第三章学案3__均值不等式
人教版数学高二B版必修5学案3.2均值不等式
数学人教B 必修5第三章3.2 均值不等式1．探索并了解均值不等式的证明过程，理解均值不等式成立的条件，等号成立的条件及几何意义．2．会用均值不等式解决简单的问题．3．掌握运用均值不等式a ＋b2≥ab 求最值的常用方法及需注意的问题．1．重要不等式：对于任意实数a ，b ，有a 2＋b 2____2ab ，当且仅当______时，等号成立．(1)重要不等式成立的条件是a ，b ∈R .它既可以是具体的数字，也可以是比较复杂的代数式，因此应用范围较广；(2)等号成立的条件是当且仅当a ＝b ，即当a ＝b 时，等号成立；反之，等号成立时有a ＝b .【做一做1】不等式a ＋1≥2a (a ＞0)中等号成立的条件是( )． A ．a ＝2 B ．a ＝1C ．a ＝12 D ．a ＝02．(1)均值不等式：如果a ，b ∈R ＋，那么__________，当且仅当______时，等号成立．也叫基本不等式．(2)对任意两个正实数a ，b ，数a ＋b2叫做a ，b 的______，数ab 叫做a ，b 的________，故基本不等式用语言叙述是____________________________________．公式变形：(1)a ＋b ≥2ab ，ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R ＋)，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(2)a ＋1a ≥2(a ∈R ＋)，当且仅当a ＝1时，等号成立．(3)a b ＋ba ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 【做一做2－1】若x ＞0，则x ＋2x的最小值为________．【做一做2－2】已知0＜x ＜13，则函数y ＝x (1－3x )的最大值是__________．3．已知x ，y 都为正数，则(1)若x ＋y ＝S (和为定值)，则当______时，积xy 取得最大值________． (2)若xy ＝P (积为定值)，则当______时，和x ＋y 取得最小值________．(1)应用上述性质时注意三点：①各项或各因式均为正；②和或积为定值；③各项或各因式能取得相等的值．即“一正二定三相等”．(2)应用上述时，有时需先配凑成和或积为定值的情况，再应用． 【做一做3】已知x ，y 都是正数，(1)如果xy ＝15，则x ＋y 的最小值是________； (2)如果x ＋y ＝15，则xy 的最大值是________．一、使用均值不等式求最值的注意事项剖析：(1)a ，b 都是正实数，即所求最值的代数式中的各项必须都是正数，否则就会得出错误答案．例如，当x ＜0时，函数f (x )＝x ＋1x ≥2x ×1x＝2，所以函数f (x )的最小值是2.由于f (－2)＝－2＋1－2＝－52＜2，很明显这是一个错误的答案．其原因是当x ＜0时，不能直接用均值不等式求f (x )＝x ＋1x 的最值．因此，利用均值不等式求最值时，首先确定所求最值的代数式中的各项是否都是正数．其实，当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝－x ＋1－x≥2(－x )×1－x＝2，此时有f (x )≤－2.因此，当所求最值的代数式中的各项不都是正数时，应利用变形，转化为各项都是正数的代数式．(2)ab 与a ＋b 有一个是定值，即当ab 是定值时，可以求a ＋b 的最值；当a ＋b 是定值时，可以求ab 的最值．如果ab 和a ＋b 都不是定值，那么就会得出错误答案．例如，当x＞1时，函数f (x )＝x ＋1x －1≥2x x －1，所以函数f (x )的最小值是2x x －1.由于2xx －1是一个与x 有关的代数式，很明显这是一个错误的答案．其原因是没有掌握均值不等式求最值的条件：ab 与a ＋b 有一个是定值．其实，当x ＞1时，有x －1＞0，则函数f (x )＝x ＋1x －1＝[(x －1)＋1x －1]＋1≥2(x －1)×1x －1＋1＝3.因此，当ab 与a ＋b 没有一个是定值时，通常把所求最值的代数式采用配凑的方法化为和或积为定值的形式．(3)等号能够成立，即存在正数a ，b 使均值不等式两边相等，也就是存在正数a ，b 使得ab ＝a ＋b 2.如果忽视这一点，就会得出错误答案．例如，当x ≥2时，函数f (x )＝x ＋1x ≥2x ×1x ＝2，所以函数f (x )的最小值是2.很明显x ＋1x中的各项都是正数，积也是定值，但是等号成立的条件是当且仅当x ＝1x ，即x ＝1，而函数的定义域是x ≥2，所以这是一个错误的答案．其原因是均值不等式中的等号不成立．其实，根据解题经验，遇到这种情况时，一般就不再用均值不等式求最值了，此时该函数的单调性是确定的，可以利用函数的单调性求得最值．利用函数单调性的定义可以证明，当x ≥2时，函数f (x )＝x ＋1x 是增函数，函数f (x )的最小值是f (2)＝2＋12＝52.因此在使用均值不等式求最值时，上面三个条件缺一不可，通常将这三个条件总结成口诀：一正、二定、三相等．二、教材中的“思考与讨论”均值不等式与不等式a 2＋b 2≥2ab 的关系如何？请对此进行讨论．剖析：(1)在a 2＋b 2≥2ab 中，a ，b ∈R ；在a ＋b ≥2ab 中，a ，b ∈R ＋.(2)两者都带有等号，等号成立的条件从形式上看是一样的，但实质不同(范围不同)． (3)证明的方法都是作差比较法． (4)都可以用来求最值．题型一 利用均值不等式比较大小【例1】已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，试比较a 2＋b 2＋c 2，ab ＋bc ＋ca ，13的大小．分析：变形利用不等式找出a 2＋b 2＋c 2与ab ＋bc ＋ca 的大小，结合条件a ＋b ＋c ＝1再找两代数式与13的关系，从而确定它们的大小．反思：要想运用均值不等式，必须把题目中的条件或要解决的问题“化归”到不等式的形式并让其符合运用不等式的条件．化归的方法是把题目中给的条件配凑变形，或利用一些基本公式和一些常见的代换进行变形．题型二 利用均值不等式求最值【例2】已知x ，y ∈(0，＋∞)，且2x ＋y ＝1，求1x ＋1y 的最小值．分析：1x ＋1y →(1x ＋1y )·1→(1x ＋1y)(2x ＋y )→利用均值不等式求解反思：求最值问题第一步就是“找”定值，观察、分析、构造定值是问题突破口．定值找到还要看“＝”是否成立，不管题目是否要求指出等号成立的条件，都要验证“＝”是否成立．题型三 利用均值不等式证明不等式【例3】已知a ，b ，c 都是正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc .分析：注意到a ＋b ＋c ＝1，故可运用“常数代换”的策略将所证不等式的左边的“1”代换成字母形式．反思：这是一道条件不等式的证明题，充分利用条件是证题的关键，此题要注意“1”的整体代换及三个“＝”必须同时取到．题型四 利用均值不等式解恒成立问题【例4】已知不等式(x ＋y )(1x ＋ay )≥9对任意正实数x ，y 恒成立，求正实数a 的最小值．分析：反思：恒成立问题是数学问题中非常重要的问题，在此类问题的解法中，利用均值不等式和不等式的传递性求解是最重要的一种方法，在高考中经常考查．题型五 易错辨析【例5】已知0＜x ＜1，求f (x )＝2＋log 5x ＋5log 5x的最值． 错解：f (x )＝2＋log 5x ＋5log 5x≥2＋2log 5x ·5log 5x＝2＋25，∴f (x )的最小值为2＋2 5.错因分析：a ＋b ≥2ab 的前提条件是a ，b ∈R ＋，∵0＜x ＜1，∴log 5x ＜0.∴5log 5x ＜0.∴不能直接使用均值不等式．【例6】求f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1的最小值．错解：因为f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1＝x 2＋3＋1x 2＋3＋1＝x 2＋3＋1x 2＋3＋1≥2＋1＝3，所以f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1的最小值为3.错因分析：忽视了等号成立的条件，事实上方程x 2＋3＝1x 2＋3无解，所以等号不成立，正确的处理方法是：利用函数的单调性求最值．1对于任意实数a ，b ，下列不等式一定成立的是( )．A ．a ＋b ≥2abB ．a ＋b2≥abC ．a 2＋b 2≥2abD ．b a ＋ab≥22已知a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝4，那么ab ( )． A ．有最大值2，有最小值－2 B ．有最大值2，但无最小值 C ．有最小值2，但无最大值 D ．有最大值2，有最小值03设x ，y 为正数，则(x ＋y )(1x ＋4y )的最小值为( )．A ．6B ．9C ．12D ．154若x ＞3，那么当x ＝________时，y ＝x ＋1x －3取最小值________．5已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________． 答案： 基础知识·梳理 1．≥ a ＝b 【做一做1】B2．(1)a ＋b 2≥ab a ＝b (2)算术平均值 几何平均值 两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值【做一做2－1】22 x ＞0⇒x ＋2x ≥22，当且仅当x ＝2x，即x ＝2时，等号成立．【做一做2－2】112 ∵0＜x ＜13，∴1－3x ＞0.∴y ＝x (1－3x )＝13·3x (1－3x )≤13[3x ＋(1－3x )2]2＝112，当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝16时，等号成立．∴x ＝16时，函数取得最大值112.3．(1)x ＝y 14S 2 (2)x ＝y 2P【做一做3】(1)215 (2)2254(1)当xy ＝15时，x ＋y ≥2xy ＝215，当且仅当x ＝y ＝15时，等号成立．所以x ＋y 的最小值为215；(2)当x ＋y ＝15时，xy ≤x ＋y 2＝152，所以xy ≤2254，当且仅当x ＝y ＝152时，等号成立．所以xy 的最大值为2254.典型例题·领悟【例1】解：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ， ∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2ac ＋2bc .① ∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋ac ＋bc .②①式两边分别加上a 2＋b 2＋c 2，得 3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2＝1，∴a 2＋b 2＋c 2≥13.由②式，得3(ab ＋bc ＋ca )≤a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝(a ＋b ＋c )2＝1，∴ab ＋bc ＋ca ≤13.综上，知a 2＋b 2＋c 2≥13≥ab ＋bc ＋ca .【例2】解：1x ＋1y ＝(1x ＋1y )(2x ＋y )＝2＋2x y ＋y x ＋1＝3＋2x y ＋y x ≥3＋22x y ·yx＝3＋22，当且仅当2x y ＝yx，即⎩⎪⎨⎪⎧y x ＝22x ＋y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋2，y ＝22＋2时等号成立．∴1x ＋1y的最小值为3＋2 2. 【例3】证明：∵a ＋b ＋c ＝1，∴(1－a )(1－b )(1－c )＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )． 又∵a ，b ，c 都是正实数， ∴a ＋b 2≥ab ＞0，b ＋c 2≥bc ＞0，a ＋c 2≥ac ＞0.∴(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c )8≥abc .∴(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc .当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．【例4】解：∵(x ＋y )(1x ＋a y )＝1＋a ＋y x ＋axy，又x ＞0，y ＞0，a ＞0， ∴y x ＋ax y ≥2y x ·ax y＝2a ， ∴1＋a ＋y x ＋axy≥1＋a ＋2a ，∴要使(x ＋y )(1x ＋ay)≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只需1＋a ＋2a ≥9恒成立即可．∴(a ＋1)2≥9，即a ＋1≥3，∴a ≥4， ∴正实数a 的最小值为4.【例5】正解：∵0＜x ＜1，∴log 5x ＜0.∴(－log 5x )＋(－5log 5x )≥2(－log 5x )·(－5log 5x )＝2 5.∴log 5x ＋5log 5x≤－2 5.∴f (x )≤2－2 5.当且仅当log 5x ＝5log 5x，即x ＝5－5时，等号成立，此时f (x )有最大值2－2 5.【例6】正解：f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1＝x 2＋3＋1x 2＋3＋1＝x 2＋3＋1x 2＋3＋1. 令t ＝x 2＋3(t ≥3)， 则原函数变为f (x )＝t ＋1t ＋1，在区间[3，＋∞)上是增函数．所以当t ＝3时，f (x )＝t ＋1t ＋1取得最小值433＋1.所以当t ＝3，即x ＝0时，f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1取得最小值433＋1.随堂练习·巩固1．C 均值不等式要考虑正负情况，如果a ，b 不能保证是正值，则选项A ，B ，D 都不一定成立，只有选项C 对任意实数恒成立．2．A 这里没有限制a ，b 的正负，则由a 2＋b 2＝4，a 2＋b 2≥2|ab |，得|ab |≤2，所以－2≤ab ≤2，可知ab 的最大值为2，最小值为－2.3．B 因为x ，y 为正数，所以(x ＋y )(1x ＋4y )＝1＋4＋y x ＋4xy≥9，当且仅当y ＝2x 时，等号成立，故选B.4．4 5 y ＝x ＋1x －3＝x －3＋1x －3＋3≥2(x －3)×1x －3＋3＝5，当且仅当x －3＝1x －3，即x ＝4时，y 取最小值5. 5．116因为x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1， 所以xy ＝14x ·4y ≤14(x ＋4y 2)2＝116，当且仅当x ＝4y ＝12，即x ＝12，y ＝18时，等号成立．所以xy 的最大值为116.。
高中数学第三章不等式3.2均值不等式学案新人教B版必修
3.2 均值不等式1．探索并了解均值不等式的证明过程，理解均值不等式成立的条件，等号成立的条件及几何意义．2．会用均值不等式解决简单的问题．3．掌握运用均值不等式a ＋b2≥ab 求最值的常用方法及需注意的问题．1．重要不等式：对于任意实数a ，b ，有a 2＋b 2____2ab ，当且仅当______时，等号成立．(1)重要不等式成立的条件是a ，b ∈R .它既可以是具体的数字，也可以是比较复杂的代数式，因此应用范围较广；(2)等号成立的条件是当且仅当a ＝b ，即当a ＝b 时，等号成立；反之，等号成立时有a ＝b .【做一做1】不等式a ＋1≥2a (a ＞0)中等号成立的条件是( )． A ．a ＝2 B ．a ＝1 C ．a ＝12D ．a ＝02．(1)均值不等式：如果a ，b ∈R ＋，那么__________，当且仅当______时，等号成立．也叫基本不等式．(2)对任意两个正实数a ，b ，数a ＋b2叫做a ，b 的______，数ab 叫做a ，b 的________，故基本不等式用语言叙述是____________________________________．公式变形：(1)a ＋b ≥2ab ，ab ≤(a ＋b2)2(a ，b ∈R ＋)，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(2)a ＋1a≥2(a ∈R ＋)，当且仅当a ＝1时，等号成立．(3)a b ＋b a≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 【做一做2－1】若x ＞0，则x ＋2x的最小值为________．【做一做2－2】已知0＜x ＜13，则函数y ＝x (1－3x )的最大值是__________．3．已知x ，y 都为正数，则(1)若x ＋y ＝S (和为定值)，则当______时，积xy 取得最大值________． (2)若xy ＝P (积为定值)，则当______时，和x ＋y 取得最小值________．(1)应用上述性质时注意三点：①各项或各因式均为正；②和或积为定值；③各项或各因式能取得相等的值．即“一正二定三相等”．(2)应用上述时，有时需先配凑成和或积为定值的情况，再应用．【做一做3】已知x ，y 都是正数，(1)如果xy ＝15，则x ＋y 的最小值是________； (2)如果x ＋y ＝15，则xy 的最大值是________．一、使用均值不等式求最值的注意事项剖析：(1)a ，b 都是正实数，即所求最值的代数式中的各项必须都是正数，否则就会得出错误答案．例如，当x ＜0时，函数f (x )＝x ＋1x≥2x ×1x＝2，所以函数f (x )的最小值是2.由于f (－2)＝－2＋1－2＝－52＜2，很明显这是一个错误的答案．其原因是当x ＜0时，不能直接用均值不等式求f (x )＝x ＋1x的最值．因此，利用均值不等式求最值时，首先确定所求最值的代数式中的各项是否都是正数．其实，当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝－x ＋1－x ≥2－x ×1－x＝2，此时有f (x )≤－2.因此，当所求最值的代数式中的各项不都是正数时，应利用变形，转化为各项都是正数的代数式．(2)ab 与a ＋b 有一个是定值，即当ab 是定值时，可以求a ＋b 的最值；当a ＋b 是定值时，可以求ab 的最值．如果ab 和a ＋b 都不是定值，那么就会得出错误答案．例如，当x ＞1时，函数f (x )＝x ＋1x －1≥2xx －1，所以函数f (x )的最小值是2x x －1.由于2x x －1是一个与x 有关的代数式，很明显这是一个错误的答案．其原因是没有掌握均值不等式求最值的条件：ab 与a ＋b 有一个是定值．其实，当x ＞1时，有x －1＞0，则函数f (x )＝x ＋1x －1＝[(x －1)＋1x －1]＋1≥2 x －1 ×1x －1＋1＝3.因此，当ab 与a ＋b 没有一个是定值时，通常把所求最值的代数式采用配凑的方法化为和或积为定值的形式．(3)等号能够成立，即存在正数a ，b 使均值不等式两边相等，也就是存在正数a ，b 使得ab ＝a ＋b2.如果忽视这一点，就会得出错误答案．例如，当x ≥2时，函数f (x )＝x ＋1x≥2x ×1x ＝2，所以函数f (x )的最小值是2.很明显x ＋1x中的各项都是正数，积也是定值，但是等号成立的条件是当且仅当x ＝1x，即x ＝1，而函数的定义域是x ≥2，所以这是一个错误的答案．其原因是均值不等式中的等号不成立．其实，根据解题经验，遇到这种情况时，一般就不再用均值不等式求最值了，此时该函数的单调性是确定的，可以利用函数的单调性求得最值．利用函数单调性的定义可以证明，当x ≥2时，函数f (x )＝x ＋1x是增函数，函数f (x )的最小值是f (2)＝2＋12＝52.因此在使用均值不等式求最值时，上面三个条件缺一不可，通常将这三个条件总结成口诀：一正、二定、三相等．二、教材中的“思考与讨论”均值不等式与不等式a 2＋b 2≥2ab 的关系如何？请对此进行讨论．剖析：(1)在a 2＋b 2≥2ab 中，a ，b ∈R ；在a ＋b ≥2ab 中，a ，b ∈R ＋.(2)两者都带有等号，等号成立的条件从形式上看是一样的，但实质不同(范围不同)． (3)证明的方法都是作差比较法． (4)都可以用来求最值．题型一 利用均值不等式比较大小【例1】已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，试比较a 2＋b 2＋c 2，ab ＋bc ＋ca ，13的大小． 分析：变形利用不等式找出a 2＋b 2＋c 2与ab ＋bc ＋ca 的大小，结合条件a ＋b ＋c ＝1再找两代数式与13的关系，从而确定它们的大小．反思：要想运用均值不等式，必须把题目中的条件或要解决的问题“化归”到不等式的形式并让其符合运用不等式的条件．化归的方法是把题目中给的条件配凑变形，或利用一些基本公式和一些常见的代换进行变形．题型二 利用均值不等式求最值【例2】已知x ，y ∈(0，＋∞)，且2x ＋y ＝1，求1x ＋1y的最小值．分析：1x ＋1y → 1x ＋1y ·1→ 1x ＋1y2x ＋y →利用均值不等式求解反思：求最值问题第一步就是“找”定值，观察、分析、构造定值是问题突破口．定值找到还要看“＝”是否成立，不管题目是否要求指出等号成立的条件，都要验证“＝”是否成立．题型三 利用均值不等式证明不等式【例3】已知a ，b ，c 都是正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc .分析：注意到a ＋b ＋c ＝1，故可运用“常数代换”的策略将所证不等式的左边的“1”代换成字母形式．反思：这是一道条件不等式的证明题，充分利用条件是证题的关键，此题要注意“1”的整体代换及三个“＝”必须同时取到．题型四 利用均值不等式解恒成立问题【例4】已知不等式(x ＋y )(1x ＋ay)≥9对任意正实数x ，y 恒成立，求正实数a 的最小值．分析：反思：恒成立问题是数学问题中非常重要的问题，在此类问题的解法中，利用均值不等式和不等式的传递性求解是最重要的一种方法，在高考中经常考查．题型五 易错辨析【例5】已知0＜x ＜1，求f (x )＝2＋log 5x ＋5log 5x 的最值．错解：f (x )＝2＋log 5x ＋5log 5x ≥2＋2log 5x ·5log 5x＝2＋25，∴f (x )的最小值为2＋2 5.错因分析：a ＋b ≥2ab 的前提条件是a ，b ∈R ＋，∵0＜x ＜1，∴log 5x ＜0.∴5log 5x ＜0.∴不能直接使用均值不等式．