2019-2020学年安徽省合肥市包河区八年级(下)期末数学试卷(附答案详解)

2019-2020学年安徽省合肥市包河区八年级（下）期末数
学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.式子√x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是()
A. x≥1
B. x≤1
C. x>0
D. x>1
2.在根式√xy、√12、√ab
、√x−y、√x2y中，最简二次根式有()
2
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
3.下列计算正确的是()
A. √20=2√10
B. √5×6=√30
C. 2√2×√3=√6
D. √(−3)2=−3
4.一元二次方程x(x−2)=2−x的根是()
A. −1
B. 2
C. 1和2
D. −1和2
5.下列命题中，真命题的个数有()
①对角线互相平分的四边形是平行四边形；
②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．
A. 3个
B. 2个
C. 1个
D. 0个
b，则△ABC是() 6.在△ABC中，三边长分别为a、b、c，且a+c=2b，c−a=1
2
A. 直角三角形
B. 等边三角形
C. 等腰三角形
D. 等腰直角三角形
7.某公司为了解职工参加体育锻炼情况，对职工某一周平均每天锻炼(跑步或快走)的
里程进行统计(保留整数)，并将他们平均每天锻炼的里程数据绘制成条形统计图，关于他们平均每天锻炼里程数据，下列说法不正确的是()
A. 平均每天锻炼里程数据的中位数是2
B. 平均每天锻炼里程数据的众数是2
C. 平均每天锻炼里程数据的平均数是2.34
D. 平均每天锻炼里程数不少于4km的人数占调查职工的20%
8.疫情期间居民为了减少外出时间，更愿意使用APP在线上购物，某购物APP今年
二月份用户比一月份增加了44%，三月份用户比二月份增加了21%，则二、三两个月用户的平均每月增长率是()
A. 28%
B. 30%
C. 32%
D. 32.5%
9.有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c=0，N：cx2+bx+a=0，其中a∗c≠0，
a≠c，以下列四个结论中，错误的是()
A. 如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根
B. 如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同
C. 如果5是方程M的一个根，那么1
是方程N的一个根
5
D. 如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1
10.已知BD是△ABC的中线，AC=6，且∠ADB=45°，∠C=30°，则AB=()
A. √6
B. 2√3
C. 3√2
D. 6
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11.计算：√72÷√2的结果是______ ．
12.已知关于x的一元二次方程x2−bx+8=0，一个根为2，则另一个根是______ ．
13.有一棵9米高的大树，如果大树距离地面4米处折断(未完全折断)，则小孩至少离
开大树______ 米之外才是安全的．
14.数据101，98，102，100，99的方差是______．
15.如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，O为AB的中点，
点E在BC上，且CE=AC，∠BAE=15°，则∠COE=
______ 度.
16.已知正方形ABCD中，AB=6，P为边CD上一点，DP=2，
Q为边BC上一点，若△APQ为等腰三角形，则CQ的长为______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共52.0分）
17.计算：(√7+√5)(√7−√5)+(√5−2)2．
18.解方程：x2−2x−2=0．
19.已知，如图，点P是平行四边形ABCD外一点，PE//AB
交BC于点E.PA、PD分别交BC于点M、N，点M是
BE的中点.求证：CN=EN．
20.王老师从本校九年级质量检测中随机抽取另一些同学的
数学成绩做质量分析，他先按照等级绘制这些人数学成
绩的扇形统计图，如图所示，数学成绩等级标准见表1；
又按分数段绘制成绩分布表，如表2．
表1：
等级A B C D 分数x的范围a≤x≤10080≤x<a60≤x<800≤x<60表2：
分数段x<6060≤x
<70
70≤x
<80
80≤x
<90
90≤x
≤100
人数510m1211
分数段为90≤x≤100的11人中，其成绩的中位数是95分.请根据以上信息回答下面问题：
(1)王老师抽查了______ 人；m的值是______ ；
(2)小明在此考试中也正好得了95分，他说自己在这次考试中数学成绩是A等级，他说的对吗？为什么？
(3)若此次测试数学学科普高的预测线是70分，该校九年级有900名学生，求数学学科达到普高预测线的学生约有多少人？
21.商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决
定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：
(1)商场日销售量增加______件，每件商品盈利______元(用含x的代数式表示)；
