北师大版高中数学必修5同步学案：第1章 等差数列的概念及其通项公式

§2 等差数列
2.1 等差数列
第1课时等差数列的概念及其通项公式
学习目标核心素养
1.理解等差数列的概念．(难点)
2．掌握等差数列的判定方法．(重点) 3．会求等差数列的通项公式及利用通项公式求特定的项．(重点、难点) 1.通过等差数列概念的学习培养学生的数学抽象素养．
2．借助于等差数列的通项公式提升学生的数学运算素养.
1．等差数列的概念
阅读教材P10～P11例1以上部分,完成下列问题．
文字语言从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,这样的数列就叫作等差数列．这个常数称为等差数列的公差,通常用字母d 表示
符号
语言
若a n－a n－1＝d(n≥2),则数列{a n}为等差数列
思考：(1)数列{a n}的各项为：n,2n,3n,4n,…,数列{a n}是等差数列吗？
[提示] 不是,该数每一项与其前一项的差都是n,不是常数,所以不是等差数列．
(2)若一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都是常数,这个数列一定是等差数列吗？
[提示] 不一定,当一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都是同一个常数时,这个数列才是等差数列．
如数列：1,2,3,5,7,9,就不是等差数列．
2．等差数列的通项公式
如果等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式为a n＝a1＋(n－1)d．
思考：(1)若已知等差数列{a n}的首项a1和第二项a2,可以求其通项公式吗？
[提示] 可以,可利用a2－a1＝d求出d,即可求出通项公式．
(2)等差数列的通项公式一定是n的一次函数吗？
[提示] 不一定,当公差为0时,等差数列的通项公式不是n的一次函数,而是常数函数．
3．等差数列通项公式的推导
如果等差数列{a n}的首项是a1,公差是d,根据等差数列的定义得到a2－a1＝d,a3－a2＝d,a4－a3＝d,…
所以a2＝a1＋d,
a 3＝a 2＋d ＝a 1＋d ＋d ＝a 1＋2d, a 4＝a 3＋d ＝a 1＋2d ＋d ＝a 1＋3d, ……
由此归纳出等差数列的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ．
1．等差数列{a n }中a 1＝2,公差d ＝3,则a n ＝( ) A ．2n ＋1 B ．3n ＋1 C ．2n －1
D ．3n －1
D [a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋3(n －1)＝3n －1.] 2．在等差数列{a n }中,a 1＝0,a 3＝4,则公差d ＝( ) A ．4 B ．2 C ．－4
D ．－2
B [a 3－a 1＝4－0＝2d,故d ＝2.]
3．等差数列32,－12,－5
2,…的第10项为( )
A ．－372
B ．－332
C ．372
D ．332
B [由a 1＝32,d ＝－12－3
2＝－2,得
a n ＝32＋(n －1)(－2)＝－2n ＋7
2.
所以a 10＝－2×10＋72＝－332
.]
4．已知等差数列{a n }中,d ＝－1
3
,a 7＝8,则a 1＝________.
10 [由a 7＝a 1＋6d ＝8且d ＝－1
3
代入解得a 1＝8－6d ＝8＋2＝10.]
等差数列的判定
【例1(1)a n ＝3－2n ；(2)a n ＝n 2
－n.
[解] (1)因为a n ＋1－a n ＝[3－2(n ＋1)]－(3－2n)＝－2,是常数,所以数列{a n }是等差数列．
(2)因为a n ＋1－a n ＝[(n ＋1)2
－(n ＋1)]－(n 2
－n)＝2n,不是常数,所以数列{a n }不是等差数列．
等差数列的判断方法——定义法
等差数列的定义是判断一个数列是否为等差数列的重要依据,要证明一个数列是等差数列,可用a n ＋1－a n ＝d(常数)或a n －a n －1＝d(d 为常数且n≥2)．但若要说明一个数列不是等差数列,则只需举出一个反例即可．
[提醒] 当d ＞0时,等差数列{a n }是递增数列； 当d ＜0时,等差数列{a n }是递减数列； 当d ＝0时,等差数列{a n }是常数列．
1．若数列{a n }满足a n ＋1＝a n
2a n ＋1,a 1＝1,求证：数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 是等差数列．
[证明] 由a n ＋1＝a n 2a n ＋1得1a n ＋1＝2a n ＋1a n ＝2＋1
a n ,
即
1
a n ＋1－1
a n ＝2,所以数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 是首项为1,公差为2的等差数列．
等差数列的通项公式及应用
【例2】 (1)求等差数列8,5,2,…的第20项；
(2)在等差数列{a n }中,已知a 6＝12,a 18＝36,求通项公式a n . [解] (1)由a 1＝8,a 2＝5,得d ＝a 2－a 1＝5－8＝－3, 故a n ＝8－3(n －1)＝11－3n, 则a 20＝11－3×20＝－49.
(2)由题意可得⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1＋5d ＝12，a 1＋17d ＝36，
解得d ＝2,a 1＝2,
故a n ＝2n.
