《解析》四川省大竹县文星中学2015届高三下期期中检测数学(文)Word版含解析

四川省大竹县文星中学2015届高三下期期中检测
数学（文）试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．设集合M ＝{－1}，N ＝{1＋cos m π
4，log 0.2(|m |＋1)}，若M ⊆N ，则集合N 等于( )
A ．{2}
B ．{－2,2}
C ．{0}
D ．{－1,0}
D
因为M ⊆N 且1＋cos m π
4≥0，log 0.2(|m |＋1)<0，所以log 0.2(|m |＋1)＝－1，可得|m |＋1＝5，
故m ＝±4，N ＝{－1,0}．
2．(2015·广州执信中学期中)下列说法正确的是( )
A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”
B ．命题“∀x ≥0，x 2＋x －1＜0”的否定是“∃x 0＜0，x 2
0＋x 0－1＜0”
C ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为假命题
D ．若“p ∨q ”为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题 D
“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，故A 错；否命题既否定条件，又否定结论；而命题的否定只否定命题的结论．“∀x ≥0，x 2＋x －1<0”的否定是“∃x 0≥0，使x 20＋x 0－1≥0”，故B 错；命题“若A ，则B ”的逆否命题是“若綈B ，则綈A ”，因此“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为“若sin x ≠sin y ，则x ≠y ”，这是一个真命题；“p ∨q ”为真命题时，p 与q 中至少有一个为真命题，故选D.
3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 8＝6＋a 11，则S 9的值等于( ) A ．54 B ．45 C ．36 D ．27
A
∵2a 8＝a 5＋a 11,2a 8＝6＋a 11，∴a 5＝6， ∴S 9＝9a 5＝54.
4．某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )
D
当几何体上、下两部分都是圆柱时，俯视图为A ；当上部为正四棱柱，下部为圆柱时，俯视图为B ；当几何体的上部为直三棱柱，其底面为直角三角形，下部为正四棱柱时，俯视图为C ；无论何种情形，俯视图不可能为D .
5．曲线x 216＋y 212＝1与曲线x 216－k ＋y 2
12－k ＝1(12<k <16)的( )
A ．长轴长与实轴长相等
B ．短轴长与虚轴长相等
C ．焦距相等
D ．离心率相等 C
对于椭圆x 216＋y 212＝1，c ＝2，对于双曲线x 216－k －y 2
k －12＝1，c 21＝(16－k )＋(k －12)＝4，∴c 1＝2，故选C.
6．(2014·绵阳市南山中学检测)在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，如果向该矩形内随机投一点P ，那么使得△ABP 与△ADP 的面积都不小于1的概率为( )
A.49
B.1
3 C.12 D.25
A
在矩形内取一点Q ，由点Q 分别向AD 、AB 作垂线，垂足依次为E 、F ，由S △ABQ ＝S △
ADQ ＝1
知，QF ＝1，QE ＝2
3
，
设直线EQ 、FQ 分别交BC 、CD 于M 、N ，则当点P 落在矩形QMCN 内时，满足要求，
∴所求概率P ＝S 矩形QMCN
S 矩形ABCD ＝(3－1)×(2－2
3)
3×2
＝49.
7．(文)(2015·江西赣州博雅文化学校月考)运行如图的程序框图，则输出s 的结果是( )
A.16
B.25
24 C.34 D.1112
B
程序运行过程为：开始→s ＝0，n ＝2，n <10成立→s ＝0＋12＝1
2，n ＝2＋2＝4，n <10成
立→s ＝12＋14，n ＝4＋2＝6，n <10成立→s ＝12＋14＋16，n ＝6＋2＝8，n <10成立→s ＝12＋14＋1
6＋
18，n ＝8＋2＝10，n <10不成立，输出s 的值后结束，∴s ＝12＋14＋16＋18＝2524
. 8．如图，偶函数f (x )的图象如字母M ，奇函数g (x )的图象如字母N ，若方程f (f (x ))＝0，f (g (x ))＝0的实根个数分别为m 、n ，则m ＋n ＝( )
A ．18
B ．16
C ．14
D ．12
A
由图象知，f (x )＝0有3个根，0，±3
2，g (x )＝0有3个根，其中一个为0，设与x 轴另两
个交点横坐标为±x 0(0<x 0<1)．
由f (g (x ))＝0，得g (x )＝0或±3
2
，
由图象可知g (x )所对每一个值都能有3个根，因而m ＝9；
由g (f (x ))＝0，知f (x )＝0或±x 0，
由图象可以看出f (x )＝0有3个根，而f (x )＝x 0有4个根，f (x )＝－x 0只有2个根，加在一起共有9个根，即n ＝9，
∴m ＋n ＝9＋9＝18，故选A.
