重庆市南开中学校2023-2024学年九年级下学期期中数学试题

重庆市南开中学校2023-2024学年九年级下学期期中数学试
题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．刘徽在《九章算术注》对负数做了很自然的解释：“两算得失相反，要令正、负以名之”．若收入100元记作100+元，那么支出30元应记作（ ）
A ．30+元
B ．30-元
C ．70+元
D ．70-元 2．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 3．若32m x y 与3n xy -是同类项，则m n +的值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
4．为了了解某区初中毕业年级体育考试情况，从20000名初三年级学生中随机抽取1200名学生的体育考试成绩进行分析，下列说法正确的是（ ）
A ．该调查方式是普查
B ．每名初三学生的体育考试成绩是个体
C ．1200名学生是总体的一个样本
D ．20000名考生是总体
5．如图，AOB V 与CDB △位似，点B 为位似中心，AOB V 与CDB △的周长之比为1:2，若点B 坐标为()1,1，则点D 的坐标是（ ）
A ．()3,3
B ．()4,4
C ．()5,5
D ．()6,6
6的结果应在（ ）
A ．1和2之间
B ．2和3之间
C ．3和4之间
D ．4和5之间 7．如图，长为38cm ，宽为cm x 的大长方形被分割成7小块．除阴影A 、B 外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为6cm ，则阴影A 的周长比阴影B
的周长多（ ）
A ．20cm
B ．18cm
C ．16cm
D ．14cm
8．如图，点D 是O e 的弦AB 延长线上一点，CD 切O e 于点C ，若OB CD ∥，
AB OB ==BD 的长度为（ ）
A B 1 C ．D ．2
9．如图，在矩形ABCD 中，点E 为边AB 上一点，连接DE ，点F 为对角线AC 的中点，连接EF ，若D E A C ⊥，2AB AD =，设AFE α∠=，则D A F ∠的度数可以表示为（ ）
A ．1
452α︒+ B ．45α︒+ C ．45α︒- D ．1452
α︒- 10．已知有序整式串：m n -，m ，对其进行如下操作：
第1次操作：用第一个整式减去第二个整式得到一个整式，将得到的整式作为新整式串的第一项，即得到新的整式串：n -，m n -，m ；
第2次操作：用第一个整式减去第二个整式得到一个整式，将得到的整式作为新整式串的第一项，即得到新的整式串：m -，n -，m n -，m ；
依次进行操作．下列说法：
①第3次操作后得到的整式串为：m n -+，m -，n -，m n -，m ；
②第11次操作得到的新整式与第22次得到的新整式相等；
③第2024次操作后得到的整式串各项之和为2m n -．
其中正确的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
二、填空题
11．2024年3月12日是我国第46个植树节，截至2023年，全国完成新增种植和低产林改造10180000亩，将数据10180000用科学记数法表示为．
12．若反比例函数8y x
=的图象经过点()4,A m 和点()4,B n -，则m n （填“>”“=”或“<”）． 13．有四张大小、形状完全相同的卡片，卡片上分别写有2-，3-，2，3，从这四张卡片随机同时抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字之和小于0的概率是．
14．如图，已知12345280∠+∠+∠+∠+∠=︒，那么6∠=︒．
15．如图，在扇形AOB 中，105AOB ∠=︒，半径8OA =，将扇形AOB 沿过点B 的直线折叠，点O 恰好落在»AB 上的点D 处，
折痕交OA 于点C ，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）
16．在A B C D Y 中，BAD ∠的平分线交边CD 于点E ，
与边AB 的垂直平分线相交于点O ，若点O 恰好为线段AE 的中点，且2tan 3
DAE ∠=，2EC =，则BC 的长是．
17．若整数a 使关于x 的一元一次不等式组1321x x x a
-⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩有解，同时使得关于y 的分式方程
1122
a y y y -+=--的解为非负整数，则满足条件的所有a 的值之和是． 18．若一个四位正整数abcd 的各个数位上的数字不同，且各个数位上的数字之和为完全平方数，则称这个四位数为“和平数”，那么最大的“和平数”为；将一个“和平数”M 的前两位数字组成的两位数a
b 记为s ，后两位数字组成的两位数cd 记为t
，规定
()9s t F M +=，()3
s t G M -=，若()F M 、()G M 都是整数，则满足条件的M 的最大值和最小值的差为．
三、解答题
19．计算：
(1)()()2
42x x y x y --+； (2)22244122a a a a a a ++⎛⎫-÷ ⎪-+⎝⎭． 20．学习了正方形的对称性后，同学们发现过正方形对称中心O 的直线l 将正方形分成面积相等的两部分．某小组就“能否在此基础上再作一条直线将正方形的面积四等分”进行了探究，小明的想法是：过点O 作直线l 的垂线，他的证明思路是：连接OB OC 、，通过证明三角形全等将四边形的面积转化成三角形的面积从而使问题得到解决，请根据他的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，过点O 作直线l 的垂线交AD 于点H ，交BC 于点F ，连接OB OC 、．（只保留作图痕迹）
