2019-2020学年山东省青岛市青岛第二中学高二上学期期中数学试题(解析版)

2019-2020学年山东省青岛市青岛第二中学高二上学期期
中数学试题
一、单选题
1．椭圆y 2+4x 2＝1的焦距为（ ）
A ．
2
B C ．D 【答案】B
【解析】直接利用椭圆的方程，求得,a b 的值，然后求得2c ，即可得到答案. 【详解】
由椭圆的方程22
41y x +=，可得22
11,4
a b ==
，
又由222
34c a b =-=，解得2
c =2c =. 故选B. 【点睛】
本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程，合理利用椭圆的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
2．已知命题P ：∃x ＞0，lgx ≤0，则￢P 是（ ） A ．∃x ≤0，lgx ＞0 B ．∀x ＞0，lgx ＞0 C ．∀x ＞0，lgx ＜0 D ．∃x ＞0，lgx ≤0
【答案】B
【解析】直接利用特称命题的否定是全称命题，即可得到命题的否定，得到答案. 【详解】
由题意，根据特称命题的否定是全称命题，所以命题:0,lg 0P x x ∃>≤， 可得:0,lg 0P x x ⌝
∀>>. 故选B. 【点睛】
本题主要考查了含有一个量词的否定，其中熟记特称命题与全称命题的关系，准确改写是解答的关键，属于基础题.
3．已知双曲线C ：y 2
2
2x b
-=1（b ＞0）的焦距为4，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）
A ．y ＝
B ．y ＝
C ．y ＝±3x
D ．y ＝【答案】B
【解析】根据题意，求得2,1c a ==，进而求得b 的值，求得双曲线的方程，进而求得双曲线的渐近线的方程，得到答案. 【详解】
由题意，双曲线2
2
2:1(0)x C y b b
-=>的焦距为4，可得2,1c a ==，
又由2
2
2
3b c a =-=，所以双曲线的方程为2
2
13
x y -=，
所以该双曲线的渐近线的方程为3
a y x x
b =±=. 故选B. 【点睛】
本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 4．若抛物线x ＝﹣my 2的焦点到准线的距离为2，则m ＝（ ） A ．﹣4 B ．
14
C ．14
-
D ．±14
【答案】D
【解析】把抛物线的方程化为标准方程，由焦点到准线的距离为p ，即可得到结果，得到答案. 【详解】
由题意，抛物线2
x my =-，可得2
1
y x m
=-
， 又由抛物线的焦点到准线的距离为2，即122m =，解得14
m =±. 故选D. 【点睛】
本题主要考查了抛物线的标准方程，以及简单的几何性质的应用，其中解答中熟记抛物线的焦点到准线的距离为p 是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
5．在四棱锥O ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平四边形，设OA a =，OB b =，OC c =，则BD 可表示为（ ） A ．a c b +- B ．a +2b c -
C ．c b a +-
D ．a c +-2b
【答案】D
【解析】作出图形，根据条件得出BD BA BC =+uu u r uu r uu u r
，再得到BA a b =-，BC c b =-，
即可求解， 得到答案. 【详解】
如图所示，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，则BD BA BC =+uu u r uu r uu u r
，
在OAB ∆中，BA OA OB a b =-=-， 在OBC ∆中，BC OC OB c b =-=-， 故选D.
【点睛】
本题主要考查了向量的线性运算，以及向量的加法的几何意义，其中解答中熟记向量的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
6．椭圆的焦点为F 1，F 2，过点F 1作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的弦MN 长为
18
5
，△MF 2N 的周长为20，则椭圆的离心率为（ ）
A B ．
35
C ．
45
D 【答案】C
【解析】运用椭圆的定义，可得420a =，求得5a =，再由直线垂直于x 轴时，弦长最短，求出弦长，解得b ，最后利用离心率公式，即可求解. 【详解】
设椭圆的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，
则由椭圆的定义，可得12122MF MF NF NF a +=+=， 由于2MF N ∆的周长为20，可得420a =，即5a =， 过点1F 作直线与椭圆相交，当直线垂直与x 轴时，弦长最短，
令x c =-，代入椭圆的方程，可得2
b
y a
=±，
即22185
b a =，解得29b =，所以4
c =，
所以椭圆的离心率为4
5
c e a ==. 故选C. 【点睛】
本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中求曲线的离心率(或范围)问题，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式c
e a
=
；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程求解，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
7．已知双曲线22
22x y a b
-=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线被圆C ：x 2+y 2﹣12x ＝0截得的弦长
为8，双曲线的右焦点为C 的圆心，则该双曲线的方程为（ ）
A ．22
12016x y -=
B ．22
11620x y -=
C ．22
11224
x y -=
D ．22
12412
x y -=
【答案】B
【解析】求得数显的渐近线的方程，以及圆的圆心和半径，运用直线和圆相交的弦长公式，以及点到直线的距离公式可得,a b 的关系式，由题意可得6c =，再由,,a b c 的关系可得a ，即可求得双曲线的方程，得到答案. 【详解】
双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，
圆2
2
:120C x y x +-=的圆心(6,0)C ，半径6r =，
见解析被圆22
:120C x y x +-=截得的弦长为8，可得8==
解得d =
=
双曲线的焦点为C 的圆心，即6c =
，则b =
4a =，
可得双曲线的方程为22
11620
x y -=.
