北师大版（理科数学）排列组合、二项式定理（1）名师精编单元测试

……………………………………………………………名校名师推荐…………………………………………………
1
专题限时集训(二十) 排列组合、二项式定理
(对应学生用书第157页)
[建议A 、B 组各用时：45分钟] [A 组 高考题、模拟题重组练]
一、排列、组合
1．如图20-20-11，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G
处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
( )
图20-20-1
1 A ．24 B ．18 C ．12
D ．9
B [从E 到G 需要分两步完成：先从E 到F ，再从F 到G .从F 到G 的最短
路径，只要考虑纵向路径即可，一旦纵向路径确定，横向路径即可确定，故
从F 到G 的最短路径共有3条．如图，
从E 到F 的最短路径有两类：先从E 到A ，再从A 到F ，或先从E 到B ，再
从B 到F .因为从A 到F 或从B 到F 都与从F 到G 的路径形状相同，所以从A 到F ，从B 到F 最短路径的条数都是3，所以从E 到F 的最短路径有3＋3＝6(条)．所以小明到老年公寓的最短路径条数为6×3＝18.]
2．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( ) A ．24
B ．48
C．60 D．72 D [第一步，先排个位，有C13种选择；
第二步，排前4位，有A44种选择．
由分步乘法计数原理，知有C 1
3
·A44＝72(个)．]
3．定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有( )
A．18个 B．16个
C．14个 D．12个
C [由题意知：当m＝4时，“规范01数列”共含有8项，其中4项为0,4
项为1，且必有a1＝0，a8＝1.不考虑限制条件“对任意k≤2m，a1，a2，…，
a k中0的个数不少于1的个数”，则中间6个数的情况共有C36＝20(种)，其
中存在k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数少于1的个数的情况有：①若a2＝a3＝1，则有C14＝4(种)；②若a2＝1，a3＝0，则a4＝1，a5＝1，只有1种；
③若a2＝0，则a3＝a4＝a5＝1，只有1种．综上，不同的“规范01数列”共
有20－6＝14(种)．故共有14个．故选C.]
4．(2012·浙江高考)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )
A．60种 B．63种
C．65种 D．66种
D [满足题设的取法可分为三类：一是四个奇数相加，其和为偶数，在5个
奇数1,3,5,7,9中，任意取4个，有C45＝5(种)；二是两个奇数加两个偶数其和为偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2,4,6,8中任取2个，有C25·C24＝60(种)；三是四个偶数相加，其和为偶数，4个偶数的取法有1种，所以满足条件的取法共有5＋60＋1＝66(种)．]
5．某中学高三学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现在从中任选3人，要求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选1人，不同的选取法的种数为( )
【导学号：68334160】 A．484 B．472
C ．252
D ．232 B [分两类，不选三班的同学，利用间接法，没有条件得选择3人，再排除
3个同 自同一班，有C 3
12－3C 3
4＝208种；
选三班的一位同学，剩下的两位同学从剩下的12人中任选2人，有C 1
4·C 2
12＝
264种．
根据分类计数原理，得208＋264＝472，故选B.]
6．下列各式的展开式中x 8的系数恰能表示从重量分别为1,2,3,4，…，10克的砝
码(每种砝码各一个)中选出若干个，使其总重量恰为8克的方法总数的选项是
( ) 【导学号：68334161】
A ．(1＋x )(1＋x 2)(1＋x 3)…(1＋x 10)
B ．(1＋x )(1＋2x )(1＋3x )…(1＋10x )
C ．(1＋x )(1＋2x 2)(1＋3x 3)…(1＋10x 10)
D ．(1＋x )(1＋x ＋x 2)(1＋x ＋x 2＋x 3)…(1＋x ＋x 2＋…＋x 10)
A [从重量分别为1,2,3,4，…，10克的砝码(每种砝码各一个)中选出若干个，
使其总重量恰为8克的方法是选一个，8克，一种方法，选两个，1＋7,2＋6,3＋5，共3种方法，选三个，1＋2＋5，只有一种方法，其他不含1的三个的和至少是2＋3＋4＞8.四个以上的和都大于8，因此共有方法数为5.A 中，x 8
的系数是1＋3＋1＝5(x 8
，x ·x 7
，x 2
·x 6
，x 3
·x 5
，x ·x 2
·x 5
)，B 中，x 8
的系数大于1×2×3×4×5×6×7×8，C 中，x 8的系数大于8(8x 8的系数就是8)，D 中，x 8的系数大于C 4
9＞8(有四个括号里取x 2，其余取1时系数为C 49)．因此只有A 是正确的，故选A.]
