解三角形和数列

数列和解三角形大题专练
1．(2023•济宁一模)已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a1=1，na n+1=2S n+n(n∈N*)．
(1)求证：数列为常数列；
(2)设，求T n．
2．(2023•江宁区一模)设S n为数列{a n}的前n项和，a2=7，对任意的自然数n，恒有．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)若集合A={x|x=a n，n∈N*}，B={x|x=3n，n∈N*}，将集合A∪B中的所有元素按从小到大的顺序
排列构成数列{b n}，计数列{b n}的前n项和为T n．求T102的值．
3．(2023•汕头一模)已知T n为正项数列{a n}的前n项的乘积，且a1=3，=．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)设b n=，数列{b n}的前n项和为S n，求[S2023]([x]表示不超过x的最大整数)．
4．(2023•广州模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n，且．
(1)求a
，并证明数列是等差数列；
1
(2)若，求正整数k的所有取值．
5．(2023•广东模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n，且．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)若b n=na n，且数列{b n}的前n项和为T n，求证：当n≥3时，．6．(2023•宁波模拟)y=f(x)的图象为自原点出发的一条折线，当n-1≤y≤n(n∈N*)时，该函数图象是
斜率为b n(b≠0)的一条线段．已知{a n}由定义．
(1)用b表示a
1
，a2；
(2)若b=2，记T n=a
1+2a
2
+⋯+na n，求证：．
7．(2023•邵阳二模)已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=2，S n+1=S n+4a n-3，记b n=log2(a n-1)+3．
(1)求数列{b n}的通项公式；
(2)已知，记数列{c n}的前n项和为T n，求证：．
8．(2022秋•慈溪市期末)记x i=x1+x2+x3+⋯+x n，，x i=x1×x2×x3×⋯×x n，n∈N*，已知数列{a n}
和{b n}分别满足：a i=n2，b i=()n2+n．
(1)求{a n}，{b n}的通项公式；
(2)求a i b i．
9．(2023•南平模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n，，a2=3．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)设，数列{b n}的前n项和为T n，求T n的取值范围．
10．(2023•杭州一模)已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+2=2a n．
(1)求a
2
及数列{a n}的通项公式；
(2)在a n与a n+1之间插入n个数，使得这(n+2)个数依次组成公差为d的等差数列，求数列{}的前n
项和T n．
11．(2023•南通模拟)设数列{a n}的前n项和为S n，已知S n=2a n-n+1．
(1)证明：数列{a n+1}是等比数列；
(2)若数列{b n}满足b
1=a
2
，，求数列{b n}的前14项的和．
12．(2023•杭州一模)已知△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足2c sin A cos B+2b sin A cos C
=a，c>a．
(1)求角A；
(2)若b=2，BC边上中线AD=，求△ABC的面积．
13．(2023•宁波模拟)记锐角△ABC的内角为A，B，C，已知sin2A=sin B sin C．
(1)求角A的最大值；
(2)当角A取得最大值时，求2cos B+cos C的取值范围．
14．(2022秋•温州期末)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=1．
(1)求B；
(2)若，△ABC内切圆的面积为π，求△ABC的面积．
15．(2023•龙岩模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
(1)求角B；
(2)若D是AC边上的点，且AD=3DC=3，∠A=∠ABD=θ，求sinθ的值．
16．(2023•湖北模拟)在△ABC中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且c= 2，点D在线段BC上．
(1)若，求AD的长；
(2)若的面积为，求的值．
17．(2023•南通模拟)如图，在平面四边形ABCD中，AB=1，，CD=2，．
(1)若BC⊥CD，求sin∠ADC；