9．在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1，D 是边BC 上一点(包括端点)，则AD →·BC →的取值范围是( )
A ． B. C ． D.
D
∵D 是边BC 上的一点(包括端点)，∴可设AD →＝λAB →＋(1－λ)AC →
(0≤λ≤1)．
∵∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1，∴AB →·AC →
＝2×1×cos120°＝－1. ∴AD →·BC →＝·(AC →－AB →)
＝(2λ－1)AB →·AC →－λAB →2＋(1－λ)AC →2 ＝－(2λ－1)－4λ＋1－λ＝－7λ＋2， ∵0≤λ≤1， ∴(－7λ＋2)∈，
∴AD →·BC →的取值范围是．故选D.
10．在下面四个图中，有一个是函数f (x )＝1
3x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数
f ′(x )的图象，则f (－1)等于( )
A.13
B.－1
3
C.73
D.－13或53
B
f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1，其图象开口向上，故图形不是(2)，(3)；由于a ≠0，故图形不是(1)，∴f ′(x )的图象为(4)，∴f ′(0)＝0，∴a ＝1或－1，由图知a ≠1，∴a ＝－1，∴f (x )＝
13x 3－x 2＋1，∴f (－1)＝－1
3
，故选B. 11．函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在的图象大致为(
)
C
f (x )＝(1－cos x )sin x ＝4sin 3x 2cos x
2
，
∵f (π
2)＝1，∴排除D ；∵f (x )为奇函数，∴排除B ；
∵0<x <π时，f (x )>0，排除A ，故选C.
12．(2015·湖北教学合作联考)已知由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x ≤0，y ≥0，
y －kx ≤2，
y －x －4≤0.
确定的平面区域Ω的面积
为7，定点M 的坐标为(1，－2)，若N ∈Ω，O 为坐标原点，则OM →·ON →
的最小值是( )
A ．－8 B.－7 C ．－6 D.－4
B
依题意，画出不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≤0，y ≥0，y －x －4≤0.
所表示的平面区域(如图所示
)
可知其围成的区域是等腰直角三角形，面积为8，由直线y ＝kx ＋2恒过点B (0,2)，且原点的坐标恒满足y －kx ≤2，
当k ＝0时，y ≤2，此时平面区域Ω的面积为6，由于6<7，由此可得k <0.
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y －kx ＝2，y －x －4＝0，可得D (2k －1，4k －2k －1)，依题意应有12×2×|2k －1|＝1，因此k ＝－1(k ＝3
舍去)，
故有D (－1,3)，设N (x ，y )，故由z ＝OM →·ON →
＝x －2y ，可化为y ＝12x －12z ，∵12<1，∴当直
线y ＝12x －12z 过点D 时，截距－1
2
z 最大，即z 取得最小值－7，故选B.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．若α为锐角，且sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝1
3，则sin α的值为________．
3＋22
6
∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π
3.
又∵sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13>0，∴0<α－π6<π3， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭
⎫α－π
6 ＝
1－⎝⎛⎭⎫132＝22
3.
∴sin α＝sin ⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫α－π6＋π
6
＝32
sin ⎝⎛
⎭⎫α－π6＋12cos ⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝
32×13＋12×22
3＝3＋226
. 14．设等差数列{a n }前n 项和为S n ，若S m －1＝－1，S m ＝0，S m ＋1＝2，则m ＝________. 3
解法1：∵等差数列{a n }前n 项和为S n ，满足S m －1＝－1，S m ＝0，S m ＋1＝2，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
(m －1)a 1＋(m －1)(m －2)
2
d ＝－1，
ma 1
＋m (m －1)2
d ＝0，
(m ＋1)a 1
＋(m ＋1)m 2
d ＝2，解得m ＝3.
解法2：a m ＝S m －S m －1＝1，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝2，d ＝a m ＋1－a m ＝1， a m ＝a 1＋(m －1)d ＝a 1＋m －1＝1，∴a 1＝2－m ，
∴S m ＝ma 1＋m (m －1)2d ＝m (2－m )＋m (m －1)
2＝0，
∴m ＝3.