故选B. 【点睛】
本题主要考查了双曲线的标准方程及其几何性质的应用，同时考查了直线与圆的位置关系的应用，着重考查了方程思想和运算能力，属于基础题.
8．抛物线x 2＝4y 上的点到直线
y +5＝0的距离的最小值是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0
【答案】C
【解析】设抛物线2
4x y =上一点的坐标为2(2,)m m ，利用点到直线的距离公式表示出
距离，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】
设抛物线2
4x y =上一点的坐标为2
(2,)m m ，
可得点到直线50y +=
的距离为d =
=
，
当m =时，取得最小值为1. 故选C. 【点睛】
本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中熟记点到直线的距离公式，结合二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
9．已知直线l ：y ＝k （x ﹣1）（k ＜0）与抛物线C ：y 2＝﹣4x 相交于A 、B 两点，F 为抛
物线的焦点且满足|AF |＝2|BF |，则k 的值是（ ） A
．3
-
B
．C
．D ．﹣
【答案】C
【解析】直线(1)y k x =-和抛物线2
:4C y x =-联立，设1122(,),(,)A x y B x y ，运用韦达定理和抛物线的定义，解方程即可得到答案.
【详解】
由题意，抛物线2:4C y x =-的焦点(1,0)F -，准线方程为1x =，
直线(1)y k x =-和抛物线2
:4C y x =-联立，可得2
2
2
2
(24)0k x k x k --+=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，可得12122
4
2,1x x x x k +=-
=， 由抛物线的定义可得121,1AF x BF x =-=-，
因为2AF BF =，可得1212(1)x x -=-，即1221x x =-， 代入可得212x =-或21x =（舍去）
，此时12,3
x k =-=-
. 故选C. 【点睛】
本题主要考查了抛物线的定义及标准方程，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中联立方程组，合理应用韦达定理是解答此类问题的挂念，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题.
10．已知F 1，F 2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且|PF 1|＜|PF 2|，
线段PF 1的垂直平分线经过点F 2，若椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则21
2
2e e -
的最小值为（ ） A ．2 B ．﹣2
C ．6
D ．﹣6
【答案】B
【解析】设12,PF m PF n ==，不妨设点P 在第二象限，椭圆和曲线的焦点在x 轴上，且它们的长半轴为1a ，实半轴为2a ，半焦距为c ，运用椭圆和双曲线的定义，以及垂直平分线的性质，结合离心率和基本不等式，即可求解. 【详解】
设12,PF m PF n ==，不妨设点P 在第二象限，
椭圆和曲线的焦点在x 轴上，且它们的长半轴为1a ，实半轴为2a ，半焦距为c ， 由椭圆和双曲线的定义可得122,2m n a n m a +=-=， 由线段1PF 的垂直平分线过点2F ，可得2n c =
又由点P 在第二象限，所以12PF PF <，即
m n <，所以2m c <，
且2m c <， 即1222,22m c a c m a +=-=， 又由椭圆和双曲线的离心率，可得1212
,c c e e a a =
=， 则2112222124
2222e a c c c m m
m e a c c m c c c
+-=-=-=+----
42
≥=-， 当且仅当1
22m
m c c
=-
-
，即m c =时，上式取得最小值2-.
