1.5.2全称量词与存在量词命题的否定(教学设计)- 【新教材精创】 2021-2022学年高一数学

《1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定》
教学设计
本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第一章《集合与常用逻辑用语》的第
五节《全称量词与存在量词》。

以下是“常用逻辑用语”单元的课时安排：
第四节第五节
课时
内容
充分条件与必要条件（共2课时）全称量词与存在量词（共2课时）
所在
位置
教材第17页教材第26页
新教材
内容分析通过列举学生熟悉的数学命题，加深学生
对命题的条件与结论的认识，教材主要以
“若p则q”形式的命题为载体，通过考察
命题中的条件p与结论q之间的关系，学
习充分条件、必要条件、充要条件这三个
逻辑用语。

全称量词和存在量词是数学中经常使用的量词，教
材通过丰富的数学实例，介绍了这两类量词的意义，
探究了全称量词命题和存在量词命题的否定，并鼓
励学生使用新的数学符号，使学生习惯于运用数学
符号语言表达一些数学内容。

核心素养培养通过观察实例，理解充分条件、必要条件、
充要条件的意义，体现了数学抽象的核心
素养；会辨析充分不必要条件、必要不充
分条件、充要条件、既不充分又不必要条
件，体现了逻辑推理的核心素养。

通过数学实例，使学生理解全称量词、存在量词的
意义，体现了数学抽象的核心素养；会判定命题的
真假，会写出命题的否定，体现了逻辑推理的核心
素养。

教学
主线
命题的真假判断
学生在上一节中，学习了全称量词与存在量词，对用数学符号表示数学命题已经不陌生，全称量词命题的否定与存在量词命题的否定是上一节内容的延伸，教材中许多数学知识也来自生活，这都是学生进一步学习的基础，为本节内容提供有力的保障和支撑。

1.通过实例，使用存在量词对全称量词命题进行否定，使用全称量词对存在量词命题进行否定,培养学生的
数学抽象核心素养；
2.理解全称量词命题与存在量词命题之间的关系，提升逻辑推理的核心素养；
重点：能写出命题的否定，并会判断真假；
会正确的对全称量词命题和存在量词命题进行否定；
难点：理解全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题。

（一）新知导入
1. 创设情境，生成问题
【问题1】你能说出命题p：3的相反数是-3
命题q：3的相反数不是-3，
这两个命题之间的关系吗？它们的真假性如何？
【提示】命题q是命题p的否定，命题p为真命题，命题q为假命题，命题p与q真假相反。

2.探索交流，解决问题
【问题2】写出下列命题的否定：
（1）56是7的倍数；
（2）空集是集合A={1,2,3}的真子集。

【提示】（1）56不是7的倍数；
（2）空集不是集合A={1,2,3}的真子集。

【设计意图】
通过问题与思考题的探究，引导学生概括出命题的否定的含义.提高学生用数学抽象的思维方
式思考并解决问题的能力。

（二）命题的否定
一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定。

【思考1】（1）原命题与命题的否定的真假情况是什么？
（2）命题的否定与否命题有何区别？
（3）写命题的否定时，如何对一些关键词进行否定？
【提示】 （1）原命题与命题的否定不能同时为真命题，不能同时为假命题，只能一真一假。

（2）命题的否定是否定原命题的结论得到的新命题，否命题是将原命题的条件和结论同时进行否
定得到的新命题。

（3）常见的关键词的否定：
（三）全称量词命题的否定
【探究1】写出下列命题的否定：
（1）所有的矩形都是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数； （3）∀x ∈R,x +|x |≥0，
【问】 它们与原命题在形式上有什么变化？
【提示】
（1）存在一个矩形，它不是平行四边形； （2）存在一个素数不是奇数； （3）∃x ∈R,x +|x |<0
【答】命题的否定是存在量词命题，而原命题是全称量词命题。

