江苏省南京市第二十九中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学试卷

A． 686
B． 560
C． 490
D． 140
【解答】解 ：由频率分布直方图可知 ，这次周练成绩不少于 60 分的频率为 (0.030 + 0.025 +
0.015 + 0.010) × 10 = 0.8，
∴ 这次周练成绩不少于 60 分的人数为 700 × 0.8 = 560．
故选：B．
2．设随机变量 ξ 服从正态分布 N (0,1)，P(ξ > 1) = p，则 P( -1 < ξ < 0) 等于 ( )
+ a2 + … + a29 的值是 (
)
A． 1 - 229
B． 229 - 1
C． 1
D． 0
5．在平面直角坐标系
xOy
中 ，已知抛物线
y2
=
4x
的焦点为
F
，准线为
l
，若
l
与双曲线
x2 a2
-
y2 b2
=
1(a
>
0,b
>
0)
的两条渐近线分别交于点
A
和点
B
，且
|AB|
=
4|OF
|
，则双曲线的离心率
是否达 标性别
男生
不达标 36
达标 24
女生
10
30
(1) 是否有 99% 的把握认为课外阅读是否达标与性别有关？
附
：K
2
=
n(ad-bc)2 (a + b) (c + d) (a + c) (b + d)
．
P(K 2 ≥ k)
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
k
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
21．已知点
P(2,1)
和椭圆
C
:
x2 8
+
y2 2
=
1，A、B
是椭圆
C
上两点
，且直线
PA、PB
的斜率互
为相反数．
(1) 证明：直线 AB 的斜率为定值；
(2) 设直线 AB 的纵截距是 m，若椭圆 C 上存在关于直线 AB 对称的两点，求 m 的取值范围．
22．已知函数
f
(x)
=
1 2
mx2
+
(m
)n
>
2
C． ∀ x ∈ R，(1 + x)4 ≥ 1 + 4x
D．函数 g(x) = (1 + x)3 的极小值是 0
11．王小洁同学将平面直角坐标系
xOy
中的椭圆
C1
:
x2 a2
+
y2 b2
=
1(a
>
b
>
0)
与圆
C2
:
x2
+
y2
= r2(r > 0) 进行类比，得到以下四个结论，其中正确的是 (
参考答案与试题解析
一．选择题 ( 共 8 小题 ) 1．高二数学组老师随机抽取部分学生的周练成绩，并将这些成绩分成 6 组：[40，50)，[50， 60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100] 加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已 知参加本次周练的学生共有 700 名，据此估计，这次周练成绩不少于 60 分的学生人数为 ( )
项符合题目要求．全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，不选或有错选的得 0 分
9．“虚数”这个词是 17 世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制的，当时的观念认为这是不存在
的数．人们发现即使使用全部的有理数和无理数，也不能解决代数方程的求解问题，像 x2 + 1
= 0 这样最简单的二次方程，在实数范围内没有解．引进虚数概念以后，代数方程的求解问
D．
1 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-
p
3．对于关于 x 的方程 x2 + ax + b = 0(a、b、x 都是实数 ) 有四个命题：
① 1 是该方程的根；
② 3 是该方程的根；
③该方程两根之和是 2；
④该方程两根异号．
如果这四个命题中恰有三个是真命题，则假命题是 (
)
A．①
B．②
C ．③
D．④
4．设 (1 - x)29 = a0 + a1(1 + x) + a2(1 + x)2 +⋯+a29(1 + x)29，ai(i = 0，1，2，…，29) 是常数，则 a1