【例6】求f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1的最小值．错解：因为f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1＝x 2＋3＋1x 2＋3＋1＝x 2＋3＋1x 2＋3＋1≥2＋1＝3，所以f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1的最小值为3.错因分析：忽视了等号成立的条件，事实上方程x 2＋3＝1x 2＋3无解，所以等号不成立，正确的处理方法是：利用函数的单调性求最值．1对于任意实数a ，b ，下列不等式一定成立的是( )． A ．a ＋b ≥2ab B ．a ＋b2≥abC ．a 2＋b 2≥2ab D ．b a ＋a b≥22已知a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝4，那么ab ( )． A ．有最大值2，有最小值－2 B ．有最大值2，但无最小值 C ．有最小值2，但无最大值 D ．有最大值2，有最小值03设x ，y 为正数，则(x ＋y )(1x ＋4y)的最小值为( )．A ．6B ．9C ．12D ．15 4若x ＞3，那么当x ＝________时，y ＝x ＋1x －3取最小值________． 5已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________． 答案：基础知识·梳理 1．≥ a ＝b 【做一做1】B2．(1)a ＋b 2≥ab a ＝b (2)算术平均值 几何平均值 两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值【做一做2－1】2 2 x ＞0⇒x ＋2x ≥22，当且仅当x ＝2x，即x ＝2时，等号成立．【做一做2－2】112 ∵0＜x ＜13，∴1－3x ＞0.∴y ＝x (1－3x )＝13·3x (1－3x )≤13[3x ＋(1－3x )2]2＝112，当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝16时，等号成立．∴x ＝16时，函数取得最大值112.3．(1)x ＝y 14S 2(2)x ＝y 2P【做一做3】(1)215 (2)2254 (1)当xy ＝15时，x ＋y ≥2xy ＝215，当且仅当x＝y ＝15时，等号成立．所以x ＋y 的最小值为215；(2)当x ＋y ＝15时，xy ≤x ＋y 2＝152，所以xy ≤2254，当且仅当x ＝y ＝152时，等号成立．所以xy 的最大值为2254.典型例题·领悟【例1】解：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2ac ＋2bc .① ∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋ac ＋bc .②①式两边分别加上a 2＋b 2＋c 2，得 3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2＝1，∴a 2＋b 2＋c 2≥13.由②式，得3(ab ＋bc ＋ca )≤a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝(a ＋b ＋c )2＝1，∴ab ＋bc ＋ca ≤13.综上，知a 2＋b 2＋c 2≥13≥ab ＋bc ＋ca .【例2】解：1x ＋1y ＝(1x ＋1y )(2x ＋y )＝2＋2x y ＋y x ＋1＝3＋2x y ＋yx≥3＋22x y ·yx＝3＋22，当且仅当2x y ＝y x，即⎩⎪⎨⎪⎧y x ＝22x ＋y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋2，y ＝22＋2时等号成立．∴1x ＋1y的最小值为3＋2 2.【例3】证明：∵a ＋b ＋c ＝1，∴(1－a )(1－b )(1－c )＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )． 又∵a ，b ，c 都是正实数， ∴a ＋b 2≥ab ＞0，b ＋c 2≥bc ＞0，a ＋c 2≥ac ＞0.∴(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c )8≥abc .∴(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc .当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．【例4】解：∵(x ＋y )(1x ＋a y )＝1＋a ＋y x ＋axy，又x ＞0，y ＞0，a ＞0， ∴y x ＋ax y ≥2y x ·axy＝2a ， ∴1＋a ＋y x ＋axy≥1＋a ＋2a ， ∴要使(x ＋y )(1x ＋ay )≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只需1＋a ＋2a ≥9恒成立即可．∴(a ＋1)2≥9，即a ＋1≥3，∴a ≥4， ∴正实数a 的最小值为4.【例5】正解：∵0＜x ＜1，∴log 5x ＜0.∴(－log 5x )＋(－5log 5x )≥2(－log 5x )·(－5log 5x)＝2 5.∴log 5x ＋5log 5x ≤－2 5.∴f (x )≤2－2 5. 当且仅当log 5x ＝5log 5x ，即x ＝5－5时，等号成立，此时f (x )有最大值2－2 5.【例6】正解：f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1＝x 2＋3＋1x 2＋3＋1＝x 2＋3＋1x 2＋3＋1.令t ＝x 2＋3(t ≥3)， 则原函数变为f (x )＝t ＋1t＋1，在区间[3，＋∞)上是增函数．所以当t ＝3时，f (x )＝t ＋1t ＋1取得最小值433＋1.所以当t ＝3，即x ＝0时，f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1取得最小值433＋1.随堂练习·巩固1．C 均值不等式要考虑正负情况，如果a ，b 不能保证是正值，则选项A ，B ，D 都不一定成立，只有选项C 对任意实数恒成立．2．A 这里没有限制a ，b 的正负，则由a 2＋b 2＝4，a 2＋b 2≥2|ab |，得|ab |≤2，所以－2≤ab ≤2，可知ab 的最大值为2，最小值为－2.3．B 因为x ，y 为正数，所以(x ＋y )(1x ＋4y )＝1＋4＋y x ＋4xy≥9，当且仅当y ＝2x 时，等号成立，故选B.4．4 5 y ＝x ＋1x －3＝x －3＋1x －3＋3≥2(x －3)×1x －3＋3＝5，当且仅当x －3＝1x －3，即x ＝4时，y 取最小值5. 5．116因为x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1， 所以xy ＝14x ·4y ≤14(x ＋4y 2)2＝116，当且仅当x ＝4y ＝12，即x ＝12，y ＝18时，等号成立．所以xy 的最大值为116.。
高中数学人教B版五学案：第三单元 §3.2 均值不等式(一) 含答案
学必求其心得，业必贵于专精学习目标1。
理解均值不等式的内容及证明。
2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小。
3.能初步运用均值不等式证明简单的不等式．知识点一算术平均值与几何平均值思考如图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQ＝a，BQ＝b,过点Q作PQ垂直AB于Q，连接AP,PB。
如何用a,b表示PO,PQ的长度?梳理一般地,对于正数a,b，错误!为a，b的________平均值,错误!为a，b的________平均值．两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，即错误!≤错误!。
其几何意义如上图中的|PO|≥｜PQ|。
知识点二均值不等式及其常见推论思考如何证明不等式错误!≤错误!（a〉0，b〉0)?梳理错误!≤错误!(a〉0，b〉0)．当对正数a，b赋予不同的值时，可得以下推论:(1）ab≤(错误!）2≤错误!(a，b∈R);（2)错误!＋错误!≥2（a，b同号);（3）当ab>0时，错误!＋错误!≥2；(4）a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca（a，b，c∈R）．类型一常见推论的证明例1证明不等式a2＋b2≥2ab（a，b∈R)．引申探究证明不等式(错误!）2≤错误!（a，b∈R)．反思与感悟(1）本例证明的不等式成立的条件是a，b∈R,与均值不等式不同．（2)本例使用的作差法与不等式性质是证明中常用的方法．跟踪训练1已知a,b，c为任意的实数，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc ＋ca.类型二用均值不等式证明不等式例2已知x、y都是正数．求证：（1）错误!＋错误!≥2;（2)(x＋y）(x2＋y2）(x3＋y3)≥8x3y3。
反思与感悟在(1)的证明中把错误!,错误!分别看作均值不等式中的a，b从而能够应用均值不等式；在（2)中三次利用了均值不等式，由于每次应用不等式时等号成立的条件相同，所以最终能取到等号．跟踪训练2已知a、b、c都是正实数，求证:(a＋b）（b＋c）·(c＋a）≥8abc.类型三用均值不等式比大小例3某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，a，b，x均大于零，则(）A．x＝错误!B．x≤错误!C．x＞错误!D．x≥错误!反思与感悟均值不等式错误!≥错误!一端为和，一端为积,使用均值不等式比大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和．跟踪训练3设a＞b＞1，P＝错误!，Q＝错误!，R＝lg 错误!，则P,Q，R的大小关系是()A．R＜P＜Q B．P＜Q＜RC．Q＜P＜R D．P＜R＜Q1．已知a〉0，b>0，则错误!＋错误!＋2错误!的最小值是（）A．2 B．2错误!C．4 D．52．若0〈a〈b,则下列不等式一定成立的是()A．a>错误!〉错误!>b B．b〉错误!〉错误!〉aC．b>错误!〉错误!〉a D．b〉a>错误!〉错误!3．设a、b是实数，且a＋b＝3,则2a＋2b的最小值是（)A．6 B．42C．2错误!D．84．设a〉0，b>0，给出下列不等式：①a2＋1〉a；②错误!错误!≥4；③（a＋b)错误!≥4；④a2＋9>6a。
2019_2020学年高中数学第三章不等式3.2均值不等式学案新人教B版必修5
3．2 均值不等式1.熟练掌握均值不等式及变形的应用．2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题．3．能够运用均值不等式解决生活中的应用问题．1．均值不等式(1)均值定理(又称基本不等式或均值不等式) ①形式：a ＋b2≥ab ．②成立的前提条件：a >0，b >0．③等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． (2)算术平均值和几何平均值 ①定义a ＋b2叫做正实数a ，b 的算术平均值．ab 叫做正实数a ，b 的几何平均值．②结论两个正实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值． (3)重要不等式及变形公式 ①a 2＋b 2≥2ab ； ②ab ≤a 2＋b 22； ③ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22； ④b a ＋a b≥2 (ab >0)；⑤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22； ⑥a ＋b ≤ 2（a 2＋b 2）.上述不等式中等号成立的条件均为a ＝b ． 2．利用均值不等式求最值 利用均值不等式xy ≤x ＋y2，求函数的最值．已知x 、y 都是正数，(1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值． (2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值． 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．1．已知xy ＜0，则代数式x 2＋y 2xy( )A ．有最小值2B ．有最大值－2C ．有最小值－2D ．不存在最值 答案：B2．若x >0，则x ＋2x的最小值为________．解析：x ＋2x≥2x ·2x＝22，当且仅当x ＝2时，“＝”成立． 答案：2 23．基本不等式中的a ，b 可以是值为任意正数的代数式吗？ 解：可以．利用均值不等式比较大小[学生用书P42]已知：a 、b 、c ∈(0，＋∞)且a ＋b ＋c ＝1，试比较a 2＋b 2＋c 2，ab ＋bc ＋ca ，13的大小．【解】 因为a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ， 所以2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2ac ＋2bc ，① 所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋ac ＋bc . ①式两边分别加上a 2＋b 2＋c 2得： 3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2＝1， 所以a 2＋b 2＋c 2≥13，3(ab ＋bc ＋ca )≤a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝(a ＋b ＋c )2＝1，所以ab ＋bc ＋ca≤13.综上知，a 2＋b 2＋c 2≥13≥ab ＋bc ＋ca .要想运用均值不等式，需具有配凑意识，把题目给的条件配凑变形，把待求的数或式拆配得当，才能顺利地进行运算．已知a ，b 是正数，试比较21a ＋1b与ab 的大小．解：因为a >0，b >0， 所以1a ＋1b ≥21ab>0，所以21a ＋1b≤221ab＝ab ，即21a ＋1b≤ab (当且仅当a ＝b 时取“＝”)．利用均值不等式证明不等式[学生用书P43]已知a 、b 、c >0，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .【证明】 因为a ，b ，c ，a 2b ，b 2c ，c 2a 均大于0，所以a 2b＋b ≥2a 2b·b ＝2a . 当且仅当a 2b ＝b ，即a ＝b 时等号成立．b 2c＋c ≥2 b 2c·c ＝2b . 当且仅当b 2c ＝c ，即b ＝c 时等号成立．c 2a＋a ≥2 c 2a·a ＝2c ， 当且仅当c 2a＝a ，即a ＝c 时等号成立．相加得a 2b ＋b ＋b 2c ＋c ＋c 2a ＋a ≥2a ＋2b ＋2c ，所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c .当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．(1)多次使用a ＋b ≥2ab 时，要注意等号能否成立，最后利用不等式性质累加，此时也要注意等号成立的条件．(2)在解决不能直接利用均值不等式的证明问题时，要重新组合，构造运用均值不等式的条件．若条件中有一个多项式的和为1，要注意“1”的代换．已知a 、b 、c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1.求证：1a ＋1b ＋1c≥9.证明：欲证不等式的右边为常数9，故将不等式的左边进行恰当的变形． 1a ＋1b ＋1c＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c)≥3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．利用均值不等式求最值[学生用书P43](1)已知0<x <13，求函数y ＝x (1－3x )的最大值；(2)求函数y ＝x ＋1x －3(x >3)的最小值． 【解】 (1)因为0<x <13，所以1－3x >0，所以y ＝x (1－3x )＝13×3x (1－3x )≤13[3x ＋（1－3x ）2]2＝112，当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝16时等号成立，此时16∈(0，13)．所以函数y ＝x (1－3x )的最大值为112.(2)因为x >3，所以x －3>0， 所以y ＝x ＋1x －3＝(x －3)＋1x －3＋3≥21x －3·（x －3）＋3＝5. 当且仅当1x －3＝x －3，即x ＝4时等号成立， 此时4∈(3，＋∞)． 所以函数y ＝x ＋1x －3的最小值为5. 将本例(1)中的“0<x <13”变为“0<x ≤17”，再求函数y ＝x (1－3x )的最大值．解：y ＝x (1－3x )＝－3x 2＋x ＝－3(x －16)2＋112.因为该函数在(－∞，16]上是单调递增的，所以当0<x ≤17时，在x ＝17处，y max ＝449.求函数最值时，如果使用均值不等式，则必须满足“一正、二定、三相等”．一般来说，定值不是直接给出，而是通过凑配构造出定值，然后再求最值．求出最值后还要检验“＝”是否成立，能相等则最值能取到，不相等则不能取到，此时考虑其他方法，特别是函数单调性的方法．1.已知x ＞0，y ＞0，2x ＋3y ＝6，则xy 的最大值为( )A ．12 B ．3 C ．32D ．1解析：选C.因为x ＞0，y ＞0，2x ＋3y ＝6， 所以xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32. 当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32.2．设x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值． 解：由2x ＋8y －xy ＝0及x ＞0，y ＞0，得8x ＋2y＝1.所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y＝8y x ＋2xy＋10≥28y x·2xy＋10＝18.当且仅当8y x ＝2xy，即x ＝2y ＝12时等号成立． 所以x ＋y 的最小值是18.利用均值不等式解应用题[学生用书P44]某工厂生产某种产品，每日的成本C (单位：万元)与日产量x (单位：吨)满足函数关系式C ＝3＋x ，每日的销售额S (单位：万元)与日产量x 的函数关系式S ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋k x －8＋5（0＜x ＜6），14（x ≥6），已知每日的利润L ＝S －C ，且当x ＝2时，L ＝3. (1)求k 的值；(2)问：当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大？请求出最大值． 【解】 由题意，得每日利润L 与日产量x 的函数关系式为L ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋k x －8＋2（0＜x ＜6），11－x （x ≥6），(1)当x ＝2时，L ＝3， 即3＝2×2＋k2－8＋2，所以k ＝18.(2)当x ≥6时，L ＝11－x 为单调递减函数， 故当x ＝6时，L max ＝5. 当0＜x ＜6时，L ＝2x ＋18x －8＋2＝2(x －8)＋18x －8＋18≤6， 当且仅当2(x －8)＝18x －8(0＜x ＜6)， 即x ＝5时，L max ＝6.综上可知，当日产量为5吨时，日利润达到最大，最大值为6万元．求实际问题中最值的一般思路(1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式． (2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题．(3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑均值不等式，当均值不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性．(4)正确写出答案．1.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N ＋)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．解析：每台机器运转x 年的年平均利润为y x＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，且x >0，故y x≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．答案：5 82．一段长为36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：设矩形菜园的长为x m 、宽为y m ，则2(x ＋y )＝36，x ＋y ＝18，矩形菜园的面积为xy m 2.由xy ≤x ＋y 2＝182＝9，可得xy ≤81，当且仅当x ＝y ，即x ＝y ＝9时，等号成立．因此，这个矩形的长、宽都为9 m 时，菜园的面积最大，最大面积为81 m 2.1．利用均值不等式，一定要注意使用的条件：一正(各项为正)，二定(和或积为定值)，三相等(等号在允许值范围内能取到)．缺少任何一个条件都不可以．为获得定值，常采用“配”“凑”的方法．2．在多次使用均值不等式时，一定要保证等号成立的条件一致．同时注意“整体代入”以防出错．3．解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用均值不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义．利用均值不等式求最值时，常因为忽视“一正”，“积”或“和”为定值以及等号成立的条件导致错误，解题时三项一定要逐一验证．1．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则xy 的最大值是( ) A ．4 B ．8 C ．14D ．18解析：选D.xy ＝12·2x ·y ≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝18，故选D. 2．