高中数学竞赛培训专题3---几个重要的不等式

竞赛培训专题7---几个重要不等式(一)
一、平均值不等式
设a1,a2,…,a n是n个正实数，则，当且仅当a1=a2=…=a n 时取等号
1.二维平均值不等式的变形
(1)对实数a,b有a2+b2³2ab (2)对正实数a,b有
(3)对b>0，有， (4)对ab2>0有，
(5)对实数a,b有a(a-b)³b(a-b) (6)对a>0,有
(7) 对a>0,有 (8)对实数a，b有a2³2ab-b2
(9) 对实数a，b及l¹0，有
二、例题选讲
例1.证明柯西不等式
证明：法一、若或命题显然成立，对¹0且¹0，取
代入(9)得有
两边平方得
法二、，即二次式不等式恒成立
则判别式
例2.已知a>0,b>0,c>0,abc=1,试证明：
(1)
(2)
证明：(1)左=[]
=
³
(2)由知
同理：
相加得：左³
例3.求证：
证明：法一、取，有
a1(a1-b)³b(a1-b), a2(a2-b)³b(a2-b),…, a n(a n-b)³b(a n-b)
相加得(a12+ a22+…+ a n2)-( a1+ a2+…+ a n)b³b[(a1+ a2+…+ a n)-nb]³0
所以
法二、由柯西不等式得： (a1+ a2+...+ a n)2=((a1×1+ a2×1+...+ a n×1)2£(a12+ a22+...+ a n2)(12+12+ (12)
=(a12+ a22+…+ a n2)n,
所以原不等式成立
例4.已知a1, a2,…,a n是正实数，且a1+ a2+…+ a n<1，证明：
证明：设1-(a1+ a2+…+ a n)=a n+1>0,
则原不等式即n n+1a1a2…a n+1£(1-a1)(1-a2)…(1-a n)
1-a1=a2+a3+…+a n+1³n
1-a2=a1+a3+…+a n+1³n
…………………………………………
1-a n+1=a1+a1+…+a n³n
相乘得(1-a1)(1-a2)…(1-a n)³n n+1
例5.对于正整数n，求证：
证明：法一、
>
法二、左=
=
例6.已知a1,a2,a3,…,a n为正数，且，求证：
(1)
(2)
证明：(1)
相乘左边³=(n2+1)n 证明(2)
左边= -n+2(
= -n+2×[(2-a1)+(2-a2)+…+(2-a n)](
³ -n+2×n
摘自数学教育之窗。