江西省信丰中学2018-2019学年高二上学期数学周末巩固训练二(理科和文)含答案

信丰中学2018-2019学年高二上周五加练数学试题二
（理科B+，A ， A+和文A+）
命题人:
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．） 1．若a >b >0，c <d <0，则一定有( )
A. a c － b d >0
B. a c － b d <0
C. a d >b
c
D. a d <b c
2．直线l 1：(3＋a )x ＋4y ＝5－3a ，和直线l 2：2x ＋(5＋a )y ＝8平行，a 等于( ) A.－7或－1 B.－7 C.7或1 D.－1 3．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为 ( )
A ．1
B ．2
C ． 3
D ．2
4．若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是 ( )
A ．l 与l 1，l 2都不相交
B ．l 与l 1，l 2都相交
C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交
D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交
5．已知关于x 的不等式210ax x ++<的解集不是空集，则实数a 的取值范围是（） A. 104a <<
B. 104a ≤<
C. 14a ≤
D. 14
a < 6．若α为锐角，且sin(α－π4)＝3
5，则cos 2α等于( )
A ．－2425 B. 2425 C ．－725 D. 725
7．设M 是△ABC 所在平面上的一点，且MB ＋32MA ＋3
2MC ＝0，D 是AC 的中点，的值为( )
A.13
B.1
2 C ．1 D ．2 8．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≤x ，x ＋y ≤
1，
y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，
则m －n 等于( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8 9．圆x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R)的位置关系为( )
A ．相离
B ．相切
C ．相交
D ．以上都有可能
10．将参加夏令营的600名学生按001,002，…，600进行编号．采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分别住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为( )
A ．26,16,8
B ．25,17,8
C ．25,16,9
D ．24,17,9 11．若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( )
A ．6＋2 3
B ．7＋2 3
C ．6＋4 3
D ．7＋4 3
12. 已知点P (x ，y )是直线y ＝22x －4上一动点，PM 与PN 是圆C ：x 2＋(y －1)2＝1的两条切线，M ，N 为切点，则四边形PMCN 的最小面积为( ) A.43 B.23 C.53
D.56
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 已知圆心在直线2x －y －7＝0上的圆C 与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则圆C
的标准方程是
14. 已知点M (a ，b )在直线3x ＋4y ＝15上，则a 2＋b 2的最小值为______.
15．在半径为2的球面上有不同的四点A ，B ，C ，D ，若AB ＝AC ＝AD ＝2，则平面BCD 被球
所截得图形的面积为________．
16.如图，在直角梯形ABCD 中，BC ⊥DC ，AE ⊥DC ，且E 为CD 的中点，M ，N 分别是AD ，BE 的中点，将三角形ADE 沿AE 折起，则下列说法正确的是________．(写出所有正确说法的序号)
①不论D 折至何位置(不在平面ABC 内)，都有MN ∥平面DEC ； ②不论D 折至何位置(不在平面ABC 内)，都有MN ⊥AE ； ③不论D 折至何位置(不在平面ABC 内)，都有MN ∥AB ； ④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC ⊥AD .
三、解答题：（本大题6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

） 17．（本小题满分10分）
已知△ABC 的顶点A 的坐标为(5,6)，两边AB 、AC 上的高所在直线的方程分别为4x ＋5y －24＝0与x －6y ＋5＝0，求直线BC 的方程.
18．如图所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，D 为AC 的中点，AA 1＝AB ＝2.
(1)求证：AB 1∥平面BC 1D ；
(2)设BC ＝3，求四棱锥B -DAA 1C 1的体积．
19．（本小题满分12分）
在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(2b －c ，cos C )，
n ＝(a ，cos A )，且m ∥n .
（1）求角A 的大小；
（2）求函数y ＝2sin 2
B ＋cos(π
3－2B )的值域.
