工程流体力学课件第二章 流体静力学1

fx
1
p x
0
乘以dx
1 p
f y y 0
乘以dy
1 p
fz z 0
乘以dz
1 p
f xdx
dx x
0
1 p
f ydy y dy 0
1 p
fzdz z dz 0
❖三式相加，整理
( f xdx
f ydy
fzdz)
p dx x
p dy y
p dz z
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(
f xdx
❖ 适用范围： 静止状态
0
0
实际流体、理想流体都是适用的。
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2
3
在什么情况下有惯性力？ 惯性坐标系：将坐标系建立在静止或匀速直线运动的
物体上 非惯性坐标系：将坐标系建立在有加速度运动的物体上 结论：
在惯性坐标系内运动的物体不考虑惯性力 在非惯性坐标系内加速运动的物体考虑惯性力
1 6
dxdydzf x
0
15
静压强两个特征（证明续）
❖ 化简得
px
pn
1 3
f xdx
0
❖ 由于等式左侧第三项为无穷小，可以略去，故得
❖ 同理可得
px pn py pn pz pn
❖ 所以
px py pz pn
❖ 结论 n的方向可以任意选择，从而证明了在静止流体 中任一点上来自各个方向的流体静压强都相等。
❖ 将质量力和表面力代入上式，则
p
1 2
p dx dydz
x
p
1 2
p dx dydz x
f x dxdydz
0
❖ 整理上式，并把各项都除以ρdxdydz，则得
1 p
f x x 0
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一、流体平衡微分方程式(推导续)
❖ 同理得
1 p
f x x 0
1 p
f y y 0
1 p
dAn
cos
1 2
dydz
1
Pn cos
pndAn cos
pn
dydz 2
➢ 质量力：
流体微团质量
X方向单位质量力
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静压强两个特征（证明续）
❖ 因为流体平衡
Fx 0
❖ 在轴方向上力的平衡方程为
Px Pn cos Wx 0
❖ 把 Px ，Pn和Wx的各式代入得
px
1 2
dydz
pn
1 dydz 2
• 绝对压强恒为正或零，相对压强可正可负可零
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二、压强的度量单位
1、大气压(pa）：由地球表面上的大气层产生的压强。 2、标准大气压(patm） ：将地球平均纬度（北纬45º）,海平
面z = 0处，温度为15ºC时的压强平均值。定义为国际标
准大气压强。且patm= 76mmHg=101325Pa 。
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静压强两个特征（几点说明）
（1） 静止流体中不同点的静压强一般是不等的，是空间坐标的连续 函数。同一点的各向静压强大小相等。
（2） 运动状态下的实际流体，流体层间若有相对运动，则由于粘性 会产生切应力，这时同一点上各法向应力不再相等。 流体动压强定义为三个互相垂直的压应力的算术平均值，即
1 p 3 ( px py pz )
工程大气压 (kgf/cm2) 0.102×10-4 1 1.033 1.02 0.07
标准大气压 (atm)
0.0987×10-4 0.968 1 0.987 0.068
巴 (bar) 0.100×10-4 0.981 1.013 1 0.0686
米水柱 (mH2O) 1.02×10-4 10 10.33 10.2 0.703
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四、等压面
1. 定义 ➢在流体中，压强相等的各点所组成的面称为等压面
➢等压面可以用p(x,y,z)＝常数来表示。 dp=0
❖ 几点说明 ➢对不同的等压面，其常数值是不同的 ➢流体中任意一点只能有一个等压面通过。
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四、等压面（续）
❖ 举例说明
➢ 液体与气体的分界面，即液体的自由液面就 是等压面，其上各点的压强等于在分界面上各点 气体的压强。 ➢ 互不掺混的两种液体的分界面也是等压面。
z
20
一、流体静压强的表示方法（续）
3. 真空：负的计示压强，称为真空或负压强，符号pv表示 。
当压强比当地大气压强低时，流体压强与当地大气压 强的差值称为真空度。
pv pa p gh pe
hv
pv
g
pa p
g
真空高度
➢ 测量容器中的真空
pV pa p gh
h
pv pa
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§1–2
流体静压强及其特性
第一节 流体静压强
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一、静压强定义