(2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达
到2100元？
22.菱形ABCD中，AD=6，AE⊥BC，垂足为E，F为
AB边中点，DF⊥EF．
(1)直接写出结果：EF=______ ；
(2)求证：∠ADF=∠EDF；
(3)求DE的长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：根据题意得：x−1≥0，即x≥1时，二次根式有意义．
故选：A．
根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，解不等式即可．
主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子√a(a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2.【答案】C
【解析】解：根式√xy、√12、√ab
2、√x−y、√x2y中，最简二次根式有√xy、√ab
2
、√x−y，
共3个，
故选：C．
被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
本题主要考查了最简二次根式，最简二次根式的条件：(1)被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；(2)被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
3.【答案】B
【解析】解：A、√20=2√5，故A错误；
B.√5×6=√30，故B正确；
C、2√2×√3=2√6，故C错误；
D、√(−3)2=3，故D错误．
综上，只有B正确．
故选：B．
分别按照最简二次根式的化简法则、二次根式的乘法和求算术平方根的方法计算验证即可．
本题考查了二次根式的乘法及二次根式的化简等运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：，
∴(x−2)(x+1)=0，
∴x−2=0或x+1=0，
∴x1=2，x2=−1．
故选：D．
先移项得到，然后利用提公因式因式分解，最后转化为两个一元一次方程，解方程即可．
本题考查了运用因式分解法解一元二次方程的方法：利用因式分解把一个一元二次方程化为两个一元一次方程．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
此题主要考查了命题与定理，正确把握相关定理是解题关键．
平行四边形的五种判定方法分别是：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定，逐个验证即可．进而得出即可．
【解答】
解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，符合题意；
②两组对角分别相等的四边形是平行四边形，正确，符合题意；
③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，说法错误，例如等腰梯形，也符合一组对边平行，另一组对边相等．
故选B．
6.【答案】A
b，
【解析】解：∵a+c=2b，c−a=1
2
∴c2−a2=b2，
∴△ABC是直角三角形．
故选：A．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形进行判断即可．
此题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．7.【答案】D
【解析】解：A、把这些数从小到大排列，则平均每天锻炼里程数据的中位数是2，故
本选项正确；
B、∵2出现了20次，出现的次数最多，则平均每天锻炼里程数据的众数是2，故本选
项正确；
=2.34，故本选项正确；
C、平均每天锻炼里程数据的平均数是：12+2×20+3×10+4×5+5×3
12+20+10+5+3
×100%=16%，故本选D、平均每天锻炼里程数不少于4km的人数占调查职工的5+3
50
项错误；
故选：D．
中位数、众数和平均数的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
此题考查了条形统计图、中位数、众数和平均数的概念，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：设一月份用户数为1，则二月份用户数=1×(1+44%)=1.44，三月份
就是1.44×(1+21%)=1.7424．
设二、三两月用户的平均每月的平均增长率是x，则
(1+x)2=1.7424，
解得：x1=32%或x2=−2.32(不合题意，舍去)．
故二、三两个月用户的平均每月增长率是32%．
故选：C．
要求二、三两个月用户的平均每月增长率如何，就要先设出一个未知数，表示出二月份和三月份的用户数，然后比较计算．
此题考查了一元二次方程的应用，关键是注意利用单位1来进行计算，设一月份用户数为1可以使计算简便．
9.【答案】D
【解析】解：A、在方程ax2+bx+c=0中△=b2−4ac，在方程cx2+bx+a=0中△= b2−4ac，
∴如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根，正确；
B、∵c
a 和a
c
符号相同，b
a
和a
b
符号也相同，
∴如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，正确；