故选：B. 【点睛】
本题主要考查了椭圆和双曲线的定义和几何性质的应用，以及基本不等式的应用，其中解答熟练应用椭圆和双曲线的定义和几何性质，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查了化简运算能力和变形能力，属于中档试题.
二、多选题
11．（多选题）给出下列选项中，能成为x ＞y 充分条件的是（ ） A ．xt 2＞yt 2
B ．（x ，y ）是曲线x 3﹣y 3﹣x 2＝1上的点
C ．1
1x y
＜＜0
D ．（x ，y ）是双曲线x 2﹣y 2＝1上的点
【答案】ABC
【解析】首先分清条件和结论，条件是所选答案，结论是x y >，充分性即为所选的答案能推得x y >成立，即可求解 【详解】
由题意，对于A 中，由22
xt yt <可知，20t >，可得x y >成，所以A 正确； 对于B 中，点(,)x y 是曲线3
3
2
1x y x --=上的点，则(,)x y 满足323
(1)x x y -+=， 可得33
x y >，即x y >成立，所以B 正确；
对于C 中，由110x y <<，可得0,0x y <<，又由110x y y x xy
--=>，可得0x y ->，
即x y >成，所以C 正确；
对于D 总，点(,)x y 是双曲线221x y -=上的点，可得22x y >，不一定得到x y >成立，所以D 不正确. 故选ABC. 【点睛】
本题主要考查了充分条件和必要条件的应用，其中解答中熟练应用不等式的性质，以及曲线的性质，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
12．（多选题）若方程22
151
x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个命题中正确的是
（ ）
A ．若1＜t ＜5，则C 为椭图
B ．若t ＜1．则
C 为双曲线 C ．若C 为双曲线，则焦距为4
D ．若C 为焦点在y 轴上的椭圆，则3＜t ＜5 【答案】BD
【解析】根据椭圆和双曲线的标准方程及简单的几何性质，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】
由题意，若方程2
2
151x y
t t +=--表示椭圆，则满足501051
t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩
，解得13t <<或
35t <<，
对于A 中，当3t =时，此时方程2
2
2x y +=表示圆，所以不正确；
当方程2
2
151x y
t t +=--表示焦点在y 轴上椭圆，则满足501051
t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-<-⎩
，解得35t <<，
所以D 项正确；
对于B 中，当1t <时，50,10t t ->-< ，此时表示焦点在x 轴上的双曲线，所以是正确的；
对于C 中，当0t =时，方程22
151
x y -=
，此时双曲线的焦距为.
故选BD.
若方程2
2
151x y
t t +=--表示椭圆，则满足501051
t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩
，解得13t <<或35t <<，
【点睛】
本题主要考查了椭圆与双曲线的标准方程和简单的几何性质的应用，其中解答椭圆和双曲线的标准方程和几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 13．（多选题）下列说法正确的是（ ）
A ．椭圆2222x y a b +=1上任意一点（非左右顶点）与左右顶点连线的斜率乘积为22b a -
B ．过双曲线2222x y a b -=1焦点的弦中最短弦长为2
2b a
C ．抛物线y 2＝2px 上两点A （x 1，y 1）．B （x 2，y 2），则弦AB 经过抛物线焦点的充要条
件为x 1x 224
p = D ．若直线与圆锥曲线有一个公共点，则该直线和圆锥曲线相切 【答案】A
【解析】直线与圆锥曲线的位置关系问题，通过联立方程组，恰当利用韦达定理，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】
对于A 中，椭圆的左右顶点的分别为(,0),(,0)A a B a -， 设椭圆上除左右顶点以外的任意一点(,)P m n ，则2
2
2
PB PB
n n n k k m a m a m a
⋅=⋅=+--， 又因为点(,)P m n 在椭圆上，可得22221m n a b +=，解得22
22(1)m n b a
=-，
所以2
2PB PB
b k k a
⋅=，所以A 项是正确的； 对于B 中，设双曲线22
221x y a b
-=右焦点(c,0)F ，
（1）当直线与双曲线的右支交于1122(,),(,)A x y B x y ，
（i ）当直线AB 的斜率不存在时，则直线AB 方程为x c =，则22b
AB a
=，
（ii ）当直线AB 的斜率存在时，则直线AB 方程为()y k x c =-，
联立方程组2222()1y k x c x y a b
=-⎧⎪
⎨-=⎪⎩，得22222222222()20b a k x a ck x a k c a b -+--=，
则1212
000
x x x x ∆>⎧⎪+>⎨⎪>⎩，得b k a >或b k a <-，
由焦半径公式可得22
12222
2()22c a ck AB AF BF e x x a a a a k b =+=+-=⋅-- 222222
2222
2
2222222ac k ac c b a a a b a k b a a a k
=-=->-=--， 所以当直线AB 的斜率不存在时，AB 的长最小，最小值为2
2b a
．
（2）当过(c,0)F 的直线与双曲线的两支各有一个交点时，此时可得AB 的最小值为
2a ．
综上可得，当222b a a ≤，即b a <，此时过焦点的弦长最短为
2
2b a ； 当2
22b a a
>，即b a >，此时过焦点的弦长最短为2a ．
所以B 项是不正确的；
对于C 中，充分性：当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为1x x =，此时12x x =，
因为2
124
p x x =，所以122p x x ==，此时直线AB 过焦点(,0)2P F .