已知：如图，过正方形ABCD 对称中心O 作两条互相垂直的直线分别交
AB BC CD DA 、、、于点E 、F 、G 、H ．
求证：OEAH OFBE OGCF OHDG S S S S ===四边形四边形四边形四边形．
证明：O Q 为正方形的对称中心，
O ∴为正方形对角线AC BD 、的交点，
OB OC ∴=，90BOC ∠=︒，45EBO FCO ∠=∠=︒．
HF EG ⊥Q 于点O ，
∴①90=︒．
EOF BOF BOC BOF ∴∠-∠=∠-∠，
∴②．
∴在EOB V 和FOC V 中，
EBO FCO OB OC EOB FOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，，，，
()ASA EOB FOC ∴V V ≌，
∴③，
14OEB OFB OF D
C OFB C AB B C OFBE O S S S S S S S ∴=+=+==正方形四边形△△△△△， ∴同理可得14
ABCD OEAH OGCF OHDG S S S S ===正方形四边形四边形四边形， OEAH OFBE OGCF OHDG S S S S ===∴四边形四边形四边形四边形．
根据题意完成以下命题：过正方形对称中心的两条互相垂直的直线④．
21．为了解A 、B 两款饮水机的用户体验情况，小南随机调查了购买A 、B 两款饮水机的各10名用户，记录下他们的体验评分（单位：分），并对数据进行整理、描述和分析（体验评分用x 表示，共分为三个等级：差评04x ≤<，中评49x ≤<，好评910x ≤≤），下面给出了部分信息．
购买A 款饮水机的10名用户体验评分：2，6，6，7，8，8，9，9，9，10．
购买B 款饮水机的10名用户体验评分中“中评”等级包含的所有数据为：
5，7，7，7，8，8．
购买这两款饮水机的被调查用户体验评分统计表
购买B 款饮水机的被调查用户体验评分
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中的=a ______，b =______，m =______；
(2)根据以上数据，你认为哪款饮水机用户体验情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)若购买A 款饮水机的用户有2000名，购买B 款饮水机的用户有1500名，估计对A 、
B 两款饮水机好评的用户共有多少名？
22．如图1，在等腰ABC V 中，AB AC =，AD BC ⊥于点D ，8BC =，2AD =．动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着折线B D A →→方向运动，到点A 处停止；动点Q 从点C 出发，以同样的速度沿着折线C D A →→方向运动，到点A 处停止．令ABP ACQ y S S =+△△，运动时间记为x 秒，请回答下列问题：
(1)请直接写出y 关于x 的函数表达式并注明自变量x 对应的取值范围；
(2)请在图2的平面直角坐标系中画出函数y 的图象，并根据图象写出一条性质；
(3)根据图象直接写出当5y ≥时，x 的取值范围．
23．为丰富市民的生活，某市准备改建文化广场，甲、乙两施工队均参与了改建工程的招标．已知甲队独立完成此工程所需的天数比乙队独立完成所需天数多5天，乙队的施工效率为甲队施工效率的1.5倍．
(1)请问乙队独立完成此项工程需要多少天？
(2)为缩短工期，该市安排甲、乙两施工队一起完成改建工程．两队同时开工，同时完工，已知甲队每天的工程款比乙队每天的工程款少2000元，完工后，该市在结算时发现总工费不超过12万元，则乙施工队每天的工程款至多为多少？
24．如图，考古人员在古墓大门A 处探测到一青铜古物O ，由于大门A 正北方向有间墓室，考古人员无法沿直线AO 直接挖掘前往．经勘测，考古人员发现有两条线路可以挖掘前往青铜古物O ：线路①A C D O ---；线路②A B O --．其中点C 在点A 的正东方10米处，点O 在点C 北偏西30︒ 方向，点D 在点C 正北方，点O 在点D 西北方向20
米处，点B 在点A 正西方向，点O 在点B 北偏东30︒方向．（ 1.41≈ 2.45≈）
(1)求CD 的长度；（结果保留根号）
(2)受周围环境的影响，考古人员在线路①挖掘的平均速度为3米/小时，在线路②挖掘的平均速度为3.2米/小时，请通过计算说明选择哪条线路能更快挖掘到古物O ．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线)20y ax bx a =+≠与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC BC 、．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P 是直线BC 上方抛物线上一动点，过点P 作PM x ∥轴交BC 于点M ，过点P 作PN AC ∥交BC 于点N ，求PM PN +的最大值及此时点P 的坐标；
(3)把原抛物线)20y ax bx a =+≠）沿射线AC 方向平移8个单位，点E 为平移后新抛物线对称轴上的一点，连接BE CE 、，将BCE V 沿直线BC 翻折，使得点E 的对应点点Q 落在坐标轴上．写出所有符合条件的点E 的坐标，并写出求解点E 的坐标的其中一种情况的过程．
26．在ABC V 中，AB AC =，120BAC ∠=︒，过点A 作AO BC ⊥于点O ，点D 是BC 边上一点，连接AD ．
(1)如图1，若15BAD ∠=︒
，AD =BD 的长；
(2)如图2，将线段AD 绕着点A 逆时针旋转60︒到AE ，点F 为线段CD 的中点，连接EF DE ，．
求证：2AC EF =+；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接OE ，当OE 最小时，将AOE △沿着AE 翻折得到AO E '△，连接O C '，请直接写出
AOE AO C
S S '△△的值．。