直方图教材

第八章直方图 115
第八章直方图(Histogram)
一、前言
现场工作人员经常都要面对许多的数据，这些数据均来自于生产过程中抽样或检查所得的某项产品的质量特性。

如果我们应用统计绘图的方法，将这些数据加以整理，则生产过程中的质量散布的情形及问题点所在及过程、能力等，均可呈现在我们的眼前；我们即可利用这些信息来掌握问题点以采取改善对策。

通常在生产现场最常利用的图表即为直方图。

二、直方图的定义
⒈什么是直方图：
即使诸如长度、重量、硬度、时间等计量值的数值分配情形能容易地看出的图形。

直方图是将所收集的测定值特性值或结果值，分为几个相等的区间作为横轴，并将各区间内所测定值依所出现的次数累积而成的面积，用柱子排起来的图形。

因此，也叫做柱状图。

⒉使用直方图的目的：
⑴了解分配的形态。

⑵研究制程能力或计算制程能力。

⑶过程分析与控制。

⑷观察数据的真伪。

⑸计算产品的不合格率。

⑹求分配的平均值与标准差。

⑺用以制定规格界限。

⑻与规格或标准值比较。

⑼调查是否混入两个以上的不同群体。

⑽了解设计控制是否合乎过程控制。

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3.解释名词： ⑴次数分配
将许多的复杂数据按其差异的大小分成若干组，在各组内填入测定值的出现次数，即为次数分配。

⑵相对次数
在各组出现的次数除以全部的次数，即为相对次数。

⑶累积次数(f)
自次数分配的测定值较小的一端将其次数累积计算，即为累积次数。

⑷极差(R)
在所有数据中最大值和最小值的差，即为极差。

⑸组距(h)
极差/组数=组距 ⑹算数平均数(X)
数据的总和除以数据总数，通常一X （X-bar ）表示。

⑺中位数(X)
将数据由大至小按顺序排列，居于中央的数据为中位数。

若遇偶位数时，则取中间两数据的平均值。

⑻各组中点的简化值(μ)
⑼众数(M) 116 品管七大手法 X= X 1+X 2+ …… +X n n X= ∑μf n
X 0
+h ~ μ= , X i - X 0 组距(h) X 0=次数最多一组的组中点 X i =各组组中点 n Xi n
i ∑=1=
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次数分配中出现次数最多组的值。

例：
次数最多为24，不合格数是9，故众数为9。

⑽组中点(m)
一组数据中最大值与最小值的平均值， （上组界+下组界）÷ 2=组中点 ⑾标准差（σ）
⑿样本标准差(S)
三、直方图的制作
⒈直方图的制作方法
步骤1：收集数据并记录
收集数据时，对于抽样分布必须特别注意，不可取部分样品，应全部均匀地加以随机抽样。

所收集的数据个数应大于50以上。

第八章 直方图 117
σ=σ0 = h ×
s=σn-1 = h ×
n
n f f 2)μ(2μ∑-
∑1
2)μ(2μ-∑-
∑n n f f
例:某厂成品尺寸规格为130至160mm，今按随机抽样方式抽取60个样本，其测定值如附表，试制作直方图。

138 139 144 131 140 145 134 135 137 136 142
140
138
127
130
141
136
134
132
131
148
141
139
138
136
135
137
132
130
131
145
138
136
137
128
131
133
134
135
139
140
138
137
137
138
136
134
121
135
136
141
139
137
133
132
131
132
129
134
135
步骤2：找出数据中的最大值(L)与最小值(S)
先从各行（或列）求出最大值，最小值，再予比较。

最大值用“□”框起来，最小值用“○”框起来
EX: No.1 No.2 No.3 No.4 No.5 No.6
138 139 144 131 140 145 135 137 136 142
140
138
127
141
136
134
132
131
148
141
139
138
136
135
137
132
130
145
138
136
137
128
133
134
135
139
140
138
137
137
138
136
134
121
135
136
141
139
137
133
132
131
132
129
134
135
得知：
No.1 No.2 No.3 No.4 No.5 No.6 L1=145
L2=142
L3=148
L4=145
L5=140
L6=141
S1=131
S2=127
S3=130
S4=128
S5=121
S6=129
求得L=148 S=121 118 品管七大手法
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步骤3：求极差(R)
数据最大值(L)减最小值(S)=极差(R) 例：R=148-121=27 步骤4：决定组数
⑴ 组数过少，虽然可得到相当简单的表格，却失去次数分配的本质与意义；组数过多，虽然表格详尽，但无法达到简化的目的。

