∵（x﹣2）x＝1，
当x﹣2＝1时，得x＝3，原式可以化简为：13＝1，
当次数x＝0时，原式可化简为（﹣2）0＝1，
当底数为﹣1时，次数为1，得幂为﹣1，故舍去．
故选：D．
5．（2020•河东区期末）若（x﹣2）（x+3）＝x2+ax+b，则a，b的值分别为（）A．a＝5，b＝﹣6 B．a＝5，b＝6 C．a＝1，b＝6 D．a＝1，b＝﹣6
【答案】D
【解答】已知等式整理得：x2+x﹣6＝x2+ax+b，
则a＝1，b＝﹣6，
故选：D．
6．（2019•新蔡县期中）如果一个三角形的底边长为2x2y+xy﹣y2，底边上的高为6xy，那么这个三角形的面积为（）
A．6x3y2+3x2y2﹣3xy3B．6x2y2+3xy﹣3xy2
C．6x2y2+3x2y2﹣y2D．6x2y+3x2y2
【答案】A
【解答】三角形的面积为：
（2x2y+xy﹣y2）×6xy＝6x3y2+3x2y2﹣3xy3．
故选：A．
7．（2020•广安期末）如果代数式（x﹣2）（x2+mx+1）的展开式不含x2项，那么m的值为（）
A．2 B．C．﹣2 D．
【答案】A
【解答】（x﹣2）（x2+mx+1）
＝x3+mx2+x﹣2x2﹣2mx﹣2
＝x3+（m﹣2）x2+（1﹣2m）x﹣2，
因为不含x2项，
所以m﹣2＝0，
解得：m＝2，
故选：A．
8．（2020•息县期末）若x2+2（m+1）x+25是一个完全平方式，那么m的值为（）A．4或﹣6 B．4 C．6或4 D．﹣6
【答案】A
【解答】∵x2+2（m+1）x+25是一个完全平方式，
∴m+1＝±5，
解得：m＝4或m＝﹣6，
故选：A．
9．（2020•北碚区模拟）已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则
△ABC是（）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
【答案】C
【解答】移项得，a2c2﹣b2c2﹣a4+b4＝0，
c2（a2﹣b2）﹣（a2+b2）（a2﹣b2）＝0，
（a2﹣b2）（c2﹣a2﹣b2）＝0，
所以，a2﹣b2＝0或c2﹣a2﹣b2＝0，
即a＝b或a2+b2＝c2，
因此，△ABC等腰三角形或直角三角形．
故选：C．
9．（2019•北京期末）10如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a的正方形卡片4张，边长为b的正方形卡片1张，长，宽分别为a，b的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（）
A．2a+b B．4a+b C．a+2b D．a+3b
【答案】A
【解答】由题可知，9张卡片总面积为4a2+4ab+b2，
∵4a2+4ab+b2＝（2a+b）2，
∴大正方形边长为2a+b．
故选：A．
二．填空题（每题3分，共计15分）
11．（2020•新乡期末）分解因式（2a﹣1）2+8a＝．
【答案】（2a+1）2
【解答】原式═4a2+4a+1＝（2a）2+4a+1＝（2a+1）2，
故答案为：（2a+1）2．
12．（2020•宁都县期末）计算：2020×2018﹣20192＝．
【答案】-1
【解答】2020×2018﹣20192
＝（2019+1）（2019﹣1）﹣20192
＝20192﹣12﹣20192
＝﹣1
故答案为：﹣1．
13．（2020•偃师市期末）如果（x﹣2）（x2+3mx﹣m）的乘积中不含x2项，则m为．【答案】
【解答】（x﹣2）（x2+3mx﹣m）
＝x3+3mx2﹣mx﹣2x2﹣6mx+2m
＝x3+（3m﹣2）x2﹣7mx+2m
∵乘积中不含x2项，
∴3m﹣2＝0，
解得m．
故答案为：．
14．（2020•魏都区期中）甲、乙二人共同计算一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+11x﹣10；由于乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10，则a＝；b＝．
【答案】﹣5，﹣2
【解答】∵甲抄错了第一个多项式中a的符号
∴甲计算的式子是（2x﹣a）（3x+b）＝6x2+（2b﹣3a）x+ab＝6x2+11x﹣10
∴2b﹣3a＝11①
∵乙漏抄了第二个多项式中x的系数
∴乙计算的式子是（2x+a）（x+b）＝2x2+（2b+a）x+ab＝2x2﹣9x+10
∴2b+a＝﹣9②
由①②得：a＝﹣5，b＝﹣2
故答案为：﹣5，﹣2．
15．（2020•伊犁州期末）对于实数a，b，c，d，规定一种运算ad﹣bc，如
1×（﹣2）﹣0×2＝﹣2，那么当27时，则x＝
22 ．
【答案】22
【解答】∵27，
∴（x+1）（x﹣1）﹣（x+2）（x﹣3）＝27，
∴x2﹣1﹣（x2﹣x﹣6）＝27，
∴x2﹣1﹣x2+x+6＝27，
∴x＝22；
故答案为：22．
三．解答题（共75分）
16．（8分）（2020中原区月考）因式分解：
（1）4（a﹣b）2﹣16（a+b）2；
（2）（a﹣b）2+3（a﹣b）（a+b）﹣10（a+b）2．
解：（1）原式＝4[（a﹣b）2﹣4（a+b）2]
＝4[（a﹣b）+2（a+b）][（a﹣b）﹣2（a+b）]
＝4（3a+b）（﹣a﹣3b）
＝﹣4（3a+b）（a+3b）；
（2）原式＝[（a﹣b）﹣2（a+b）][（a﹣b）+5（a+b）]
＝（﹣a﹣3b）（6a+4b）
＝﹣2（a+3b）（3a+2b）．
17．（9分）（2020 •新泰市期中）已知多项式（x2+px+q）（x2﹣3x+2）的结果中不含x3项和x2项，求p和q的值．