(2)记△ABD与△BCD的面积分别记为S
和S2，求的最大值．
1
18．(2023•广州模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a．
(1)证明：sin A+sin C=2sin B；
(2)若，求△ABC的面积．
19．(2023•平湖市模拟)已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足
．
(1)求角A的大小；
(2)设AD是BC边上的高，且AD=2，求△ABC面积的最小值．
20．(2023•烟台一模)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c-2b cos A=b．
(1)求证：A=2B；
(2)若A的角平分线交BC于D，且c=2，求△ABD面积的取值范围．
参考答案与试题解析
一．解答题(共20小题)
1．(2023•济宁一模)已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a1=1，na n+1=2S n+n(n∈N*)．
(1)求证：数列为常数列；
(2)设，求T n．
【解答】解：(1)证明：∵na n+1=2S n+n，
+n-1，n≥2，
∴(n-1)a n=2S n-
1
两式相减得：na n+1-(n-1)a n=2a n+1，
∴na n+1=(n+1)a n+1，
+1)=(n+1)(a n+1)，
∴n(a n+
1
∴，(n≥2)，
又a2=2S1+1=2a1+1=3，∴，上式也成立，
∴数列为常数列；
(2)由(1)得，
∴a n=2n-1，
∴=，
∴，
两式相减得=
，
∴．
2．(2023•江宁区一模)设S n为数列{a n}的前n项和，a2=7，对任意的自然数n，恒有．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)若集合A={x|x=a n，n∈N*}，B={x|x=3n，n∈N*}，将集合A∪B中的所有元素按从小到大的顺序
排列构成数列{b n}，计数列{b n}的前n项和为T n．求T102的值．
【解答】解：(1)a2=7，对任意的自然数n，恒有，
可得n=1时，a1=2a1-3，解得a1=3；
n=2时，2a2=2S2-6=2(a1+a2)-6，解得a1=3；
n=3时，3a3=2S3-9=2(a1+a2+a3)-9，解得a3=11．
当n≥2时，na n=2S n-3n变为(n-1)a n-1=2S n-1-3(n-1)，
两式相减可得(n-2)a n=(n-1)a n-1-3，
当n≥3时，上式变为(n-3)a n-1=(n-2)a n-2-3，
上面两式相减可得a n+a n-2=2a n-1，
且a1+a3=2a2，
所以数列{a n}是首项为3，公差为4的等差数列，可得a n=3+4(n-1)=4n-1；
(2)集合A={x|x=4n-1，n∈N*}，B={x|x=3n，n∈N*}，
集合A∪B中的所有元素的最小值为3，且3，27，243三个元素是{b n}中前102项中的元素，且是A∩B中的元素，
所以T102=(a1+a2+a3+...+a100)+9+81=×100×(3+400-1)+90=20190．
3．(2023•汕头一模)已知T n为正项数列{a n}的前n项的乘积，且a1=3，=．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)设b n=，数列{b n}的前n项和为S n，求[S2023]([x]表示不超过x的最大整数)．
【解答】解：(1)T n为正项数列{a n}的前n项的乘积，且a1=3，=，
可得n≥2时，==，
即为=，
两边取3为底的对数，可得(n-1)log3a n=n log3a n-1，
即为==...==1，
所以log3a n=n，
则a n=3n，对n=1也成立，
所以a n=3n，n∈N*；
(2)b n===1-，
数列{b n}的前n项和为S n=n-(++...+)
>n-2(++...+)=n-1+，
所以S2023>2023-1+=2022+>2022，
又S2023=2023-(+...+)<2023，
所以[S2023]=2022．
4．(2023•广州模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n，且．
(1)求a
1
，并证明数列是等差数列；
(2)若，求正整数k的所有取值．
【解答】解：(1)证明：∵①，
∴当n=1时，S
1+2=2a
1
+1，解得a
1
=1，
当n≥2时，S n-1+2n-1=2a n-1+1②，
由①-②得a n+2n-1=2a n-2a n-1，即a n-2a n-1=2n-1，
∴-=，
又，
∴数列{}是首项为，公差为的等差数列；
(2)由(1)得=+(n-1)=n，即a n=n•2n-1，
∴S n=1+2×2+3×22+...+n•2n-1③，
2S n=2+2×22+3×23+...+n•2n④，
由③-④得-S n=1+2+22+...+2n-1-n•2n=-n•2n=(1-n)2n-1，