C、∵5是方程M的一个根，
∴25a+5b+c=0，
∴a+1
5b+1
25
c=0，
∴1
5
是方程N的一个根，正确；
D、M−N得：(a−c)x2+c−a=0，即(a−c)x2=a−c，∵a≠c，
∴x2=1，解得：x=±1，错误．
故选D．
根据M、N两方程根的判别式相同，即可得出A正确；根据“c
a 和a
c
符号相同，b
a
和a
b
符号
也相同”，即可得出B正确；将x=5代入方程M中，方程两边同时除以25即可得出1
5
是方程N的一个根，C正确；用方程M−方程N，可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出x的值，从而得出D错误．综上即可得出结论．
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．10.【答案】C
【解析】解：过点B作BE⊥AC交AC于点E.如下图
设BE=x，
∵∠BDA=45°，∠C=30°，
∴DE=x，BC=2x，
∵tan∠C=BE
CE
，
∴x
3+x
=tan30°，
∴3x =(3+x)√3，解得x =
3+3√3
2
， 在Rt △ABE 中，AE =DE −AD =3+3√3
2
−3=
3√3−3
2
， 由勾股定理得：AB 2=BE 2+AE 2，AB =(3+3√32)(3√3−32)=3√2．
故选：C ．
根据题中所给的条件，在直角三角形中解题．根据角的正切值与三角形边的关系，结合勾股定理求解．
本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．
11.【答案】6
【解析】解：√72÷√2=√722
=√36=6．
故答案为：6．
根据二次根式的除法法则计算即可．
本题主要考查了二次根式的除法，熟记运算法则是解答本题的关键．√a ÷√b =√a
√b =
√a
b (a ≥0,b >0)．
12.【答案】4
【解析】解：设方程的另一个根为t ， 则2t =8，解得t =4， 即方程的另一个根为4． 故答案为4．
设方程的另一个根为t ，利用根与系数的关系得到2t =8，然后解t 的方程即可． 本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根时，x 1+x 2=−b
a ，x 1x 2=c
a ．
13.【答案】3
【解析】解：在Rt △ABC 中，AB 为斜边， 已知AC =4米，AC +AB =9m ， 则AB 2=BC 2+AC 2， 即(9−4)2=42+BC 2， 解得：BC =3．
故小孩至少离开大树3米之外才是安全的．
故答案为：3．
根据题意构建直角三角形ABC，利用勾股定理解答．
此题考查直角三角形的性质及勾股定理的应用，要根据题意画出图形即可解答．14.【答案】2
【解析】解：∵数据101，98，102，100，99的平均数为101+98+102+100+99
5
=100，
∴数据的方差为1
51
5
×[(101−100)2+(98−100)2+(102−100)2+(100−100)2+
(99−100)2]=2，
故答案为：2．
先由平均数的公式计算出平均数，再根据方差的公式计算．
本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为x，则方差S2=
1 n 1
n
[(x1−x)2+(x2−x)2+⋯+(x n−x)2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，
波动性越大，反之也成立．
15.【答案】75
【解析】解：∵∠ACB=90°，CE=AC，
∴∠CAE=∠AEC=45°，
∵∠BAE=15°，
∴∠CAB=60°，
∴∠B=30°，
∵∠ACB=90°，O为AB的中点，
∴CO=BO=AO=1
2
AB，
∴△AOC是等边三角形，∠OCB=∠B=30°，
∴AC=OC=CE，
∴∠COE=∠CEO=1
2
(180°−30°)=75°，
故答案为：75．
根据等腰直角三角形的性质得到∠CAE=∠AEC=45°，求得∠CAB=60°，得到∠B=
30°，根据直角三角形的性质得到CO=BO=AO=1
2
AB，得到△AOC是等边三角形，∠OCB=∠B=30°，于是得到结论．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
16.【答案】4或2√6或14
3
【解析】解：如图，连接AP ，AQ ，
①当AP =AQ 时，
∵四边形ABCD 为正方形，
∴AB =AD =6，∠B =∠D =90°，
在Rt △ABQ 与Rt △ADP 中，
{AB =AD AQ =AP
， ∴Rt △ABQ≌Rt △ADP(HL)
∴BQ =DP =2，
∴CQ =BC −BQ =6−2=4；
②当AP =PQ 时，
设CQ =x ，
PQ 2=AP 2=AD 2+DP 2=62+22=40，
∴CQ =√PQ 2−PC 2=√40−42=2√6；
③当AQ =PQ 时，
设CQ =x ，则BQ =6−x ，
AB 2+BQ 2=CQ 2+CP 2，
∴36+(6−x)2=x 2+16 解得：x =143，
综上所述，CQ 的长为4，2√6或143，
故答案为：4或2√6或14
3．
利用等腰三角形的性质和正方形的性质分类讨论：
①当AP=AQ时，根据全等三角形的判定定理可得Rt△ABQ≌Rt△ADP，利用全等三角形的性质可得BQ=DP=2，易得CQ的长；
②当AP=PQ时，利用勾股定理可得CQ的长；
