新湘教版九年级上册初中数学 课时4 相似三角形的判定定理3 教案(教学设计)

第3章图形的相似
3.4 相似三角形的判定与性质
3.4.1 相似三角形的判定
课时4 相似三角形的判定定理3
【知识与技能】
1.了解三边成比例、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定定理的证明过程.
2.能运用三角形相似的判定定理证明三角形相似.
【过程与方法】
1.在类比全等三角形的证明方法探究三角形相似的证明过程中,进一步体验类比思想、特殊与一般的辩证思想.
2.经历类比、猜想、探究、归纳、应用等数学活动,提高学生分析问题、解决问题的能力.
3.通过应用三角形相似的判定方法和性质解决简单问题,培养学生的应用意识.
【情感态度与价值观】
1.探究三角形相似的判定定理的证明,培养学生合情推理及演绎推理能力,提高逻辑思维能力.
2.在三角形相似的判定的探究过程中,培养学生大胆动手、勇于探索和勤于思考的精神,同时体验成功带来的快乐.
3.在探究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及探索实践的良好习惯.
能运用三边成比例、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定定理证明三角形相似.
三角形相似判定定理的证明过程.
多媒体课件.
导入一:
【复习提问】
(1)证明三角形相似的方法是什么?
(三角形相似的定义、平行线证明三角形相似)
(2)全等三角形如何定义的?证明全等三角形有几种方法?
(对应角、对应边相等的三角形是全等三角形；SSS,SAS,ASA,AAS,HL)
(3)全等三角形与相似三角形有什么关系?
导入二:
【课件展示】欣赏图片.
【导入语】图片中的三角形相似吗?如何证明?除了用定义证明对应角相等、对应边成比例以外,还有简单的方法证明吗?通过今天的学习,我们探究新的方法证明三角形相似.
[设计意图]通过复习三角形全等的方法和证明过程,为类比探究证明三角形相似的方法做好铺垫；展示生活图片,让学生体会数学来源于生活,生活中处处有数学,从而激发学生的学习兴趣.
[过渡语]对于任意的两个三角形,现在我们只能运用定义去判定是否相似,我们需知道对应角是否相等,且对应边是否成比例,那么是否存在判定三角形相似的简单方法呢?
一、三边法证明三角形相似
思路一
类比三角形全等的方法,同桌两个人分别画三角形.
【动手操作】
(1)同桌分别画边长为2 cm,3 cm,4 cm的三角形和边长为4 cm,6 cm,8 cm的三角形,然后猜想、判断两个三角形是否相似.
【学生活动】通过测量三角形的三个内角、计算三角形三边的比,根据相似三角形的定义判定三角形相似.
(2)如果一个三角形的三边是另一个三角形三边的k倍,那么这两个三角形是否相似?
【学生活动】学生动手操作,然后测量三角形的角度,根据定义判定三角形相似.
(3)猜想:三角形三边对应成比例,两个三角形是否相似?你能证明这个结论吗?
【课件展示】如图,已知在△ABC和△A'B'C'中,==.求证△ABC∽△A'B'C'.
【教师引导分析】
(1)除了定义外,还有什么方法可以证明三角形相似?
(平行线证明三角形相似)
(2)如何把两个三角形转化到一个三角形内,利用平行线证明三角形相似? (在A'B'上截取A'D=AB,过点D作DE∥B'C',交A'C'于点E)
(3)能否证明△A'DE与△A'B'C'相似?
(根据平行线分线段成比例基本事实可证明)
(4)根据已知条件△ABC与△A'DE是否全等?(SAS)
(5)尝试给出定理的证明过程.
【课件展示】
证明:如图,在线段A'B'(或它的延长线)上截取A'D=AB, 过点D作DE∥B'C',交A'C'(或A'C'的延长线)于点E,则可得△A'DE∽△A'B'C'，∴
==.
又==,A'D=AB,
∴=,=,
∴DE=BC,A'E=AC.
∴△A'DE≌△ABC,
∴△ABC∽△A'B'C'.
(6)类比三角形全等,用文字语言叙述以上得到的结论,并用几何语言表示.【课件展示】判定定理1:三边成比例的两个三角形相似.
【几何语言】如图,∵==,∴△ABC∽△A'B'C'.
思路二
(1)类比SSS证明三角形全等的定理,猜想三边成比例,两个三角形相似.
(2)证明你的猜想.
如图,已知在△ABC和△A'B'C'中,==.求证△ABC∽△A'B'C'.
【教师引导】除了定义,前边学过在同一个三角形中,由平行线可以证明两个三角形相似,如何通过作平行线,将一个三角形转化到另一个三角形中?
【师生活动】学生小组合作交流证明思路,然后尝试书写过程,小组代表板书,教师巡视过程中帮助有困难的学生,对学生进行点评,规范学生书写证明过程. (证明过程同思路一)
(3)归纳总结:三角形相似的判定定理及几何语言表示.
【课件展示】判定定理1:三边成比例的两个三角形相似.
【几何语言】如图,∵==,∴△ABC∽△A'B'C'.
