1612简谐振动中的振幅周期频率和相位

1 s 时， x 2 cm ,1 0 由振动曲线还可知： t 1

2 x cos 即： 2 4 cos ， 0 A 3 2 又由 si n 0 , A sin 0 , 0 3 14
由 t 1 s 时， x 2 cm , 1
由初始条件： 当t 0 时 ,
2 2 0 则 A x0 2
x b a , 0 0 0
ba,
由 ： A s in 0 0
0 ( x 0 ) 0
g ： 振动表达 x ( b 式 a ) cos 为 t a
2 即： 2 4 cos( ) 3 2 1 cos( ) 3 2
-2 -4
o
4 2
x (cm )
1
x t图
t (s)
例：已知 A = 0.12m，T =2s。当t = 0时，x0= 0.06m， 此时，质点沿 x 轴正向运动。 求：1）简谐振动方程； 2）当 t = 0.5s 时，质点的位置、速度、加速度； 3）由初始时刻到 x = - 0.06m 处的最短时间。 解：1）因T = 2s。于是
可见小球作谐振动。
在任意位置 x 处，小球所受到的合外力为：
24
kx F m k g b x
d2 x kx m 2 dt
d2x k 即 ：2 x 0 dt m
k g 得： m b
设振动方程为： xA cos( t )
由初始条件： 当t 0 时 ,

g t 振动表达式为： x b cos ( SI ) b mg k 或为 x ： cos t ( SI ) （若已知 k、m） k m 26
自然 长度
平衡 位置
b
x
0
思考？若取物体经平衡位置向下运动时 刻开始计时，振动的初相位 φ 为多少？ 此时，初始条件为：
v0 （3） 常用方法：由 A＝ x
2 0
2
求出A，
然后由 x0 = Acos，v0 = - Aωsin 两者的共同部分求 。
10
讨论
已知
x A c o s ( t )
，求 t 0 , x 0 , 0 0 0

0A cos π 2 A sin 0 0
π 0A cos 2 π si n 0 取 A sin 0 0 27 2
当t 0 时 ,
x 0 , 0
0 0
x

小结：
描述简谐运动的物理量
1、振幅
2、周期 频率 角频率 3、位相和初位相 4、 常数 A 和 的确定
平 衡 位 a 置
任 意 位 o 置 x
x a
而 m a S ,
F S gx
由牛顿定律
Fm a
2
d x g x0 2 dt a
2
dx S gx Sa 2 , dt

g , T 2 a
21
a g
设振动方程为： xA cos( t )
正的最大位移， 速度为0的状态。
x A cos / 2 0 v A sin / 2 A


平衡位置，速度最大且 向 x 负向运动的状态。
初相位 是 t = 0时刻的相位，描述质点初始时刻的 运动状态。初相位由初始条件确定。 (
π π] 0 2 π] 取 [ 或 [ )
2 k 0 . 72 v 1 2 0 6 rad s , A x 0 .04 m 0 2 m 0 . 02
又因为 x0 为正，初速度 v0＝0，可得
0
0, A s in 0 , s in 0
A cos 0 又由 x 0
0或 cos 0 ,

t = 0.5
d π t = 0.5 2 - 1.03 (m/s2) a 0 . 12 π cos( π t ) dt 3
17
当t = 0时，x0= 0.06m，此时，质点沿 x 轴正向运动。 3）由初始时刻到 x = - 0.06m 处的最短时间。 当x = - 0.06m时，由
任 意 位 o 置
x a
（设木块的截面积为Ｓ，水的 密度为ρ，木块的质量为m ） x
m a S F a g S 平衡时： mg 浮
任意位置木块受到的合外力为：
浮
F mg F ' a S g ( a x ) S g S g
合外力和位移成正比，方向和位移相反，木块作谐振动。 20
16.1.2
描述简谐振动的特征量
1
主要内容：
描述简谐振动的物理量：
振幅
周期 频率 角频率
位相和初位相
学习中的重点和难点：
位相（phase）
2
x A c os( t )
一、 振幅（Amplitude） 反映振动幅度的大小
A
t图 x x
T 2
T
o
A
t
A xmax
振幅A：物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。 振幅的大小与振动系统的能量有关，由 系统的初始条件确定。
22
例：垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长 量为b。用手将小球上托使弹簧保持自然长度后放手。求 证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
自然 长度 平衡 位置
b
x
0
23
x
自然 长度
平衡 位置
证明： 静平衡时有：
b
x
mg kb 0
0
以平衡位置为坐标原点，向下为Ｘ轴正向。
x
k x F m k g b x
表示 秒时间内物体 2 π π 完成全振动的次数。 角频率 2 T （也称圆频率）
4
说明： 1）简谐运动的基本特性是它的周期性；
2）周期、频率或圆频率均由振动系统本
身的性质所决定。 对于弹簧振子：
k 1 k m , , T 2 m 2 m k
简谐运动的表达式还可以写为:
2 2 , （注意：这里不能等于 3 ） 3 3 2 又由 A sin( ) 0 , 1 3 2 2 5 s in( )0, , 3 3 3 2 振动表达式为： x4 cos( t )cm 15 3
A x
2 0
x cos 0 A