设x ，y 为正数，则(x ＋y )⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋9y的最小值为( ) A ．16 B ．9 C ．12D ．15解析：选A.因为x ，y 为正数，所以(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝1＋9＋y x＋9x y≥16，当且仅当y ＝3x 时，等号成立．3．已知a ，b ∈R ，若a 2＋b 2＝1，则ab 有最________值为________；若ab ＝1，则a 2＋b 2有最________值为________．解析：由a 2＋b 2≥2ab 可知，当a 2＋b 2＝1时，ab ≤12，故ab 有最大值为12；当ab ＝1时，a 2＋b 2≥2，a 2＋b 2有最小值2.答案：大 12 小 24．(1)已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值． (2)已知x ，y 为正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y的最小值．解：(1)因为x <3， 所以x －3<0， 所以f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋（3－x ）＋3≤－243－x·（3－x ）＋3＝－1，当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号，所以f (x )的最大值为－1. (2)因为x ，y 为正实数，所以(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3xy，即x ＝2(3－1)， y ＝2(3－3)时取“＝”号．又x ＋y ＝4， 所以1x ＋3y ≥1＋32，故1x ＋3y 的最小值为1＋32.[A 基础达标]1．设x >0，则y ＝3－3x －1x的最大值是( )A ．3B ．3－2 2C ．3－2 3D ．－1解析：选C.y ＝3－3x －1x＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x ≤3－23x ·1x ＝3－23，当且仅当3x ＝1x，即x ＝33时取等号． 2．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )(1＋y )的最大值为( ) A ．16 B ．25 C ．9D ．36解析：选B.(1＋x )(1＋y )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋x ）＋（1＋y ）22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋（x ＋y ）22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋822＝25，因此当且仅当1＋x ＝1＋y 即x ＝y ＝4时，(1＋x )(1＋y )取最大值25，故选B.3．已知x ＋y ＝1且x >0，y >0，则1x ＋1y的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6 解析：选C.法一：1x ＋1y ＝x ＋y xy ＝1xy≥1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝4，当且仅当x ＝y ＝12时取等号．法二：1x ＋1y ＝x ＋y x ＋x ＋y y ＝2＋y x ＋x y ≥4，当且仅当x ＝y ＝12时取等号．4．已知x ＞1，y ＞1且xy ＝16，则log 2x ·log 2y ( ) A ．有最大值2 B ．等于4 C ．有最小值3D ．有最大值4解析：选D.因为x ＞1，y ＞1， 所以log 2x ＞0，log 2y ＞0.所以log 2x ·log 2y ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x ＋log 2y 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤log 2（xy ）22＝4， 当且仅当x ＝y ＝4时取等号． 故选D.5．已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x ＞－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b ＝( ) A ．－3 B ．2 C ．3D ．8解析：选C.y ＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5.由x ＞－1，得x ＋1＞0，9x ＋1＞0， 所以由均值不等式得y ＝x ＋1＋9x ＋1－5≥ 2（x ＋1）×9x ＋1－5＝1，当且仅当x ＋1＝9x ＋1， 即x ＝2时取等号， 所以a ＝2，b ＝1，a ＋b ＝3.6．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________． 解析：因为实数x ，y 满足xy ＝1，所以x 2＋2y 2≥2x 2×2y 2＝22（xy ）2＝22，当且仅当x 2＝2y 2且xy ＝1，即x 2＝2y 2＝2时等号成立，故x 2＋2y 2的最小值为2 2.答案：2 27．函数y ＝x ＋a x (a >0，x >0)的最小值为25，则实数a 的值为________．解析：因为a >0，x >0，所以y ＝x ＋a x ≥2x ·a x ＝2a ， 当且仅当x ＝a x，即x ＝a 时等号成立，故2a ＝25，解得a ＝5.答案：58．若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．解析：设xy ＝t (t ＞0)，由xy ＝2x ＋y ＋6≥22xy ＋6，即t 2≥22t ＋6，(t －32)(t ＋2)≥0，所以t ≥32，则xy ≥18，当且仅当2x ＝y ，2x ＋y ＋6＝xy ，即x ＝3，y ＝6时等号成立，所以xy 的最小值为18.答案：189．在腰长为10 cm 的等腰直角三角形中作一个内接矩形，使它的一边在斜边上，另外两个顶点在两个腰上．那么，矩形的长与宽各为多少时，矩形面积最大？解：设矩形的长为2x cm ，则宽为(52－x )cm ， 所以矩形的面积S ＝2x (52－x )≤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋52－x 22＝25， 当且仅当x ＝52－x ，即x ＝522，长为5 2 cm ，宽为522cm 时，矩形面积有最大值，为25 cm 2. 10．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求：(1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值．解：(1)xy ＝2x ＋8y ≥216xy ，所以xy ≥8，所以xy ≥64，当且仅当2x ＝8y 且2x ＋8y －xy ＝0，即x ＝16，y ＝4时，等号成立．故xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y ＝xy ，得2y ＋8x ＝1，所以x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2y ＋8x＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋8＝18.当且仅当2x y ＝8y x 且2x ＋8y －xy ＝0，即x ＝12，y ＝6时，等号成立．故x ＋y 的最小值为18.[B 能力提升]11．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为()A ．8B ．7C ．6D ．5解析：选C.由已知，可得6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝1，所以2a ＋b ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a 时等号成立，所以9m ≤54，即m ≤6，故选C.12．设x ＞－1，则函数y ＝（x ＋5）（x ＋2）x ＋1的最小值是________．解析：因为x ＞－1，所以x ＋1＞0，设x ＋1＝t ＞0，则x ＝t －1，于是有y ＝（t ＋4）（t ＋1）t ＝t 2＋5t ＋4t＝t ＋4t ＋5≥2t ·4t ＋5＝9，当且仅当t ＝4t ， 即t ＝2时取“＝”，此时x ＝1.所以当x ＝1时，函数y ＝（x ＋5）（x ＋2）x ＋1取得最小值9. 答案：913．已知x ＞0，y ＞0，且3x ＋4y ＝12，求lg x ＋lg y 的最大值及相应的x ，y 的值．解：由x ＞0，y ＞0，且3x ＋4y ＝12，得xy ＝112·(3x )·(4y )≤112⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4y 22＝3. 所以lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 3，当且仅当3x ＝4y ＝6，即x ＝2，y ＝32时，等号成立． 故当x ＝2，y ＝32时，lg x ＋lg y 的最大值是lg 3. 14.(选做题)桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为S 平方米，其中a ∶b ＝1∶2.(1)试用x ，y 表示S ；(2)若要使S 最大，则x ，y 的值各为多少？解：(1)由题可得，xy ＝1 800，b ＝2a ，则y ＝a ＋b ＋6＝3a ＋6，S ＝(x －4)a ＋(x －6)b ＝(3x －16)a ＝(3x －16)y －63＝1 832－6x －163y (x ＞6，y ＞6，xy ＝1 800)．(2)法一：S ＝1 832－6x －163y ≤1 832－26x ×163y ＝1 832－480＝1 352， 当且仅当6x ＝163y ，xy ＝1 800， 即x ＝40，y ＝45时，S 取得最大值1 352.法二：S ＝1 832－6x －163×1 800x ＝1 832－⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋9 600x ≤1 832－26x ×9 600x ＝1 832－480＝1 352，当且仅当6x ＝9 600x， 即x ＝40时取等号，S 取得最大值．此时y ＝1 800x＝45.。
【必备】最新2020版高中数学 第3章 不等式 3.2 均值不等式学案 新人教B版必修5
3.2 均值不等式1.了解均值不等式的证明过程.2.能利用均值不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.(重点、难点)3.熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题.(重点)[基础·初探]教材整理1 均值不等式阅读教材P 69～P 71，完成下列问题. 1.重要不等式如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“＝”). 2.均值不等式ab ≤a ＋b2(1)均值不等式成立的条件：a >0，b >0； (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号. 3.算术平均数与几何平均数(1)设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ；(2)均值不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立.( ) (2)若a ≠0，则a ＋4a≥2a ·4a＝4.( ) (3)若a >0，b >0，则ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22.( ) (4)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的.( )(5)若ab ＝1，a >0，b >0，则a ＋b 的最小值为2.( )【解析】 (1)×.任意a ，b ∈R ，有a 2＋b 2≥2ab 成立，当a ，b 都为正数时，不等式a ＋b ≥2ab 成立.(2)×.只有当a >0时，根据均值不等式，才有不等式a ＋4a≥2a ·4a＝4成立. (3)√.因为ab ≤a ＋b2，所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22.(4)×.因为不等式a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ；而a ＋b2≥ab 成立的条件是a ，b 均为非负实数.(5)√.因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，故a ＋b 的最小值为2.【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√ 教材整理2 均值不等式的应用阅读教材P 70例1～P 71例3，完成下列问题. 用均值不等式求最值的规律(1)两个正数的积为常数时，它们的和有最小值. (2)两个正数的和为常数时，它们的积有最大值.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值.( ) (2)若a >0，b >0且a ＋b ＝4，则ab ≤4.( ) (3)当x >1时，函数f (x )＝x ＋1x －1≥2x x －1，所以函数f (x )的最小值是2xx －1.( )(4)如果log 3m ＋log 3n ＝4，则m ＋n 的最小值为9.( ) (5)若x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为116.( )【解析】 (1)√.由均值不等式求最值条件可知. (2)√.因为ab ≤a ＋b 2＝42＝2，所以ab ≤4. (3)×.因为当x >1时，x －1>0，则f (x )＝x ＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋1≥2x －1x －1＋1＝3. 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，函数f (x )的取到最小值3.(4)×.因为由log 3m ＋log 3n ＝4，得mn ＝81且m >0，n >0，而m ＋n2≥mn ＝9，所以m ＋n ≥18，当且仅当m ＝n ＝9时， m ＋n 取到最小值18.(5)√.因为x ，y ∈R ＋，而4xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，所以x ·y ≤116. 当且仅当x ＝4y ，即x ＝12，y ＝18时取等号.【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√[小组合作型]小关系是______.(2)给出下列命题： ①若x ∈R ，则x ＋1x≥2；②若a ＞0，b ＞0，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg b ； ③若a ＜0，b ＜0，则ab ＋1ab≥2；④不等式y x ＋x y≥2成立的条件是x ＞0且y ＞0.其中正确命题的序号是________. 【精彩点拨】 (1)由于p 是平方和的形式，而q 是a ，b ，c 两两乘积的和，联想均值不等式求解.(2)解本小题关键是弄清均值不等式适用的条件. 【自主解答】 (1)∵a ，b ，c 互不相等， ∴a 2＋b 2＞2ab ，b 2＋c 2>2bc ，a 2＋c 2>2ac . ∴2(a 2＋b 2＋c 2)>2(ab ＋bc ＋ac ). 即a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ac ，亦即p >q .(2)只有当x >0时，才能由均值不等式得到x ＋1x≥2x ·1x＝2，故①错误；当a >0，b >0时，lg a ∈R ，lg b ∈R ，不一定有lg a >0，lg b >0，故lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg b 不一定成立，故②错误；当a <0，b <0时，ab >0，由均值不等式可得ab ＋1ab≥2ab ·1ab＝2，故③正确；由均值不等式可知，当y x >0，x y >0时，有y x ＋x y ≥2y x ·xy＝2成立，这时只需x 与y 同号即可，故④错误.【答案】 (1)p >q (2)③1.在理解均值不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件.2.运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即a ＋b ≥2ab 成立的条件是a >0，b >0，等号成立的条件是a ＝b ；a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ，等号成立的条件是a ＝b .[再练一题]1.设a >0，b >0，试比较a ＋b2，ab ，a 2＋b 22，21a ＋1b的大小，并说明理由. 【导学号：18082044】【解】 ∵a >0，b >0，∴1a ＋1b≥2ab，即ab ≥21a ＋1b(当且仅当a ＝b 时取等号)， 又⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝a 2＋2ab ＋b 24 ≤a 2＋b 2＋a 2＋b 24＝a 2＋b 22，∴a ＋b2≤a 2＋b 22(当且仅当a ＝b 时等号成立)，而ab ≤a ＋b 2，故a 2＋b 22≥a ＋b2≥ab ≥21a ＋1b(当且仅当a ＝b 时等号成立).求证：a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .【精彩点拨】【自主解答】 ∵a >0，b >0，c >0，∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0，c ＋a ≥2ca >0. ∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca )， 即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ，b ，c 为不全相等的正实数，故等号不成立. ∴a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .1.所证不等式一端出现“和式”，而另一端出现“积式”，这便是应用均值不等式的“题眼”.可尝试用均值不等式证明.2.利用均值不等式证明不等式的策略从已证不等式及问题的已知条件出发，借助不等式的性质及有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.3.利用均值不等式证明不等式的注意点(1)多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立；(2)累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；(3)对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，形成均值不等式模型，再使用.[再练一题]2.已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9.【证明】 法一：因为a >0，b >0，a ＋b ＝1， 所以1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a .同理1＋1b ＝2＋a b.故⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝ 5＋2⎝⎛⎭⎪⎫b a ＋ab≥5＋4＝9.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时取等号).法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ＝1＋a ＋b ab ＋1ab ＝1＋2ab，因为a ，b 为正数，a ＋b ＝1， 所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，于是1ab ≥4，2ab ≥8.因此⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥1＋8＝9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立).其他各面用钢筋网围成.现有36 m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？图321【导学号：18082045】【精彩点拨】 设每间虎笼长x m ，宽y m ，则问题是在4x ＋6y ＝36的前提下求xy 的最大值.【自主解答】 设每间虎笼长x m ，宽y m ， 则由条件知，4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18. 设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .法一：由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ， 所以26xy ≤18，得xy ≤272，即S max ＝272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝18， 2x ＝3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5， y ＝3.故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使每间虎笼面积最大. 法二：由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y .∵x >0，∴0<y <6，S ＝xy ＝y ⎝ ⎛⎭⎪⎫9－32y ＝32y (6－y ).∵0<y <6，∴6－y >0.∴S ≤32⎣⎢⎡⎦⎥⎤6－y ＋y 22＝272. 