+
y0y b2
=
1
与
C1
有两个公共点
12．棣莫佛 (Demoivre，1667~1754) 出生于法国香槟，十八岁去了英国伦敦，他在概率论和三 角学方面，发表了许多重要论文．英国著名诗人波普 (A． Pope，1688~1744) 在《人类小品》 中写道 ：“是谁教那蜘蛛 / 不用直线或直尺帮忙 / 画起平行线来 / 和棣莫佛一样稳稳当当” .1707 年棣莫佛提出了公式：[r(cosθ + isinθ)]n = rn(cosnθ + isinnθ)，其中 r > 0，n ∈ N *．根
x
1
2
3
4
5
y
2
m
4
5
5
若用最小二乘法求得线性回归方程是
y
=
170 x
+
19 10
，则表中的
m
是
．
15．已知双曲
x2 a2
-
y2 b2
=
1(a
>
0,b
>
0)
的右焦点到一条渐近线的距离为
2a
，则其离心率的值
为
．
16．已知曲线 C : x4 + (a + 1)y2 + ay - b = 0(a、b 是常数 ) 关于 x 轴对称，且 C 上所有点都在圆
+
3i 这三个条件中任选一个，补充在
下面的问题中，并解答该问题．
设复数 z1，z2 满足 |z1| = |z2| = 1． (1) 若 _____，求 z1，z2； (2) 若 |z1 + z2| = 1，求 |z1 - z2|．
18．设 n ∈ N * (1) 比较 2n 和 n2 的大小，直接写出结论，不必证明． 当时，2n < n2， 当时，2n = n2， 当时，2n > n2． (2) 比较 en 和 n2 的大小，其中 e 是自然对数的底数，并说明理由．
知参加本次周练的学生共有 700 名 ，据此估计 ，这次周练成绩不少于 60 分的学生人数为
(
)
A． 686
B． 560
C． 490
D． 140
2．设随机变量 ξ 服从正态分布 N (0,1)，P(ξ > 1) = p，则 P( -1 < ξ < 0) 等于 (
)
A． 21 p
B． 1 - p
C． 1 - 2p
题才得以解决．设 t 是方程 x2 + x + 1 = 0 的根，则 (
)
A． t3 = 1
B．
t
+
t
=-1
C． -t 是该方程的根
D． t2021 是该方程的根
10．下列命题正确的是 (
)
A． f(x) = (1 + x)5 + (1 - x)5 是奇函数
B．若
n
∈
N
*，且
n
≥
2，则
(1
+
1 n
2020 - 2021 南京市第二十九中学高二下学期期中考试
数学
一、单项选择题 : 本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的 .
1．高二数学组老师随机抽取部分学生的周练成绩，并将这些成绩分成 6 组：[40，50)，[50，
60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100] 加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已
① 1 是该方程的根；
② 3 是该方程的根；
③该方程两根之和是 2；
④该方程两根异号．
如果这四个命题中恰有三个是真命题，则假命题是 ( )
A．①
B．②
C ．③
D．④
【解答】解：采用假设法：
假设①为假命题，②③④为真命题，解得：x1 = 3，x2 =-1，符合题意， 假设②为假命题，①③④为真命题，解得 x1 = 1，x2 = 1，不合题意； 假设③为假命题，①②④为真命题，x1 = 3，x2 = 1，不合题意； 假设④为假命题，①②③为真命题，解得两根的和不为 2，不合题意；
据这个公式可得 (
)
A． sin3α = 3sinαcos2α - sin3α
B． cos5α = cos5α + 10cos3αsin2α + 5cosαsin4α
C
．
(sin 1π2
+
i
cos
π 12
)6
=
1
D．存在 8 个不同的复数 ai(i = 1，2，⋯，8)，使 a8i = 1
三、填空题 : 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 .