7．(2017·浙江高考)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通
队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)
660 [法一：只有1名女生时，先选1名女生，有C 1
2种方法；再选3名男生，
有C 3
6种方法；然后排队长、副队长位置，有A 2
4种方法．由分步乘法计数原理，知共有C 12C 3
6A 2
4＝480(种)选法．
有2名女生时，再选2名男生，有C 2
6种方法；然后排队长、副队长位置，有
A 2
4种方法．由分步乘法计数原理，由分步乘法计数原理，知共有
知共有C 26A 2
4＝180(种)选法．所以依据分类
加法计数原理知共有480＋180＝660(种)不同的选法． 法二：不考虑限制条件，共有A 28C 2
6种不同的选法， 而没有女生的选法有A 26C 2
4种， 故至少有1名女生的选法有
A 2
8C 26－A 2
6C 2
4＝840－180＝660(种)．] 8．(2014·浙江高考)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将
这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．
60 [把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无
奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A 4
4种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C 2
3种分法，再分给4人有
C 2
3A 2
4种分法，所以不同获奖情况种数为A 44＋C 23A 2
4＝24＋36＝60.]
二、二项式定理
9．(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30
D ．60
C [法一：(x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5
，
含
y 2
的项为T 3＝C 2
5(x 2＋x )3·y 2.
其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 1
3x 4·x ＝C 1
3x 5.
所以x 5y 2
的系数为C 25C 1
3＝30.故选C.
法二：(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有两个取y ，两个取x 2，一个
取x 即可，所以
x 5y 2
的系数为C 25C 2
3C 1
1
1＝30.故选C.]
10．(2014·浙江高考)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n
项的系数为f (m ，n )，
则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝( ) A ．45 B ．60 C ．120
D ．210
C [因为f (m ，n )＝C m
6C n
4， 所以f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)
＝C 3
6C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 0
6C 3
4＝120.]
11．已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( ) A ．－4
B ．－3
C ．－2
D ．－1 D [(1＋x )5中含有x 与x 2
的项为T 2＝C 15x ＝5x ，T 3＝C 25x 2＝10x 2，∴x 2的系数
为10＋5a ＝5，∴a ＝－1，故选D.]
12．已知多项式(x ＋1)3(x ＋2)2＝x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5，
则a 4＝________，a 5＝________.
16 4 [由题意知a 4为含x 的项的系数，根据二项式定理得a 4＝C 23×12×C 2
2
×22＋C 33×13×C 12×2＝16，a 5是常数项，所以a 5＝C 33×13×C 2
2×22＝4.] 13．(2016·全国乙卷)(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是________．(用数字填写
答案)
10 [(2x ＋x )5
展开式的通项为T r ＋1＝C r
5(2x )5－r ·(
x )r
＝2
5－r
·C r 5·x 5－r 2
.
令5－r
2＝3，得r ＝4.
故x 3的系数为25－
4·C 45＝2C 4
5＝10.]
14.è
çæø÷öax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________.
－2 [T r ＋1＝C r 5·(ax 2)5－r èçæø
÷ö1x r ＝C r 5·a 5－
r x 10－52r .令10－52r ＝5，解得r ＝2.又展开
式中x 5
的系数为－80，则有C 2
5·a 3＝－80，解得a ＝－2.]