当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5. 故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使每间虎笼面积最大.1.在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法： (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案.2.对于函数y ＝x ＋kx(k >0)，可以证明x ∈(0，k ]及[－k ，0)上均为减函数，在[k ，＋∞)及(－∞，－k ]上都是增函数.求此函数的最值时，若所给的范围含±k ，可用均值不等式，不包含±k 就用函数的单调性.[再练一题]3.某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元.从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上年增加4万元.该船每年捕捞总收入50万元.(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？ (2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？ 【解】 (1)设该船捕捞n 年后的总盈利y 万元，则y ＝50n －98－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×n ＋n n －2×4＝－2n 2＋40n －98＝－2(n －10)2＋102， ∴当捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元.(2)年平均利润为y n＝－2⎝⎛⎭⎪⎫n ＋49n－20≤－2⎝⎛⎭⎪⎫2n ·49n －20＝12，当且仅当n ＝49n，即n ＝7时上式取等号.∴当捕捞7年后年平均利润最大，最大是12万元.[探究共研型]探究1 由x 2＋y 2≥2xy 知xy ≤x 2＋y 22，当且仅当x ＝y 时“＝”成立，能说xy 的最大值是x 2＋y 22吗？能说x 2＋y 2的最小值为2xy 吗？【提示】 最值是一个定值(常数)，而x 2＋y 2或2xy 都随x ，y 的变化而变化，不是定值，故上述说法均错误.要利用均值不等式a ＋b2≥ab (a ，b ∈R ＋)求最值，必须保证一端是定值，方可使用.探究2 小明同学初学利用均值不等式求最值时，是这样进行的： “因为y ＝x ＋1x≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1x，即x 2＝1时“＝”号成立，所以y ＝x ＋1x的最小值为2.”你认为他的求解正确吗？为什么？【提示】 不正确.因为利用均值不等式求最值，必须满足x 与1x都是正数，而本题x可能为正，也可能为负.所以不能盲目“套用”均值不等式求解.正确解法应为：当x >0时，y ＝x ＋1x≥2x ×1x ＝2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取“＝”，y ＝x ＋1x的最小值是2；当x <0时，y ＝－⎝⎛⎭⎪⎫－x －1x ≤－2－x⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ＝－2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝－1时，取“＝”，y ＝x ＋1x的最大值是－2.探究3 已知x ≥3，求y ＝x 2＋4x 的最小值，下列求解可以吗？为什么？“解：∵y ＝x 2＋4x ＝x ＋4x≥2x ·4x＝4，∴当x ≥3时，y ＝x 2＋4x的最值为4.”【提示】 不可以，因为在利用基本不等求解最值时，虽然将所求代数式进行变形，使其符合均值不等式的结构特征，但是必须符合“正”、“定”、“等”的条件，缺一不可.本解法忽略了等号成立的条件，即“＝”号不成立.本问题可采用y ＝x ＋4x的单调性求解.(1)已知x <54，求y ＝4x －2＋14x －5的最大值；(2)已知0<x <12，求y ＝12x (1－2x )的最大值；(3)已知x >0，求f (x )＝2xx 2＋1的最大值；(4)已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值.【精彩点拨】 变形所求代数式的结构形式，使用符合均值不等式的结构特征. (1)4x －2＋14x －5＝4x －5＋14x －5＋3. (2)12x (1－2x )＝14·2x ·(1－2x ). (3)2x x 2＋1＝2x ＋1x. (4)x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y .【自主解答】 (1)∵x <54，∴5－4x >0，∴y ＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，上式等号成立，故当x ＝1时，y max ＝1. (2)∵0<x <12，∴1－2x >0，∴y ＝14×2x (1－2x )≤14×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22＝14×14＝116.∴当且仅当2x ＝1－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12，即x ＝14时，y max ＝116. (3)f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x. ∵x >0，∴x ＋1x≥2x ·1x＝2， ∴f (x )≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立.(4)∵x >0，y >0，1x ＋9y＝1，∴x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y(x ＋y )＝y x ＋9x y＋10≥6＋10＝16，当且仅当y x ＝9x y ，又1x ＋9y＝1， 即x ＝4，y ＝12时，上式取等号.故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.1.本例题目都不能直接使用均值不等式求最值，需要先对其变形.2.应用均值不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的条件进行，若具备这些条件，可直接运用均值不等式，若不具备这些条件，则应进行适当的变形.3.利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件.具体可归纳为三句话：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定，应凑出定和或定积；三不等，一般用单调性.[再练一题]4.已知a >0，b >0，若不等式2a ＋1b ≥m 2a ＋b 恒成立，则m 的最大值等于( )A.10B.9C.8D.7【解析】 ∵a >0，b >0，∴2a ＋b >0，∴要使2a ＋1b ≥m 2a ＋b 恒成立，只需m ≤(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b 恒成立，而(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝4＋2a b ＋2b a＋1≥5＋4＝9，当且仅当a ＝b 时，等号成立.∴m ≤9.故应选B.【答案】 B1.已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A.ab ≤12B.ab ≥12C.a 2＋b 2≥2D.a 2＋b 2≤3【解析】 由a ＋b ＝2，得ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，排除选项A ，B.由a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，得a 2＋b 2≥2.【答案】 C2.已知x ＞1，y ＞1且lg x ＋lg y ＝4，则lg x lg y 的最大值是( ) A.4 B.2 C.1 D.14【解析】 ∵x ＞1，y ＞1，∴lg x ＞0，lg y ＞0，lg x lg y ≤⎝⎛⎭⎪⎫lg x ＋lg y 22＝4，当且仅当lg x ＝lg y ＝2，即x ＝y ＝100时取等号.【答案】 A3.函数y ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5(x ＞1)的最小值为( ) A.－3 B.3 C.4 D.－4【解析】 ∵x ＋1x －1＋5＝(x －1)＋1x －1＋6≥2x －1x －1＋6＝8，当且仅当x ＝2时，取“＝”，∴log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5≥3，∴y min ＝3. 【答案】 B4.若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________.【解析】 ∵a ＞0，b ＞0，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，即ab －2ab －3≥0，解得ab ≥3，即ab ≥9.【答案】 [9，＋∞)5.(1)当x ＜32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值； (2)设0＜x ＜2，求函数y ＝x －2x 的最大值.【解】 (1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32. 当x ＜32时，有3－2x ＞0， ∴3－2x 2＋83－2x ≥23－2x 2·83－2x＝4， 当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时取等号. 于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52. (2)∵0＜x ＜2，∴2－x ＞0， ∴y ＝x －2x ＝2·x －x ≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号，∴当x＝1时，函数y＝x－2x的最大值为 2.。
学案3：3.2 均值不等式
3.2 均值不等式学习目标：1.推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理.2.利用均值定理求极值.3.了解均值不等式在证明不等式中的简单应用学习过程：知识梳理：1．一个常用的均值不等式链设a >0，b >0，则有：min{a ，b }≤21a ＋1b ≤ ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22≤max{a ，b }， 当且仅当a ＝b 时，所有等号成立．若a >b >0，则有：b <21a ＋1b <ab <a ＋b 2< a 2＋b 22<a . 2．均值不等式的拓展(1)a ，b ∈R ，都有ab ≤(a ＋b )24≤a 2＋b 22成立． (2)a 2＋b 2≥2ab 可以加强为a 2＋b 2≥2|a |·|b |，当且仅当|a |＝|b |时取等号．(3)a ，b ，c ∈R ，都有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca 成立．(4)若ab >0，则a b ＋b a≥2. 3．利用均值不等式求最值的法则均值不等式ab ≤a ＋b 2(a ，b 为正实数)常用于证明不等式或求代数式的最值． (1)当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(2)当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．注意：利用均值不等式求代数式最值，要注意满足三个条件：①两个正数；②两个正数的积或和为定值；③取最值时，等号能成立．概括为“一正、二定(值)、三相等”．4．函数f (x )＝x ＋k x(k >0)的单调性在求最值中的应用 有些最值问题由于条件的限制使等号取不到，其最值又确实存在，我们可以利用函数f (x )＝x ＋k x(k >0)的单调性加以解决． 利用函数单调性的定义可以证明函数f (x )＝x ＋k x(k >0)在(0，k ]上单调递减，在[k ，＋∞)上单调递增．因为函数f (x )＝x ＋k x (k >0)是奇函数，所以f (x )＝x ＋k x(k >0)在(－∞，－k ]上为增函数，在 [－k ，0)上为减函数．函数f (x )＝x ＋k x(k >0)在定义域上的单调性如图所示．方法突破：一、利用均值不等式求最值方法链接：均值不等式是求函数最值的有利工具，在使用均值不等式求函数最值时，要注意应用条件“一正、二定、三相等”．不要仅仅关注结构上的定值，而忽略对相等条件的考察． 例1：函数y ＝x ＋22x ＋5的最大值．二、利用均值不等式解恒成立问题方法链接：含参数的不等式恒成立问题，通过分离参数，把参数的范围化归为函数的最值问题．a >f (x )恒成立⇔a >[f (x )]max ，a <f (x )恒成立⇔a <[f (x )]min .例2：已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，22－1)C ．(－1,22－1)D ．(－22－1,22－1) 三、利用均值不等式证明不等式方法链接：证明不等式时应根据求证式两端的结构，合理选择重要不等式及其变形不等式；本题的证明方法在论证对称不等式时具有一定的普遍性．例3：已知a >2，求证：log a (a －1)·log a (a ＋1)<1.四、均值不等式的实际应用方法链接：应用均值不等式解决实际问题时，要注意把要求最值的变量设为函数，列函数解析式时，要注意所设变量的范围．例4：某公司计划用一块土地建造一幢总面积为A m 2的办公大楼，已知征地的费用是2 388元/m 2，每层的建筑面积相同，土地的征用面积是每层面积的2.5倍，经工程技术人员核算，第一、二层的建设费用相同，费用为445元/m 2，以后每增高一层，建筑费用就增加30元/m 2，试设计这幢办公楼的楼层数，使总费用最少，并求其最少总费用．(总费用＝建筑费用＋征地费用)课堂检测：1．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( ) A ．72 B ．4 C ．92 D ．52．设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( ) A ．8 B ．4 C ．1 D ．143．求f (x )＝2＋log 2x ＋5log 2x(0<x <1)的最值．4．已知m 2＋n 2＝a ，x 2＋y 2＝b (a 、b 为大于0的常数且a ≠b )，求mx ＋ny 的最大值．5．已知x >0，y >0，且x ＋2y ＝1，求1x ＋1y的最小值．6．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，求ab 的取值范围.参考答案方法突破：例1：解：设t ＝x ＋2，从而x ＝t 2－2(t ≥0)，则y ＝t 2t 2＋1. 当t ＝0时，y ＝0；当t >0时，y ＝12t ＋1t ≤12 2t ·1t＝24. 当且仅当2t ＝1t ，即t ＝22时等号成立． 即当x ＝－32时，y max ＝24. 例2：【解析】由f (x )>0得32x －(k ＋1)·3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x ，而3x ＋23x ≥22， ∴k ＋1<22，k <22－1.【答案】B例3：已知a >2，求证：log a (a －1)·log a (a ＋1)<1.证明 因为a >2，所以log a (a －1)>0，log a (a ＋1)>0.又log a (a －1)≠log a (a ＋1)，所以log a (a －1)·log a (a ＋1)<log a (a －1)＋log a (a ＋1)2＝12log a (a 2－1)<12log a a 2＝1.所以log a (a －1)log a (a ＋1)<1. 例4：解：设建造这幢办公楼的楼层数为n ，总费用为y 元，当n ＝1时，y ＝2.5·A ·2 388＋445A ＝6 415A (元)，当n ＝2时，y ＝2.5·A 2·2 388＋445A ＝3 430A (元)， 当n ≥3时，y ＝2.5·A n ·2 388＋445·2A n ＋(445＋30)·A n ＋(445＋60)·A n ＋…＋[445＋30(n －2)]·A n＝6 000·A n＋15nA ＋400A ≥2A 6 000×15＋400A ＝1 000A (元)(当且仅当n ＝20时取等号)．即n ＝20时，有最小值1 000A 元，所以，当建造这幢办公楼的楼层数为20时，总费用最少，为1 000A 元．课堂检测：1．【解析】∵a ＋b ＝2，∴a ＋b 2＝1.∴1a ＋4b ＝(1a ＋4b )(a ＋b 2)＝52＋(2a b ＋b 2a )≥52＋22a b ·b 2a ＝92(当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a 时，“＝”成立)，故y ＝1a ＋4b 的最小值为92. 【答案】C2．【解析】由题意知3a ·3b ＝3，即3a ＋b ＝3，所以a ＋b ＝1.因为a >0，b >0，所以1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当a ＝b 时，等号成立．【答案】B3．解：∵0<x <1，∴(－log 2x )>0，⎝⎛⎭⎫－5log 2x >0.∴(－log 2x )＋⎝⎛⎭⎫－5log 2x ≥2 (－log 2x )⎝⎛⎭⎫－5log 2x ＝2 5. ∴log 2x ＋5log 2x≤－2 5. ∴f (x )＝2＋log 2x ＋5log 2x≤2－2 5. 当且仅当log 2x ＝5log 2x时，即x ＝2－5时取等号． ∴f (x )max ＝2－2 5.4．解：利用三角代换可避免上述问题．∵m 2＋n 2＝a ，∴设⎩⎨⎧ m ＝a cos αn ＝a sin α(α∈[0,2π))， ∵x 2＋y 2＝b ，∴设⎩⎨⎧x ＝b cos βy ＝b sin β(β∈[0,2π)) ∴mx ＋ny ＝ab cos αcos β＋ab sin αsin β ＝ab (cos αcos β＋sin αsin β)＝ab cos(α－β)≤ab∴(mx ＋ny )max ＝ab ，当且仅当cos(α－β)＝1，α＝β时取“＝”．5．解：因为x >0，y >0，且x ＋2y ＝1，所以1x ＋1y ＝x ＋2y x ＋x ＋2y y ＝1＋2＋2y x ＋x y≥3＋22y x ·x y＝3＋2 2. 当且仅当2y x ＝x y且x ＋2y ＝1， 即x ＝2－1，y ＝1－22时，取得等号． 所以1x ＋1y的最小值为3＋2 2.6．解：方法一 把代数式ab 转化为a (或b )的函数．∵ab ＝a ＋b ＋3，∴b ＝a ＋3a －1∵b >0，∴a >1. ∴ab ＝a 2＋3a a －1＝(a －1)2＋5a －1a －1＝(a －1)2＋5(a －1)＋4a －1＝(a －1)＋4a －1＋5 ∵a >1，∴a －1>0，∴(a －1)＋4a －1≥2(a －1)·4a －1＝4. ∴ab ≥9，当且仅当a －1＝4a －1，即a ＝3，b ＝3时，取“＝”． 方法二 利用均值不等式a ＋b ≥2ab ，把a ＋b 转化为ab ，再求ab 的范围．∵a ＋b ≥2ab ，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3.∴ab －2ab －3≥0，∴(ab －3)(ab ＋1)≥0.∴ab ≥3，∴ab ≥9，从以上过程可以看出：当且仅当a ＝b ＝3时，取“＝”．方法三 把a ，b 视为一元二次方程x 2＋(3－ab )x ＋ab ＝0的两个根，那么该方程应有两个正根．所以有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1·x 2＝ab >0x 1＋x 2＝ab －3>0Δ＝(3－ab )2－4ab ≥0其中由Δ＝(3－ab )2－4ab ＝a 2b 2－10ab ＋9＝(ab －9)(ab －1)≥0，解得ab ≥9或ab ≤1.∵x 1＋x 2＝ab －3>0，∴ab ≥9.又ab ＝a ＋b ＋3，∴a ＋b ＝6，∴当且仅当a ＝b ＝3时取“＝”．。
高中数学第3章不等式3.2均值不等式学案新人教B版必修5(2021年整理)
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3.2 均值不等式1.了解均值不等式的证明过程.2。
能利用均值不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.（重点、难点）3。
熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题。
(重点）［基础·初探]教材整理1 均值不等式阅读教材P69～P71,完成下列问题。
1.重要不等式如果a,b∈R,那么a2＋b2≥2ab（当且仅当a＝b时取“＝”).2.均值不等式ab≤错误!（1)均值不等式成立的条件：a>0，b>0；(2）等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号。
3。
算术平均数与几何平均数（1）设a〉0,b>0，则a,b的算术平均数为错误!,几何平均数为错误!；（2)均值不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
判断（正确的打“√”，错误的打“×”）(1)对任意a，b∈R,a2＋b2≥2ab，a＋b≥2错误!均成立.（）(2)若a≠0,则a＋错误!≥2错误!＝4。
( )(3)若a>0，b>0,则ab≤错误!错误!。
（)(4)两个不等式a2＋b2≥2ab与错误!≥错误!成立的条件是相同的。
（)(5）若ab＝1,a〉0，b〉0，则a＋b的最小值为2.（）【解析】(1)×。
任意a,b∈R，有a2＋b2≥2ab成立，当a,b都为正数时，不等式a＋b≥2错误!成立.(2)×.只有当a〉0时，根据均值不等式，才有不等式a＋错误!≥2错误!＝4成立.2018版高中数学第3章不等式 3.2 均值不等式学案新人教B版必修5 （3）√。
2017-2018学年高中数学第三章不等式3.2均值不等式(二)学案新人教B版必修5
