第十三章北航 材料力学 全部课件 习题答案

M ( x2 ) Fx2 M C ,
图 13-9 根据卡氏定理，得
C
1 [ EI

a 0
( Fx1 )(
x1 )dx1 a

a 0
( Fx2 )(1)dx2 ]
5Fa 2 （） 6EI
A A
13-10 图示各梁，弯曲刚度 EI 均为常数，试用卡氏定理计算横截面 A 的挠度 与转角 。
3 3
3 3
–F
F 2

3 Fa 3 3 Fa 12
3 Fa 12
3
a

3 6


9
故有
ΔB
求 AB 的运算过程列表如下： i 1 2 3

i 1
3
F Ni FNi li 3Fa （←） EA 12EA
li
a a a
F Ni
2 3a 1
FNi
F
F Ni FNi l i
2 3 F 3


3a 1
–F
3 F 3
3 F 6
3a
F 2

故有
5 3 F 6
AB
F Ni FNi li 5 3F （） EA 6 EA i1
3
(b) 解：求Δ B 和 AB 的单位状态分别示如图 13-17b（1）和 b（2） 。
图 13-17b 求 Δ B 的运算过程列表如下：
i 1 2 3 4
转角。
图示刚架，承受载荷 F 作用。设弯曲刚度 EI 为常数，试用卡氏定理计算截面 C 的
题 13-9 图 解：在截面 C 处假想附加一矩为 M C 的力偶（见图 13-9） ，由图可得
M x1 ( F
MC M ( x1 ) x1 ) x1 , a M C a
M ( x2 ) 1 M C
设节点 D 的铅垂位移Dy 与载荷 F 同向，因此，载荷 F 所作的功为 FΔDy W 2 根据能量守恒定律，于是有 FΔDy 10F 2 l 2 9EA 由此得节点 D 的铅垂位移为
ΔDy
20Fl 9 EA

13-5
变形为
图 a 所示圆柱形大螺距弹簧，承受轴向拉力 F 作用。试用能量法证明弹簧的轴向







13-15
图示阶梯形简支梁， 承受载荷 F 作用。 试用单位载荷法计算横截面 C 的挠度 C 与
横截面 A 的转角 A 。
题 13-15 图 解：设两种单位状态如下：
7
1．令 F 1 ； 2．在截面 A 处假想加一顺钟向力偶矩 M A 1 ，坐标示如图 13-15。

l
b FΔl F 2l ln 2 2 2 Eδ(b2 b1 ) b1
由此得
Δl
b Fl ln 2 Eδ(b2 b1 ) b1
13-4 图示结构，承受铅垂载荷 F 作用。已知杆 BC 与 DG 为刚性杆，杆 1 与 2 为弹性杆，
且各横截面的拉压刚度均为 EA，试用能量法计算节点 D 的铅垂位移。
li
a
F Ni
1 0 –1
FNi
F
F Ni FNi l i
Fa
2a
a
2F
0
Fa
–F
2F
10
2a
2
2 2 Fa
5
a
0
–F
0

2 2 2 Fa
卡氏定理计算杆端截面 A 的扭转角。
题 13-12 图 解：在 A 端附加一扭力矩 M A ，自 A 向左取坐标 x1 ，自轴中间截面向左取坐标 x 2 ，于是有
6
T x1 M A mx1 ,
及
T x2 M A ma
T x1 T x2 1 M A M A
题 13-16 图 解：求 的单位状态及坐标取法示如图 13-16。
图 13-16 两种弯矩方程为
q 2 M x1 x1 2 x qa M x2 1 2 , M x2 x2 a 2 M x1 0,
8
M x3 1
由此得到
a 0
Fa 3 （↑） 6EI
A
1 EI

( Fa Fx)(1)dx
Fa 2 （） 2 EI
（b）解：令 qa F ，并在 A 端附加一顺钟方向的力偶矩 M A ，自 A 向左取坐标 x，有
1 M x M A Fx qx 2 ， 2
根据卡氏定理，得
M ( x) x ， F

2a
(1
x2 F 1 )( x2 )dx2 3a 3 2 EI

a 0
(
x3 2 F 31Fa 2 （） )( x3 )dx3 3a 3 108EI
13-16
图示含梁间铰的组合梁，外伸段承受均布载荷 q 作用。设各梁各截面的弯曲刚度
均为 EI，试用单位载荷法计算该铰链两侧横截面间的相对转角 。
题 13-4 图
1
解： 1. 轴力计算 未知支反力四个，未知轴力两个，即未知力共六个，而独立或有效平衡方程也为六个，故为一 静定问题。设杆 1 与杆 2 均受拉，则刚性杆 BC 与 DG 的受力如图 b 所示。 由平衡方程
M B 0, M G 0,
得
FN1 a FN2 2a 0
x3 , a
M x3
qa x3 2

1 EI

a 0
(1
x2 qa 1 )( x2 )dx2 a 2 EI

a 0
(1
x3 qa qa3 （） )( x3 )dx3 a 2 3EI
13-17
图示桁架，在节点 B 处承受载荷 F 作用。设各杆各截面的拉压刚度均为 EA，试
5
题 13-10 图 （a）解：令 Fa M A ，由图 13-10a 易得
M x M A Fx ，
M x x ， F
M x 1 M A
图 13-10(a) 注意到左半段梁上 M 0 ，于是得
ΔA
1 EI

a 0
( Fa Fx)( x )dx
图 13-15 三种弯矩方程为
1 M x1 x1 , 3 1 M x2 x2 , 3 2 M x3 x3, 3 依据单位载荷法，有
1 F ~ M x1 1 x1 , M x1 x1 3a 3 1 F ~ M x2 1 x2 , M x2 x2 3a 3 1 2F ~ M x3 x3, M x3 x3 3a 3
( x2 F 1 )( x2 )dx2 3 3 2 EI
C
及
1 EI
a