通常，应先将异常值剔除再进行分组。

⑵ 一般可用数学家史特吉斯(Sturges)提出的公式，根据测定次数n 来计算组数k ，公式为： k=1+3.32 log n
例：n=60 则k=1+3.32 log 60=1+3.32(1.78)=6.9 即约可分为6组或7组
⑶
例：取7组
步骤5：求组距(h)
⑴组距=极差÷组数(h=
)
⑵为便于计算平均数及标准差，组距常取为2，5或10的倍数。

例：h= =3.86，组距取4 步骤6：求各组上限，下限(由小而大顺序)
第八章 直方图 119
R
— k
27 — 7
最小测量单位
2
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⑴第一组下限=最小值—
第一组上限=第一组下限+组界 第二组下限=第一组上限
… …
⑵最小测定单位
整数位的最小测量单位为0.1
小数点1位的最小测量单位为0.1 小数点2位的最小测量单位为0.01
⑶最小数应在最小一组内，最大数应在最大一组内；若有数字小于最小一组下限或大于最大一组上限值时，应自动加一组。

例：
第一组=121-1
/2=120.6～124.5 第二组=124.5～128.5 第三组=128.5～132.5 第四组=132.5～136.5 第五组=136.5～140.5 第六组=140.5～144.5 第七组=144.5～148.5 步骤7：求组中点
组中点(值)=
例：第一组=(120.5+124.5)÷2=122.5
第二组=(124.5+128.5)÷2=126.5 第三组=(128.5+132.5)÷2=130.5 第四组=(132.5+136.5)÷2=134.5 第五组=(136.5+140.5)÷2=138.5 第六组=(140.5+144.5)÷2=142.5 120 品管七大手法 该组上限+该组下限
2
第八章直方图 121 第七组=(144.5+148.5)÷2=146.5
步骤8：作次数分配表
⑴将所有数据，按其数值大小记在各组的组界内，并计算其次数。

⑵将次数相加，并与测定值的个数相比较；表示的次数总和应与
测定值的总数相同。

步骤9：制作直方图
⑴将次数分配表图表化，以横轴表示数值的变化，纵轴表示次数。

⑵横轴与纵轴各取适当的单位长度。

再将各组的组界分别标在横
轴上，各组界应为等距分布。

⑶以各组内的次数为高，组距为宽；在每一组上画成矩形，则完
成直方图。

⑷在图的右上角记入相关数据履历（数据总数n，平均值x，标
准差σ…），并划出规格的上、下限。

⑸填入必要事项：产品名称、工序名称、时间、制作日期、制作
者。

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说明：1.分组后再计算的σ，s 为近似值
2.如直接以原始数据60个，依公式计算，可得真值。

2.用计算机计算统计量
若手边有函数型计算机，可使用次数分配表中，输入组中点与次数，迅速求得各统计量n, x ,σ与s 。

如目前使用最普遍的CASIO fx-3600PV,其计算步骤如下：
按 键 功 能 说 明 荧幕显示 122 品管七大手法
n=60 x =135.8 σ=4.87 s =4.72
MODE 3 SHIFT KAC
122.5×1 DATA 136.5×2 DATA 130.5×12 DATA 134.5×18 DATA 138.5×19 DATA 142.5×5 DATA 146.5×3 DATA KOUT 3 SHIFT x SHIFT x σn SHIFT x σn-1 KONT 2 KNOT 1
进入统计计算系统 清除记忆
输入组中点及次数数据 " " " " " "
输出统计量n " X " σ " s " ΣX
" ΣX 2
SD 0 122.5 126.5 130.5 134.5 138.5 142.5 146.5 60
135.766… 4.871 4.912 8146 1107379
μ
n=60
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3.常见的直方图形态 ⑴正常型
说明：中间高，两边低，有集中趋势。