3．2 均值不等式 (二)[学习目标] 1.熟练掌握均值不等式及变形的应用.2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题．[知识链接]1．已知x ，y 都是正数，若x ＋y ＝s (和为定值)，那么xy 有最大值还是最小值？如何求？ 答 xy 有最大值．由均值不等式，得s ＝x ＋y ≥2xy ，所以xy ≤s 24，当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24.2．已知x ，y 都是正数，若xy ＝p (积为定值)，那么x ＋y 有最大值还是最小值？如何求？ 答 x ＋y 有最小值. 由均值不等式，得x ＋y ≥2xy ＝2p .当x ＝y 时，x ＋y 取得最小值2p . [预习导引]1．用均值不等式求最值的结论(1)设x ，y 为正实数，若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x ＝y 时，积xy 有最大值，且这个值为s 24. (2)设x ，y 为正实数，若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值，且这个值为2p .2．均值不等式求最值的条件 (1)x ，y 必须是正数；(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足.要点一 均值不等式与最值例1 (1)若x >0，求函数y ＝x ＋4x的最小值，并求此时x 的值；(2)设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；(3)已知x >2，求x ＋4x －2的最小值； (4)已知x >0，y >0，且 1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．解 (1)当x >0时，x ＋4x≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝4x，即x 2＝4，x ＝2时取等号． ∴函数y ＝x ＋4x(x >0)在x ＝2时取得最小值4.(2)∵0<x <32，∴3－2x >0，∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2[2x ＋－2x 2]2＝92.当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．∵34∈(0，32)．∴函数y ＝4x (3－2x )(0<x <32)的最大值为92. (3)∵x >2，∴x －2>0，∴x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥2 x －4x －2＋2＝6， 当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立． 所以x ＋4x －2的最小值为6. (4)方法一 ∵x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝(1x ＋9y )(x ＋y )＝y x＋9xy＋10≥2y x ·9xy＋10＝6＋10＝16， 当且仅当y x ＝9x y ，又1x ＋9y＝1，即x ＝4，y ＝12时，上式取等号． 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.方法二 由1x ＋9y＝1，得(x －1)(y －9)＝9(定值)．可知x >1，y >9，∴x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10≥2x －y －＋10＝16，当且仅当x －1＝y －9＝3，即x ＝4，y ＝12时上式取等号，故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.规律方法 在利用均值不等式求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件．跟踪演练1 (1)已知x >0，求f (x )＝12x＋3x 的最小值；(2)已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值； (3)设x >0，y >0，且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值． 解 (1)∵x >0，∴f (x )＝12x＋3x ≥212x ·3x ＝12，当且仅当3x ＝12x，即x ＝2时取等号．∴f (x )的最小值为12. (2)∵x <3，∴x －3<0. ∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－[43－x ＋(3－x )]＋3≤－243－x－x＋3＝－1，当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号．∴f (x )的最大值为－1.(3)方法一 由2x ＋8y －xy ＝0，得y (x －8)＝2x ， ∵x >0，y >0，∴x －8>0，y ＝2x x －8， ∴x ＋y ＝x ＋2xx －8＝x ＋x －＋16x －8＝(x －8)＋16x －8＋10≥2x －16x －8＋10＝18.当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12时，等号成立．∴x ＋y 的最小值是18. 方法二 由2x ＋8y －xy ＝0及x >0，y >0，得8x ＋2y ＝1.∴x ＋y ＝(x ＋y )(8x ＋2y )＝8y x ＋2xy＋10≥28y x·2xy＋10＝18.当且仅当8y x ＝2xy，即x ＝2y ＝12时等号成立．∴x ＋y 的最小值是18.要点二 均值不等式在实际问题中的应用例2 某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．(1)写出楼房平均综合费用y 关于建造层数x 的函数关系式；(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)解 (1)依题意得y ＝(560＋48x )＋2 160×10 0002 000x＝560＋48x ＋10 800x(x ≥10，x ∈N ＋)．(2)∵x >0，∴48x ＋10 800x≥248×10 800＝1 440，当且仅当48x ＝10 800x，即x ＝15时取到“＝”，此时，平均综合费用的最小值为560＋1 440＝2 000(元)．所以当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2 000元． 规律方法 利用均值不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用均值不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件．跟踪演练2 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天的支付的总费用最少？解 设该厂每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨．由题意可知，面粉的保管等其他费用为3×[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1)．设平均每天所支付的总费用为y 元，则y ＝1x [9x (x ＋1)＋900]＋6×1 800＝9x ＋900x＋10 809≥29x ·900x＋10 809＝10 989(元)，当且仅当9x ＝900x，即x ＝10时，等号成立．∴该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．例3 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2016年巴西里约热内卢奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x 万件与年促销费t 万元之间满足3－x 与t ＋1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2016年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．(1)将2016年的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数． (2)该企业2016年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)解 (1)由题意可设3－x ＝kt ＋1，将t ＝0，x ＝1代入，得k ＝2.∴x ＝3－2t ＋1. 当年生产x 万件时，∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用，∴年生产成本为32x ＋3＝32(3－2t ＋1)＋3. 当销售x (万件)时，年销售收入为 150%[32(3－2t ＋1)＋3]＋12t . 由题意，生产x 万件化妆品正好销完，由年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费， 得年利润y ＝－t 2＋98t ＋35t ＋ (t ≥0)．(2)y ＝－t 2＋98t ＋35t ＋＝50－(t ＋12＋32t ＋1)≤50－2t ＋12×32t ＋1＝50－216＝42(万元)， 当且仅当t ＋12＝32t ＋1，即t ＝7时，y max ＝42万元， ∴当促销费投入7万元时，企业的年利润最大．规律方法 应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．跟踪演练3 一批货物随17列货车从A 市以v 千米/时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于(v20)2千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________小时． 答案 8解析 设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ， 则t ＝400＋v202v＝400v ＋16v 400≥2400v ×16v 400＝8(小时)，当且仅当400v ＝16v 400， 即v ＝100千米/时等号成立，此时t ＝8小时.1．设a 、b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a＋2b的最小值是( ) A ．6 B ．4 2 C ．2 6 D ．8 答案 B解析 ∵a ＋b ＝3，∴2a＋2b≥22a·2b＝22a ＋b＝28＝4 2.2．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值52B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1答案 D解析 f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝x －2＋1x －＝12[(x －2)＋1x －2]≥1.当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时等号成立．3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( ) A ．6.5 m B ．6.8 m C ．7 m D ．7.2 m 答案 C解析 设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab ＝4，l ＝a＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m)．因为要求够用且浪费最少，故选C. 4．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________． 答案 4解析 由x ＋2y ＋2xy ＝8， 得x ＋2y ＋(2x ＋y 2)2≥8，即(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0， 解得x ＋2y ≥4.1．用均值不等式求最值(1)利用均值不等式求最值要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可． (2)利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用均值不等式的条件．(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用均值不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用均值不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y ＝x ＋px(p >0)的单调性求得函数的最值． 2．求解应用题的方法与步骤：(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答．。
高中数学 第三章 不等式 3.2 均值不等式(二)学案 新人教B版必修5
3．2 均值不等式 (二)[学习目标] 1.熟练掌握均值不等式及变形的应用.2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题．[知识链接]1．已知x ，y 都是正数，若x ＋y ＝s (和为定值)，那么xy 有最大值还是最小值？如何求？ 答 xy 有最大值．由均值不等式，得s ＝x ＋y ≥2xy ，所以xy ≤s 24，当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24.2．已知x ，y 都是正数，若xy ＝p (积为定值)，那么x ＋y 有最大值还是最小值？如何求？ 答 x ＋y 有最小值. 由均值不等式，得x ＋y ≥2xy ＝2p .当x ＝y 时，x ＋y 取得最小值2p . [预习导引]1．用均值不等式求最值的结论(1)设x ，y 为正实数，若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x ＝y 时，积xy 有最大值，且这个值为s 24. (2)设x ，y 为正实数，若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值，且这个值为2p .2．均值不等式求最值的条件 (1)x ，y 必须是正数；(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足.要点一 均值不等式与最值例1 (1)若x >0，求函数y ＝x ＋4x的最小值，并求此时x 的值；(2)设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；(3)已知x >2，求x ＋4x －2的最小值； (4)已知x >0，y >0，且 1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．解 (1)当x >0时，x ＋4x≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝4x，即x 2＝4，x ＝2时取等号． ∴函数y ＝x ＋4x(x >0)在x ＝2时取得最小值4.(2)∵0<x <32，∴3－2x >0，∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2[2x ＋3－2x 2]2＝92.当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．∵34∈(0，32)．∴函数y ＝4x (3－2x )(0<x <32)的最大值为92. (3)∵x >2，∴x －2>0，∴x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥2 x －2·4x －2＋2＝6，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立． 所以x ＋4x －2的最小值为6. (4)方法一 ∵x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝(1x ＋9y )(x ＋y )＝y x＋9xy＋10≥2y x ·9xy＋10＝6＋10＝16， 当且仅当y x ＝9x y ，又1x ＋9y＝1，即x ＝4，y ＝12时，上式取等号． 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.方法二 由1x ＋9y＝1，得(x －1)(y －9)＝9(定值)．可知x >1，y >9，∴x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10≥2x －1y －9＋10＝16，当且仅当x －1＝y －9＝3，即x ＝4，y ＝12时上式取等号，故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.规律方法 在利用均值不等式求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件．跟踪演练1 (1)已知x >0，求f (x )＝12x＋3x 的最小值；(2)已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值； (3)设x >0，y >0，且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值． 解 (1)∵x >0，∴f (x )＝12x＋3x ≥212x ·3x ＝12，当且仅当3x ＝12x，即x ＝2时取等号．∴f (x )的最小值为12. (2)∵x <3，∴x －3<0. ∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－[43－x ＋(3－x )]＋3≤－243－x·3－x＋3＝－1，当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号．∴f (x )的最大值为－1.(3)方法一 由2x ＋8y －xy ＝0，得y (x －8)＝2x ， ∵x >0，y >0，∴x －8>0，y ＝2x x －8， ∴x ＋y ＝x ＋2xx －8＝x ＋2x －16＋16x －8＝(x －8)＋16x －8＋10≥2x －8×16x －8＋10＝18.当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12时，等号成立．∴x ＋y 的最小值是18. 方法二 由2x ＋8y －xy ＝0及x >0，y >0，得8x ＋2y ＝1.∴x ＋y ＝(x ＋y )(8x ＋2y )＝8y x ＋2xy＋10≥28y x·2xy＋10＝18.当且仅当8y x ＝2xy，即x ＝2y ＝12时等号成立．∴x ＋y 的最小值是18.要点二 均值不等式在实际问题中的应用例2 某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．(1)写出楼房平均综合费用y 关于建造层数x 的函数关系式；(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)解 (1)依题意得y ＝(560＋48x )＋2 160×10 0002 000x＝560＋48x ＋10 800x(x ≥10，x ∈N ＋)．(2)∵x >0，∴48x ＋10 800x≥248×10 800＝1 440，当且仅当48x ＝10 800x，即x ＝15时取到“＝”，此时，平均综合费用的最小值为560＋1 440＝2 000(元)．所以当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2 000元． 规律方法 利用均值不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用均值不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件．跟踪演练2 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天的支付的总费用最少？解 设该厂每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨．由题意可知，面粉的保管等其他费用为3×[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1)．设平均每天所支付的总费用为y 元，则y ＝1x [9x (x ＋1)＋900]＋6×1 800＝9x ＋900x＋10 809≥29x ·900x＋10 809＝10 989(元)，当且仅当9x ＝900x，即x ＝10时，等号成立．∴该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．例3 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2016年巴西里约热内卢奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x 万件与年促销费t 万元之间满足3－x 与t ＋1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2016年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．(1)将2016年的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数． (2)该企业2016年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)解 (1)由题意可设3－x ＝kt ＋1，将t ＝0，x ＝1代入，得k ＝2.∴x ＝3－2t ＋1. 当年生产x 万件时，∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用，∴年生产成本为32x ＋3＝32(3－2t ＋1)＋3. 当销售x (万件)时，年销售收入为 150%[32(3－2t ＋1)＋3]＋12t . 