西平县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

西平县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 直角梯形OABC 中,,1,2AB OC AB OC BC ===,直线:l x t =截该梯形所得位于左边图 形面积为，则函数()S f t =的图像大致为（ ）
2． 如图甲所示， 三棱锥P ABC - 的高8,3,30PO AC BC ACB ===∠= ，,M N 分别在BC 和PO 上，且(),203CM x PN x x ==∈（，，图乙的四个图象大致描绘了三棱锥N AMC -的体积y 与 的变化关系，其中正确的是（ ）
A ．
B ． C. D ．1111]
3． 下面茎叶图表示的是甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况，其中有一个数字模糊不清，在图中以m 表示．若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分，那么m 的可能取值集合为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4． 设函数()()()
21ln 31f x g x ax x ==-+，，若对任意1[0)x ∈+∞，，都存在2x ∈R ，使得()()12f x f x =，则实数的最大值为（ ）
A ．
94 B ． C.9
2
D ．4 5． 设βα,是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ） A ．若α⊥l ，βα⊥，则β⊂l B ．若α//l ， βα//，则β⊂l C ．若α⊥l ，βα//，则β⊥l D ．若α//l ，βα⊥，则β⊥l 6． 在三角形
中，若
，则
的大小为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7． 已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2）且k +与2﹣互相垂直，则k 的值是（ ）
A ．1
B ．
C ．
D ．
8． 已知曲线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线与曲线C 交于,P Q 两点，且20FP FQ +=，则O P Q ∆的面积等于（ ）
A ．
B ．
C ．
2 D ．4
9． 已知f （x ）在R 上是奇函数，且满足f （x+4）=f （x ），当x ∈（0，2）时，f （x ）=2x 2，则f （2015）=（ ） A ．2
B ．﹣2
C ．8
D ．﹣8
10．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，M 是它们的一个公共点，且∠F 1MF 2=，则椭圆和双曲线的离
心率的倒数之和的最大值为（ ）
A ．2
B ．
C ．
D ．4
11．二项式（x 2﹣）6的展开式中不含x 3项的系数之和为（ ） A ．20 B ．24 C ．30 D ．36
12．二项式(1)(N )n x n *
+?的展开式中3x 项的系数为10，则n =（ ） A ．5 B ．6 C ．8 D ．10 【命题意图】本题考查二项式定理等基础知识，意在考查基本运算能力．
二、填空题
13．抛物线y 2=4x 上一点M 与该抛物线的焦点F 的距离|MF|=4，则点M 的横坐标x= ． 14．观察下列等式 1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49 …
照此规律，第n 个等式为 ．
15．（x ﹣）6的展开式的常数项是 （应用数字作答）．
16．已知一个算法，其流程图如图，则输出结果是．
17．函数f（x）=a x+4的图象恒过定点P，则P点坐标是．
18．已知角α终边上一点为P（﹣1，2），则值等于．
三、解答题
19．已知曲线C的参数方程为（y为参数），过点A（2，1）作平行于θ=的直线l 与曲线C分别
交于B，C两点（极坐标系的极点、极轴分别与直角坐标系的原点、x轴的正半轴重合）．
（Ⅰ）写出曲线C的普通方程；
（Ⅱ）求B、C两点间的距离．
20．将射线y=x（x≥0）绕着原点逆时针旋转后所得的射线经过点A=（cosθ，sinθ）．
（Ⅰ）求点A的坐标；
（Ⅱ）若向量=（sin2x，2cosθ），=（3sinθ，2cos2x），求函数f（x）=•，x∈[0，]的值域．
21．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=4，点E为AB中点．
（1）求证：BD1∥平面A1DE；
（2）求证：A1D⊥平面ABD1．
22．已知函数f（x）=aln（x+1）+x2﹣x，其中a为非零实数．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若y=f（x）有两个极值点α，β，且α＜β，求证：＜．（参考数据：ln2≈0.693）
23．已知p：﹣x2+2x﹣m＜0对x∈R恒成立；q：x2+mx+1=0有两个正根．若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求m的取值范围．
24．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=3，且2S n=a n+1+2n．
（1）求a2；
（2）求数列{a n}的通项公式a n；
（3）令b n=（2n﹣1）（a n﹣1），求数列{b n}的前n项和T n．
西平县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得，当01t <≤时，()21
22
f t t t t =
⋅⋅=，当12t <≤时， ()1
12(1)2212f t t t =⨯⨯+-⋅=-，所以()2,0121,12
t t f t t t ⎧<≤=⎨-<≤⎩，结合不同段上函数的性质，可知选项C 符
合，故选C.