∴S n=(n-1)•2n+1，则S
2k
=(2k-1)•22k+1，2=k2•22k-1，
∵，∴k2•22k-1<(2k-1)•22k+1，即k2-4k+2-<0，
令f(x)=x2-4x+2-，
∵y=x2-4x+2=(x-2)2-2在(2，+∞)上单调递减，y=-在(2，+∞)上单调递减，
∴f(x)=x2-4x+2-在(2，+∞)上单调递减，
又f(1)=1-4+2-=-<0，f(2)=4-8+2-=-<0，f(3)=9-12+2-=-
<0，f(4)=2->0，
要使，即f(x)<0，
故正整数k的所有取值为1，2，3．
5．(2023•广东模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n，且．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)若b n=na n，且数列{b n}的前n项和为T n，求证：当n≥3时，．
【解答】解：(1)∵，
∴n≥2时，S
1+2S
2
+⋯+(n-1)S n-
1
=(n-1)3，
相减可得：nS n=n3-(n-1)3，可得S n=3n-3+，
n=1时，a1=S1=1．
n≥2时，a n=S n-S n-1=3n-3+-[3(n-1)-3+]=3+-，
n=1时，上式不满足，
∴a n=．
(2)证明：n=1时，b
1
=1，
n≥2时，b n=na n=3n+1-=3n-，
当n≥3时，数列{b n}的前n项和为T n=1+6-1+3×(3+4+⋯+n)-(++⋯+)
=6+3×-(++⋯+)
=-3-(++⋯+)，
要证明当n≥3时，，
即证明当n≥3时，1≤++⋯++，
令f(n)=++⋯++-1，
n=3时，f(3)=0成立，
而f(n)单调递增，因此当n≥3时，1≤++⋯++成立，
即当n≥3时，．
6．(2023•宁波模拟)函数y=f(x)的图象为自原点出发的一条折线，当n-1≤y≤n(n∈N*)时，该函数图
象是斜率为b n (b ≠0)的一条线段．已知数列{a n }由定义．
(1)用b 表示a 1，a 2；
(2)若b =2，记T n =a 1+2a 2+⋯+na n ，求证：．
【解答】解：(1)由题意可得，
，
，
解得：，；
证明：(2)当b =2时，由，得，
∴
，则
，
∴T n =a 1+2a 2+⋯+na n =(1+2+...+n )-()=()，
令P n =，
则
，
∴==，
∴
，
则
>．
7．(2023•邵阳二模)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1=2，S n +1=S n +4a n -3，记b n =log 2(a n -1)+3．
(1)求数列{b n }的通项公式；
(2)已知，记数列{c n }的前n 项和为T n ，求证：
．
【解答】解：(1)由S n +1=S n +4a n -3，可得S n +1-S n =4a n -3，即a n +1=4a n -3，即有a n +1-1=4(a n -1)，可得a n -1=(a 1-1)•4n -1=4n -1，
则b n =log 2(a n -1)+3=log 24n -1，+3=2n +1；
(2)证明：=(-1)n +1•
=(-1)n +1•
(
+
)，
当n为偶数时，
T n=(+)-(+)+...-(+)=(-)，
由{-}在n∈N*上递增，可得T n≥T2=(-)=；
当nn为奇数时，
T n=(+)-(+)+...+(+)=(+)，
由>0，可得T n>>．
所以．
8．(2022秋•慈溪市期末)记x i=x1+x2+x3+⋯+x n，，x i=x1×x2×x3×⋯×x n，n∈N*，已知数列{a n}
和{b n}分别满足：a i=n2，b i=()n2+n．
(1)求{a n}，{b n}的通项公式；
(2)求a i b i．
【解答】解：(1)∵a i=n2，b i=()n2+n，
∴n≥2时，a n=n2-(n-1)2=2n-1，b n===3n．
n=1时，a1=1，b1=3，满足上式，
∴a n=2n-1，b n=3n．
(2)a n b n=(2n-1)3n．
∴a i b i=T n=3+3×32+5×33+⋯+(2n-1)3n，
3T n=32+3×33+⋯+(2n-3)3n+(2n-1)3n+1，
相减可得：-2T n=3+2(32+33+⋯+3n)-(2n-1)3n+1=3+2×-(2n-1)3n+1，
化为：T n=(n-1)3n+1+3，即a i b i=(n-1)3n+1+3．
9．(2023•南平模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n，，a2=3．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)设，数列{b n}的前n项和为T n，求T n的取值范围．
【解答】解：(1)因为a n+1=S n+1-S n，所以由，
得，所以，
所以，即．
在中，令n=1，得，所以a1=1．
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，即：．