结论：左右对称分布（正态分配），显示过程运转正常。

⑵缺齿型（凸凹不平型）
说明：高低不一，有缺齿情形。

不正常的分配，由于测定值或
换算方法有偏差，次数分配不妥当所形成。

结论：检验员对测定值有偏好现象，如对5，10之数字偏好；
或是假造数据。

测量仪器不精密或组数的宽度不是倍数时，也有此情况。

⑶切边型（断裂型）
说明：有一端被切断。

结论：原因为数据经过全检，或过程本身经过全检，会出现的
第八章 直方图
123
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形状。

若剔除某规格以上时，则切边在靠近右边形成。

⑷离岛型
说明：在右端或左端形成小岛。

结论：测量有错误，工序调节错误或使用不同原料所引起。

一
定有异常原因存在，只要去除，就可满足过程要求，生产出符合规格的产品。

⑸高原型
说明:形状似高原状。

结论:不同平均值的分配混在一起，应分层后再做直方图比较。

⑹双峰型
说明：有两个高峰出现。

124 品管七大手法
结论：有两种分配相混合，例如两台机器或两家不同供应商，
第八章直方图 125
有差异时，会出现这种形状，因测量值不同的原因影响，
应先分层后再作直方图。

⑺偏态型（偏态分配）
说明：高处偏向一边，另一边低，拖长尾巴。

可分偏右型、偏左型。

偏右型：例如，微量成分的含有率等，不能取到某值以下的值时，所出现的形状。

偏左型：例如，成分含有高纯度的含有率等，不能取到某值以上的值时，就会出现的形状。

结论：尾巴拖长时，应检查是否在技术上能够接受，工具磨损或松动时，也有此种现象发生。

4.直方图使用的注意事项
⑴异常值应去除后再分组。

⑵从样本测量值推测群体形态，直方图是最简单有效的方法。

⑶应取得详细的数据资料（例如：时间、原料、测量者、设备、环
境条件等）。

126 品管七大手法
⑷进行过程管理及分析改善时，可利用层别方法，将更容易找出问
题的症结点，对于质量的改善，有事半功倍的效果。

四、直方图的应用
⒈计算过程能力，作为改善制程的依据
从过程中所收集的数据，经整理成为次数分配表，再绘成直方图后，就可由其集中或分散的情形来看出过程的好坏。

直方图的重点在于平均值（X），经整理后的分配如为正态分配，则自拐点中引起一横轴的平行线，可得到表现差异性的标准差（σ）。

良好的过程，平均数应接近规格中心，标准差则越小越好。

⒉计算产品不合格率
质量改善循环活动中，常需计算改善活动前、中、后的不合格率，用以比较有无改善效果。

其不合格率可直接从次数分配表中求得；
也可从直方图中计算出来。

例如，某产品的重量直方图如图图示，其规格为35±3(g)。

由图与规格界限比较,可知在规格下限以下的有35件,超出规格上限的有64件,合计有99件,占总数307件的32.25%,即不合格率为32.25%.
⒊观察分配形态(参阅第三.3节)
由直方图的形状，得知过程是否异常。

⒋用以制定规格界限
第八章直方图
127 在未订出规格界限之前，可依据所收集编成的次数分配表，计算次数分配是否为正态分配；如为正态分配时，则可根据计算得到的平均数与标准差来订出规格界限。

一般而言，平均数减去3个标准差得规格下限，平均数加上3个标准差则得规格上限；或按实际需要而制定。

⒌与规格或标准值比较
要了解过程能力的好坏，必须与规格或标准值比较；一般而言，我们希望过程能力（直方图）在规格界限内，且最好过程的平均值与规格的中心相一致。

⑴满足规格
(a)理想型
过程能力在规格界限内，且平均值与规格中心一致，平均数加减4倍标准差为规格界限。

过程稍有变大或变小都不会超过规
格值，是一种最理想的直方图。

表示产品良好，能力足够。

(b)
产品偏一边，则另一边还有很多余地，若过程再变大（或变小）
很可能会有不合格发生，必需设法使产品中心值与规格中心值
吻合才好。

128 品管七大手法
(c)两侧无余地
产品的最大值与最小值均在规格内，但都在规格上下限两端，
也表示其中心值与规格中心值吻合，虽没有不合格品发生，但
若过程稍有变动，就会有不合格品产生的危险，要设法提高产
品的精度才好。