• 在流体内部或流体与壁面间存在的单位面积上的法向 作用力 没有给出方向
流体处于静止状态时，流体的压强称为流体静压强
没有给出方向、大小
流体处于静止状态时，在流体内部或流体与固体壁面 间存在的单位面积上负的法向表面力
f ydy
f z dz
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二、流体平衡微分方程式(积分续)
❖ 既然 f x , f y , fz 能满足下式
F fx x
fy
F y
fx, fy, fz
就是有势的力
fz
F z
❖ 代入压强差公式，得
dp
fxdx
f ydy
fzdz
x
dx
y
dy
z
dz
dF
42
二、流体平衡微分方程式(积分续)
fz z 0
流体平衡微分方程式 欧拉平衡微分方程式
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一、流体平衡微分方程式(推导续)
➢ 平衡流体所受的质量力分量等于表面力分量
❖ 适用范围
➢ 静止或相对静止状态的可压缩和不可压缩流体。
它是流体静力学最基本的方程组，流体静力学的其 他计算公式都是从此方程组推导出来的。
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二、流体平衡微分方程式(积分)
流体静力学 最基本方程组
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一、流体平衡微分方程式(推导)
❖ 在静止流体中任取一平行六面体的流体微团， 边长为 dx，dy，dz的微元，中心点静压强为p(x,y,z)
❖ x方向受力分析
➢ 质量力—— f x dxdydz
➢ 表面力—— 只有静压强
如何求解是关键
p 1 p dxdydz 2 x
➢ 由于流体处于平衡状态，故作用在其上的一切 力在任意轴上投影的总和等于零。
Fx 0
Fy 0
作用在ACD面上 的流体静压强 px
12
pz
作用在BCD面上
pn
的静压强
作用在ABD面
py
上的静压强
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静压强两个特征（证明续）
❖ 流体微团受力分析 x方向受力分析
➢ 表面力：
Px
px
1 dydz 2
f ydy
fzdz)
p dx x
p dy y
p dz
z
❖ 流体静压强是空间坐标的连续函数，它的全微分为
dp p dx p dy p dz x y z
❖ 所以 dp ( f xdx f ydy fzdz)
在静止流体中，空间点的坐标增
量为dx、dy、dz时，相应的流体 静压强增加dp，压强的增量取决
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二、静压强两个特征
1. 流体静压强方向与作用面相垂直，并指向作用面的 内法线方向。
2. 静止流体中任意一点流体压强的大小与作用面的方 向无关，即任一点上各方向的流体静压强都相同。
px py pz pn
9
静压强两个特征（证明）
1. 流体静压强方向与作用面相垂直，并指向作用面的内 法线方向。
❖ 略去二阶以上无穷小量后，分别等于
p 1 p dx 2 x
p 1 p dx 2 x
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一、流体平衡微分方程式(推导续)
❖ 垂直于x轴的左、右两微元面上的总压力分别为
p 1 p dx dydz 2 x p 1 p dx dydz 2 x
❖ 因为流体平衡
Fx 0
35
一、流体平衡微分方程式(推导续)
f
n ( x0 n!
)
(
x
x0
)n
33
一、流体平衡微分方程式(推导续)
❖ 在垂直于x轴的左、右两个平面中心点上的静压强分别为
p
p x
dx 2
1 2
2 p x 2
dx 2
2
1 6
3 p x 3
dx 2
3
p
p x
dx 2
1 2
2 p x 2
dx 2
2
1 6
3 p x 3
dx 2
3
❖ 假 设： 在静止流体中，流体静压强方向不与作用面 相垂直，与作用面的切线方向成α角
❖ 则存在 切向压强pt 法向压强pn
与假设静止流体相矛盾
流体要流动
pn
α
静压强
p
pt
切向压强
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静压强两个特征（证明续）
2. px py pz pn
❖ 证 明： ➢ 取一微元四面体的流体微团ABCD，边长分别为 dx，dy 和dz
3、静压强的计量单位 应力单位：Pa、N/m2、bar 液柱高单位：mH2O、mmHg 大气压单位：
1atm=760mmHg=10.33mH2O=101325Pa≈1bar 工程大气压：1at =736 mmHg=10mH2O= 98000Pa
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压强的单位及其换算表
帕 (Pa)
1 9.8×104 10.13×104 10.00×104 0.686×104