当n≥2时，，a1=1也适合上式，
所以数列{a n}的通项公式为a n=2n-1．
(2)由(1)知，，
所以，
因为b n>0，所以T n随着n的增大而增大，所以，
又显然，所以，即T n的取值范围为．
10．(2023•杭州一模)已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+2=2a n．
(1)求a
及数列{a n}的通项公式；
2
(2)在a n与a n+1之间插入n个数，使得这(n+2)个数依次组成公差为d的等差数列，求数列{}的前n
项和T n．
【解答】解：(1)由题意，当n=1时，S1+2=a1+2=2a1，解得a1=2，
当n=2时，S2+2=2a2，
即a1+a2+2=2a2，解得a2=4，
当n≥2时，由S n+2=2a n，
可得S n-1+2=2a n-1，
两式相减，可得a n=2a n-2a n-1，
整理，得a n=2a n-1，
∴数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴a n=2•2n-1=2n，n∈N*．
(2)由(1)可得，，，
在a n与a n+1之间插入n个数，使得这(n+2)个数依次组成公差为d的等差数列，
则有a n+1-a n=(n+1)d n，
∴，
∴，
∴T n=++•••+=+++•••+，
，两式相减，
可得T n=+++•••+-
=1+-
=-，
∴T n=3-．
11．(2023•南通模拟)设数列{a n}的前n项和为S n，已知S n=2a n-n+1．
(1)证明：数列{a n+1}是等比数列；
(2)若数列{b n}满足b
1=a
2
，，求数列{b n}的前14项的和．
【解答】解：(1)S n=2a n-n+1⋯①，则S n+1=2a n+1-(n+1)+1⋯②，
②-①，得a n+1=2a n+1-2a n-1，即a n+1=2a n+1，∴a n+1+1=2(a n+1)，即，令S n=2a n-n+1中n=1，得S1=a1=2a1-1+1，解得a1=0，则a1+1=1，
∴{a n+1}是首项为1，公比为2的等比数列．
(2)由(1)知，则，
∴，且，
∴当n为偶数时，，即，
∴b
1+b
2
+⋯+b14=b
1
+(b
2
+b
3
)+(b
4
+b
5
)+⋯+(b12+b13)+b14
=1+21-1+23-1+⋯+211-1+212-1
=．
12．(2023•杭州一模)已知△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足2c sin A cos B+2b sin A cos C
=a，c>a．
(1)求角A；
(2)若b=2，BC边上中线AD=，求△ABC的面积．
【解答】解：(1)∵2c sin A cos B+2b sin A cos C=a，
∴由正弦定理得2sin C sin A cos B+2sin B sin A cos C=3sin A，
∵sin A>0，
∴sin C cos B+sin B cos C=，
∴sin(B+C)=，
∵A+B+C=π，
∴sin A=，
∵c>a，
∴；
(2)∵，
则，b=2，BC边上中线AD=，
故，解得，
∴．
13．(2023•宁波模拟)记锐角△ABC的内角为A，B，C，已知sin2A=sin B sin C．
(1)求角A的最大值；
(2)当角A取得最大值时，求2cos B+cos C的取值范围．
【解答】解：(1)∵sin2A=sin B sin C，
∴在锐角△ABC中，由正弦定理得a2=bc，
∴，
∵0<A≤，
故角A的最大值为；
(2)由(1)得，则C=-B，
则=
，
在锐角△ABC中，<B<，
∴B+∈(，)，
∴sin(B+)∈(，)，
故2cos B+cos C的取值范围为(，)．
14．(2022秋•温州期末)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=1．
(1)求B；
(2)若，△ABC内切圆的面积为π，求△ABC的面积．
【解答】解：(1)因为=1，
∴b cos C+b sin C-a-c=0，根据正弦定理可得：
sin B cos C+sin B sin C-sin A-sin C=0又A+B+C=π，
∴sin B cos C+sin B sin C-sin(B+C)-sin C=0，
∴sin B sin C-cos B sin C-sin C=0，
又C∈(0，π)，∴sin C>0，
∴，
∴，又B∈(0，π)，∴，
∴，∴；
(2)∵△ABC内切圆的面积为π，所以内切圆半径r=1．
由于，
∴，①
由余弦定理得，b2=(a+c)2-3ac，
∴b2=48-3ac，②
联立①②可得，即，
解得或(舍去)，
∴．
15．(2023•龙岩模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
(1)求角B；
(2)若D是AC边上的点，且AD=3DC=3，∠A=∠ABD=θ，求sinθ的值．
【解答】解：(1)△ABC中，，所以+=，
由正弦定理得，=，
因为sin(A+B)=sin(π-C)=sin C，