15．(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________. 3 [设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5. 令x ＝1，得(a ＋1)×24＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5.① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.② ①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×32，∴a ＝3.] 16．设二项式è
ççæø÷÷ö
x －13x 5的展开式中常数项为A ，则A ＝________. －10 [T r
＋
1
＝C
r 5(
x )
5－r è
ççæø
÷÷ö
－
13x r ＝C r
5(－1)r x 52－5r 6，令52－5r 6＝0，得r ＝3，所以
A ＝－C 3
5＝－10.]
17．已知对任意实数x ，有(m ＋x )(1＋x )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，若a 1＋a 3＋
a 5＋a 7＝32，则m ＝________. 【导学号：68334162】
0 [设(1＋x )6
＝b 0＋b 1x ＋b 2x 2
＋…＋b 6x 6
，则a 1＝b 0＋mb 1，a 3＝b 2＋mb 3，a 5
＝b 4＋mb 5，a 7＝b 6， 所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝(b 0＋b 2＋b 4＋b 6)＋m (b 1＋b 3＋b 5)，又由二项式定理知 b 0＋b 2＋b 4＋b 6＝b 1＋b 3＋b 5＝1
2
(1＋1)6＝32，所以32＋32m ＝32，m ＝0.]
[B 组 “8＋7”模拟题提速练] 一、选择题
1．某校开设10门课程供学生选修，其中A ，B ，C 三门由于上课时间相同，至
多选一门，学校规定：每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是
( )
A ．70
B ．98
C ．108
D ．120
B [可分为两类：选A ，B ，
C 中的一门，其它7 中选两门，有C 13C 2
7＝63；
不选A ，B ，C 中的一门，其它7 中选三门，有C 3
7＝35；所以共有98种，故选B.] 2．在èçæø÷ö
ax 6＋b x 4的二项展开式中，如果x 3的系数为20，那么ab 3＝( )
A ．20
B ．15
C ．10
D ．5
D [T r ＋1＝C r 4·(ax 6)4－r ·èçæø
÷öb x r ＝C r 4a 4－
r b r x 24－
7r ，令24－7r ＝3，得r ＝3，则4ab 3
＝20，∴ab 3＝5.]
3．(2018·杭州二模)某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢4个红包，
每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中两个2元，两个3元(红包
金额相同视为相同的红包)，则甲、乙两人都抢到红包的情况有( ) A ．36种 B ．24种 C ．18种
D ．9种
C [由题意可得丙、丁、戊中有1人没有抢到红包，且抢到红包的4人中有
2人抢到2元红包，另2人抢到3元红包，则甲、乙两人都抢到红包的情况有C 13C 2
4＝18种，故选C.]
4．七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙，丙两位
同学要站在一起，则不同的排法有( ) A ．240种 B ．192种 C ．120种
D ．96种
B [不妨令乙丙在甲左侧，先排乙丙两人，有A 2
2种站法，再取一人站左侧有C 14×A 22种站法，余下三人站右侧，有A 3
3种站法，考虑到乙丙在右侧的站法，故总的站法总数是2×A 2
2×C 1
4×A 2
2×A 3
3＝192，故选B.]
5．某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博
物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有( ) A ．A 2
6×A 4
5种
B ．A 2
6×54种
C ．C 26
×A 45种 D ．C 26×54种 D [有两个年级选择甲博物馆共有C 2
6种情况，其余四个年级每个年级各有5
种选择情况，故有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有C 2
6×54种，故选D.]
6．在èçæ
ø÷ö1＋x ＋1x 2 01810的展开式中，含x 2项的系数为( )
A ．10
B ．30
C ．45
D ．120
C [因为èçæø÷ö1＋x ＋1x 2 01810＝ëêé
û
úù(1＋x )＋1x 2 01810
＝(1＋x )10＋C 110(1＋x )91x 2 018＋…＋C 1010èçæø
÷ö1x 2 01810，所以x 2项只能在(1＋x )10的展
开式中，所以含x 2
的项为C 2
10x 2
，系数为C 2
10＝45，故选C.]