解：∵（x2+px+q）（x2﹣3x+2）
＝x4﹣3x3+2x2+px3﹣3px2+2px+qx2﹣3qx+2q
＝x4﹣（3﹣p）x3+（2﹣3p+q）x2+2px﹣3qx+2q
由多项式（x2+px+q）（x2﹣3x+2）的结果中不含x3项和x2项，
∴3﹣p＝0，2﹣3p+q＝0，
解得：p＝3，q＝7．
18．（9分）（2019•普兰店区期末）已知：a+b＝5，ab＝4．
（1）求a2+b2的值；
（2）若a＞b，求a﹣b的值；
（3）若a＞b，分别求出a和b的值．
解：（1）∵a+b＝5，ab＝4，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17；
（2）∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝17﹣8＝9，
∴a﹣b＝±3，
又∵a＞b，
∴a﹣b＝3；
（3）由（2）得a﹣b＝3，
解方程组，
解得．
19．（9分）（2020•兰考县期中）有两根同样长的铁丝，一根围成正方形，另一根围成长为2x，宽为2y的长方形．
（1）用代数式表示正方形与长方形的面积之差，并化简结果；
（2）若x≠y，试说明正方形与长方形面积哪个大．
解：（1）长方形的周长为2（2x+2y）＝4（x+y）．
∵两根同样长的铁丝，一根围成正方形，另一根围成长为2x，宽为2y的长方形．
∴正方形的边长为x+y，
∴正方形与长方形的面积之差为（x+y）2﹣4xy
＝（x﹣y）2．
答：正方形与长方形的面积之差为（x﹣y）2．
（2）∵x≠y，
∴（x﹣y）2＞0，
∴正方形的面积大于长方形面积．
20．（9分）（2018•镇平县期中）如图，一块长5厘米、宽2厘米的长方形纸板．一块长4厘米、宽1厘米的长方形纸板，一块正方形以及另两块长方形纸板，恰好拼成一个大正方形．问大正方形的面积是多少？
解：设小正方形的边长为x，依题意得
1+x+2＝4+5﹣x，
解得x＝3，
∴大正方形的边长为6厘米，
∴大正方形的面积是36平方厘米，
答：大正方形的面积是36平方厘米．
21．（10分）（2020•兰考县期末）阅读：已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状．
解：因为a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，①
所以c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2+b2）．②
所以c2＝a2+b2．③
所以△ABC是直角三角形．④
请据上述解题回答下列问题：
（1）上述解题过程，从第步（该步的序号）开始出现错误，错的原因为；（2）请你将正确的解答过程写下来．
解：（1）上述解题过程，从第③步开始出现错误，错的原因为：忽略了a2﹣b2＝0的可能；
（2）正确的写法为：c2（a2﹣b2）＝（a2+b2）（a2﹣b2），
移项得：c2（a2﹣b2）﹣（a2+b2）（a2﹣b2）＝0，
因式分解得：（a2﹣b2）[c2﹣（a2+b2）]＝0，
则当a2﹣b2＝0时，a＝b；当a2﹣b2≠0时，a2+b2＝c2；
所以△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．
故答案为：③，忽略了a2﹣b2＝0的可能．
22．（10分）（2020•连山区期末）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
∴．
解得：n＝﹣7，m＝﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
解：设另一个因式为（x+a），得
2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+a）
则2x2+3x﹣k＝2x2+（2a﹣5）x﹣5a
∴
解得：a＝4，k＝20故另一个因式为（x+4），k的值为20
23．（11分）（2020 •江阴市期中）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是（请选择正确的一个）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+ab＝a（a+b）
（2）若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；
（3）计算：（1）（1）（1）…（1）（1）
解：（1）∵边长为a的正方形面积是a2，边长为b的正方形面积是b2，剩余部分面积为a2﹣b2；图（2）长方形面积为（a+b）（a﹣b）；
∴验证的等式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
故答案为：B．
（2）∵x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）＝12，且x+3y＝4
∴x﹣3y＝3
（3）（1）（1）（1）…（1）（1）
＝（1）（1）（1）（1）…（1）（1）
第3课时 分式方程的应用
1．能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用． 2．使学生经历“实际问题—分式方程模型—求解—解释解的合理性”的过程． 3．学会举一反三，进一步提高分析问题与解决问题的能力．
重点
能将实际问题中的等量关系用分式方程表示． 难点
寻求实际问题中的等量关系，寻求不同的解决问题的方法．
一、复习导入
1．解分式方程有哪些步骤？
2．解分式方程： x ＋1x －1－4
x 2－1
＝1.