所以=；
又因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，所以sin B=cos B，即tan B=，
又因为B∈(0，π)，所以B=．
(2)因为D是AC边上的点，且AD=3DC=3，∠A=∠ABD=θ，
所以∠BDC=2θ，AD=BD=3，DC=1，AC=4，
在△ABC中，由正弦定理得，=，
所以BC==8sinθ，
在△BDC中，由余弦定理得，BC2=BD2+CD2-2BD•CD cos2θ=10-6cos2θ，
所以64sin2θ=10-6cos2θ，所以52sin2θ=4，解得sin2θ=，
又因为θ∈(0，)，所以sinθ=．
16．(2023•湖北模拟)在△ABC中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且c= 2，点D在线段BC上．
(1)若，求AD的长；
(2)若的面积为，求的值．
【解答】解：(1)由，得2sin B sin(A+)=sin A+sin C=sin A+sin A cos B+ cos A sin B，
∴sin A sin B+sin B cos A=sin A+sin A cos B+cos A sin B，
∴sin B-cos B=2sin(B-)=1，又B∈(0，π)，∴B-=，∴B=，
∵，∴∠ADB=，
在△ABD中，由正弦定理得=，∴=，解得AD=；
(2)设CD=t，则BD=2t，又S△ABC=3，
∴×2×3t×=3，解得t=2，∴BC=3t=6，
又AC===2，
在△ABD中，由正弦定理可得=，∴sin∠BAD=2sin∠ADB，
在△ACD中，由正弦定理可得=，∴sin∠CAD=sin∠ADC，∵sin∠ADB=sin(π-∠ADC)=sin∠ADC，
∴==2．
17．(2023•南通模拟)如图，在平面四边形ABCD中，AB=1，，CD=2，．
(1)若BC⊥CD，求sin∠ADC；
(2)记△ABD与△BCD的面积分别记为S
和S2，求的最大值．
1
【解答】解：(1)∵BC⊥CD，
∴，
，
，
，
，
∴sin∠ADC=sin(∠BDC+∠ADB)=sin∠BDC cos∠ADB+cos∠BDC sin∠ADB=
；
(2)设∠BAD=α，∠BCD=β，
∴，
∴，
∴①，
=
=
，
当且仅当，时取最大值，
综上，，的最大值是．
18．(2023•广州模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a．
(1)证明：sin A+sin C=2sin B；
(2)若，求△ABC的面积．
【解答】证明：(1)∵a，
∴，
∴a(1+cos C)+c(1+cos A)=3b，
∴由正弦定理可得，sin A(1+cos C)+sin C(1+cos A)=3sin B，
∴sin A+sin A cos C+sin C+sin C cos A=3sin B，
∴sin A+sin C+sin(A+C)=3sin B，
∵A+B+C=π，
∴sin A+sin C+sin B=3sin B，
∴sin A+sin C=2sin B；
(2)∵sin A+sin C=2sin B，
∴a+c=2b，
∵b=2，
∴a+c=4①，
∵，
∴bc cos A=3，
∴a2=b2+c2-2bc•cos A，即a2=4+c2-6，
∴c2-a2=2，即(c-a)(c+a)=2，
∴c-a=②，
联立①②解得，a=，c=，
∴，
∴sin A=，
∴S△ABC===．
19．(2023•平湖市模拟)已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足
．
(1)求角A的大小；
(2)设AD是BC边上的高，且AD=2，求△ABC面积的最小值．
【解答】解：(1)左边=，
右边=，
由题意得⇒sin(B+C)+cos(B +C)=0⇒tan(B+C)=-1，即tan A=1，
又因为0<A<π，
所以；
(2)由，
由余弦定理得，
，，当且仅当b=c 时取“等号”，
而，
故．
20．(2023•烟台一模)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c-2b cos A=b．
(1)求证：A=2B；
(2)若A的角平分线交BC于D，且c=2，求△ABD面积的取值范围．
【解答】证明：(1)∵c-2b cos A=b，
∴由正弦定理可得，sin C-2sin B cos A=sin B，
∵A+B+C=π，
∴sin(A+B)=sin C，
∴sin(A+B)-2sin B cos A=sin A cos B+cos A sin B-2sin B cos A=sin B，
∴sin(A-B)=sin B，
∵△ABC为锐角三角形，
∴A∈(0，)，B∈(0，)，
∴A-B∈，
∵y=sin x在(-，)上单调递增，
∴A-B=B，即A=2B；
(2)解：∵A=2B，
∴在△ABD中，∠ABC=∠BAD，
由正弦定理可得，=，
∴AD=BD=，
∴=，
∵△ABC为锐角三角形，
∴，解得，
∴，
∴△ABD面积的取值范围为()．。