2016年高考北京卷理数试题(含答案)

2016年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）
本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
（1）已知集合A=B=，则
（A）（B）
（C）（D）
（2）若x,y满足，则2x+y的最大值为
（A）0 （B）3
（C）4 （D）5
（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为
（A）1
（B）2
（C）3
（D）4
（4）设a,b是向量，则“I a I=I b I”是“I a+b I=Ia-b I”的
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
（5）已知x,y R,且x y o，则
（A）-（B）
（C）(-0 （D）lnx+lny
(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为
（A）
（B）
（C）
（D）1
(7)将函数图像上的点P（，t）向左平移s（s﹥0）个单位长度得到点P′.若P′位于函数的图像上，则
（A）t=，s的最小值为（B）t=，s的最小值为
（C）t=，s的最小值为（D）t=，s的最小值为
（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则
（A ）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 （B ）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
（C ）乙盒中红球不多于丙盒中红球 （D ）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
（9）设a R ，若复数（1+i ）（a+i ）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=_______________。

（10）在
的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答）
（11）在极坐标系中，直线与圆
交于A ，B 两点，
则 =____________________. （12）已知
为等差数列，为其前n 项和，若
，，则.
（13）双曲线 的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所
在的直线，点B 为该双曲线的焦点。

若正方形OABC 的边长为2，则a=_______________. （14）设函数
①若a=0，则f(x)的最大值为____________________；
②若f(x)无最大值，则实数a 的取值范围是_________________。

三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） （15）（本小题13分）
在∆ABC 中，3
3
3
2a c b ac +=+ （I ）求B ∠ 的大小
（II 2cos cos A C + 的最大值
（16）（本小题13分）A 、B 、C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通A 班 6 6.5 7 7.5 8
B 班 6 7 8 9 10 11 12
C 班
3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5
（I ） 试估计C 班的学生人数；
（II ） 从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
（III ）再从A 、B 、C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 ，表格中数据的平均数记为
，试判断
和
的大小，（结论不要求证明）
（17）（本小题14分） 如图，在四棱锥
P-ABCD 中，平面PAD ⊥ 平面ABCD ，
PA ⊥PD ,PA=PD,AB ⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD=5 ,
（I ）求证：PD ⊥平面PAB;
（II ）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；
（II I ）在棱PA 上是否存在点M ，使得BMll 平面PCD?若存在，求AM
AP
的值；若不存在，说明理由。

（18）（本小题13分）
设函数f(x)=xe a x e - +bx ，曲线y=f(x)d hko (2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4， （I ）求a,b 的值；
(I I) 求f(x)的单调区间。

（19）（本小题14分）
已知椭圆C ：22221X y a b
+= （a>b>0）的离心率为32 ，A （a,0）,B(0,b)，O （0，0），△
OAB 的面积为1.
（I ）求椭圆C 的方程；
(I I)设P 的椭圆C 上一点，直线PA 与Y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N 。

求证：lANl lBMl 为定值。

（20）（本小题13分） 设数列A ：1a ，2a ,…N a (N ≥2)。

如果对小于n(2≤n ≤N)的每个正整数k 都有k a ＜
n a ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”。

记“G （A ）是数列A 的所有“G 时刻”组成的集
合。

（I ）对数列A ：-2，2，-1，1，3，写出G （A ）的所有元素； (I I)证明：若数列A 中存在n a 使得n a >1a ，则G （A ）≠ ∅ ；
(I I I ）证明：若数列A 满足n a -1n a - ≤1（n=2,3, …,N ）,则G （A ）的元素个数不小于N a -1a 。