1 F 1 ( x1 )( x1 )dx1 0 3 3 2EI
a

a
2a a

2 2F 13Fa3 ( x3 )( x3 )dx3 0 3 3 54EI
a
()
A
1 EI

0
(1
x1 F 1 )( x1 )dx1 3a 3 2 EI
w ( x)q( x)dx M ( x)d
* l l
*
即证明外载荷 q (x) 在虚位移上所作之总虚功 We ，等于可能内力 M(x)在相应虚变形上所作之总虚 功 Wi 。
题 13-14 图 解：虚位移为满足变形连续条件与位移边界条件的微小位移，因此
dw ， w* (0) w* (l ) 0 dx 可能内力是满足平衡与静力边界条件的内力，即 dF dM q x S , FS x , M( 0 ) M (l ) 0 dx dx 于是有 l l dF dw l We w ( x )q( x )dx w ( x ) S dx w FS 0 FS dx l 0 0 dx dx l l dM l dx M 0 M ( x )d M ( x )d Wi 0 0 l dx
拉压刚度为 EA，材料的泊松比为 。试利用功的互等定理，证明杆的轴向变形为
l
bF
EA
题 13-6 图 解：设该杆两端承受轴向拉力 F1 作用，杆的横向变形为
b b
根据功的互等定理，于是有
F1 F b b 1 EA EA
F1b F1 Δl F EA

8FD3n 2G sin 2 cos 4 E cos Gd
式中：D 为弹簧的平均直径，d 为弹簧丝的直径，n 为弹簧的圈数， 为螺旋升角，E 为弹性模量， G 为切变模量。
题 13-5 图
2
解：由图 b 可知，s 截面的弯矩与扭矩分别为
M s M F sin
F 2a FN1 2a FN2 a 0
FN1
2. 铅垂位移计算 结构的应变能为
4F ， 3
FN2
2F 3
2 2 2 2 FN FN F 2l 4 2 10F 2l 1l 2l Vε 2 EA 2 EA 2 EA 3 3 9 EA
M ( x) 1 M A
4
ΔA
11qa 1 （↓） ( qax qx 2 )( x )dx 0 2 24EI 2qa 3 1 a 1 （） A ( qax qx 2 )(1)dx EI 0 2 3EI 1 EI

a

13-12
图示圆截面轴，承受集度为 m 的均布扭力矩作用。设扭转刚度 GIp 为常数，试用
li
FNi
2 F 2 2 F 2
1 F 2
FNi F
FNi li
FNi F
1
2a


2 2 2 2
1 2

2 Fa 2 2 Fa 2
1 Fa 4
2
2a
a



3
4
a
1 F 2
F
1 2
1
1 Fa 4
Fa
5
a
4

3 2 2 Fa 2
由此得
ΔB
3 2 2 Fa
2 EA
（↓）
13-9
πDn cos
2
（e）
Vε
GI s i n F 2 D 3nπ (c o s P ) 8GI P EIc o s
（f）
最后，将式（c）和（f）代入式（b） ，于是得

8FD 3n 2Gsin 2 ( cos ) Ecos Gd 4
13-6
图示等截面直杆，承受一对方向相反、大小均为 F 的横向力作用。设截面宽度为 b、
据能量守恒定律，有
FD sin , 2
T s M F cos
FD cos 2
（a）
W Vε
其中，
（b）
W
而
F 2
lM2 0
（c）
Vε
式中， l 为簧丝总长，其值为

lT 2 0
Hale Waihona Puke 2GI Pds

s
2 EI
ds
（d）
l
将式（a）代入式（d） ，并注意到式（e） ，得
由此得
Δl
bF
EA
3
13-8
图示桁架，在节点 B 承受载荷 F 作用。设各杆各截面的拉压刚度均为 EA，试用卡
氏定理计算该节点的铅垂位移 B 。
题 13-8 图 解：根据卡氏定理，有
ΔB
各杆编号示如图 13-8。
F 1 FNi li Ni EA i 1 F

5
图 13-8 求 ΔB 的运算过程示如下表： l

2 FN dx 0 2 Eb( x ) l
(a)
b( x ) b1
代入式（a）,并考虑到 FN F ,于是得
b2 b1 x l
b 1 F2 F 2l dx ln 2 0 2E b b 2 Eδ(b2 b1 ) b1 δ b1 2 1 x l 设板的轴向变形为l，则根据能量守恒定律可知， Vε
依据卡氏定理，得
A
1 GI p

a 0
(mx1 )(1)dx1

3ma2 (ma)(1)dx2 0 2GI p
a
13-14
图示简支梁， 承受集度为 q(x) 的分布载荷作用， 现在， 使梁发生横向虚位移 w* ( x) ，
该位移满足位移边界条件与变形连续条件，试证明：
用单位载荷法计算该节点的水平位移 B 与杆 AB 的转角 AB 。
题 13-17 图 (a) 解：求 ΔB 和 AB 的单位状态分别示如图 13-17a（1）和 a（2） 。
图 13-17a 求 Δ B 的运算过程列表如下： i 1 2
li
a a
F Ni
FNi
F
F Ni FN i li
3 Fa 3
第十三章
能量法
13-2 图示变宽度平板，承受轴向载荷 F 作用。已知板件厚度为 ，长度为 l，左、右端
的截面宽度分别为 b1 与 b2，材料的弹性模量为 E，试用能量法计算板件的轴向变形。
题 13-2 图 解：对于变截面拉压板件，应变能的表达式为
V
由图可知，截面 x 的宽度为

2 FN dx 0 2 EA( x ) l