当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 方程为y kx b =+，
由22y kx b y px
=+⎧⎨=⎩，得222
(22)0k x bk p x b +-+=， 所以2122b x x k
=，且2
480p kpb ∆=->，
又因为2
2(0)y px x =>且2
124p x x =，所以2224
b k p =，解得2b k p =或2b k p =-，
所以直线AB 方程为2b y x b p =-
+或2b y x b p
=+, 当直线2b y x b p =-
+时，取0y =时，2
p x =，直线AB 过焦点(,0)2P
； 当直线2b y x b p =
+时，取0y =时，2
p x =-，直线AB 过焦点(,0)2P
F -； 所以充分性不成立．
必要性：当直线AB 过焦点(
,0)2
P
F 时， 设过焦点的直线AB 的方程为2
p x my =+，代入2
2(0)y px x =>，
可得22
20y pmy p --=，则212y y p =-，
则2222
12121222()444
y y y y p x x p p =
==. 所以抛物线2
2(0)y px x =>上两点1122(,),(,)A x y B x y ，则弦AB 经过抛物线的焦点
的必要不充分条件是2
124
p x x =，所以C 是不正确的.
对于D 中，当直线和抛物线的对称轴平行时，满足只有一个交点，但此时直线抛物线是相交的，所以直线与圆锥曲线有一个公共点，所以该直线和圆锥曲线相切是错误，即D 项是不正确的. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的判定与应用，以及充要条件的判定，其中解答中要认真审题，直线方程和抛物线方程联立，合理利用根与系数的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
三、填空题
14．若“∃x 0∈[﹣4，﹣2]，0
1 2
x
（）＜m ”是真命题，则实数m 的取值范围为_____．
【答案】m ＞4
【解析】根据0[4,2]x ∈--时，得到01()[4,16]2
x
∈，结合存在性命题为真命题，即可求解，得到答案. 【详解】
由题意，当0[4,2]x ∈--时，可得01()[4,16]2
x
∈， 又因为“0
01[4,2],()2
x x m ∃∈--<”是真命题，所以4m >.
故答案为：4m > 【点睛】
本题主要考查了存在性的真假的判定与应用，以及指数函数的性质的应用，其中解答中正确理解存在性命题的含义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
15．双曲线C ：22
22x y a b
-=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2（|F 1F 2|＝2c ），以坐标
原点O 为圆心，以c 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一个交点为P ，若三角形F 1PF 2的面积为a 2
，则C 的离心率为_____．
【解析】不妨设P 为右支上一点，设12,PF m PF n ==，运用双曲线的定义和直径所对的圆周角为直角，结合勾股定理和三角形的面积公式，可得,a c 的关系式，即可求解双曲线的离心率，得到答案. 【详解】
不妨设P 为右支上一点，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ， 由双曲线的定义可得m ﹣n ＝2a ，
由题意可得△PF 1F 2为直角三角形，且∠F 1PF 2＝90°，
可得m 2+n 2＝4c 2
，且
1
2
mn ＝a 2，
由（m ﹣n ）2＝m 2+n 2﹣2mn ＝4c 2﹣4a 2＝4a 2
，即为c =
，
可得e c
a
=
=.