15．点M (x ，y )是不等式组⎩⎨⎧
0≤x ≤
3
y ≤3
x ≤3y
表示的平面区域Ω内的一动点，使z ＝y －2x 的
值取得最小的点为A (x 0，y 0)，则OM →·OA →
(O 为坐标原点)的取值范围是________．
作出可行域Ω为如图四边形OBCD 区域，作直线l 0：y －2x ＝0，平移l 0，当平移到经过点B (3，1)时，z 取最小值，∴A 为B 点，即A (3，1)，
∵M 在平面区域Ω内运动，|OA →
|为定值， OM →·OA →＝|OA →|·(|OM →|·cos 〈OA →，OM →〉)，
∴当M 与O (或C )重合时，|OM →|cos 〈OA →，OM →
〉取到最小值(或最大值)，且M 与O 重合时，OM →·OA →＝0，M 与C 重合时，OM →·OA →＝(3，3)·(3，1)＝6，
∴0≤OM →·OA →
≤6.
16．给出下列命题
(1)对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1>0； (2)m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直的充要条件； (3)已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为y ^＝1.23x ＋0.08；
(4) 若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋4)＝f (x )，则f (2016)＝0. 其中真命题的序号是________．(把所有真命题的序号都填上) (3)(4)
(1)“<”的否定应为“≥”，∴(1)错误；(2)两直线互相垂直时，m (m ＋3)－6m ＝0，∴m
＝0或m ＝3，因此m ＝3是此二直线垂直的充分不必要条件，故(2)错误；由回归直线过样本点的中心知(3)为真命题；(4)∵f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )是周期为4的周期函数，∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (2016)＝f (4×504)＝f (0)＝0，∴(4)为真命题．
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)已知平面向量a ＝(cos φ，sin φ)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin φ，－cos φ)，其中0<φ<π，且函数f (x )＝(a ·b )cos x ＋(b ·c )sin x 的图象过点(π6
，1)．
(1)求φ的值；
(2)将函数y ＝f (x )图象上各点的横坐标变为原来的的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )在上的最大值和最小值．
(1)∵a ·b ＝cos φcos x ＋sin φsin x ＝cos(φ－x )， b ·c ＝cos x sin φ－sin x cos φ＝sin(φ－x )， ∴f (x )＝(a ·b )cos x ＋(b ·c )sin x ＝cos(φ－x )cos x ＋sin(φ－x )sin x ＝cos(φ－x －x )＝cos(2x －φ)， 即f (x )＝cos(2x －φ)， ∴f (π6)＝cos(π
3－φ)＝1，
而0<φ<π，∴φ＝π3
.
(2)由(1)得，f (x )＝cos(2x －π
3)，
于是g (x )＝cos ， 即g (x )＝cos(x －π
3)．
当x ∈时，－π3≤x －π3≤π
6，
所以12≤cos(x －π
3
)≤1，
即当x ＝0时，g (x )取得最小值12，
当x ＝π
3
时，g (x )取得最大值1.
18．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝a (S n －a n ＋1)(a 为常数，且a >0)，且a 3是6a 1与a 2的等差中项．
(1)求{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝a n log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . (1)当n ＝1时，S 1＝a (S 1－a 1＋1)，∴a 1＝a .
当n ≥2时，S n ＝a (S n －a n ＋1)① S n －1＝a (S n －1－a n －1＋1)② ①－②得，∴a n ＝a ×a n －1， 即
a n
a n －1
＝a ， 故数列{a n }是首项为a 1＝a ，公比为a 的等比数列， ∴a n ＝a ×a n －
1＝a n ，
故a 2＝a 2，a 3＝a 3，
由a 3是6a 1与a 2的等差中项可得2a 3＝6a 1＋a 2，即2a 3＝6a ＋a 2， 因为a >0，所以2a 2－a －6＝0，即(2a ＋3)(a －2)＝0， 解得a ＝2或a ＝－3
2(舍去)．
∴a ＝2. 故a n ＝2n .
(2)把a n ＝2n 代入b n ＝a n log 2a n ，得b n ＝2n log 22n ＝n ·2n ， ∴T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ，① ∴2T n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋
1，②
①－②得
－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2
n ＋1
＝2(1－2n )1－2
－n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋
1，
∴T n ＝－2n ＋
1＋2＋n ·2n ＋
1＝(n －1)·2n ＋
1＋2.