20．（本小题满分12分）
已知数列{}a n 的前n 项和S n ＝3n ,数列{}b n 满足b 1＝－1,b n ＋1＝b n ＋(2n －1)(n ∈N ＋)． (1)求数列{}a n 的通项公式； (2)求数列{}b n 的通项公式；
(3)若c n ＝a n ·b n
n ，求数列{}c n 的前n 项和T n
21．（本小题满分12分）
某单位有员工1 000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x (x ∈N ＋)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10(a －3x
500)万元(a >0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x %.
(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？
22．已知圆心为C 的圆，满足下列条件：圆心C 位于x 轴正半轴上，与直线3x －4y ＋7＝0相切，且被y 轴截得的弦长为23，圆C 的面积小于13.
(1)求圆C 的标准方程；
(2)设过点M (0,3)的直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB .是否存在这样的直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行？如果存在，求出l 的方程；如果不存在，请说明理由．
信丰中学2018-2019学年高二上周五加练数学试题
（理科B+，A ， A+和文A+）
参考答案
一、选择题：DBCD ，DAAB ，CBDA 二、填空题：
13. (x －2)2＋(y ＋3)2＝5 14. 3 15答案：3π 16 答案：①②④ 三、解答题：
17、解: ∵AB 边上的高所在直线的方程为4x ＋5y －24＝0，
∴可设直线AB 的方程为5x －4y ＋m ＝0， 把点A (5,6)坐标代入，得25－24＋m ＝0， ∴m ＝－1，
即直线AB 方程为5x －4y －1＝0. …………3分
由⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －4y －1＝0，x －6y ＋5＝0，得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝1，即B (1,1). …………5分
同理可得C (6,0)，…………10分 ∴k BC ＝1－01－
6＝－15.
∴直线BC 的方程为y ＝－1
5(x －6)，
即x ＋5y －6＝0. …………12分
(2)设BC ＝3，求四棱锥B -DAA 1C 1的体积． 18解：(1)证明：连接B 1C ，设B 1C 与BC 1相交于点O ，连接OD ，如图所示． ∵四边形BCC 1B 1是平行四边形，∴点O 为B 1C 的中点． ∵D 为AC 的中点，∴OD 为△AB 1C 的中位线， ∴OD ∥AB 1.∵OD ⊂平面BC 1D ，AB 1⊄平面BC 1D ， ∴AB 1∥平面BC 1D .
(2)∵AA 1⊥平面ABC ，AA 1⊂平面AA 1C 1C ， ∴平面ABC ⊥平面AA 1C 1C . ∵平面ABC ∩平面AA 1C 1C ＝AC ， 连接A 1B ，作BE ⊥AC ，垂足为E ， 则BE ⊥平面AA 1C 1C .
∵AB ＝AA 1＝2，BC ＝3，AB ⊥BC ， ∴在Rt △ABC 中，AC ＝
AB 2
＋BC 2
＝
4＋9＝13，∴BE ＝AB ·BC AC ＝6
13，
∴四棱锥B -AA 1C 1D 的体积V ＝13×12(A 1C 1＋AD )·AA 1·BE ＝16×3213×2×6
13＝3. 19、解：(1)由m ∥n
得(2b －c )cos A －a cos C ＝0，…………2分
由正弦定理得(2sin B －sin C )cos A －sin A cos C ＝0， ∴2sin B cos A ＝sin C cos A ＋sin A cos C ＝sin(A ＋C )＝sin(π－B )＝sin B . …………4分 在锐角三角形ABC 中，sin B ＞0， ∴cos A ＝1
2，…………5分
又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π
3.…………6分
(2)在锐角三角形ABC 中，A ＝π3，故π6＜B ＜π
2，…………7分
y ＝2sin 2
B ＋cos(π
3－2B )
＝1－cos 2B ＋12cos 2B ＋3
2sin 2B
＝1＋32sin 2B －12cos 2B ＝1＋sin(2B －π
6)．…………9分 ∵π6＜B ＜π2，
∴π6＜2B －π6＜5π
6，…………10分 ∴12＜sin(2B －π
6)≤1，…………11分 ∴32＜1＋sin(2B －π6)≤2，即3
2＜y ≤2，
∴函数y ＝2sin 2
B ＋cos(π3－2B )的值域为(3
2，2]．…………12分
20、解：(1)∵S n ＝3n ， ∴S n －1＝3n －1(n ≥2)，
∴a n ＝S n －S n －1＝3n －3n －1＝2×3n －1(n ≥2)．…………2分 当n ＝1时，2×31－1＝2≠S 1＝a 1＝3.