[设计意图]通过动手操作、猜想、证明、归纳等数学活动,获得判定三角形相似的条件,体会数学中的类比思想,培养学生分析问题的能力,同时通过规范证明过程,培养学生严谨的数学精神.
二、两边及夹角法证明三角形相似
[过渡语]类比证明三角形全等的方法,我们能用SAS证明三角形相似吗? 动手操作:(1)尝试用文字语言叙述这个猜想.
(2)如何证明这个猜想?尝试写出证明过程.
(3)归纳结论,用几何语言表示得到的结论.
【师生活动】学生独立思考后,小组合作交流,小组代表板书,教师帮助有困难的学生,规范学生的证明过程.
【课件展示】判定定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
如图,已知在△ABC和△A'B'C'中,=,∠A=∠A'.求证△ABC∽△A'B'C'.
证明:如图,在线段A'B'(或它的延长线上)截取A'D=AB,过点D作DE∥B'C',交A'C'(或它的延长线)于点E,则可得△A'DE∽△A'B'C'，∴=.
又∵=,A'D=AB,
∴=,
∴A'E=AC.
又∵∠A=∠A',
∴△A'DE≌△ABC,
∴△ABC∽△A'B'C'.
【几何语言】如图,∵=,∠A=∠A',∴△ABC∽△A'B'C'.
【追加提问】在△ABC和△A'B'C'中,=,∠B=∠B',这两个三角形一定相似吗?
【师生活动】学生通过画图举出反例,说明这两个三角形不一定相似,教师强调该判定方法的易错点:角必须是两边的夹角.
[设计意图]学生通过动手操作,小组合作交流,经历猜想、验证、归纳出三角形相似的判定方法,培养学生与他人交流的能力,提高学生解决问题的能力及数学思维.
三、例题讲解
根据下列条件,判断△ABC与△A'B'C'是否相似,并说明理由.
(1)AB=4 cm,BC=6 cm,AC=8 cm,A'B'=12 cm,B'C'=18 cm,A'C'=24 cm；
(2)∠A=120°,AB=7 cm,AC=14 cm,∠A'=120°,A'B'=3 cm,A'C'=6 cm.
〔解析〕(1)已知两个三角形的三条边,考虑应用“三边成比例的两个三角形相似”判定,所以只需要计算三边的比,三边的比相等,则两个三角形相似,反之,则两个三角形不相似.
(2)已知三角形的两条边和一个角,考虑应用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定,所以需要计算两条边的比是否相等,且这两条边的夹角是否相
等.
解:(1)∵==,==,==,
∴==,∴△ABC∽△A'B'C'.
(2)∵=,==,
∴=.
又∵∠A=∠A',∴△ABC∽△A'B'C'.
[设计意图]通过分析题意,学生独立完成用判定定理证明三角形相似,达到巩固所学知识的目的,通过简单例题的解答,让学生体会到成功的快乐,激发学生学习数学的热情.
[知识拓展](1)当已知条件中有三边时,可考虑用“三边成比例的两个三角形相似”证明三角形相似.
(2)在应用相似三角形的判定定理1时,一定要注意先求两个三角形中大边与大边,中间边与中间边,小边与小边的比值,然后判断上述比值是否相等,从而判断两个三角形是否相似.
(3)对于已知两组边的长度及边的夹角相等的情况,常用相似三角形的判定定理2判定两个三角形相似.
(4)在应用相似三角形的判定定理2时,一定要注意必须是两边夹角相等才行.
(5)在应用相似三角形的判定定理2时,还要注意一些隐含条件,如公共角、对顶角等.
1.三边成比例的两个三角形相似.
2.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
第2课时
1.三边法证明三角形相似
2.两边及夹角法证明三角形相似
3.例题讲解
例题
一、教材作业
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图,已知△MNP,则下列四个三角形中与△MNP相似的是()
2.在△ABC中,BC=15 cm,CA=45 cm,AB=63 cm,另一个和它相似的三角形的最短边长是5 cm,则最长边长是()
A.18 cm
B.21 cm
C.24 cm
D.19.5 cm
3.如图,与左图中的三角形相似的是()
4.如果三角形的每条边都扩大为原来的3倍,那么三角形的每个角()
A.都扩大为原来的3倍
B.都扩大为原来的6倍
C.都扩大为原来的9倍
D.都与原来相等
5.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于O,且将这个四边形分成①②③④四个三角形,若OA∶OC=OB∶OD,则下列结论中一定正确的是()
A.①与②相似
B.①与③相似
C.①与④相似
D.②与④相似
6.在△ABC和△A1B1C1中,∠A=∠A1,=,可得出△ABC △A1B1C1,理由是.
7.△ABC的三边长分别为2,,,△A1B1C1的两边长分别为1和,当△
A 1B
1
C
1
的第三边长为时,△ABC∽△A1B1C1.
8.已知线段AB,CD相交于点O,AO=3,OB=6,CO=2,则当CD=时,AC∥BD.
9.如图,已知==,∠BAD=20°,求∠CAE的大小.
10.如图,点C,D在线段AB上,且△PCD是等边三角形.
(1)当AC,CD,DB满足怎样的关系时,△ACP∽△PDB?