等差数列通项公式的四个应用
(1)已知a n ,a 1,n,d 中的任意三个量,可以求出第四个量．
(2)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项,也可以判断某一个数是不是该数列中的项． (3)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a 1和d 的方程组,求出a 1和d,从而确定通项公式,求出待求项．
(4)若数列{a n }的通项公式是关于n 的一次函数或常数函数,则可判断数列{a n }是等差数列．
2．(1)等差数列{a n }中,a 2＝4,公差d ＝3,a n ＝22,求n ；
(2)判断－401是不是等差数列－5,－9,－13,…的项,如果是,是第几项？
[解] (1)由条件知⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＋3＝4，
a 1＋3(n －1)＝22，解得a 1＝1,n ＝8；
(2)由a 1＝－5,d ＝－9－(－5)＝－4,
得这个数列的通项公式为a n ＝－5＋(n －1)×(－4)＝－4n －1. 由题意,令－401＝－4n －1,得n ＝100, 即－401是这个数列的第100项．
等差数列的实际应用
[1．一种游戏软件的租金,第一天5元,以后每一天比前一天多1元,那么第n(n≥2)天的租金怎样表示？每天的租金数有什么特点？
[提示] 每天的租金构成以5为首项,以1为公差的等差数列,a n ＝5＋(n －1)×1＝n ＋4(n≥2)． 2．直角三角形三边长成等差数列,你能求出三边的比吗？
[提示] 设直角三角形的三边长分别为a,a ＋d,a ＋2d(a ＞0,d ＞0),则(a ＋2d)2
＝a 2
＋(a ＋d)2
,即a 2
－2ad －3d 2
＝0,
解得a ＝3d,则三边长分别为3d,4d,5d, 故三边长的比为3∶4∶5.
【例3】 某市出租车的计价标准为1.2 元/km,起步价为10元,即最初的4 km(不含4 km)计费10元,如果某人乘坐该市的出租车去往14 km 处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,那么需要支付多少车费？
思路探究：某人需支付的车费构成等差数列,运用等差数列的知识去解决．
[解] 根据题意,当该市出租车的行程大于或等于4 km 时,每增加1 km,乘客需要支付1.2元．
所以,可以建立一个等差数列{a n }来计算车费． 令a 1＝11.2,表示4 km 处的车费,公差d ＝1.2, 那么当出租车行至14 km 处时,n ＝11,
此时需要支付车费a 11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．即需要支付车费23.2元．
1．(变条件)在例3中,若某人乘坐该市的出租车去往18.5 km(不足1 km,按1 km 计费),且一路畅通,
等候时间为0,那么,需支付多少车费？
[解] 由题意知,当出租车行至18.5 km 处时,n ＝16,此时需支付车费a 16＝11.2＋(16－1)×1.2＝29.2(元)．
2．(变结论)在例3中,若某人乘坐该市的出租车去往n km(n ∈ N ＋)处的目的地,求其需支付的车费a n .
[解] 当n ∈{1,2,3}时,a n ＝10,
当n ∈N ＋,且n≥4时,a n ＝11.2＋(n －4)×1.2＝1.2n ＋6.4.
所以a n ＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
10，n ∈{1，2，3}，1.2n ＋6.4，n≥4且n ∈N ＋.
应用等差数列解决实际问题的步骤
(1)审题,读懂题意,把握已知条件与求解问题． (2)将实际问题抽象为等差数列模型． (3)利用等差数列解决问题．
(4)验证答案是否符合实际问题的意义．
1．等差数列的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d,已知a 1,n,d,a n 这四个量中的三个,可以求得另一个量． 2．等差数列的判定关键是看a n ＋1－a n (或a n －a n －1(n≥2))是否为一个与n 无关的常数． 3．对于通项公式的理解．
a n ＝a 1＋(n －1)d ⇒a n ＝nd ＋(a 1－d),所以,当d≠0时,a n 是关于n 的一次函数,一次项系数就是等差数列的公差,当d ＝0时,等差数列{a n }为常数列：a 1,a 1,a 1,…,a 1,…
1．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)常数列是等差数列．( )
(2)－1,－2,－3,－4,－5不是等差数列．( ) (3)若数列{a n }是等差数列,则其公差d ＝a 7－a 8.( ) [答案] (1)√ (2)× (3)×
[提示] (1)正确,(2)不正确,数列－1,－2,－3,－4,－5是公差为－1的等差数列；(3)不正确,公差d ＝a 8－a 7.
2．下列数列是等差数列的是( ) A ．13,15,17,19 B ．1,3,5,7 C ．1,－1,1,－1
D ．0,0,0,0
D [由等差数列的定义知：0,0,0,0是等差数列,选D ．] 3．在等差数列{a n }中,a 2＝4,a 8＝a 6＋3,则a 1＝________.
5
2 [由已知得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＋d ＝4，a 1＋7d ＝a 1＋5d ＋3，
解得a 1＝5
2
.]
4．在等差数列{a n }中,a 5＝10,a 12＝31,求a 20,a n . [解] 由a 5＝10,a 12＝31, 得7d ＝a 12－a 5＝21,
所以d ＝3,a 1＝a 5－4d ＝10－4×3＝－2. 所以a 20＝a 1＋19d ＝－2＋19×3＝55,
a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2＋3(n －1)＝3n －5(n ∈N ＋)．。