7．(x ＋2y )7的展开式中，系数最大的项是( )
【导学号：68334163】
A ．68y 7
B ．112x 3y 4
C ．672x 2y 5
D ．1 344x 2y 5
C [设第r ＋1项系数最大，
则有îíì
C r
7·2r
≥C r －1
7·2r
－1，C r 7·2r ≥C r ＋17·2r ＋1
，
即îïí
ïì
7！r ！(7－r )！·2r ≥7！(r －1)！(7－r ＋1)！·2r －1
，7！r ！(7－r )！·2r
≥7！(r ＋1)！(7－r －1)！·2r ＋1，
即îïí
ïì 2r ≥1
8－r ，17－r ≥2r ＋1，
解得îïíïì
r ≤163
，r ≥13
3.
又∵r ∈Z ，∴r ＝5，∴系数最大的项为T 6＝C 5
7x 2·25y 5＝672x 2y 5.故选C.] 8．若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值是
( ) A ．1
B ．－1
C ．0
D ．2 A [令x ＝1，则a 0＋a 1＋…＋a 4＝(2＋3)4， 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(－2＋3)4， ∴(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2
＝(a 0＋a 1＋…＋a 4)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4) ＝(2＋3)4(－2＋3)4 ＝1.]
二、填空题
9．若èçæ
ø
÷öx ＋a x 29的二项展开式的常数项是84，则实数a ＝________.
【导学号：68334164】
1 [∵èçæø÷öx ＋a x 29的二项式展开式的通项为T r ＋1＝C r 9a r x 9－3r ，
令9－3r ＝0，即r ＝3，常数项为T 4＝C 3
9a 3＝84a 3， 依题意，有84a 3＝84，∴a ＝1.]
10．如果è
ççæø÷÷ö3x －1
3x 2n
的展开式中各项系数之和为128，则展开式中1x 3的系数是________．
21 [è
ççæø÷÷ö3x －13x 2n 的展开式的各项系数之和为è
ç
çæø÷÷ö3×1－1312n ＝2n ＝128，所以n ＝7，所以èç
çæø÷÷ö3x －13x 2n ＝èççæø÷÷ö
3x －13x 27，其展开式的通项为 T r ＋1＝C r
7(3x )7－r è
ççæø÷÷ö－13x 2r ＝C r
7·37－r ·x 7－r ·(－x
)r ＝(－1)r
C r
737－
r x
，由7－5
3r
＝－3，得r ＝6，所以1
x
3的系数是C r 7·(－1)6·3＝21.]
11．将A ，B ，C ，D ，E ，F 六个字母排成一排，且A ，B 均在C 的同侧，则不
同的排法共有________种(用数字作答)．
480 [①当C 在第一或第六位时，有A 5
5＝120(种)排法；
②当C 在第二或第五位时，有A 2
4A 3
3＝72(种)排法； ③当C 在第三或第四位时，有A 22A 33＋A 23A 3
3＝48(种)排法．
所以共有2×(120＋72＋48)＝480(种)排法．]
12．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任
取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为________．
472 [由题意，
不考虑特殊情况，共有C 316种取法，其中每一种卡片各取三张，有4C 3
4种取法，两种红色卡片，共有
C 2
4C 112种取法，故所求的取法共有C 3
16－
4C 34－C 24C 1
12＝560－16－72＝472.]
13．已知(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，则a 8等于________． 180 [因为(1＋x )10
＝(－2＋1－x )10
，所以a 8等于C 8
10(－2)2＝45×4＝180.] 14．甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利72周年阅兵庆典后，在
天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有
________种．种．
24 [甲乙相邻，将甲乙捆绑在一起看作一个元素，共有A 4
4A 2
2种排法，甲乙
相邻且在两端有
C 1
2A 3
3A 2
2种排法，故甲乙相邻且都不站在两端的排法有A 4
4A 2
2－
C 1
2A 3
3A 2
2＝24(种)．]
15．已知(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9＋a 10x 10，则a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10的
值为________．
20 [令x＝1得a0＋a1＋a2＋…＋a9＋a10＝1，再令x＝0，得a0＝1，所以a1
＋a2＋…＋a9＋a10＝0，又易知a1＝C910×21×(－1)9＝－20，所以a2＋a3＋…
＋a9＋a10＝20.]。