A． 21 p
B． 1 - p
C． 1 - 2p
D．
1 2
-
p
【解答】解：∵ 随机变量 ξ 服从正态分布 N (0,1)，
∴ 正态曲线关于 ξ = 0 对称，
∵ P(ξ > 1) = p，
∴ P(ξ <-1) = p，
∴
P(
-1
<
ξ
<
0)
=
1 2
-
p．
故选：D．
3．对于关于 x 的方程 x2 + ax + b = 0(a、b、x 都是实数 ) 有四个命题：
)
A．若 P、Q 在 C1 上，直线 PQ 不过原点，PQ 中点是 M ，则 OM ⊥ PQ
B．若 P、Q 在 C1 上，OP ⊥ OQ，则直线 PQ 与一个定圆相切
C
．若点
P(x0
，y0)
在
C1
上，则直线
x0x a2
+
y0y b2
=
1
是
C1
的切线
D．若点
P(x0
，y0)
在
C1
外
，则直线
x0x a2
13．在抛掷一颗骰子 ( 一种正方体玩具，六个面标有 1，2，3，4，5，6 字样 ) 的试验中，事件 A
表示“不大于 4 的偶数点出现”，事件 B 表示“小于 5 的点数出现”，则事件 A + B 的概率为
．
14．高二某班数学学习小组成员最近研究的椭圆的问题数 x 与抛物线的问题数 y 之间有如 下的对应数据：
-
1)x
-
lnx
，m
∈
R．
(1) 已知函数 f(x) 在区间 (2,3) 上单调，求实数 m 的取值范围；
(2) 设 g(x) = x3，若 ∀ x1 ∈ (0, + ∞)，∃ x2 ∈ [0，21 ]，f(x1) + g(x2) ≥ 2，求整数 m 的最小值．
( 参考数据：ln2 ≈ 0.6931，ln3 ≈ 1.0986)
(2) 如果把这 100 名学生中男生和女生课外阅读“达标”的频率分别当作全校男生和女生课外 阅读“达标”的概率，且每位学生是否“达标”相互独立．现随机抽取 3 个学生 (2 男 1 女 )，用 X 表示“3 人中课外阅读达标的人数”，试求 X 的分布列和数学期望．
20．如图，在梯形 ABCD 中，AB//CD，AD = CD = CB = 2，∠ABC = 60°，矩形 ACFE 中，AE = 2，又 BF = 2 2． (1) 求直线 BD 与平面 BEF 所成角的余弦； (2) 求平面 BEF 与平面 ABCD 所成锐二面角大小．
两人，祖冲不去 A 点，刘辉去 B 点，不同的分配方法种数是 (
)
A． 12
B． 18
C． 24
D． 30
8．“x > 0”是“x > sinx”的 (
)
A．充分不必要条件
C ．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
二、多项选择题 : 本大颗共 4 小颗，每小颗 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多
综上所述：①为假命题；
故选：A．
4．设 (1 - x)29 = a0 + a1(1 + x) + a2(1 + x)2 +⋯+a29(1 + x)29，ai(i = 0，1，2，…，29) 是常数，则 a1
+ a2 + … + a29 的值是 ( )
A． 1 - 229
B． 229 - 1
C． 1
19． 1616 年 4 月 23 日，塞万提斯与莎士比亚辞世，4 月 23 日也和其它一些伟大作者的生卒 有关．于是，以 4 月 23 日向书籍及其作者致以世界范围的敬意，自然成了联合国大会的选择 .1995 年，联合国教科文组织定 4 月 23 日为世界图书与版权日 ( 或世界书籍与版权日 )，汉译 另有世界读书日、世界阅读日、世界书香日诸种 .2014 年起，“全民阅读”已经连续 4 年写入政 府工作报告 ，在今年的政府工作报告中 ，“倡导全民阅读”的提法更是升级为“大力推动全民 阅读”，全民阅读已经成为了国家战略．为调查全校学生的课外阅读情况，教务处随机调查了 100 名学生 ( 男生 60 人，女生 40 人 )，统计了他们的课外阅读达标情况 ( 一个学期中课外阅读 是否达到规定时间 )，结果如表：
x2 + y2 = 2 外，则 a =，b 的一个可能值是
.( 写出一个符合条件的 b 值即可 )
四、解答题 : 本大题共 6 小题，共 70 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文
字说明，证明过程或演算步骤 .
17．在①
z1
+
z2
=
1 2
+
23 i，②
z1
+
z2
=
i，③
z1
+
z2
=
1
为(
)
A． 2
B． 3
C． 2
D． 5
6．平行六面体 ( 底面是平行四边形的棱柱 )ABCD - A1B1C1D1 中，
∠A1AB = ∠A1AD = ∠BAD = 60°，AB = AD = 1，AC1 = 11 ，则 A1A = (
)
A． 1
B． 2
C． 2
D． 4
7．祖冲、刘辉、米德、牛敦、高师、欧啦六个人到 A、B、C 三个地点接种新冠疫苗，每个地点去
D． 0
【解答】解：令 x =-1，可得 a0 = 229，
令 x = 0，可得 a0 + a1 + a2 + … + a29 = 1， 所以 a1 + a2 + … + a29 = 1 - 229．