由题意，生产x 万件化妆品正好销完，由年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费， 得年利润y ＝－t 2＋98t ＋352t ＋1 (t ≥0)．(2)y ＝－t 2＋98t ＋352t ＋1＝50－(t ＋12＋32t ＋1)≤50－2t ＋12×32t ＋1＝50－216＝42(万元)， 当且仅当t ＋12＝32t ＋1，即t ＝7时，y max ＝42万元， ∴当促销费投入7万元时，企业的年利润最大．规律方法 应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．跟踪演练3 一批货物随17列货车从A 市以v 千米/时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于(v20)2千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________小时． 答案 8解析 设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ， 则t ＝400＋16v202v＝400v ＋16v 400≥2400v ×16v 400＝8(小时)，当且仅当400v ＝16v 400， 即v ＝100千米/时等号成立，此时t ＝8小时.1．设a 、b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a＋2b的最小值是( ) A ．6 B ．4 2 C ．2 6 D ．8 答案 B解析 ∵a ＋b ＝3，∴2a＋2b≥22a·2b＝22a ＋b＝28＝4 2.2．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值52B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1答案 D解析 f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝x －22＋12x －2＝12[(x －2)＋1x －2]≥1.当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时等号成立．3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( ) A ．6.5 m B ．6.8 m C ．7 m D ．7.2 m 答案 C解析 设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab ＝4，l ＝a＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m)．因为要求够用且浪费最少，故选C. 4．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________． 答案 4解析 由x ＋2y ＋2xy ＝8， 得x ＋2y ＋(2x ＋y 2)2≥8，即(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0， 解得x ＋2y ≥4.1．用均值不等式求最值(1)利用均值不等式求最值要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可． (2)利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用均值不等式的条件．(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用均值不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用均值不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y ＝x ＋px(p >0)的单调性求得函数的最值． 2．求解应用题的方法与步骤：(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答．。
部编版2020学年高中数学第三章不等式3.2均值不等式同步导学案新人教B版必修55
3．2 均值不等式【预习达标】⒈正数a 、b 的算术平均数为 ；几何平均数为 ．⒉均值不等式是 。
其中前者是 ，后者是 ．如何给出几何解释？⒊在均值不等式中a 、b 既可以表示数，又可以表示代数式，但都必须保证 ；另外等号成立的条件是 ．⒋试根据均值不等式写出下列变形形式，并注明所需条件）（1）a 2+b 2( ) （22（ ） （3）a b b （ ） （4）x x(x>0) （5）x x (x<0) （6）ab ≤ （ ）⒌在用均值不等式求最大值和最小值时，必须注意a+b 或ab 是否为 值，并且还需要注意等号是否成立．6．⑴函数f(x)=x(2－x)的最大值是 ；此时x 的值为___________________；． ⑵函数f(x)=2x(2－x)的最大值是 ；此时x 的值为___________________； ⑶函数f(x) =x(2－2x)的最大值是 ；此时x 的值为___________________； ⑷函数f(x)=x(2＋x)的最小值是 ；此时x 的值为___________________。
【典例解析】例⒈已知a 、b 、c ∈（0，＋∞），且a+b+c=1，求证a 1 +b 1+c 1≥9．例⒉（1）已知x<45，求函数y=4x －2+541-x 的最大值．（2）已知x>0，y>0，且+x 1y9＝1，求x ＋y 的最小值。
（3）已知a 、b 为常数，求函数y=(x-a)2+(x-b)2的最小值。
【达标练习】一．选择题：⒈下列命题正确的是（ ）Ａ．a 2+1>2a Ｂ．│x+x 1│≥2 Ｃ．abb a +≤2 Ｄ．sinx+x sin 4最小值为4． ⒉以下各命题(1)x 2+112+x 的最小值是1；（2）1222++x x 最小值是2；(3)若a>0,b>0,a+b=1则（a+a 1）(b+b1)的最小值是4，其中正确的个数是（ ） Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 ⒊设a>0,b>0则不成立的不等式为（ ） Ａ．a b ＋ba ≥2 Ｂ．a 2+b 2≥2ab Ｃ．a b 2＋b a 2≥a ＋b Ｄ．b a 11+≥2+ba +2 ⒋设a 、b ∈R ＋，若a+b=2，则ba 11+的最小值等于（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4⒌已知a ≥b>0，下列不等式错误的是（ ）Ａ．a 2+b 2≥2ab Ｂ．222b a a +≥ Ｃ．b a ab ab +≤2 Ｄ．112--+≥ba ab 二．填空题：⒍若a 、b 为正数且a+b=4，则ab 的最大值是________．⒎已知x>1.5，则函数y ＝2x+324-x 的最小值是_________． ⒏已知a 、b 为常数且0<x<1，则xb x a -+122的最小值是_________________________．三．解答题：⒐（1）设a=232xx +，b=26x，c=294x x +且x ≠0，试判断a 、b 、c 的大小。
2020版高中数学第三章不等式3.2均值不等式(第2课时)均值不等式的应用学案
第2课时 均值不等式的应用学习目标 1.熟练掌握均值不等式及变形的应用．2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题．3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题．知识点一 均值不等式及变形均值不等式的常见变形，试用不等号连接，并说明等号成立的条件．当a >0，b >0当且仅当a ＝b 时，以上三个等号同时成立． 知识点二 用均值不等式求最值 用均值不等式x ＋y2≥xy 求最值应注意：(1)x ，y 是否是正数；(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值；(3)等号成立的条件是否满足．1．y ＝x ＋1x的最小值为2．( × )2．因为x 2＋1≥2x ，当且仅当x ＝1时取等号．所以当x ＝1时，(x 2＋1)min ＝2．( × ) 3．由于sin 2x ＋4sin 2x≥2sin 2x ·4sin 2x ＝4，所以sin 2x ＋4sin 2x的最小值为4．( × ) 4．当x >0时，x 3＋2x ＝x 3＋1x ＋1x ≥2x 2＋1x ＝2x ＋1x≥22，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋2x min ＝22．( × )题型一 利用均值不等式求最值 命题角度1 求一元解析式的最值例1 (1)若x >0，求函数y ＝x ＋4x的最小值，并求此时x 的值；(2)已知x >2，求x ＋4x －2的最小值； (3)设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值．解 (1)当x >0时，x ＋4x≥2x ·4x＝4， 当且仅当x ＝4x，即x 2＝4，x ＝2时，取等号．∴函数y ＝x ＋4x(x >0)在x ＝2处取得最小值4．(2)∵x >2，∴x －2>0， ∴x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥2x －4x －2＋2＝6， 当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立． ∴x ＋4x －2的最小值为6． (3)∵0<x <32，∴3－2x >0，∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋－2x 22＝92．当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．∵34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32， ∴函数y ＝4x (3－2x )⎝⎛⎭⎪⎫0<x <32的最大值为92． 反思感悟 在利用均值不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备． 跟踪训练1 函数y ＝2x ＋2x(x ＜0)的最大值为________．答案 －4解析 ∵x ＜0，∴－x ＞0，∴(－2x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ≥2－2x⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＝4， 即y ＝2x ＋2x≤－4⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当－2x ＝－2x ，即x ＝－1时等号成立．命题角度2 求二元解析式的最值例2 (1)若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________； (2)若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________． 答案 (1)18 (2)233解析 (1)∵xy ＝2x ＋y ＋6≥22xy ＋6，设xy ＝t (t ＞0)，即t 2≥22t ＋6，(t －32)(t ＋2)≥0，∴t ≥32，则xy ≥18，当且仅当2x ＝y 且2x ＋y ＋6＝xy ，即x ＝3，y ＝6时等号成立，故xy 的最小值为18．(2)根据题意，1＝(x ＋y )2－xy ≥(x ＋y )2－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝34(x ＋y )2，所以43≥(x ＋y )2，所以x ＋y ≤233，当且仅当x ＝y ＞0且x 2＋y 2＋xy ＝1，即x ＝y ＝33时等号成立． 反思感悟 均值不等式连接了和“x ＋y ”与积“xy ”，使用均值不等式就是根据解题需要进行和、积的转化．跟踪训练2 已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则1x ＋4y的最小值是________．答案 9解析 ∵x ＋y ＝1，∴1x ＋4y＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y＝1＋4＋y x＋4xy．∵x ＞0，y ＞0，∴y x＞0，4xy＞0，∴y x＋4x y≥2y x ·4x y ＝4，∴5＋y x ＋4xy≥9． 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y x ＝4xy，即x ＝13，y ＝23时等号成立．∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y min ＝9． 题型二 均值不等式在实际问题中的应用例3 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？ 解 设该厂每x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨． 由题意可知，面粉的保管及其他费用为3×[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1)． 设平均每天所支付的总费用为y 元， 则y ＝1x[9x (x ＋1)＋900]＋6×1800＝9x ＋900x＋10809≥29x ·900x＋10809＝10989(元)，当且仅当9x ＝900x，即x ＝10时，等号成立．所以该厂每10天购买一次面粉时，才能使平均每天所支付的总费用最少． 引申探究若受车辆限制，该厂至少15天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少？解 设x 1，x 2∈[15，＋∞)，且x 1<x 2． 则⎝⎛⎭⎪⎫9x 1＋900x 1＋10809－⎝⎛⎭⎪⎫9x 2＋900x 2＋10809＝9(x 1－x 2)＋900⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫9－900x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫9x 1x 2－900x 1x 2．∵15≤x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2＞225， ∴(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫9x 1x 2－900x 1x 2<0，即y ＝9x ＋900x＋10809在[15，＋∞)上为增函数．∴当x ＝15，即每15天购买一次面粉时，平均每天所支付的费用最少．反思感悟 应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．使用均值不等式求最值，要注意验证等号是否成立，若等号不成立，可考虑利用函数单调性求解．跟踪训练3 高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上、下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，已知当教室在n 层楼时，上、下楼造成的不满意度为n ，但高处嘈杂声较小，环境较好，因此随着教室所在楼层的升高，环境不满意度降低，设教室在第n 层楼时，环境不满意度为8n，则同学们认为最适宜的教室所在的楼层应为( )A ．2B ．3C ．4D ．8答案 B解析 由题意知，教室在第n 层楼时，同学们总的不满意度y ＝n ＋8n ≥42，当且仅当n ＝8n，即n ＝22时，不满意度最小，又n ∈N ＋，分别把n ＝2，3代入y ＝n ＋8n，易知n ＝3时，y 最小．故最适宜的教室应在3楼．一种常见的函数模型y ＝x ＋ax(a ＞0)典例 某市实施机动车单双号限行，新能源汽车不在限行范围内，某人为了出行方便，准备购买某种新能源汽车．假设购车费用为14.4万元，每年应交付保险费、充电费等其他费用共0.9万元，汽车的保养维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增．(1)设使用n 年该车的总费用(包括购车费用)为f (n )，试写出f (n )的表达式；(2)问这种新能源汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年年平均费用最少)？年平均费用的最小值是多少？解 (1)由题意得，f (n )＝14.4＋(0.2＋0.4＋0.6＋…＋0.2n )＋0.9n ＝14.4＋0.2n n ＋2＋0.9n ＝0.1n 2＋n ＋14.4．(2)设该车的年平均费用为S 万元，则有S ＝1n f (n )＝1n (0.1n 2＋n ＋14.4)＝n 10＋14.4n＋1≥2 1.44＋1＝3.4，当且仅当n 10＝14.4n，即n ＝12时等号成立，此时S 取得最小值3.4．故这种新能源汽车使用12年报废最合算，年平均费用的最小值是3.4万元．[素养评析] 数学建模是对现实问题进行数学抽象，建立和求解模型的过程，其过程耗时费力，所以建立的模型要有广泛的应用才有价值．本例(2)中所涉及的y ＝x ＋ax(a ＞0)就是一个应用广泛的函数模型．1．不等式9x －2＋(x －2)≥6(x ＞2)中等号成立的条件是( ) A ．x ＝3 B ．x ＝－3 C ．x ＝5 D ．x ＝－5答案 C解析 ∵x ＞2，∴x －2＞0． ∴9x －2＋(x －2)≥29x －2x －＝6，当且仅当x －2＝9x －2，即x －2＝3，x ＝5时取等号．故选C ． 2．设x ＞0，则y ＝3－3x －1x的最大值是( )A ．3B ．3－2 2C ．－1D ．3－2 3答案 D解析 ∵x ＞0，∴3x ＋1x≥23x ·1x ＝23，当且仅当x ＝33时取等号，∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x ≤－23，则y ＝3－3x －1x≤3－23，故选D ．3．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则(1－xy )(1＋xy )有( ) A ．最小值12和最大值1B ．最小值34和最大值1C ．最小值12和最大值34D ．最小值1 答案 B解析 ∵x 2y 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y 222＝14，当且仅当x 2＝y 2＝12时，等号成立，∴(1－xy )(1＋xy )＝1－x 2y 2≥34．∵x 2y 2≥0，∴34≤1－x 2y 2≤1．4．设a >0，b >0，若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )A ．8B ．4C ．1D ．14答案 B解析 由题意知3a·3b＝3，即3a ＋b＝3，所以a ＋b ＝1．因为a >0，b >0，所以1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．5．设a ，b ，c ∈R ，ab ＝2，且c ≤a 2＋b 2恒成立，则c 的最大值是( ) A ．12B ．2C ．14D ．4 答案 D解析 ∵ab ＝2，∴a 2＋b 2≥2ab ＝4．又c ≤a 2＋b 2恒成立，∴c ≤4．故选D ．1．用均值不等式求最值(1)利用均值不等式，通过恒等变形以及配凑，使得“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最小值．这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．(2)利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用均值不等式的条件．(3)在求最值的一些问题中，若运用均值不等式求最值，等号取不到，这时通常可以借助函数y ＝x ＋px(p >0)的单调性求得函数的最值．2．求解应用题的方法与步骤(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答．一、选择题1．下列函数中，最小值为4的是( ) A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x (0＜x ＜π)C ．y ＝e x ＋4e －xD ．y ＝x 2＋1＋2x 2＋1答案 C解析 ∵y ＝x ＋4x中x 可取负值，∴其最小值不可能为4；由于0＜x ＜π，∴0＜sin x ≤1，又∵y ＝sin x ＋4sin x 在(0，1]上单调递减，∴最小值为5；由于e x ＞0，∴y ＝e x ＋4e －x ≥2e x ·4e－x＝4，当且仅当e x＝2时取等号，∴其最小值为4，∵x 2＋1≥1，∴y ＝x 2＋1＋2x 2＋1≥22，当且仅当x ＝±1时取等号，∴其最小值为22．2．已知x >1，y >1且lg x ＋lg y ＝4，则lg x lg y 的最大值是( ) A ．4B ．2C ．1D ．14答案 A解析 ∵x >1，y >1， ∴lg x >0，lg y >0，lg x lg y ≤⎝⎛⎭⎪⎫lg x ＋lg y 22＝4，当且仅当lg x ＝lg y ＝2，即x ＝y ＝100时取等号．3．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A ．72B ．4C ．92D ．5 答案 C解析 ∵a ＋b ＝2，∴a ＋b2＝1．∴1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 ＝52＋2a b ＋b 2a ≥52＋22a b ·b 2a ＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a ＝43时，等号成立， 故y ＝1a ＋4b 的最小值为92．4．若0＜x ＜12，则函数y ＝x 1－4x 2的最大值为( )A ．1B ．12C ．14D ．18答案 C解析 因为0＜x ＜12，所以1－4x 2＞0，所以x 1－4x 2＝12×2x 1－4x 2≤12×4x 2＋1－4x 22＝14，当且仅当2x ＝1－4x 2，即x ＝24时等号成立，故选C ． 5．若xy 是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2的最小值是( )A ．3B ．72C ．4D ．