3．列一元一次方程解应用题的一般步骤有哪些？ 二、探究新知
1．课件出示教材第129页“做一做”．
处理方式：小组讨论，教师巡回指导，师生共同总结． 解：(1)等量关系：
①第二年每间房屋的租金＝第一年每间房屋的租金＋500元． ②第一年租出的房屋间数＝第二年租出的房屋间数．
③出租房屋的间数＝所有出租房屋的租金÷每间房屋的租金． (2)①求出租房屋的总间数；②分别求这两年每间房屋的租金． (3)方法一：
解：设第一年每间房屋的租金为x 元，第二年每间房屋的租金为(x ＋500)元．第一年
出租的房屋为96 000x 间，第二年出租的房屋为102 000x ＋500间，根据题意，得96 000
x
＝
102 000
x ＋500
.
解得x ＝8 000.
经检验，x ＝8 000是原分式方程的解，也符合题意． x ＋500＝8 500(元)．
所以这两年每间房屋的租金分别为8 000元，8 500元． 方法二：
解：设每年各有x 间房屋出租，那么第一年每间房屋的租金为96 000
x
元，第二年每间
房屋的租金为102 000x 元，根据题意，得102 000x ＝96 000
x
＋500.
解这个方程，得x ＝12.
经检验，x ＝12是原方程的解，也符合题意． 所以每年各有12间房屋出租．
102 000÷12＝8 500(元)，96 000÷12＝8 000(元)． 所以这两年每间房屋的租金分别为8 000元，8 500元． (教师强调：解分式方程应用题时一定要检验．) 三、举例分析
例 某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨1
3
.小丽家去年12月
的水费是15元，而今年7月的水费则是30元．已知小丽家今年7月的用水量比去年12月的用水量多5立方米，求该市今年居民用水的价格．
处理方式：审清题意，找出题中的等量关系．
思考：列分式方程解应用题的一般步骤有哪些？
处理方式：先引导学生思考这个问题，小组交流，学生回答并相互补充，教师多媒体展示．
(1)审：分析题意，找出数量关系和相等关系．
(2)设：选择恰当的未知数，注意单位和语言完整．
(3)列：根据数量和相等关系，正确列出代数式和方程．
(4)解：认真仔细．
(5)验：有两次检验．
(6)答：注意单位和语言完整．
四、练习巩固
1．某化肥厂计划在x天内生产化肥120吨，由于采用了新技术，每天多生产化肥3吨，实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等，那么适合x的方程是( )
A.120
x＋3
＝
180
x
B.
120
x
＋3＝
180
x
C.120
x
＝
180
x＋3
D.
120
x
＝
180
x
＋3
2.全民健身活动中，组委会组织了长跑队和自行车队进行宣传，全程共10千米，自行车队的速度是长跑队的速度的2.5倍，自行车队出发半小时后，长跑队才出发，结果长跑队比自行车队晚到了2小时，如果设长跑队跑步的速度为x千米/时，那么根据题意可列方程为( )
A.10
x
＋2＝
10
2.5x
＋
1
2
B.
10
2.5x
－
10
x
＝2－0.5
C.10
x
－
10
2.5x
＝2－0.5 D.
10
x
－
10
2.5x
＝2＋0.5
五、课堂小结
通过本堂课的学习，你学到了哪些知识？你学会了哪些数学方法？
六、课外作业
1．教材第129页“随堂练习”．
2．教材第130页习题5.9第1、2、3题．
本节课教学列分式方程解决实际问题，这个内容是在学生已经认识了解分式方程、列一元一次方程解决实际问题的基础上进行教学的．教学列分式方程解决实际问题，需要引导学生在解决问题的过程中，进一步掌握分式方程的解法，积累分析数量关系以及把实际问题抽象为方程的经验，进而适时地把获得的知识和方法应用于解决其他一些类似的问题．。