全称量词命题：∀x ∈M ，p (x )．它的否定：∃x ∈M ，¬p (x )．也就是说，全称量词命题的
否定是存在量词命题．
例1. 写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)不论m 取何实数，方程x 2
＋x －m ＝0必有实数根； (2)等圆的面积相等；
原词 否定词 原词 否定词 等于
不等于
至多一个
至少两个
大于 不大于 至少一个 一个也没有 小于 不小于 任意 某个 是 不是 所有的 某些 都是
不都是
(3)每个三角形至少有两个锐角．
【思维引导】先找到量词与结论,对所给的命题进行否定,再判断真假.
[解析] (1) 这一命题可以表述为“对所有的实数m ，方程x 2
＋x －m ＝0有实数根”，其否定形式是“存
在实数m ，使得x 2
＋x －m ＝0没有实数根．”因为当Δ＝12
－4×1×(－m )＝1＋4m <0，即m <－14
时，一元二次方程x 2
＋x －m ＝0没有实数根，所以原命题的否定是真命题． (2) 这一命题可以表述为“所有等圆的面积相等”，其否定形式是“存在一对等圆，其面积不相
等”．由等圆的概念知原命题的否定是假命题．
(3) 这一命题的否定形式是“有的三角形至多有一个锐角”，由三角形的内角和为180°知原命
题的否定为假命题．
【类题通法】(1)对全称量词命题否定的两个步骤
①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)――→改为
存在量词(∃)． ②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．
对于省去了全称量词的全称量词命题的否定，一般要改写为含有全称量词的命题，再写出命题的否定．
(2)全称量词命题否定后的真假判断方法
全称量词命题的否定是存在量词命题，其真假性与全称量词命题相反；要说明一个全称量词命题是假命题，只需举一个反例即可．
【巩固练习1】 写出下列命题的否定．
(1)所有自然数的平方是正数；
(2)任何实数x 都是方程5x －12＝0的根； (3)所有的正方形都是矩形；
[解析] (1)有些自然数的平方不是正数．
(2)存在实数x 不是方程5x －12＝0的根．
【设计意图】
通过问题探究，使学生深入理解全称量词命题的否定的概念，培养数学抽象的核心素养。

（四）存在量词命题的否定
【探究2】写出下列命题的否定：
（1）存在一个实数的绝对值是正数； （2）有些平行四边形是菱形； （3）∃x ∈R,x 2−2x +3=0，
[问] 它们与原命题在形式上有什么变化？
【提示】（1）任何实数的绝对值都不是正数；
（2）所有的平行四边形都不是菱形； （3）∀x ∈R,x 2−2x +3≠0。

[答] 命题的否定是全称量词命题，而原命题是存在量词命题。

存在量词命题：∃x ∈M ，p (x )，它的否定：∀x ∈M ，¬p (x )．也就是说，存在量词命题的
否定是全称量词命题．
例2. 写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)有一个奇数不能被3整除； (2)有些三角形的三个内角都是60°； (3)∃x ∈R ，使得|x ＋1|≤1.
【思维引导】 先判断是全称量词命题还是存在量词命题,再对命题否定.
[解析](1) 题中命题的否定为“任意一个奇数都能被3整除”．这个命题是假命题，如5是奇数，但5
不能被3整除．
(3) 题中命题的否定为“任意一个三角形的三个内角不都是60°”．这个命题是假命题，如等
边三角形的三个内角都是60°.
(4) 题中命题的否定为“∀x ∈R ，有|x ＋1|>1”．这个命题为假命题，如x ＝0时，不满足|x ＋
1|>1.
【类题通法】 (1)对存在量词命题否定的两个步骤
①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)――→改为
全称量词(∀)．
②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． (2)存在量词命题否定后的真假判断
存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可．
【巩固练习2】 写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假．
(1)有的素数是偶数； (2)∃x ∈R ，使x 2
＋x ＋14<0；
(3)至少有一个实数x ，使x 3
＋1＝0.
[解析] (1) 题中命题的否定为“所有的素数不是偶数”．这个命题是假命题，如2是素数也是偶数．
(2) 题中命题的否定为“∀x ∈R ，x 2
＋x ＋14
≥0”．这个命题是真命题，
因为当x ∈R 时，x 2
＋x ＋14＝⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋122≥0.
(3) 题中命题的否定为“∀x ∈R ，x 3
＋1≠0”．这个命题是假命题，
因为x ＝－1时，x 3
＋1＝0.
【设计意图】
通过例题及练习的学习，使学生理解存在量词命题的否定的概念，强化数学抽象的核心素养，通过对命题真假的判定，强化学生逻辑推理的核心素养.
（五）操作演练 素养提升
1.命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是 ( )
A.任意一个有理数,它的平方是有理数
B.任意一个无理数,它的平方不是有理数
C.存在一个有理数,它的平方是有理数
D.存在一个无理数,它的平方不是有理数
2.命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是( )
A.所有不能被2整除的数都是偶数
B.所有能被2整除的数都不是偶数
C.存在一个不能被2整除的数是偶数
D.存在一个能被2整除的数不是偶数
3.命题“存在x∈Z，使x2＋2x＋m≤0”的否定是( )
A．存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0
B．不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0
C．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m≤0
D．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m>0
4.设命题p:∃n∈N,n2>2n,则p的否定为( )
A.∀n∈N,n2>2n
B.∃n∈N,n2≤2n
C.∀n∈N,n2≤2n
D.∃n∈N,n2=2n
[答案] 1.B 2. D 3.D 4.C
【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

（六）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？
【设计意图】
通过总结，让学生进一步巩固命题的否定的写法，提高语言转换能力，
完成教材：第31页练习第1，2题
第31页习题1.5 第3,4，5题。