一、流体静压强的表示方法（续）
➢ 汽轮机凝汽器中的真空，常用当地大气压强的
百分数来表示
B
pv pa
100% 1
p pa
100%
B通常称为真空度
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一、流体静压强的表示方法（续）
❖ 几点说明： ➢ 由于绝大多数气体的性质是气体绝对压强的函数，
如正压性气体ρ=ρ（p)，所以气体的压强都用绝对压
强表示。
第二章 流体静力学
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本章导读
(1) 其内部的压强分布规律； (2) 流体与其它物体间的相互作用力。
❖ 研究内容：静止流体的力学规律以及这些规律在工程实 际中的应用。
❖ 静止含义： 以地球作为惯性参考坐标系
➢绝对静止：流体相对于惯性坐标系静止 ➢相对静止：流体相对于非惯性参考坐标系静止
于质量力。
欧拉平衡方程的综合 形式（压强微分公式）
40
二、流体平衡微分方程式(积分续) ❖ 压强微分公式的左端是压强的全微分，积分后得到 某一点的静压强，因此上式右端括பைடு நூலகம்内的三项必须 也是某坐标函数的全微分，这样才能保证积分结果 的唯一性。即有：
dF
F x
dx F y
dy F z
dz
f xdx
（3）运动流体是理想流体时，由于 0 ，不会产生切应力，所以理
想流体动压强呈静水压强分布特性，即
px py pz pn
§1–3
流体平衡微分方程
第二节 流体静压强的表示方法
18
一、流体静压强的表示方法
❖ 压强的表示方法
依据计量基准的不同
1. 绝对压强： 以完全真空时的绝对零压强(p＝0)为基 准来计量的压强称为绝对压强
A
C
p
p 1 p dxdydz
B
2 x
½ dx
图2-3 微元平行六面体x方向的受力分析
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一、流体平衡微分方程式(推导续)
❖作用在六个平面中心点上的静压强可按泰勒级数展开
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
......
❖ 有势函数存在的力称为有势的力
❖ 流体平衡条件： ➢ 只有在有势的质量力作用下，不可压缩均质流体 才能处于平衡状态，这就是流体平衡的条件。
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平衡流体中的压 强分布规律
❖ 由此可知，如果知道表示质量力的势函数F，则可求出 平衡流体中任意一点的压强p。
三、帕斯卡定理
欧拉平衡方程积分项公式中
是由流体密度和质量力的势函数
毫米水柱 (mmHg)
75.03×10-4 735.6 760 750.2 51.71
磅/英寸 2 (lbf/in2) 1.45×10-4 14.22 14.69 14.50 1
第三节 流体平衡微分方程及其积分
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❖ 静压强是空间坐标的连续函数
p f (x, y, z)
求静压强分布规律 ❖ 研究平衡状态的一般情况 ❖ 推导平衡微分方程式
所决定的，而与p0的大小无关，倘若p0值有所改变，则平衡流体中各点的压 强p也将随之有相同大小的变化，这就是著名的压强传递的帕斯卡
（B.Pascal）定律。
该定律可表述为加在密闭液体上的压强，能够大小不变地由液体向各
个方向传递。实验表明，帕斯卡定律对气体也是适用。该定律在水压机、
起重机等水力机械的工作原理中有广泛的应用。
➢ 液体的性质几乎不受压强的影响，所以液体的压强 常用计示压强表示，只有在汽化点时，才用液体的绝对 压强。
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一、流体静压强的表示方法（续）
4、表压强、大气压强、绝对压强和真空度之间关系
❖ 绝对压强 = 大气压强 + 表压强 ❖ 表压强 = 绝对压强 - 大气压强 ❖ 真空度 = 大气压强 - 绝对压强
给出方向——负法向 给出大小——表面力
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❖ 流体处于静止状态时，在流体内部或流体与固体壁面间
存在的单位面积上负的法向表面力
表面力
Ⅰ
P
A
Ⅱ
静压强
Ⅱ
P
7
❖ 流体处于静止状态时，在流体内部或流体与固体壁面间
存在的单位面积上负的法向表面力
❖ 说明：
➢ 表面力：外界
流体内部
➢ 静压强：流体内部
外界
表面力
静压强
此时 p0 pa
则a点绝对压强为
p pa gh
pp0a
p a
h p / g
z
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一、流体静压强的表示方法（续）
❖ 压强的表示方法
依据计量基准的不同
2. 相对压强： 以当地大气压强为基准来计量的压强称
为相对压强。
pa
则a点相对压强为
pe p pa gh
表压强、 计示压强
pp0a
p a
h p / g