考点：分段函数的解析式与图象. 2． 【答案】A 【解析】
考
点：几何体的体积与函数的图象.
【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的体积与函数的图象之间的关系，其中解答中涉及到三棱锥的体积公式、一元二次函数的图象与性质等知识点的考查，本题解答的关键是通过三棱锥的体积公式得出二次函数的解析式，利用二次函数的图象与性质得到函数的图象，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，是一道好题，题目新颖，属于中档试题.
3． 【答案】C
【解析】【知识点】样本的数据特征茎叶图 【试题解析】由题知：
所以m 可以取：0，1，2．
故答案为：C
4． 【答案】] 【解析】
试题分析：设()()
2ln 31g x ax x =-+的值域为A ，因为函数()1f x =[0)+∞，上的值域为(0]-∞，，所以(0]A -∞⊆，，因此()231h x ax x =-+至少要取遍(01]，
中的每一个数，又()01h =，于是，实数需要满足0a ≤或0940
a a >⎧⎨∆=-≥⎩，解得9
4a ≤．
考点：函数的性质.
【方法点晴】本题主要考查函数的性质用，涉及数形结合思想、函数与方程思想、转和化化归思想，考查逻辑推理能力、化归能力和计算能力，综合程度高，属于较难题型。

首先求出A ，再利用转化思想将命题条件转化为(0]A -∞⊆，，进而转化为()231h x ax x =-+至少要取遍(01]，
中的每一个数，再利用数形结合思想建立不等式组：0a ≤或0940
a a >⎧⎨∆=-≥⎩，从而解得9
4a ≤．
5． 【答案】C 111] 【解析】
考
点：线线，线面，面面的位置关系 6． 【答案】A
【解析】 由正弦定理知，不妨设，
，
，
则有
，所以
，故选A
答案：A
7． 【答案】D
【解析】解：∵ =（1，1，0），=（﹣1，0，2），
∴k +=k （1，1，0）+（﹣1，0，2）=（k ﹣1，k ，2），
2﹣=2（1，1，0）﹣（﹣1，0，2）=（3，2，﹣2），
又k +与2﹣互相垂直，
∴3（k ﹣1）+2k ﹣4=0，解得：k=．
故选：D ．
【点评】本题考查空间向量的数量积运算，考查向量数量积的坐标表示，是基础的计算题．
8． 【答案】C 【解析】
∴1122(1,)2(1,)(0,0)x y x y -+-=， ∴1220y y +=③， 联立①②③可得2
18
m =，
∴12y y -==．
∴12122
S OF y y =
-=
． （由1212420y y y y =-⎧⎨+=⎩
，得12y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩
12y y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩
考点：抛物线的性质． 9． 【答案】B
【解析】解：∵f （x+4）=f （x ）， ∴f （2015）=f （504×4﹣1）=f （﹣1）， 又∵f （x ）在R 上是奇函数， ∴f （﹣1）=﹣f （1）=﹣2．
故选B ．
【点评】本题考查了函数的奇偶性与周期性的应用，属于基础题．
10．【答案】 C
【解析】解：设椭圆的长半轴为a ，双曲线的实半轴为a 1，（a ＞a 1），半焦距为c ，
由椭圆和双曲线的定义可知， 设|MF 1|=r 1，|MF 2|=r 2，|F 1F 2|=2c ， 椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2 ∵∠F 1MF 2=
，
∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①
在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2，
即=﹣1，②
在双曲线中，①化简为即4c2=4a12+r1r2，
即=1﹣，③
联立②③得，+=4，
由柯西不等式得（1+）（+）≥（1×+×）2，
即（+）2≤×4=，
即+≤，
当且仅当e
1
=，e2=时取等号．即取得最大值且为．
故选C．
【点评】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．难度较大．11．【答案】A
【解析】解：二项式的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•x12﹣3r，令12﹣3r=3，求得r=3，
故展开式中含x3项的系数为•（﹣1）3=﹣20，而所有系数和为0，
不含x3项的系数之和为20，
故选：A．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
12．【答案】B
【解析】因为(1)(N)
n
x n*
+?的展开式中3x项系数是3C
n
，所以3C10
n
=，解得5
n=，故选A．
二、填空题
13．【答案】3．
【解析】解：∵抛物线y2=4x=2px，
∴p=2，
由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，
∴|MF|=4=x+=4，
∴x=3，
故答案为：3．
【点评】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法．抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径．到焦点的距离常转化为到准线的距离求解．
14．【答案】n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2．
【解析】解：观察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
…
等号右边是12，32，52，72…第n个应该是（2n﹣1）2
左边的式子的项数与右边的底数一致，
每一行都是从这一个行数的数字开始相加的，