∴a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
3，n ＝1，
2×3n －1，n ≥2.…………3分 (2)∵b n ＋1＝b n ＋(2n －1)，∴b 2－b 1＝1，b 3－b 2＝3，b 4－b 3＝5，…， b n －b n －1＝2n －3(n ≥2)． 以上各式相加得
b n －b 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)＝(n －1)(1＋2n －3)2 ＝(n －1)2(n ≥2)．…………5分
∵b 1＝－1，∴b n ＝n 2－2n (n ≥2)，且b 1＝－1也满足b n ＝n 2－2n ，
∴b n ＝n 2－2n (n ∈N ＋)．…………6分
(3)由题意得c n ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
－3，n ＝1，
2(n －2)×3n －1，n ≥2.…………7分 当n ≥2时，T n ＝－3＋2×0×31＋2×1×32＋2×2×33＋…＋2(n －2)×3n －1， ∴3T n ＝－9＋2×0×32＋2×1×33＋2×2×34＋…＋2(n －2)×3n . 相减得－2T n ＝6＋2×32＋2×33＋…＋2×3n －1－2(n －2)×3n . ∴T n ＝(n －2)×3n －(3＋32＋33＋…＋3n －1) ＝(n －2)×3n －3n －32＝(2n －5)3n ＋3
2.…………10分 当n ＝1时，13T =-也满足上式，………11分 ∴T n ＝(2n －5)3n ＋3
2
(n ∈N ＋)．………12分 21、解：(1)由题意得10(1 000－x )(1＋0.2x %)≥10×1 000，…………4分 即x 2－500x ≤0，又x >0，所以0<x ≤500，
即最多调整出500名员工从事第三产业．…………6分
(2)从事第三产业的员工创造的年总利润为10(a －3x
500)x 万元， 从事原来产业的员工的年总利润为 10(1 000－x )(1＋1
500x )万元，则
10(a －3x 500)x ≤10(1 000－x )(1＋1
500x )，…………8分 所以ax －3x 2500≤1 000＋2x －x －1
500x 2， 所以ax ≤2x 2
500＋1 000＋x ，
即a ≤2x 500＋1 000
x ＋1恒成立，…………10分 因为2500x ＋1 000x ≥2
2x 500×1 000
x ＝4，
当且仅当2x 500＝1 000
x ，即x ＝500时等号成立，
所以a ≤5，又a >0，所以0<a ≤5， 即a 的取值范围为(0,5]．…………12分
22解：(1)设圆C ：(x －a )2＋y 2＝R 2(a ＞0)， 由题意知⎩⎪⎨
⎪⎧
|3a ＋7|32
＋42＝R ，
a 2
＋3＝R ，
解得a ＝1或a ＝13
8，
又S ＝πR 2＜13，∴a ＝1，R ＝2， ∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4.
(2)当斜率不存在时，直线l 为x ＝0，不满足题意．
当斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 又l 与圆C 相交于不同的两点，
联立得⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋3，
(x －1)2＋y 2
＝4， 消去y 得(1＋k 2)x 2＋(6k －2)x ＋6＝0，
∴Δ＝(6k －2)2－24(1＋k 2)＝12k 2－24k －20＞0， 解得k ＜1－263或k ＞1＋26
3.
x 1＋x 2＝－6k －21＋k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋6＝2k ＋6
1＋k 2，
OD ＝OA ＋OB ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，MC ＝(1，－3)，
假设OD ∥MC ，则－3(x 1＋x 2)＝y 1＋y 2， ∴3×6k －21＋k 2＝2k ＋61＋k 2，
解得k ＝34∉⎝⎛⎭⎫－∞，1－263∪⎝⎛⎭⎫
1＋263，＋∞，假设不成立， ∴不存在这样的直线l .。