92答案 C解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2 ＝x 2＋x y ＋14y 2＋y 2＋y x ＋14x2＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2＋14y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥1＋1＋2＝4， 当且仅当x ＝y ＝22或x ＝y ＝－22时取等号． 二、填空题6．(2018·天津)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a＋18b 的最小值为________．答案 14解析 由a －3b ＋6＝0，得a ＝3b －6，所以2a ＋18b ＝23b －6＋123b ≥223b －6×123b ＝2×2－3＝14，当且仅当23b －6＝123b ，即b ＝1时等号成立． 7．设x >－1，则函数y ＝(x ＋5) (x ＋2)x ＋1的最小值是________．答案 9解析 ∵x >－1，∴x ＋1>0， 设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1， 于是有y ＝(t ＋4) (t ＋1)t ＝t 2＋5t ＋4t＝t ＋4t＋5≥2t ·4t＋5＝9， 当且仅当t ＝4t，即t ＝2时取等号，此时x ＝1．∴当x ＝1时，函数y ＝(x ＋5) (x ＋2)x ＋1取得最小值9．8．周长为2＋1的直角三角形面积的最大值为______． 答案 14解析 设直角三角形的两条直角边边长分别为a ，b ， 则2＋1＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ，解得ab ≤12，当且仅当a ＝b ＝22时取等号，所以直角三角形的面积S ＝12ab ≤14，即S 的最大值为14．9．设a ，b ＞0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________． 答案 3 2 解析 由a ，b ＞0，a ＋b2≤a 2＋b 22，所以a ＋b ≤2a 2＋b 2．所以a ＋1＋b ＋3≤2·a ＋1＋b ＋3＝32，当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝72，b ＝32时“＝”成立，所以所求最大值为32．10．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________. 答案 20解析 总运费与总存储费用之和f (x )＝4x ＋400x ×4＝4x ＋1600x≥24x ·1600x＝160，当且仅当4x ＝1600x，即x ＝20时取等号．三、解答题11．已知不等式x 2－5ax ＋b >0的解集为{x |x >4或x <1}． (1)求实数a ，b 的值； (2)若0<x <1，f (x )＝a x ＋b1－x，求函数f (x )的最小值．解 (1)依题意可得方程x 2－5ax ＋b ＝0的根为4和1，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＋1＝5a ，4×1＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4．(2)由(1)知f (x )＝1x ＋41－x ，∵0<x <1，∴0<1－x <1，1x >0，41－x>0，∴1x ＋41－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋41－x [x ＋(1－x )]＝1－x x ＋4x 1－x＋5≥21－x x ·4x1－x＋5＝9，当且仅当1－x x ＝4x 1－x ，即x ＝13时，等号成立， ∴f (x )的最小值为9．12．已知x ＞0，y ＞0,2xy ＝x ＋4y ＋a .(1)当a ＝6时，求xy 的最小值；(2)当a ＝0时，求x ＋y ＋2x ＋12y的最小值． 解 (1)由题意，知x ＞0，y ＞0，当a ＝6时，2xy ＝x ＋4y ＋6≥4xy ＋6，即(xy )2－2xy －3≥0，∴(xy ＋1)(xy －3)≥0， ∴xy ≥3，∴xy ≥9，当且仅当x ＝4y ＝6时，等号成立，故xy 的最小值为9．(2)由题意，知x ＞0，y ＞0，当a ＝0时，可得2xy ＝x ＋4y ．两边都除以2xy ，得12y ＋2x＝1， ∴x ＋y ＋2x ＋12y ＝x ＋y ＋1＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＋2x ＋1＝72＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y ＋2y x ≥72＋2x 2y ·2y x ＝112， 当且仅当x 2y ＝2y x ，即x ＝3，y ＝32时，等号成立， 故x ＋y ＋2x ＋12y 的最小值为112． 13.为保护环境，绿色出行，某高校今年年初成立自行车租赁公司，初期投入36万元，建成后每年收入25万元，该公司第n 年需要付出的维修费用记作a n 万元，已知{a n }为等差数列，相关信息如图所示．(1)设该公司前n 年总盈利为y 万元，试把y 表示成n 的函数，并求出y 的最大值；(总盈利即n 年总收入减去成本及总维修费用)(2)该公司经过几年经营后，年平均盈利最大，并求出最大值．解 (1)由题意知，每年的维修费用是以6为首项，2为公差的等差数列，则a n ＝6＋2(n －1)＝2n ＋4(n ∈N ＋)，所以y ＝25n －n [6＋(2n ＋4)]2－36＝－n 2＋20n －36 ＝－(n －10)2＋64，当n ＝10时，y 的最大值为64万元．(2)年平均盈利为y n ＝－n 2＋20n －36n ＝－n －36n ＋20＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋36n ＋20≤－2×n ×36n ＋20＝8 (当且仅当n ＝36n，即n ＝6时取“＝”)． 故该公司经过6年经营后，年平均盈利最大，为8万元．14．已知a >0，b >0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是( ) A ．2B ．2 2C ．4D ．5答案 C 解析 ∵a >0，b >0，∴1a ＋1b ＋2ab ≥21ab ＋2ab ≥41ab ·ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时，等号同时成立．15．若关于x 的不等式(1＋k 2)x ≤k 4＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有( )A ．2∈M ，0∈MB ．2∉M ，0∉MC ．2∈M ，0∉MD ．2∉M ，0∈M 答案 A 解析 M ＝⎝⎛⎦⎥⎤－∞，k 4＋4k 2＋1． 当k ∈R 时，k 4＋4k 2＋1＝k 2＋2－2k 2＋3k 2＋1＝k 2＋2－k 2＋＋5k 2＋1＝(k 2＋1)＋5k 2＋1－2 ≥2k 2＋5k 2＋1－2＝25－2>2(当且仅当k 2＝5－1时，取等号)．∴2∈M ，0∈M ．。
3.2均值定理3.2均值不等式学案3
二、2,,()2a b a b R ab ++∈≤的应用： 引例：1.若1,0,0a b a b +=>>，则ab 的最大值是____________ 2.若,,x y R +∈且2xy =，则2x y +的最小值是__________例1.求下列函数在给定条件下的最大值：（1）(1)y x x =- ，（1x <） （2）2(3)y x x =- ，（3x <） (3)(12)y x x =- ,(12x <)例2.已知2,4,32x y xy >>=，求22log log 24x y ⋅的最大值，并求相应的,x y 值.例3.已知0,0,228x y x y xy >>++=，①求2x y +的最小值；②求xy 的最大值。
例4.若正实数,x y 满足26x y xy ++=.①求2x y +的最小值；② 求xy 的最小值例 1.（1）在面积为定值的扇形中，半径是多少时扇形周长最小？（2）在周长为定值的扇形中，半径是多少时扇形面积最大？例2．某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为34800m ,深为3m ，如果池底每21m 的造价为150元，池壁每21m 的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？例3.某单位建造一间地面面积为122m 的背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为1200元2/m ，房屋侧面的造价为800元2/m ，屋顶的造价为5800元，如果墙高为3m ，且不计房屋背面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最底，最低总造价是多少元。
4．如图，设矩形()ABCD AB AD >的周长为24，把它关于AC 折起来，AB 折过去后，交DC 于P ，设AB x =，求ADP ∆的最大面积及相应的x 值。
A均值不等式巩固练习1．函数(32)(21)y x x =-+，（1322x -<<）的最大值是_______,相应的x 的值是__________ 2．已知,,a b R +∈且1,a b +=则11a b+的最小值是_______________ 3．已知,,a b R +∈且322,a b +=则ab 的最大值是____________,此时__________a b == 4．7、已知,,33a b R a b ∈+=，求28a b +的最小值，并求相应的,a b 值.9、已知1x >，求函数21161xy x x x =+++的最小值，并求相应的x 值.11.(2006重庆)若,,0,a b c >且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++最小值是（）A.。
高中数学第三章不等式3.2均值不等式课堂探究学案
教学资料范本高中数学第三章不等式3.2均值不等式课堂探究学案编辑：__________________时间：__________________3.2 均值不等式课堂探究一、使用均值不等式求最值的注意事项剖析：(1)a ，b 都是正实数，即所求最值的代数式中的各项必须都是正数，否则就会得出错误答案．例如，当x <0时，函数f (x )＝x ＋1x ≥2x×1x＝2，所以函数f (x )的最小值是2．由于f (－2)＝－2＋1－2＝－52＜2，很明显这是一个错误的答案．其原因是当x <0时，不能直接用均值不等式求f (x )＝x ＋1x的最值．因此，利用均值不等式求最值时，首先确定所求最值的代数式中的各项是否都是正数．其实，当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－x ＋1－x≥2(－x )×1－x＝2，此时有f (x )≤－2．因此，当所求最值的代数式中的各项不都是正数时，应利用变形，转化为各项都是正数的代数式．(2)ab 与a ＋b 有一个是定值，即当ab 是定值时，可以求a ＋b 的最值；当a ＋b 是定值时，可以求ab 的最值．如果ab 和a ＋b 都不是定值，那么就会得出错误答案．例如，当x >1时，函数f (x )＝x ＋1x－1≥2xx－1，所以函数f (x )的最小值是2xx－1．由于2x x－1是一个与x 有关的代数式，很明显这是一个错误的答案．其原因是没有掌握均值不等式求最值的条件：ab 与a ＋b 有一个是定值．其实，当x >1时，有x －1>0，则函数f (x )＝x ＋1x－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x－1)＋1x－1＋1≥2(x－1)×1x－1＋1＝3．因此，当ab 与a ＋b 没有一个是定值时，通常把所求最值的代数式采用配凑的方法化为和或积为定值的形式．(3)等号能够成立，即存在正数a ，b 使均值不等式两边相等，也就是存在正数a ，b 使得ab＝a＋b 2．如果忽视这一点，就会得出错误答案．例如，当x ≥2时，函数f (x )＝x＋1x≥2x×1x ＝2，所以函数f (x )的最小值是2．很明显x ＋1x中的各项都是正数，积也是定值，但是等号成立的条件是当且仅当x ＝1x ，即x ＝1，而函数的定义域是x ≥2，所以这是一个错误的答案．其原因是均值不等式中的等号不成立．其实，根据解题经验，遇到这种情况时，一般就不再用均值不等式求最值了，此时该函数的单调性是确定的，可以利用函数的单调性求得最值．利用函数单调性的定义可以证明，当x ≥2时，函数f (x )＝x ＋1x是增函数，函数f (x )的最小值是f (2)＝2＋12＝52．因此在使用均值不等式求最值时，上面三个条件缺一不可，通常将这三个条件总结成口诀：一正、二定、三相等．二、教材中的“思考与讨论”均值不等式与不等式a 2＋b 2≥2ab 的关系如何？请对此进行讨论． 剖析：(1)在a 2＋b 2≥2ab 中，a ，b ∈R ；在a ＋b ≥2ab 中，a ，b ＞0． (2)两者都带有等号，等号成立的条件从形式上看是一样的，但实质不同(范围不同)．(3)证明的方法都是作差比较法． (4)都可以用来求最值．题型一 利用均值不等式求最值【例1】 (1)已知x ，y ∈(0，＋∞)，且2x ＋y ＝1，求1x ＋1y的最小值；(2)已知x <2，求函数f (x )＝x ＋4x－2的最大值． 分析：(1)利用“1”的代换，即将1x ＋1y 等价转化为⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ×1或2x＋y x ＋2x＋y y 即可；(2)将x ＋4x－2等价转化为－⎝⎛⎭⎪⎫2－x＋42－x ＋2即可．解：(1)1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y (2x ＋y )＝2＋2x y ＋y x ＋1＝3＋2x y ＋yx ≥3＋22x y ·y x＝3＋22，当且仅当2x y ＝yx，即⎩⎨⎧yx＝22x＋y＝1⇒⎩⎨⎧x＝12＋2，y＝22＋2时等号成立．∴1x ＋1y 的最小值为3＋22． (2)∵x <2，∴2－x >0，∴f (x )＝x ＋4x－2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2－x )＋42－x ＋2 ≤－2(2－x )⎝⎛⎭⎪⎫42－x ＋2＝－2， 当且仅当2－x ＝42－x，得x ＝0或x ＝4(舍去)，即x ＝0时，等号成立． ∴x ＋4x－2取得最大值－2． 反思：求最值问题第一步就是“找”定值，观察、分析、构造定值是问题突破口．定值找到还要看“＝”是否成立，不管题目是否要求指出等号成立的条件，都要验证“＝”是否成立．题型二 利用均值不等式比较大小 【例2】 若a ≥b ≥0，试比较a ，a2＋b22，a＋b 2，ab ，21a ＋1b，b 的大小． 分析：这是一个有趣的不等式链，取特殊值可判断其大小关系．借助不等式和重要不等式变形可寻求判断和证明的方法． 解：∵a ≥b ≥0，∴a2＋b22≤a2＋a22＝a ． ∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2，∴a2＋b22≥⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22．又a>0，b>0，则a2＋b22≥⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22＝a＋b2．∵1a＋1b2≥1a·1b，∴ab≥21a＋1b．∵21a＋1b－b＝b(a－b)a＋b≥0，∴21a＋1b≥b．∴a≥a2＋b22≥a＋b2≥ab≥21a＋1b≥b．反思：均值不等式a＋b≥2ab(a，b∈R＋)是综合证明不等式和利用重要不等式求最值的工具，要注意不等式成立的条件，它与两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数是等价命题．有趣的不等式链a2＋b22≥a＋b2≥ab≥21a＋1b(a，b∈R＋)，揭示了两正数倒数和、积、和平方、平方和之间的不等关系，当某一部分为定值时，其余三部分都能取到最值，且都在两数相等时取等号，利用这个不等式链往往使复杂问题简单化，要在理解的基础上记忆和应用．题型三利用均值不等式证明不等式【例3】 已知a，b，c都是正实数，且a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc．分析：注意到a＋b＋c＝1，故可运用“常数代换”的策略将所证不等式的左边的“1”代换成字母形式．证明：∵a＋b＋c＝1，∴(1－a)(1－b)(1－c)＝(b＋c)(a＋c)(a＋b)．又∵a，b，c都是正实数，∴a＋b2≥ab>0，b＋c2≥bc>0，a＋c2≥ac>0．∴(a＋b )(b＋c )(a＋c )8≥abc ．∴(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc ． 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．反思：这是一道条件不等式的证明题，充分利用条件是证题的关键，此题要注意“1”的整体代换及三个“＝”必须同时取到．题型四 利用均值不等式解恒成立问题 【例4】 已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，求正实数a 的最小值．分析：→→解：∵(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y ，又x ＞0，y ＞0，a ＞0，∴y x ＋ax y ≥2y x ·axy＝2a ， ∴1＋a ＋y x ＋axy≥1＋a ＋2a ，∴要使(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只需1＋a ＋2a≥9恒成立即可．∴(a ＋1)2≥9，即a ＋1≥3，∴a ≥4，∴正实数a 的最小值为4． 反思：恒成立问题是数学问题中非常重要的问题，在此类问题的解法中，利用均值不等式和不等式的传递性求解是最重要的一种方法，在高考中经常考查．题型五 易错辨析【例5】 已知0＜x ＜1，求f (x )＝2＋log 5x ＋5log5x的最值． 错解：f (x )＝2＋log 5x ＋5log5x ≥2＋2log5x·5log5x＝2＋25，∴f (x )的最小值为2＋25．错因分析：a ＋b ≥2ab的前提条件是a ，b ＞0，∵0＜x ＜1，∴log 5x ＜0．∴5log5x＜0．∴不能直接使用均值不等式．正解：∵0＜x ＜1，∴log 5x ＜0．∴(－log 5x )＋⎝⎛⎭⎪⎫－5log5x ≥2(－log5x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－5log5x ＝25． ∴log 5x ＋5log5x≤－25． ∴f (x )≤2－25．当且仅当log 5x ＝5log5x，即x ＝5－5时，等号成立，此时f (x )有最大值2－25． 【例6】 求f (x )＝x2＋4x2＋3＋1的最小值． 错解：因为f (x )＝x2＋4x2＋3＋1＝x2＋3＋1x2＋3＋1＝x2＋3＋1x2＋3＋1≥2＋1＝3，所以f (x )＝x2＋4x2＋3＋1的最小值为3． 错因分析：忽视了等号成立的条件，事实上方程x2＋3＝1x2＋3无解，所以等号不成立，正确的处理方法是：利用函数的单调性求最值． 正解：f (x )＝x2＋4x2＋3＋1＝x2＋3＋1x2＋3＋1＝x2＋3＋1x2＋3＋1． 令t ＝x2＋3(t ≥3)，则原函数变为f (x )＝t ＋1t ＋1，在区间[3，＋∞)上是增函数．所以当t ＝3时，f (x )＝t ＋1t ＋1取得最小值433＋1．所以当t ＝3，即x ＝0时，f (x )＝x2＋4x2＋3＋1取得最小值433＋1．。
2020学年高中数学第三章不等式3_2均值不等式二学案新人教B版必修5