③当AQ=PQ时，设CQ=x，则BQ=6−x，AB2+BQ2=CQ2+CP2，易得CQ的长．本题主要考查了等腰三角形的性质和正方形的性质，利用分类讨论思想是解答此题的关键．
17.【答案】解：原式=7−5+5−4√5+4
=11−4√5．
【解析】利用平方差公式和完全平方公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
18.【答案】解：移项，得
x2−2x=2，
配方，得
x2−2x+1=2+1，即(x−1)2=3，
开方，得
x−1=±√3．
解得x1=1+√3，x2=1−√3．
【解析】在本题中，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数−2的一半的平方．
本题考查了配方法解一元二次方程．用配方法解一元二次方程的步骤：
(1)形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．(2)形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．
19.【答案】证明：∵PE//AB，M是BE中点，
∴∠BAM=∠EPM，∠AMB=∠PME，BM=ME，
∴△ABM≌△PEM(AAS)，
∴PE=AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴PE=CD，
又∵PE//AB，AB//CD，
∴PE//CD，N是CE的中点，
∴∠NDC=∠NPE，∠DNC=∠PNE，NC=NE；
∴△DCN≌△PEN(AAS)，
∴CN=EN．
【解析】先证△ABM≌△PEM；得PE=AB，则PE=CD，再证△DCN≌△PEN，即可得出CN=EN．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及平行的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
20.【答案】50 12
【解析】解：(1)王老师抽查的人数是：5÷10%=50(人)，
小于80的人数有：50×(44%+10%)=27(人)，
m=27−5−10=12(人)．
故答案为：50，12；
(2)对的，理由如下：
∵分数段在90≤x≤100的有11人，
∴这11个分数从大到小的顺序排列后，第6个分数就是这组数据的中位数，即第6个数据为95，
∵A等级的人数有：50×12%=6(人)，
∴a=95，
∴小明的数学成绩是A等级，他说的正确；
(3)12+12+11=35(人)，
35÷50=70%，
900×70%=630(人)．
答：数学学科达到普高预测线的学生约有630人．
(1)根据小于60的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数乘以小于80的人数所占的百分比求出小于80的人数，再减去小于70的人数，求出m；
(2)先求出A等级的人数，再根据在分数段为90≤x≤100的人数和中位数的定义即可推断出小明说的对不对；
(3)用样本估计总体，用总人数乘以数学学科普高的预测线的人数所占的百分比即可．本题考查频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
21.【答案】(1)2x；(50−x)；
(2)由题意得：(50−x)(30+2x)=2100(0≤x<50)
化简得：x2−35x+300=0，即(x−15)(x−20)=0，
解得：x1=15，x2=20
∵该商场为了尽快减少库存，
∴降的越多，越吸引顾客，
∴选x=20，
答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元．
【解析】解：(1)降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=50−x，故答案为2x；50−x；
(2)见答案．
(1)降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=原来的盈利−降低的钱数；
(2)等量关系为：每件商品的盈利×可卖出商品的件数=2100，把相关数值代入计算得到合适的解即可．
考查一元二次方程的应用；得到可卖出商品数量是解决本题的易错点；得到总盈利2100的等量关系是解决本题的关键．
22.【答案】3
【解析】解：(1)∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∵AD=6，F为AB边中点，
∴EF=1
2AB=1
2
AD=3．
故答案为：3；
(2)延长EF交DA于G，
∵AD//BC，
∴∠G=∠FEB，∠GAB=∠B，
∵AF=BF，
∴△AGF≌△BEF(AAS)，
∴GF=EF，
∵DF⊥EF，
∴DG=DE，
∴∠ADF=∠EDF；
(3)设BE=x，则AG=x，则DE=DG=6+x，
∵AE2=AB2−BE2=62−x2，
AE2=DE2−AD2=(x+6)2−62，
∴62−x2=(x+6)2−62，
解得x=−3±3√3，
∴BE=−3+3√3，
∴DE═−3+3√3+6═3+3√3．
(1)根据直角三角形的性质即可求解；
(2)延长EF交DA于G，根据AAS可证△AGF≌△BEF，根据全等三角形的性质可得GF= EF，再根据等腰三角形的性质即可求解；
(3)可设BE=x，则AG=x，可得DE=DG=6+x，再根据勾股定理可求BE，进一步得到DE．
考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，勾股定理，(2)中关键是证明△AGF≌△BEF．。