. 【点睛】
本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式c
e a
=
；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)． 16．设A ，B 分别是直线y ＝2x 和y ＝﹣2x 上的动点，满足|AB |＝4，则A 的中点M 的轨迹方程为_____．
【答案】2
2
116
y x +=
【解析】设出,A B 的坐标，表示出点M 的坐标，再利用AB 4=，即可得到点M 的轨迹方程，得到答案. 【详解】
设A （x 1，2x 1 ），B （x 2，﹣2x 2 ），M （x ，y ），则AB 中点M （12
2
x x +，x 1﹣x 2） 所以x 12
2
x x +=
，y ＝x 1﹣x 2， 又因为|AB |2＝（x 1﹣x 2）2+（2x 1+2x 2）2＝16，即y 2+（4x ）2
＝16，
所以M 的轨迹方程为2
2
116
y x +=，
故答案为：2
2
116
y x +=.
【点睛】
本题主要考查了轨迹方程的求解，其中解答中设出,A B 的坐标，表示出点M 的坐标，结合条件用AB 的长求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 17．卵形线是常见曲线的一种，分笛卡尔卵形线和卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内与两个定点（叫焦点）的距离之积等于常数的点的轨迹．某同学类比椭圆与双曲线对卡西尼卵形线进行了相关性质的探究，设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）是平面内的两个定
点，|PF 1|•|PF 2|＝a 2
（a 是常数）．得出卡西尼卵形线的相关结论：①该曲线既是轴对称
图形也是中心对称图形；②若a ＝c ，则曲线过原点；③若0＜a ＜c ，其轨迹为线段．其中正确命题的序号是_____． 【答案】①②
【解析】设(,)P x y 2a = ，得到
22224[()][()]x c y x c y a ++⋅-+=，再对三个选项加以验证，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意设P （x ，y ）2a =，
即[（x +c ）2+y 2]•[（x ﹣c ）2+y 2]＝a 4，
对于①中，因为把方程中的x 被﹣x 代换，方程不变，故此曲线关于y 轴对称； 把方程中的y 被﹣y 代换，方程不变，故此曲线关于x 轴对称； 把方程中的x 被﹣x 代换，y 被﹣y 代换，方程不变， 故此曲线是轴对称图形也是中心对称图形，所以是正确的．
对于②中，若a ＝c ，（0，0）代入，方程成立则曲线过原点，所以是正确的； 对于③中，因为（|PF 1|+|PF 2|）min ＝2c ，（当且仅当，|PF 1|＝|PF 2|＝c 时取等号），
所以（|PF 1||PF 2|）min ＝c 2
，所以若0＜a ＜c ，则曲线不存在，所以不正确．
故答案为：①② 【点睛】
本题主要考查了新定义的理解与应用，其中解答中认真审题，正确理解新定义，结合新定义运算出动点的轨迹方程是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
四、解答题
18．已知A ＝{x |x 2﹣4ax +3a 2＞0，a ＞0}，B ＝{x |x 2﹣x ﹣6≥0}，若x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（0，1）．
【解析】根据一元二次不等式的解法，求得集合A ＝{x |x ＜a 或x >3a ，a >0}，B ＝{x |x ≥3或x ≤﹣2}，
再由”x ∈A ”是“x ∈B “的必要不充分条件，即集合B 是集合A 的真子集，列出不等式组，即可求解. 【详解】
由题意，集合A ＝{x |x 2﹣4ax +3a 2
>0，a >0}＝{x |x ＜a 或x >3a ，a >0}，
B ＝{x |（x +2）（x ﹣3）≥0}＝{x |x ≥3或x ≤﹣2}，
若”x ∈A ”是“x ∈B “的必要不充分条件，即集合B 是集合A 的真子集，
则满足
33
2
a
a
a
<
⎧
⎪
>-
⎨
⎪>
⎩
，解得0＜a＜1，
故实数a的取值范围是（0，1）．
【点睛】
本题主要考查了充分条件、必要条件的应用，以及一元二次不等式的求解，其中解答中熟记一元二次方程的解法，结合充分、必要条件，列出相应的不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
19．已知p：方程x2+y2﹣4x+m2＝0表示圆：q：方程
22
3
y x
m
+=1（m＞0）表示焦点在
y轴上的椭圆．
（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题p、q有且仅有一个为真，求实数m的取值范围．
【答案】（1）﹣2＜m＜2．（2）（﹣2，0]∪[2，3）．
【解析】（1）把方程x2+y2﹣4x+m2＝0化为（x﹣2）2+y2＝4﹣m2，得到4﹣m2＞0，即可求解；
（2）由方程
22
3
y x
m
+=1（m＞0）表示焦点在y轴上的椭圆，求得0＜m＜3，再分类讨
论，列出不等式组，即可求解.