3．2 均值不等式 (二)[学习目标] 1.熟练掌握均值不等式及变形的应用.2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题．[知识链接]1．已知x ，y 都是正数，若x ＋y ＝s (和为定值)，那么xy 有最大值还是最小值？如何求？ 答 xy 有最大值．由均值不等式，得s ＝x ＋y ≥2xy ，所以xy ≤s 24，当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24. 2．已知x ，y 都是正数，若xy ＝p (积为定值)，那么x ＋y 有最大值还是最小值？如何求？ 答 x ＋y 有最小值. 由均值不等式，得x ＋y ≥2xy ＝2p .当x ＝y 时，x ＋y 取得最小值2p .[预习导引]1．用均值不等式求最值的结论(1)设x ，y 为正实数，若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x ＝y 时，积xy 有最大值，且这个值为s 24. (2)设x ，y 为正实数，若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值，且这个值为2p .2．均值不等式求最值的条件(1)x ，y 必须是正数；(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足.要点一 均值不等式与最值例1 (1)若x >0，求函数y ＝x ＋4x的最小值，并求此时x 的值； (2)设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值； (3)已知x >2，求x ＋4x －2的最小值； (4)已知x >0，y >0，且 1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．解 (1)当x >0时，x ＋4x ≥2 x ·4x ＝4，当且仅当x ＝4x ，即x 2＝4，x ＝2时取等号． ∴函数y ＝x ＋4x(x >0)在x ＝2时取得最小值4. (2)∵0<x <32，∴3－2x >0，∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2[2x ＋3－2x 2]2＝92. 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立． ∵34∈(0，32)．∴函数y ＝4x (3－2x )(0<x <32)的最大值为92. (3)∵x >2，∴x －2>0，∴x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥2 x －2·4x －2＋2＝6， 当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立． 所以x ＋4x －2的最小值为6. (4)方法一 ∵x >0，y >0，1x ＋9y＝1， ∴x ＋y ＝(1x ＋9y )(x ＋y )＝y x ＋9x y ＋10≥2y x ·9x y＋10＝6＋10＝16， 当且仅当y x ＝9x y ，又1x ＋9y＝1，即x ＝4，y ＝12时，上式取等号． 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.方法二 由1x ＋9y＝1，得(x －1)(y －9)＝9(定值)． 可知x >1，y >9，∴x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10≥2x －1y －9＋10＝16，当且仅当x －1＝y －9＝3，即x ＝4，y ＝12时上式取等号，故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.规律方法 在利用均值不等式求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件．跟踪演练1 (1)已知x >0，求f (x )＝12x＋3x 的最小值； (2)已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值； (3)设x >0，y >0，且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值．解 (1)∵x >0，∴f (x )＝12x ＋3x ≥212x ·3x ＝12，当且仅当3x ＝12x，即x ＝2时取等号．∴f (x )的最小值为12.(2)∵x <3，∴x －3<0.∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－[43－x＋(3－x )]＋3≤－2 43－x ·3－x ＋3 ＝－1，当且仅当43－x＝3－x ，即x ＝1时取等号．∴f (x )的最大值为－1. (3)方法一 由2x ＋8y －xy ＝0，得y (x －8)＝2x ，∵x >0，y >0，∴x －8>0，y ＝2x x －8， ∴x ＋y ＝x ＋2x x －8＝x ＋2x －16＋16x －8＝(x －8)＋16x －8＋10≥2 x －8×16x －8＋10＝18.当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12时，等号成立．∴x ＋y 的最小值是18. 方法二 由2x ＋8y －xy ＝0及x >0，y >0，得8x ＋2y＝1. ∴x ＋y ＝(x ＋y )(8x ＋2y )＝8y x ＋2x y ＋10≥28y x ·2x y＋10＝18. 当且仅当8y x ＝2x y，即x ＝2y ＝12时等号成立． ∴x ＋y 的最小值是18.要点二 均值不等式在实际问题中的应用例2 某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．(1)写出楼房平均综合费用y 关于建造层数x 的函数关系式；(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积) 解 (1)依题意得y ＝(560＋48x )＋2 160×10 0002 000x＝560＋48x ＋10 800x(x ≥10，x ∈N ＋)．(2)∵x >0，∴48x ＋10 800x ≥248×10 800＝1 440， 当且仅当48x ＝10 800x，即x ＝15时取到“＝”， 此时，平均综合费用的最小值为560＋1 440＝2 000(元)．所以当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2 000元． 规律方法 利用均值不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用均值不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件．跟踪演练2 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天的支付的总费用最少？解 设该厂每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨．由题意可知，面粉的保管等其他费用为3×[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1)．设平均每天所支付的总费用为y 元，则y ＝1x [9x (x ＋1)＋900]＋6×1 800＝9x ＋900x＋10 809 ≥29x ·900x＋10 809＝10 989(元)， 当且仅当9x ＝900x，即x ＝10时，等号成立． ∴该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．例3 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2016年巴西里约热内卢奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x 万件与年促销费t 万元之间满足3－x 与t ＋1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2016年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．(1)将2016年的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数．(2)该企业2016年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)解 (1)由题意可设3－x ＝kt ＋1，将t ＝0，x ＝1代入，得k ＝2.∴x ＝3－2t ＋1. 当年生产x 万件时，∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用，∴年生产成本为32x ＋3＝32(3－2t ＋1)＋3. 当销售x (万件)时，年销售收入为150%[32(3－2t ＋1)＋3]＋12t . 由题意，生产x 万件化妆品正好销完，由年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费， 得年利润y ＝－t 2＋98t ＋352t ＋1(t ≥0)． (2)y ＝－t 2＋98t ＋352t ＋1＝50－(t ＋12＋32t ＋1) ≤50－2t ＋12×32t ＋1＝50－216＝42(万元)， 当且仅当t ＋12＝32t ＋1，即t ＝7时，y max ＝42万元， ∴当促销费投入7万元时，企业的年利润最大．规律方法 应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．跟踪演练3 一批货物随17列货车从A 市以v 千米/时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于(v 20)2千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________小时．答案 8解析 设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ，则t ＝400＋16v 202v ＝400v ＋16v 400≥2400v ×16v 400＝8(小时)，当且仅当400v ＝16v 400， 即v ＝100千米/时等号成立，此时t ＝8小时.1．设a 、b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( )A ．6B ．4 2C ．2 6D ．8答案 B解析 ∵a ＋b ＝3，∴2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b ＝28＝4 2. 2．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( ) A ．最大值52B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1答案 D 解析 f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝x －22＋12x －2＝12[(x －2)＋1x －2]≥1.当且仅当x －2＝1x －2， 即x ＝3时等号成立．3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )A ．6.5 mB ．6.8 mC ．7 mD ．7.2 m答案 C解析 设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab ＝4，l ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m)．因为要求够用且浪费最少，故选C.4．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________．答案 4解析 由x ＋2y ＋2xy ＝8，得x ＋2y ＋(2x ＋y 2)2≥8， 即(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0，解得x ＋2y ≥4.1．用均值不等式求最值(1)利用均值不等式求最值要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．(2)利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用均值不等式的条件．(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用均值不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用均值不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y ＝x ＋p x(p >0)的单调性求得函数的最值．2．求解应用题的方法与步骤：(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答．。
高中数学导学案 第3章 3.2《均值不等式》 Word版含答案
3．2 均值不等式 学案【预习达标】⒈正数a 、b 的算术平均数为 ；几何平均数为 ．⒉均值不等式是 。
其中前者是 ，后者是 ．如何给出几何解释？⒊在均值不等式中a 、b 既可以表示数，又可以表示代数式，但都必须保证 ；另外等号成立的条件是 ．⒋试根据均值不等式写出下列变形形式，并注明所需条件）（1）a 2+b 2 ( ) （22（ ） （3）a b b （ ） （4）x x(x>0) （5）x x (x<0) （6）ab ≤ （ ） ⒌在用均值不等式求最大值和最小值时，必须注意a+b 或ab 是否为 值，并且还需要注意等号是否成立．6．⑴函数f(x)=x(2－x)的最大值是 ；此时x 的值为___________________；． ⑵函数f(x)=2x(2－x)的最大值是 ；此时x 的值为___________________； ⑶函数f(x) =x(2－2x)的最大值是 ；此时x 的值为___________________； ⑷函数f(x)=x(2＋x)的最小值是 ；此时x 的值为___________________。
【典例解析】例⒈已知a 、b 、c ∈（0，＋∞），且a+b+c=1，求证a 1 +b 1+c 1≥9．例⒉（1）已知x<45，求函数y=4x －2+541-x 的最大值．（2）已知x>0，y>0，且+x 1y9＝1，求x ＋y 的最小值。
（3）已知a 、b 为常数，求函数y=(x-a)2+(x-b)2的最小值。
【达标练习】一．选择题：⒈下列命题正确的是（ ）Ａ．a 2+1>2a Ｂ．│x+x 1│≥2 Ｃ．abb a +≤2 Ｄ．sinx+x sin 4最小值为4． ⒉以下各命题(1)x 2+112+x 的最小值是1；（2）1222++x x 最小值是2；(3)若a>0,b>0,a+b=1则（a+a 1）(b+b1)的最小值是4，其中正确的个数是（ ） Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 ⒊设a>0,b>0则不成立的不等式为（ ） Ａ．a b ＋ba ≥2 Ｂ．a 2+b 2≥2ab Ｃ．a b 2＋b a 2≥a ＋b Ｄ．b a 11+≥2+ba +2 ⒋设a 、b ∈R ＋，若a+b=2，则ba 11+的最小值等于（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4⒌已知a ≥b>0，下列不等式错误的是（ ）Ａ．a 2+b 2≥2ab Ｂ．222b a a +≥ Ｃ．b a ab ab +≤2 Ｄ．112--+≥ba ab 二．填空题：⒍若a 、b 为正数且a+b=4，则ab 的最大值是________．⒎已知x>1.5，则函数y ＝2x+324-x 的最小值是_________． ⒏已知a 、b 为常数且0<x<1，则xb x a -+122的最小值是_________________________．三．解答题：⒐（1）设a=232xx +，b=26x，c=294x x +且x ≠0，试判断a 、b 、c 的大小。
高中数学 第三章 不等式 3.2 均值不等式学案(无答案)新人教B版必修5(2021年整理)
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3．2 均值不等式一、学习目标：1．掌握均值定理的推导2．培养学生应用均值定理分析问题、解决问题的能力。
二、重点难点：重点：均值定理的推导极其应用难点：均值定理在实际问题中的应用 三、学习过程:（一）自学教材，填空⒈正数a 、b 的算术平均数为 ；几何平均数为 ．⒉均值不等式是 。
其中前者是 ，后者是 ．如何给出几何解释？⒊在均值不等式中a 、b 既可以表示数,又可以表示代数式，但都必须保证 ；另外等号成立的条件是 ．⒋试根据均值不等式写出下列变形形式,并注明所需条件（1）a 2+b 2( ) （2）2ba （ ） （3）ab ＋b a （ ） (4）x ＋x1（ )（5）x ＋x1（ ) （6）ab ≤ （ ）⒌在用均值不等式求最大值和最小值时，必须注意a+b 或ab 是否为 值，并且还需要注意等号是否成立． （二）典型例题例⒈已知a 、b 、c ∈（0，＋∞），且a+b+c=1，求证a 1 +b 1+c1≥9．例⒉（１）一个矩形的面积为100m 2.问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？（２）已知矩形的周长为36m 。
问这个矩形的长、宽各为多少时,它的面积最大?最大面积是多少？（三）课堂训练⒈已知a 、b ∈（0,1)且a ≠b ，下列各式中最大的是（ ）Ａ．a 2+b 2Ｂ．２ab Ｃ．2a b Ｄ．a +b⒉判断下列不等式的证明过程中的正误，并指出错因。
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【解析】
【评析】解应用题应注意两个问题：一是读懂题意， 建立数学模型，即通过题中已知的数量关系，把应用题转 化为单纯的数学问题；二是建模后求解问题，即用相关的 数学知识将其解答出来.
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某单位用木料制作如图3-3-1所示的框架, 框架的下部是边长分别为x，y(单位:m)的 矩形,上部是等腰直角三角形,要求框架围 成的总面积为8 m2,问x、y分别为多少时用 料最省?(精确到0.001 m)
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2 , ab , a b , a 2 b 2 【评析】（1）题中 1 1 2 2 分别叫做 a b
下列不等式：①x+ 1 ≥2;② x 1 ≥2;③若0<x<1<y,则 x x logxy+logyx≤-2;④若0<x<1<y，则logxy+logyx≥2.其 中正确的是 C （ ） A.②④ B.①② C.②③ D.①②④ 解:
1.在理解和应用定理时，要特别注意定理成立的条件， 避免因条件遗漏导致解题结果错误. 2.利用两个正数的算术平均数和几何平均数的关系定 理求函数的最值，是本学案内容的一个重点.这里要指出 的是，应用定理解决实际问题时，使定理成立的条件不一 定现成摆在那里，这就需要根据问题的需要凑配出定理成 立的条件，然后再运用定理解决相关问题. 3.基本不等式及其推论主要用于证明不等式和求函数 的最值.解题时往往需要拆（添）项，其目的：一是创设 一个应用基本不等式的条件；二是使等号成立的条件.
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学点二
证明不等式ห้องสมุดไป่ตู้
1 ≥2(x>0)的应用，故将不等 ≥2 ab(a>0,b>0)的变形x+ x 式的左边进行恰当的变形.
【证明】
111 已知a,b,c∈(0,+≦),且a+b+c=1，求证： a b c ≥9. 【分析】欲证不等式的右边为常数9，联想到公式a+b
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【评析】
图3-3-1
解：
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1.如何理解均值不等式?
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ab 2.对于公式a2+b2≥2ab以及均值不等式ab ≤
应注意什么？
2
，
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3.应用均值不等式求最值时，应注意什么？
（1）已知x,y都是正数，则 ①如果积xy是定值p,那么当x=y时,和x+y有最小 2 P 1 值 ; 4 ②如果和x+y是定值S，那么当x=y时，积xy有最大 值 S2. 即两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两 个正数的和为常数时，它们的积有最大值. （2）利用此公式求最值，必须同时满足以下三个条 件： ①各项均为正数；②其和或积为常数；③等号必须 成立. （3）应用此公式求最值时，还应注意配凑和一定或 积一定，进而用公式求解. 返回目录
学案3
均值不等式
开始
学点一 学点二 学点三 学点四
a=b 时， 1.如果a,b∈R+，那么a b ≥ab ，当且仅当 2 式中等号成立，这个结论通常称为均值不等式. ab 2.对任意两个正实数a,b，数 2 叫做a,b的算术 ab 叫做a,b的几何平均值.均值定理还可表 平均值，数 述为：两个正实数的 算术平均值 的 正数的 . 积为常数 和为常数 3.两个正数的 大于或等于它 几何平均值
解：
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学点四
实际应用
某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元，使用规定：不记 名，每卡每次只限1人，每天只限1次.某班有48名同学， 老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡 外，每次还要包1辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的 包车费均为40元，若使每名同学游8次，那么购买几张游 泳卡最合算？每人最少交多少钱？ 【分析】游泳活动的总费用包括两个方面，即包车费 和买游泳卡费用，可先建立总开支y元的函数关系，再利 用不等式求最值.
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• 一样的软件 • 不一样的感觉 • 一样的教室 • 不一样的心情 • 一样的知识 • 不一样的收获 •
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11 （1）已知a＞0，b＞0，a+b=1，求证： a b 4 4 4 4 （2）证明：a +b +c +d ≥4abcd.
≥4.
解：
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学点三
求最值
求下列函数的最值.
（1）已知x>0，求y=2-x-4
（2）已知x>2，求y=x+ 1
2 x
的最大值；
的最小值；
1 x)的最大值. x(1-2 2
积一定，进而用公式求解.
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2 （1）已知x＞0，y＞0，lgx+lgy=1，求z = 5 x y 12 （2）x＞0，求f(x)= +3x的最小值.
的最小值.
x （3）x＜3，求f(x)= 4 +x的最大值. x3 （4）x∈R，求f(x)=sin2x+1+ 25 的最小值. sin x 1
时，它们的和有最小值；两个
时，它们的积有最大值.
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学点一
均值不等式 的大小.
2 2 a b a b , ab , , 2 设a,b∈R+，试比较 2 2 11 a b
【分析】
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【解析】
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正数a,b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方 平均数，由本题可得一般性结论： 调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数； （2）此组关系应用广泛，可称作广义二元均值定理， 要熟记.
（3）已知0<x< 1 ，求y=
x2
【分析】利用均值定理求函数的最值，需记住：两个 正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为 常数时，它们的积有最大值.
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【解析】
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【评析】（1）利用此公式求最值，必须同时满足以 下三个条件： ①各项均为正数；②其和或积为常数；③等号必须成 立. （2）应用此公式求最值时，还应注意配凑和一定或