(d)
实际制程在规格界限内，但两边距规格界限太远。

亦即产品质
量均匀，变异小。

如果此种情形是因增加成本而得到，对公司
而言并非好现象，故可考虑缩小规格界限或放松质量变异，以
降低成本、减少浪费。

⑵不满足规格
(a)平均值偏左（或偏右）
如果平均值偏向规格下限并伸展至规格下限左边，或偏向规格上限并伸展至规格上限的右边，但产品呈正态分配，即表示平均位置有偏差，应针对固定的设备、机器、原料等方向去追查。

(b)离散度过大
实际产品的最大值与最小值均超过规格值，有不合格品发生（斜线部分），表示标准太大，过程能力不足，应针对变动的人员、方法等方向去追查，要设法使产品的变异缩小；或是规格订得太严，应放宽规格。

(c)完全在规格外
表示产品的生产完全没有依照规格去考虑；或规格订得不合理,
⒍调查是否混入两个以上不同群体
如果直方图呈现双峰形态，可能混合了两种不同群体，亦即过程为两种不同群体，比如两个不同班级、不同生产线、不同材料、
第八章 直方图 129
L U L U
不同操作人员、不同机台等。

生产出来的产品混合在一起。

此时，
需将其分层，将不同班级、生产线、材料、操作人员、机台、制造出来的产品分开堆放，以便趁早找出造成不合格的原因。

⒎研判设计时的控制界限可否用于过程控制
计量值控制图如X —R 控制图，当σ未知，以X 作为中心线，X + A 2R 作为控制上限，X-A 2R 作为控制下限，做为设计的控制界限。

当每天计算的结果（X ，R ）点绘在设计控制界限内，若未呈现任何规则，一般即可将此设计控制界限延伸为实际的过程控制界限。

但是，如果产品本身有规格界限时，应将所收集的数据，作次数分配表，并绘成直方图；此直方图如在规格界限内，才可将此控制界限作为控制过程用。

五、过程能力
⒈过程精密度C P (Capability of Precision)的求法： (a)双边规格
C P =—=———=—————————— T=S U -S L
X
130 品管七大手法 T 6S S U -S L 6S （上限规格)—（下限规格）
6X （标准偏差）
(b)单边规格
（i ）上限规格
C P =——=————————————
（ii ）
C P =——=————————————
第八章 直方图 131
（上限规格)—（平均值） 3X （标准偏差）
S U -X 3S （平均值)—（下限规格） 3X （标准偏差） X- S L 3S
2.制程精密度(C P 值)与不合格率的关系
六、实例演练
案例1：
某公司分别在两厂（A ，B ）生产同样的产品；最近，两地均发现有不符规格值(200~275g)的异常产品产生，今公司派员分别到两厂去实地了解生产过程，并分别测定60批产品，数据如附表；请分析并回答下列问题： ⑴作全部数据的直方图。