【详解】
（1）由题意，命题p：方程x2+y2﹣4x+m2＝0，可化得（x﹣2）2+y2＝4﹣m2，则4﹣m2＞0，解得﹣2＜m＜2，所以实数m的取值范围(2,2)
-．
（2）命题q：方程
22
3
y x
m
+=1（m＞0）表示焦点在y轴上的椭圆，则0＜m＜3，
当p为真，q为假时，
22
03
m
m m
-
⎧
⎨
≤≥
⎩
＜＜
或
，解得﹣2＜m≤0．
当p为假，q为真时，
22
03
m m
m
≤-≥
⎧
⎨
⎩
或
＜＜
，解得2≤m＜3．
综上，实数m的取值范围为：（﹣2，0]∪[2，3）．
【点睛】
本题主要考查了充分条件、必要条件的应用，以及圆与椭圆的标准方程的应用，其中解答中正确求解命题,p q，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属
于基础题.
20．已知椭圆C ：22
221x y a b
+=()0a b >>
的焦距为2，过点P (－
2,1)且斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点． (1)求椭圆C 的方程； (2)求弦AB 的长．
【答案】（1）221124x y +=；
（2
）AB =【解析】（1）已知：
，b=2，a 2=b 2+c 2，联立解得a,b,c 的值，即可得椭
圆方程；
（2）易得直线l 的方程y=x+3．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．与椭圆方程联立化为：4x 2+18x+15=0，利用根与系数的关系及弦长公式即可得出弦AB 的长．
【详解】
(1)
已知椭圆焦距为2，即
，b=2，
结合a 2=b 2+c 2，解得
a=，b=2，
故C ：22
1124
x y +=.
(2)已知直线l 过点P (－2,1)且斜率为1，故直线方程为y-1=x+2，整理得y=x+3，
直线方程与椭圆方程联立22
31124
y x x y =+⎧⎪
⎨+
=⎪⎩ 得2418150x x ++=. 设()11,A x y ，()22,B x y ．
∴12120,9,215,4x x x x ⎧
⎪∆>⎪
⎪
+=-⎨⎪
⎪=⎪⎩
∴AB =
2
=
【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆相交的弦长；当直线斜率存在时，弦长
12
l x
=-=，其中()
11
,
A x y，()
22
,
B x y是交点坐标，经常设而不求，联立方程后，根据根与系数的关系整体代入.
21．已知点F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F作斜率为k的直线l与抛物线交于A，
B两点，与准线交于点P，设点D为抛物线准线与x轴的交点．
（1）若k＝﹣1，求△DAB的面积；
（2）若AF=λFB，AP=μPB，证明：λ+μ为定值．
【答案】
（1）（2）证明见解析，定值为0
【解析】（1）由直线与抛物线联立得2610
x x
-+=，根据1228
AB x x
=++=，求得点D到直线10
x y
+-=的距离，进而求得三角形的面积，得到答案；
（2）设:(1)
l y k x
=-，联立方程组，求得
1212
4
4
y y y y
k
+==-
，，结合AF =λFB，
AP=μPB，得到λ1
2
y
y
=-，1
2
2
2
y k
y k
μ
+
=-
+，进而求得
λμ
+为定值，得到答案. 【详解】
（1）由F的坐标分别为（1，0），直线PF的斜率为1，
所以直线PF的方程为y＝﹣（x﹣1），
设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
由直线与抛物线联立得x2﹣6x+1＝0，
所以x1+x2＝6，x1x2＝1．
于是|AB|＝x1+x2+2＝8．
点D到直线x+y﹣1＝
0的距离
d==
所以S
1
8
2
=⨯=；
（2）证明：设直线l：y＝k（x﹣1）．则P（﹣1，﹣2k），
联立()
241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩可得ky 2
﹣4y ﹣4k ＝0，
12124
4y y y y k
+==-，，
∵AF =λFB ，AP =μPB ，
所以（1﹣x 1，﹣y 1）＝λ（x 2﹣1，y 2），（﹣1﹣x 1，﹣2k ﹣y 1）＝μ（x 2+1，y 2+2k ）， ∴λ1
2
y y =-
，1222y k y k μ+=-+．
∴λ+μ()()()
121211222222222880222y y k y y y y kk y y k y y k y y k +++-+=--=-=-=+++（定值）． 【点睛】
本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，以及向量的坐标运算的应用，其中解答中直线与抛物线的方程联立，合理利用根与系数的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
22．已知点P 到直线y ＝﹣4的距离比点P 到点A （0，1）的距离多3． （1）求点P 的轨迹方程；
（2）经过点Q （0，2）的动直线l 与点P 的轨交于M ，N 两点，是否存在定点R 使得∠MRQ ＝∠NRQ ？若存在，求出点R 的坐标：若不存在，请说明理由.