(2)当△ACP∽△PDB时,求∠APB的度数.
【能力提升】
11.如图,在△ABC中,点P在边AB上,在下列四个条件中:①AP∶AC=AC∶AB；②AC2=AP·AB；③AB·CP=AP·CB.能满足△APC和△ACB相似的有()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
12.如图,D是∠ABC平分线上的一点,AB=15 cm,BD=12 cm,要使△ABD∽△DBC,
则BC的长
为cm.
13.如图,正方形ABCD的边长为2,AE=EB,MN=1,线段MN的两端分别在CB,CD上滑动,那么当CM为多少时,△ADE与△MNC相似?
【拓展探究】
14.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6 cm,BC=8 cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0<t<2),连接PQ.若△BPQ 与△ABC相似,求t的值.
【答案与解析】
1.C解析:△MNP是等腰三角形,底角是75°,则顶角是30°,C中三角形与△MNP 的三角对应相等,且夹30°角的两边对应成比例,所以两个三角形相似.故选C.
2.B解析:根据题意,这两个相似三角形的相似比是15∶5=3∶1,因此所求最长边长是63÷3=21(cm).故选B.
3.B解析:设小正方形的边长为1,那么已知三角形的三边长分别为
,2,,所以三边之比为1∶2∶,A中三角形的三边长分别为2,,3,三边之比为∶∶3,故此选项错误；B中三角形的三边长分别为2,4,2,三边之比为1∶2∶,故此选项正确；C中三角形的三边长分
别为2,3,,三边之比为2∶3∶,故此选项错误；D中三角形的三边长分别为,,4,三边之比为∶∶4,故此选项错误.故选B.
4.D解析:若三角形的每条边都扩大为原来的3倍,则两个三角形的对应边成比例,则这两个三角形相似,由相似三角形的对应角相等可得三角形的每个角都与原来相等.故选D.
5.B解析:∵OA∶OC=OB∶OD,∠AOB=∠COD(对顶角相等),∴①与③相似.故选B.
6.∽两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
7.解析:由三边对应成比例的两个三角形相似,易得相似比为,故要使△ABC和
△A1B1C1的三边成比例,则第三边长为2÷=.故填.
7.6解析:因为两条线段相交,对顶角相等,所以=时,△AOC∽△BOD,所以∠A=∠B,所以AC∥BD,故此时=,所以OD=4.所以CD=CO+OD=2+4=6.故填6.
9.解:∵==,∴△ABC∽△ADE,∴∠BAC=∠DAE,∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE=20°.
10.解:(1)∵△PCD是等边三角形,∴PC=CD=PD,∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°,∴∠PCA=
∠PDB=120°,∴当=时,△ACP∽△PDB,即=,∴当CD2=AC·DB时,△ACP ∽△PDB.
(2)∵△PDB∽△ACP,∴∠BPD=∠A.∴∠APC+∠BPD=∠APC+∠A=∠PCD=60°,∴∠APB=∠APC+∠BPD+∠CPD=60°+60°=120°.
11.B解析:因为∠A是△APC和△ACB的公共角,所以夹这个角的两条边对应成比例时,这两个三角形相似,所以AP∶AC=AC∶AB,即AC2=AP·AB.故选B.
12.9.6解析:∵△ABD∽△DBC,∴=,∴BD2=AB·BC.∵AB=15 cm,BD=12 cm,∴
BC=9.6 cm.故填9.6.
13.解:设CM的长为x.在Rt△MNC中,∵MN=1,∴NC=.①当Rt△AED∽Rt △CMN时,有=,即=,解得x=或x=-(不合题意,舍去)；②当Rt△AED∽Rt△CNM时,有=,即=,解得x=或x=-(不合题意,舍去).综上所述,CM=或时,△AED与△MNC相似.
14.解:①当△BPQ∽△BAC时,易知=,又BP=5t cm,QC=4t cm,AB=10 cm,BC=8 cm,∴=,∴t=1.②当△BPQ∽△BCA时,易知=,∴=,∴t=.∴t=1或时,△BPQ与△ABC相似.
本节课通过复习全等三角形的判定方法,类比猜想SSS能否证明三角形相似,学生迅速完成由旧知识向新知识的转化,激发了学生学习本节课的兴趣,达到了较好的导入效果.在探究判定定理的证明过程中,教师以小问题的形式引导,层层深入分析证明定理的思路,降低了学习难度,再通过小组合作交流完成定理的证明过程,学生在课堂上思维活跃,合作意识较强,顺利完成判定定理1的证明,为探究相似三角形的判定定理2打下了基础,降低了难度.在整个教学过程中注重学生思维能力的提升及知识的形成过程.
本节课的难点是判定定理的证明,教学过程中教师以小问题的形式,引导学生分析证明方法,利于突破难点,但是在实际操作中,学生第一次遇到截取、作平行线这样的辅助线,不容易理解和掌握,在分析辅助线的作法时有些粗糙,造成课堂
气氛只是部分学生活跃,在判定定理2的证明过程中部分学生出现困难,不能类比判定定理1的证明顺利完成.。