照此规律，第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2，
故答案为：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2
【点评】本题考查归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系，本题是一个易错题．
15．【答案】﹣160
【解析】解：由于（x﹣）6展开式的通项公式为T r+1=•（﹣2）r•x6﹣2r，
令6﹣2r=0，求得r=3，可得（x﹣）6展开式的常数项为﹣8=﹣160，
故答案为：﹣160．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．
16．【答案】5．
【解析】解：模拟执行程序框图，可得
a=1，a=2
不满足条件a2＞4a+1，a=3
不满足条件a2＞4a+1，a=4
不满足条件a2＞4a+1，a=5
满足条件a2＞4a+1，退出循环，输出a的值为5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的a的值是解题的关键，属于基本知识的考查．
17．【答案】（0，5）．
【解析】解：∵y=a x的图象恒过定点（0，1），
而f（x）=a x+4的图象是把y=a x的图象向上平移4个单位得到的，
∴函数f（x）=a x+4的图象恒过定点P（0，5），
故答案为：（0，5）．
【点评】本题考查指数函数的性质，考查了函数图象的平移变换，是基础题．
18．【答案】．
【解析】解：角α终边上一点为P（﹣1，2），
所以tanα=﹣2．
===﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查二倍角的正切函数，三角函数的定义的应用，考查计算能力．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由曲线C的参数方程为（y为参数），消去参数t得，y2=4x．
（Ⅱ）依题意，直线l的参数方程为（t为参数），
代入抛物线方程得可得，
∴，t1t2=14．
∴|BC|=|t1﹣t2|===8．
【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、参数的意义、弦长公式，考查了计算能力，属于基础题．20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设射线y=x（x≥0）的倾斜角为α，则tanα=，α∈（0，）．
∴tanθ=tan（α+）==，
∴由解得，
∴点A的坐标为（，）．
（Ⅱ）f（x）=•=3sinθ•sin2x+2cosθ•2cos2x=sin2x+cos2x
=sin（2x+）
由x∈[0，]，可得2x+∈[，]，
∴sin（2x+）∈[﹣，1]，
∴函数f（x）的值域为[﹣，]．
【点评】本题考查三角函数、平面向量等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程的思想，属于中档题．
21．【答案】
【解析】证明：（1）连结A1D，AD1，A1D∩AD1=O，连结OE，
∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，ADD1A1是矩形，
∴O是AD1的中点，∴OE∥BD1，
∵OE∥BD1，OE⊂平面ABD1，BD1⊄平面ABD1，
∴BD1∥平面A1DE．
（2）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=4，点E为AB中点，
∴ADD1A1是正方形，∴A1D⊥AD1，
∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB⊥平面ADD1A1，
∴A1D⊥AB，
又AB∩AD1=A，∴A1D⊥平面ABD1．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）．
当a﹣1≥0时，即a≥1时，f'（x）≥0，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增；
当0＜a＜1时，由f'（x）=0得，，
故f（x）在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当a＜0时，由f'（x）=0得，，
f（x）在上单调递减，在上单调递增．
证明：（Ⅱ）由（I）知，0＜a＜1，且，
所以α+β=0，αβ=a﹣1．
．
由0＜a＜1得，0＜β＜1．
构造函数．
，
设h（x）=2（x2+1）ln（x+1）﹣2x+x2，x∈（0，1），
则，
因为0＜x＜1，
所以，h'（x）＞0，
故h（x）在（0，1）上单调递增，
所以h（x）＞h（0）=0，即g'（x）＞0，
所以g（x）在（0，1）上单调递增，
所以，
故．
23．【答案】
【解析】解：若p为真，则△=4﹣4m＜0，即m＞1 …
若q为真，则，即m≤﹣2 …
∵p∧q为假命题，p∨q为真命题，则p，q一真一假
若p真q假，则，解得：m＞1 …
若p假q真，则，解得：m≤﹣2 …
综上所述：m≤﹣2，或m＞1 …
24．【答案】
【解析】解：（1）当n=1时，2S1=2a1=a2+2，
∴a2=4…1；
（2）当n≥2时，2a n=2s n﹣2s n﹣1=a n+1+2n﹣a n﹣2（n﹣1）=a n+1﹣a n+2，∴a n+1=3a n﹣2，
∴a n+1﹣1=3（a n﹣1）…4，
∴，
∴{a n﹣1}从第二项起是公比为3的等比数列…5，
∵，
∴，
∴；
（3）∴ (8)
∴① (9)
∴②
①﹣②得：，
=，
=（2﹣2n）×3n﹣4， (11)
∴ (12)
【点评】本题考查等比数列的通项公式，数列的递推公式，考查“错位相减法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．。