【答案】（1）x 2
＝4y ；（2）存在，R 的坐标（0，﹣2）．
【解析】（1）根据条件转化为P 到(0,1)A 的距离与它到直线1y =-的距离相等，利用抛物线的定义，即可求得点P 的轨迹方程；
（2）利用对称性可得R 在y 轴上，设(0,)R t ，再结合MRQ NRQ ∠=∠，则
0RM RN k k +=，联立直线与抛物线的方程，利用根与系数的关系，求得
()22
k t +，进
而求得t 的值. 【详解】
（1）因为点P 到A （0，1）的距离比它到直线y ＝﹣4的距离小3，
所以点P 在直线y ＝﹣4的上方，点P 到A （0，1）的距离与它到直线y ＝﹣1的距离相等
所以点P 的轨迹C 是以A 为焦点，y ＝﹣1为准线的抛物线， 所以方程为x 2
＝4y ；
（2）当动直线l 的斜率为0时，由对称性可得R 在y 轴上，设为R （0，t ），
设直线l 的方程为y ＝kx +2，联立2
24y kx x y
=+⎧⎨=⎩，整理得x 2
﹣4kx ﹣8＝0， 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则x 1+x 2＝4k ，x 1x 2＝﹣8， 所以()()2112121212
RM RN x y t x y t y t y t x x k x x k -+---=
+=+ ()()()121212121
2402
x x x x t x x k t x x +-++===，
因为k ≠0，所以2t =-，则R （0，﹣2）， 综上，R 的坐标（0，﹣2）． 【点睛】
本题主要考查了抛物线的定义与标准方程，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中直线与抛物线的方程联立，合理利用根与系数的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
23．已知椭圆C 1：23x +y 2
＝1的左右顶点是双曲线C 2：22221x y a b
-=的顶点，且椭圆
C 1的上顶点到双曲线C 2
的渐近线的距离为2
． （1）求双曲线C 2的方程；
（2）若直线与C 1相交于M 1，M 2两点，与C 2相交于Q 1，Q 2两点，且1OQ •2OQ =-5，求|M 1M 2|的取值范围．
【答案】（1）2
3
x -y 2＝1；
（2）|M 1M 2|∈（0
]． 【解析】（1）由椭圆的顶点可得23a =，求出双曲线的渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得1b =，进而得到双曲线的方程；
（2）设出直线l 的方程，联立双曲线方程，消去y ，运用韦达定理和判别式大于0，结合向量的数量积的坐标运算，求得,m k 的关系式，再由直线方程和椭圆的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，即可求得12M M 的取值范围. 【详解】
（1）由椭圆C1：
2
3
x
+y2＝1
的左右顶点为（0），
0），可得a2＝3，
又椭圆C1的上顶点（0，1）到双曲线C2的渐近线bx﹣ay＝0
=b＝1，
所以双曲线C2的方程为
2
3
x
-y2＝1；
（2）易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx+m，
代入
2
3
x
-y2＝1，消去y并整理得（1﹣3k2）x2﹣6kmx﹣3m2﹣3＝0，
要与C2相交于两点，则应有
()()
2
2222
130
36413330
k
k m k m
⎧-≠
⎪
⎨
----
⎪⎩＞
⇒
2
22
130
13
k
m k
⎧-≠
⎨
+
⎩＞
①，
设Q1（x1，y1）、Q2（x2，y2），则有：x1+x2
2
6
13
km
k
=
-
，x1•x2
2
2
33
13
m
k
+
=-
-
．
又
1
OQ•
2
OQ =x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1+m）（kx2+m）＝（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2，
又
1
OQ•
2
OQ=-5，所以有
2
1
13k
-
[（1+k2）（﹣3m2﹣3）+6k2m2+m2（1﹣3k2）]＝﹣5 整理得m2＝1﹣9k2…②，
将y＝kx+m，代入
2
3
x
+y2＝1，消去y并整理得：（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3＝0，
要有两交点，则△＝36k2m2﹣4（1+3k2）（3m2﹣3）＞0⇒3k2+1＞m2…③
由①②③有：0＜k2
1
6
＜．
设M1（x3，y3）、M2（x4，y4），则有：x3+x4
2
6
13
km
k
-
=
+
，x3•x4
2
2
33
13
m
k
-
=
+
．
所以
|M1M2
|
=
又m2＝1﹣9k2，代入有：|
M1M2|
=|M1M
2
|
=
⇒|M 1M 2|＝，令t ＝k 2，则t ∈（0，19
]， 令f （t ）()
21(13)t t t +=+⇒f ′（t ）31(13)t t -=+，又t ∈（0，19
]， 所以f '（t ）＞0在t ∈（0，
19]内恒成立，故函数f （t ）在t ∈（0，19]内单调递增，
故f （t ）∈（0，
572
]，则有|M 1M 2|∈（0]． 【点睛】 本题主要考查双曲线的标准方程的求解、及直线与椭圆的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.