⑵针对两厂分别做层别直方图。

⑶计算全部数据，A 厂、B 厂的平均(X)，标准差(σ)及过程精密度(C P )。

⑷直方图上填入必要事项。

⑸叙述由直方图所得的结果。

132 品管七大手法
-6σ -5σ -4σ -3σσ +4σ +5σ +6σ
68.26% 95.46% 99.73% 99.9937% 99.9999998%
-∞
+∞
P P 2.PPM →Parts Per Million 3. PPB →Parts Per Billion
解：(1)全部数据的最大值：274，最小值：184
组数(k) = 1+3.32log n = 1+3.32log120 = 1+3.32(2.08) = 7.9 取8组
组距 = (274-184)/8 = 11.25→12
最小一组的下限 = 184→1/2 = 183.5 作次数分配表
第八章 直方图 133
A 厂最大值274
最小值198 B 厂最大值273
最小值184
直方图（全数）
(2)针对A 、B 厂的层别直方图
A 厂直方图
B 厂直方图
(3)全数，A 厂、B 厂的平均值(X)，标准差(σ)及过程精密度(C P )
第八章 直方图 135
134 品管七大手法
n=120 225.5
213.5 237.5 261.5 201.5 225.5 249.5 273.5
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平均数 样本标准差
工序能力指数 (b)A 厂数据
平均值
样本标准差
工序能力指数 136 品管七大手法
(c)B 厂数据
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()8
.236121207
5.237=⨯-+=⨯∑+X =X h n f o μ()()()1
1201207359121
2
2
2
---
⨯
=-∑-
∑⨯
=n n
f f
h s μμ
83
.207359.112119
4083
.035912=⨯=-⨯
=()60
.083
.206200
2756=⨯-=-=s Sl Su Cp ()3.2361260
6
5.2370
=⨯-+=⨯∑+
X
=X h n f μ()()()59
60
6164121
2
2
2
--
⨯
=-∑-
∑⨯=n n
f f
h s μμ59
4.16312596
.016412⨯
=-⨯
=97
.196642.112=⨯=()626.082
.11975
97.1962002756==⨯-=-=s Sl Su Cp
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平均数
样本标准差
工序能力指数 (4)将n ， ，s ，规格上下界限，平均数，记入直方图。

第八章 直方图 137
(5) ()
3
.2371260
595.2250=⨯+=⨯∑+X =X h n f μ()()59
603481
253121
2
2
-
⨯
=-∑-
∑⨯=n n
f f
h s μμ59
195125958
25312⨯
=-⨯
=()573.086
.13075
87.2162002756==⨯-=-=s Sl Su Cp X
138 品管七大手法
案例2:
某国校五年乙班学生之身高、体重，做抽样调查。

期望目标:身高125~150 体重: 25~40kg,其结果如下:
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(2)计算平均身高、体重。

(包含全数、男、女生)
(3)计算身高、体重之标准差。

(包含全数、男、女生)
(4)计算评论其结果。

解:
身高全数数据之最大值: 151cm,最小值为: 117cm
组数(k)=1+3.32log n-1+3.32log60=1+3.32(1.78)
=6.91 取7组
组距=(151-117)/7=4.86→5cm
最小一组的下限=117-0.5=116.5cm
体重全部数据最大值: 48kg, 最小值: 20kg
组数(k)=1+3.32 log 60=6.91 以7组
组距=(51-18)/7=4.71→5kg
最小一组的下限=18-0.5=17.5
第八章直方图 139
科建顾问
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身高直方图(男生)
140 品管七大手法
身高直方图(女生)
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体重直方图(男生)
第八章 直方图 141
体重直方图(女生)
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(
身高平均值:
身高标准差
142 品管七大手法
X cm n f h OL L 4.130********)(=⨯+=∑⨯+X =X μ全班cm n f h OLM LM 7.13130
16
5129)(=⨯+=∑⨯+X =X μ男生cm n f n OLF LF 2.12930
1
5129)(=⨯+=∑⨯+X =X μ女生5960171715951)()(22
⨯-
⨯
=-∑-∑=n n f f hx S L μμ全班cm
08.81617.15592.1545=⨯=⨯=295.79529301616885)(⨯=⨯-⨯
=男生LM S cm 28.86557.15=⨯=
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体重平均数
第八章 直方图 143
身高标准差
29
97.79529301
1715)(⨯=⨯-
⨯
=女生LF S cm
82.75643.15=⨯=公斤
全班75.316021530)(=⨯+=∑⨯+X =X n f h OW
W μ公斤男生17.3430
25
530)(=⨯+=∑⨯+X =X n f h OWM WM μ公斤女生33.29304530)(=-⨯+=∑⨯+X =X n f h OWF WF μ596021
211375130)()(22⨯-⨯
=-∑-∑⨯=n f f h S W μμ全班kg 41.74823.1559
65
.1295=⨯=⨯
=17
.4830
252569⨯-
(4)结论:
a.平均身高方面：男生比女生要高2.5公分。

b.平均体重方面：男生比女生要重4.84公斤。

c.身高部份：男生的高矮差异较女生为大。

d.体重部份：女生的胖瘦差异较男生为大。

e.应改善学生营养均衡及偏食问题，避免造成瘦者更瘦，胖者更胖。

144 品管七大手法
科建顾问。