19．(本小题满分12分)已知几何体A －BCED 的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，已知几何体A －BCED 的体积为16.
(1)求实数a 的值；
(2)将直角三角形△ABD 绕斜边AD 旋转一周，求该旋转体的表面积．
(1)由该几何体的三视图知AC ⊥平面BCED ，且EC ＝BC ＝AC ＝4，BD ＝a ，体积V ＝
13×4×(a ＋4)×42
＝16，∴a ＝2.
(2)在Rt △ABD 中，AB ＝42，BD ＝2，∴AD ＝6， 过B 作AD 的垂线BH ，垂足为H ，易得BH ＝42
3
，
该旋转体由两个同底的圆锥构成，圆锥底面半径为BH ＝42
3
，
所以圆锥底面周长为C ＝2π·423＝82π
3，两个圆锥的母线长分别为42和2，
故该旋转体的表面积为S ＝12×82π
3(2＋42)＝(32＋82)π3
.
20．(本小题满分12分) 某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率作用”的试验，其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练)，乙班为对比班(常规教学，无额外训练)，在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如下表所示：
(1)试分析估计两个班级的优秀率；
(2)由以上统计数据填写下面2×2列联表，并问是否有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助.
参考数据：
(1)甲班优秀人数为30人，优秀率为30
50＝60%，
乙班优秀人数为25人，优秀率为25
50
＝50%，
所以甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%.
(2)
因为K 2＝100×(30×25－20×25)50×50×55×45
＝10099≈1.010， 所以由参考数据知，没有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助．
21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x －a x
. (1)若a >0，试判断f (x )在定义域内的单调性；
(2)若f (x )在上的最小值为32
，求a 的值； (3)若f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围．
(1)由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x ＋a x 2＝x ＋a x
2，a >0， ∴f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数．
(2)由(1)可知，f ′(x )＝x ＋a x 2. ①若a ≥－1，则x ＋a ≥0，即f ′(x )≥0在上恒成立，此时f (x )在上为增函数，
∴f (x )min ＝f (1)＝－a ＝32，∴a ＝－32
(舍去)． ②若a ≤－e ，则x ＋a ≤0，即f ′(x )≤0在上恒成立，此时f (x )在上为减函数．
∴f (x )min ＝f (e)＝1－a e ＝32，∴a ＝－e 2
(舍去)， ③若－e<a <－1，令f ′(x )＝0得x ＝－a ，
当1<x <－a 时，f ′(x )<0，∴f (x )在(1，－a )上为减函数；
当－a <x <e 时，f ′(x )>0，∴f (x )在(－a ，e)上为增函数，
∴f (x )min ＝f (－a )＝ln(－a )＋1＝32
，∴a ＝－ e. 综上所述，a ＝－ e.
(3)∵f (x )<x 2，∴ln x －a x
<x 2. 又x >0，∴a >x ln x －x 3，
令g (x )＝x ln x －x 3，h (x )＝g ′(x )＝1＋ln x －3x 2，
h ′(x )＝1x －6x ＝1－6x 2x
. ∵x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0，∴h (x )在(1，＋∞)上是减函数． ∴h (x )<h (1)＝－2<0，即g ′(x )<0，
∴g (x )在(1，＋∞)上也是减函数．
g (x )<g (1)＝－1，∴当a ≥－1时，f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立．
22．(本小题满分14分)已知椭圆：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)上任意一点到两焦点F 1，F 2距离之和为23，离心率为33
，动点P 在直线x ＝3上，过F 2作直线PF 2的垂线l ，设l 交椭圆于Q 点． (1)求椭圆E 的标准方程；
(2)证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值．
(1)由条件得：⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝23，e ＝c a ＝33，a 2＝b 2＋c 2.解得：a ＝3，c ＝1，b ＝2，
所以椭圆E 的方程为：x 23＋y 2
2
＝1.
(2)设P (3，y 0)，Q (x 1，y 1)，
∵PF 2⊥F 2Q ，∴PF 2→·F 2Q →＝0，
∴2(x 1－1)＋y 0y 1＝0，
又∵y 21＝2(1－x 213
)， ∴k PQ k OQ ＝y 1x 1·y 1－y 0x 1－3＝y 21－y 1y 0x 21－3x 1＝2(1－x 213)＋2(x 1－1)x 21－3x 1＝23(3x 1－x 21)x 21－3x 1＝－23.。