湘教版九年级下册数学精品教学课件 第1章二次函数 第2课时 二次函数y=ax2(a＜0)的图象与性质

∴a > b > 0，|d| > |c| > 0，
∴d < c < 0，∴ a > b > 0 > c > d．
y ＝ ax2 图象 位置开 口方向
对称性
顶点最值
增减性
a>0
y
Ox
开口向上
a<0
y O
x
开口向下
a 的绝对值越大，开口越小
关于 y 轴对称，对称轴方程是直线 x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
解析：根据 a、b 的符号来确定． 当 a > 0 时，抛物线 y ＝ ax2 的开口 向上．∵ ab > 0，∴ b > 0 . ∴直线 y ＝ ax＋b过第一、二、三象 限；当a < 0 时，抛物线 y ＝ ax2 的开 口向下．∵ab > 0，∴b < 0.∴直线 y ＝ ax＋b 过第二、三、四象限． 故选 D.
合作探究
问题1
画二次函数
y
1 4
x2
的图象.
列表
x
0
1
2
3
4
y 1 x2 4
0
1 4
－1
9 4
－4
描点和连线：画出图象在 y 轴右边的部分，再利
用对称性画出 y 轴左边的部分.
y
这样我们得到了 y 1 x2
4
－4
o
－2
2
4x
的图象，如图.
－2
－4
问题2 观察图 y 1 x2的图象跟实际生活中的什么相像？
4
Hale Waihona Puke －4 －2 －2 －42
4
y 1 x2 的图象很像掷铅球时，铅球在空中经过的路线
4
归纳总结
受此启发，把 二次函数 y= ax2 的 图象这样的曲线
叫做抛物线.
-4
-2
-2
－ -4
2
4
以 标 则铅系可，球以在x看轴空出的中铅正经球方过在y这向是轴的空条水它对路中抛平的称线经物向对，的过线右称y最的关轴，轴高路于就y.点线轴为是的原形正抛点式对 线方物建为的称向线立交轴竖y 的直点与直a顶角叫抛x向2 (点坐做物a上. ，0) 的图象的一段.
第1章 二次函数
1.2 二次函数的图象与性质
第2课时 二次函数 y = ax2 (a<0)的图象与性质
复习引入
列表； 描点； 连线.
你还记得如何画
y
1 2
x2
的图象吗？
8
y 1 x2 2
6
4
x 01 2 3 4
2
y 1 x2 2
0
0.5
2
4.5 8
-4 -2
24
合作探究
抛物线 y = ax2 (a<0) 的图象
我们已经画出了 y 1 x2 的图象，能不能
2
从它得出二次函数 y 1 x2 的图象呢？
2 y 1 x2
2
4. 你怎样得到 y 1 x2 的图象？
2
因此只要把
的图象沿着
x 轴翻折将图象“复制”出来，
就得到
的图象.
y
y 1 x2
2
P
O
x
Q
y 1 x2 2
典例精析
例1 函数 y =﹣a（x+a）与 y =﹣ax2（a ≠ 0）在同一 坐标系上的图象是（ ）
系数 a 对图象的影响
问题3
在同一坐标系中，画出函数
y
=
-x2,
y
=
-2x2,
y
1 2
x2
的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点．
相同点：开口都向下，顶点是
原点而且是抛物线的最低点， 对称轴是 y 轴，增减性相同.
不同点：a 越小，即 |a| 越
－4 －2 －2 －4
－6
24
y 1 x2 2
A．
B．
C．
D．
抛物线 y = ax2 ( a ＜ 0 )的性质
议一议 说说二次函数 y 1 x2 的图象有哪些性质，
与同伴交流.
2
y
1. 是一条曲线；
o
x
2. 图象开口向下；
3. 图象关于 y 轴对称；
4. 与对称轴的交点为( 0 ，0 )；
5. “左升”，“右降”；
6. x = 0 时，函数值最大，且为 0.
（2）∵当 m－3 ＞ 0 时，图象有最低点， ∴ m = 4，此时二次函数的解析式为 y = x2， ∴当 x ＞ 0 时，y 随 x 的增大而增大.
（3）当 m 为何值时，它的图象有最高点？此时当x 为何值时，y 随 x 的增大而减小？
（3）∵当 m－3 ＜ 0 时，图象有最高点， ∴ m = －2，此时二次函数的解析式为 y = －5x2， ∴当 x ＞ 0 时，y 随 x 的增大而减小．
A．
B．
C．
D．
解析：函数 y =﹣a(x+a) =﹣ax﹣a2 的常数项﹣a2 一定小 于零，函数 y=﹣a(x+a) 与 y 轴一定相交于负轴．故选 D． B. 由一次函数的图象可知 a ＜ 0，由二次函数的图象可 知 a ＞ 0，两者相矛盾； C. 由一次函数的图象可知 a ＞ 0，由二次函数的图象可 知 a ＜ 0，两者相矛盾；
当 x = 0 时，y最小值 = 0 当 x = 0 时，y最大值 = 0
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
5. 如图，四个二次函数图象中，分别对应：① y ＝ ax2；② y ＝ bx2；③ y ＝ cx2；④ y ＝ dx2，则 a、b、 c、d 的大小关系为( A ) A．a > b > c > d B．a > b > d > c C．b > a > c > d D．b > a > d >c
解析：∵抛物线 y ＝ ax2中，|a| 越大，抛物线的开口越小.
例2 已知函数 y (m 3)xm22m6 是关于 x 的二次函数．
（1）求满足条件的 m 的值；
（2）当 m 为何值时，它的图象有最低点？此时当 x 为
何值时，y 随 x 的增大而增大？ 解：（1）根据题意得 m－3 ≠ 0 且 m2－2m－6 = 2，
解得 m1 = －2，m2 = 4． 所以满足条件的 m 的值为－2 或 4；
大，抛物线的开口越小．
y x2 －8
y 2x2
对于二次函数 y = ax2,|a| 越大，抛物线的开口越小.
3. 函数 y = -3x2 的图象的开口向下，
对称轴 y轴 ，顶点是 (0,0) ；
y
在对称轴的左侧， y随x的增大而 增大 ， O
x
在对称轴的右侧， y随x的增大而 减小 .
4. 当 ab > 0 时，抛物线 y ＝ ax2 与直线 y ＝ ax ＋ b 在同一直角坐标系中的图象大致是 ( D )