2016年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）参考答案
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） （1）C （2）C （3）B （4）D （5）C （6）A （7）A （8）B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）1- （10）60 （11)2 （12）6
（13）2 （14）2 )1,(--∞ 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）
解：（Ⅰ）由余弦定理及题设得2
2
222cos 222==-+=ac ac ac b c a B .
又因为π<∠<B 0，所以4
π
=∠B .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知4
3π
=
∠+∠C A . )4
3cos(cos 2cos cos 2A A C A -+=+π
)4
cos(sin 22cos 22sin 22cos 22cos 2π-=+=+-
=A A A A A A , 因为430π<
∠<A ，所以当4
π
=∠A 时，C A cos cos 2+取得最大值1. （16）（共13分）
解：（Ⅰ）由题意知，抽出的20名学生中，来自C 班的学生有8名.根据分层抽样方法，C 班的学生人数估计为4020
8
100=⨯
. （Ⅱ）设事件i A 为“甲是现有样本中A 班的第i 个人”，5,,2,1⋅⋅⋅=i ， 事件j C 为“乙是现有样本中C 班的第j 个人”，8,,2,1⋅⋅⋅=j ，
由题意可知，51)(=
i A P ，5,,2,1⋅⋅⋅=i ；81
)(=j C P ，8,,2,1⋅⋅⋅=j . 40
1
8151)()()(=
⨯=j i j i C P A P C A P ,5,,2,1⋅⋅⋅=i ,8,,2,1⋅⋅⋅=j . 设事件E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知，
3323133222122111C A C A C A C A C A C A C A C A E = 45352515342414C A C A C A C A C A C A C A
因此
)
()()()()()()()()(3323133222122111C A P C A P C A P C A P C A P C A P C A P C A P E P +++++++=8
340115)()()()()()()(45352515342414=⨯
=+++++++C A P C A P C A P C A P C A P C A P C A P （Ⅲ）01μμ<. （17）（共14分）
解：（Ⅰ）因为平面⊥PAD 平面ABCD ，AD AB ⊥， 所以⊥AB 平面PAD . 所以PD AB ⊥. 又因为PD PA ⊥， 所以⊥PD 平面PAB .
（Ⅱ）取AD 的中点O ，连结CO PO ,.
因为PD PA =，所以AD PO ⊥.
又因为⊂PO 平面PAD ，平面⊥PAD 平面ABCD ， 所以⊥PO 平面ABCD .
因为⊂CO 平面ABCD ，所以⊥PO CO . 因为CD AC =，所以AD CO ⊥.
如图建立空间直角坐标系xyz O -.由题意得，
)1,0,0(),0,1,0(),0,0,2(),0,1,1(),0,1,0(P D C B A -.
设平面PCD 的法向量为),,(z y x =，则
⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅,0,0即⎩⎨⎧=-=--,
02,
0z x z y 令2=z ，则2,1-==y x . 所以)2,2,1(-=.
又)1,1,1(-=PB ，所以3
3,cos -
=>=
<PB
n PB n . 所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为
3
3.
（Ⅲ）设M 是棱PA 上一点，则存在]1,0[∈λ使得AM λ=. 因此点),,1(),,1,0(λλλλ--=-M .
因为⊄BM 平面PCD ，所以∥BM 平面PCD 当且仅当0=⋅BM ， 即0)2,2,1(),,1(=-⋅--λλ，解得4
1=
λ. 所以在棱PA 上存在点M 使得∥BM 平面PCD ，此时4
1
=AP AM . （18）（共13分） 解：（Ⅰ）因为bx xe
x f x
a +=-)(，所以
b e x x f x a +-='-)1()(.
依题设，⎩⎨⎧-='+=,1)2(,22)2(e f e f 即⎩⎨⎧-=+-+=+--,
1,22222
2e b e e b e a a 解得e b a ==,2.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知ex xe
x f x
+=-2)(.
由)1()(12--+-='x x e x e x f 即02>-x e 知，)(x f '与1
1-+-x e x 同号.
令1
1)(-+-=x e x x g ，则1
1)(-+-='x e
x g .
所以，当)1,(-∞∈x 时，0)(<'x g ，)(x g 在区间)1,(-∞上单调递减； 当),1(+∞∈x 时，0)(>'x g ，)(x g 在区间),1(+∞上单调递增. 故1)1(=g 是)(x g 在区间),(+∞-∞上的最小值，
从而),(,0)(+∞-∞∈>x x g .
综上可知，0)(>'x f ，),(+∞-∞∈x ，故)(x f 的单调递增区间为),(+∞-∞. （19）（共14分）
解：（Ⅰ）由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨
⎧+===,,121
,23
222c b a ab a c 解得1,2==b a . 所以椭圆C 的方程为14
22
=+y x . （Ⅱ）由（Ⅰ）知，)1,0(),0,2(B A ，
设),(00y x P ，则442
020=+y x .
当00≠x 时，直线PA 的方程为)2(2
00
--=
x x y y . 令0=x ，得2200
--
=x y y M .从而2
21100-+=-=x y y BM M . 直线PB 的方程为11
0+-=
x x y y . 令0=y ，得100
--
=y x x N .从而12200-+=-=y x x AN N . 所以2
211200
00-+⋅-+
=⋅x y y x BM AN 2
28844224844400000000000000002
020+--+--=+--+--++=y x y x y x y x y x y x y x y x y x
4=.
当00=x 时，10-=y ，,2,2==AN BM 所以4=⋅BM AN . 综上，BM AN ⋅为定值.
（20）（共13分）
解：（Ⅰ）)(A G 的元素为2和5.
（Ⅱ）因为存在n a 使得1a a n >，所以{}
∅≠>≤≤∈*
1,2a a N i N i i .
记{
}
1,2min a a N i N i m i >≤≤∈=*
， 则2≥m ，且对任意正整数m k a a a m k <≤<1,. 因此)(A G m ∈，从而∅≠)(A G . （Ⅲ）当1a a N ≤时，结论成立. 以下设1a a N >. 由（Ⅱ）知∅≠)(A G .
设{}
p p n n n n n n A G <⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅=2121,,,,)(，记10=n . 则p n n n n a a a a <⋅⋅⋅<<<210.
对p i ,,1,0⋅⋅⋅=，记{}
i n k i i a a N k n N k G >≤<∈=*,.
如果∅≠i G ，取i i G m min =，则对任何i i m n k i a a a m k <≤<≤,1. 从而)(A G m i ∈且1+=i i n m .
又因为p n 是)(A G 中的最大元素，所以∅=p G . 从而对任意n k n p ≤≤，p n k a a ≤，特别地，p n N a a ≤. 对i i n n a a p i ≤-⋅⋅⋅=-+11,1,,1,0.
因此1)(111111+≤-+=--++++i i i i i n n n n n a a a a a . 所以p a a
a a a a i i
p n p
i n n N ≤-=
-≤--∑=)(11
11.
因此)(A G 的元素个数p 不小于1a a N -.。