24．如果你留心使会发现，汽车前灯后的反射镜呈抛物线的形状，把抛物线沿它的对称轴旋转一周，就会形成一个抛物面．这种抛物面形状，正是我们熟悉的汽车前灯的反射镜形状，这种形状使车灯既能够发出明亮的、照射很远的平行光束，又能发出较暗的，照射近距离的光线．我们都知道常规的前照灯主要是由灯泡、反射镜和透镜三部分组成，明亮的光束，是由位于抛物面形状反射镜焦点的光源射出的，灯泡位于抛物面的焦点上，灯泡发出的光经抛物面反射镜反射形成平行光束，再经过配光镜的散射、偏转作用，以达到照亮路面的效果，这样的灯光我们通常称为远光灯：而较暗的光线，不是由反射镜焦点的光源射出的，光线的行进与抛物线的对称轴不平行，光线只能向上和向下照射，所以照射距离并不远，如果把向上射出的光线遮住．车灯就只能发出向下的、射的很近的光线了．请用数学的语言归纳表达远光灯的照明原理，并证明． 【答案】远光灯照明原理：由抛物线的焦点所在的光源发出的光线经抛物线反射后与抛物线的对称轴平行,证明见解析
【解析】设200(,)2y P y p
为抛物线上一点，法线与x 轴交于M ，反射光线为PN ，F 为抛物线的焦点，,PF PM 的斜率，根据角的正切值，证明NPM PNx π∠+∠=即可.
【详解】
远光灯照明原理：由抛物线的焦点所在的光源发出的光线经抛物线反射后与抛物线的对称轴平行．
证明：不妨设抛物线方程为：y 2＝2px （p ＞0），焦点为F ，P 为抛物线上一点，FP 的反
射光线为PN ，
如图所示：设抛物线过点P 的切线为直线l ，法线交x 轴于M ，
由光的反射性质可知∠FPM ＝∠MPN ，
由y 2
＝2px ，不妨设P 在第一象限，P （202y p ，y 0）， 当y 0＝0时，直线l 与y 轴重合，显然PN 与x 轴重合，
当y 0≠0时，设直线l 的斜率为k ，
则直线l 的方程为：y ＝k （x 202y p
-）+y 0， 代入抛物线方程可得：ky 2﹣2py ﹣ky 02+2py 0＝0，
令△＝4p 2﹣4k （2py 0﹣ky 02）＝0可得k 0
p y =， 故法线PM 的斜率为0y p
-． 不妨设P 在第一象限，设∠PMx ＝α，∠PFM ＝β，∠NPM ＝θ，
则tanα0y p =-，tanβ00220022
y py p y p x ==--， ∴tanθ＝tan ∠FPM ＝tan （α﹣β）
()()()
0022222220000000232220000022022221y py y y p p y y p y p y p y y py py p py p p p y p y p -----+-====--+-⋅-． ∴tanθ+tanα＝0，故α+θ＝π，
∴PN ∥x 轴．
【点睛】
本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中正确理解题
意，合理利用抛物线的几何性质，结合直线的斜率和倾斜角的关系求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题.。