v A sin 0
v0 tan x0
对给定振动系统，周期由系统本身性质决定， 振幅和初相位由初始条件决定。 9
说明：
2 A x0
2
2 v0
v0 tan x0
（1） 的取值在 -π和 +π（或0和2π）之间； （2）应用上面的式子求 时，一般来说有两个值，还 要由初始条件来判断应该取哪个值；
16
0 . 1 2 c o s ( t )m 于是运动学方程为 x 3
2）当 t = 0.5s 时，质点的位置、速度、加速度；

0.104m x0 .1 2 c o s ( t ) 3 dx π t = 0.5 - 0.19 (m/s) 0 . 12 πsi t n(π ) dt 3
18
例：一立方体木块浮于静止的水中，其浸入水中的高 度为 a，现用手指将木块轻轻压下，使其浸入水中的 高度为 b ，然后放手，任其自由振动。 （1）试证明，若不计水的粘滞阻力，木块将作简谐 振动；（2）求其振动周期和振幅；（3）若自放手时 开始计时，写出振动方程。
a
b
o
x a
19
x
平 衡 位 a 置
2 x A cos( t ) A cos( t ) A cos( 2 t ) T 5



三
x A cos( t ) A v A sin( t )
用相位来描述运动 状态，就可以区分位置 和速度都相同的状态。
相位（Phase）描述振动物体运动状态的物理量 x t图 v
初相位与时间零点的选择有关。
7
x A c os( t )
对于一个简谐振动，若振幅、周期和初相位 已知，就可以写出完整的运动方程，即掌握了该 运动的全部信息，因此我们把振幅、周期和初相 位叫做描述简谐运动的三个特征量。
相位差：两个振动在同一时刻的相位之差，或同 一振动在不同时刻的相位之差。
x A c o s ( t ) 得：x 即 c o s 0 A 3 v A s i n 0 考虑到 t = 0时 0 3
将已知条件代入运动方程
2 ( r a d /s ) T
0 . 1 2 c o s ( t )m 于是运动学方程为 x 3
v
x
π sin 0取 o 2 π A xA cos ( t ) 2
A
x
T 2
o
T
t
11
求解简谐运动的典型问题： 1）给出振动系统，证明物体的运动 是简谐运动。 2）已知物体作简谐运动，由系统的力学 性质及初始条件求出振动表达式；或 由振动曲线求出振动表达式。 3）已知振动表达式，求出：
A 、 、 及 、 a 、 F 等
12
例：一弹簧振子系统，弹簧的弹性系数为 k = 0.72N/m， 物体的质量为 m = 20 g。今将物体从平衡位置沿桌面向X 轴正向拉长到 0.04m 处静止释放，求：振动方程。 解：要求振动方程，只要确定 A、ω和 即可。 由题可知：k、m、x0、v0，代入公式可得：
x
o
v
v
A
T 2
v v
T
t
t :
t 时刻的相位，描述 t 时刻的运动状态。
相位在 0~2 π 内变化，质点无相同的运动状态； 质点运动状态全同，则相位一定相差 2π ，或 2π 的整数倍 。（周期性）
6
t 0
对应
t /2 对应
x A cos 0 A v A sin 0 0
因而简谐振动的方程为：x 0 . 04 cos( 6 t )(m) 13
例：已知振动曲线，求： 振动表达式。
解：设振动表达式为：
x A c os( t )
-2 -4
o
4 2
x (cm )
1
x t图
t (s)
由振动曲线知： A 4 cm
0 时 x ， 2 cm ,0 0 初始条件： t 0
两个同频率的简谐振动，在同时刻的相位差：
( t 2 ) ( t 1 )2 0 0 0 1 0

8
四
常数 A 和 的确定 初始条件
x A cos( t ) v A sin( t )
v
2 0 2
t 0x x v 0 v 0
3
二 周期、频率（ Period 、 Frequency ）
周期T：物体完成一次完全振动所用的时间。
A cos ( t T [ ) ] x A c os( t )
T 2
频率
2π T
表示单位时间内物体 完成全振动的次数。
1 T 2π
0 . 0 6 0 . 1 2 c o s ( t ) t 可得
质点沿 x 负方向运动到 x = - 0.06mຫໍສະໝຸດ Baidu需时间最短，即
3 33
x A c o s ( t )
t t 1 s
3 3
v 0 . 1 2s i n ( t ) 0 3
x b , 0 0 0
25
设振动方程为： xA cos( t )
由初始条件： 当t 0 时 ,
x b , 0 0 0
2 2 0 0 arctg 0 或 则 A x0 2 b , x 0
x A cos 0 , cos 0 , 0