新教材2023年高中数学 第1章 集合与常用逻辑用语 1

(2)(2021·上海徐汇区高一联考)已知x∈R，p：x2<x，q：x－a≤0， 若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是__{_a_|a_≥__1_}______.
[解析] (1)由题意，p：－1<x<3，q：－1<x<m＋1，
因为 q 是 p 的必要不充分条件，即{x|－1<x<3} {x|－1<x<m＋1}，则 m＋1>3，解得 m>2，即实数 m 的取值范围是{m|m>2}．
(2)必要性(由△ABC为等边三角形⇒a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc)： 因为△ABC为等边三角形，所以a＝b＝c，所以a2＋b2＋c2＝3a2，ab ＋ac＋bc＝3a2，故a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc. 综上可知，结论得证．
题型三
根据充分条件、必要条件求参数的取值范围
典例3 已知p：－4<x－a<4，q：(x－2)(x－3)<0，且q是p的充分
【对点练习】❶ (1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是
( D)
A．ab＝0
B．ab>0
C．a2＋b2＝0
D．a2＋b2>0
(2)如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条
件，那么
(A )
A．丙是甲的充分不必要条件
B．丙是甲的必要不充分条件
C．丙是甲的充要条件
D．丙是甲的既不充分又不必要条件
关键能力 ·攻重难
题型探究
题型一
充要条件的判断与探究
典例1 (1)判断下列各题中，p是否为q的充要条件？ ①在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC； ②若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0； ③p：|x|>3，q：x2>9.
(2)已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件， 那么：
|x|＋|y|＝|y|，所以等式成立． 当xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0时， 又当x>0，y>0时， |x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，所以等式成立．
当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)， |x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，所以等式成立． 总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立． ②必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R， 则|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2， 即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|， 所以|xy|＝xy，所以xy≥0. 综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件．
条件，则实数a的取值范围为
(B)
A．{a|－1<a<6}
B．{a|－1≤a≤6}
C．{a|a<－1或a>6}
D．{a|a≤－1或a≥6}
[分析] 可将p和q中所涉及的变量x的取值范围解出来，根据充分条
件，转化为其构成的集合之间的包含关系，建立关于参数a的不等式
组，从而求得实数a的取值范围．
[解析] 设q，p表示的范围分别为集合A，B， 则A＝{x|2<x<3}，B＝{x|a－4<x<a＋4}． 因为 q 是 p 的充分条件，则有 A⊆B，即aa－ ＋44≤ ≥23， ， 所以－1≤a≤6.故选B．
M⊆N
p 是 q 的必要条件
M⊇N
(3)根据集合M与N的包含关系建立关于参数的不等式(组)．
(4)解不等式(组)求出参数的取值范围．
【对点练习】❸ (1)(2021·重庆七校高二期末)已知p：－1<x<3，q： － 1<x<m ＋ 1 ， 若 q 是 p 的 必 要 不 充 分 条 件 ， 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 ____{_m_|_m_>_2_}____.
3．概括：如果__p_⇔__q__，那么p与q互为___充__要__条__件__.
想一想：命题按条件和结论的充分性、必要性可分哪几类？ 提示：①充分必要条件(充要条件)，即p⇒q且q⇒p； ②充分不必要条件，即p⇒q且q p. ③必要不充分条件，即p q且q⇒p. ④既不充分又不必要条件，即p q且q p.
(2)由x2<x，得x(x－1)<0，得0<x<1. 由x－a≤0，得x≤a. 设A＝{x|0<x<1}，B＝{x|x≤a}， ∵p是q的充分不必要条件， ∴A B，∴a≥1. 故实数a的取值范围是{a|a≥1}．
误区警示
误将充分条件当作充要条件
典例4 给出下列各组条件： ①p：ab＝0，q：a2＋b2＝0；
②p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|；
③p：m>0，q：方程x2－x－m＝0有实根；
④p：x>2或x<－1，q：x<－1.
其中p是q的充要条件的有
A．1组
B．2组
C．3组
D．4组
(A)
[错解] ①因为 ab＝0⇒a＝0 或 b＝0，所以 p q，故 p 不是 q 的充 要条件．②因为 xy≥0，所以 x，y 是同号或者为 0，故 p⇒q，所以 p 是 q 的充要条件．③Δ＝1＋4m，当 m>0 时 Δ>1，方程 x2－x－m＝0 有实根， 所以 p⇒q，所以 p 是 q 的充要条件．④p：x>2 或 x<－1，∴p q，∴p 不是 q 的充要条件．
(3)设集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，则A⊆(A∩B)
的充要条件为__a_≤__9_；一个充分不必要条件为___6_≤__a_≤__9_(答__案__不__唯__一__)__.
[解析] (1)a2＋b2>0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为 零，则a2＋b2>0.
[归纳提升] 根据充分条件与必要条件求参数取值范围的步骤如
下：
(1)记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}；
(2)根据以下表格确定集合M与N的包含关系：
条件类别
集合 M 与 N 的关系
p 是 q 的充分不必要条件
MN
p 是 q 的必要不充分条件
MN
p 是 q 的充要条件
M＝N
p 是 q 的充分条件
①s是q的什么条件？ ②r是q的什么条件？ ③p是q的什么条件？
[解析] (1)①在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔BC>AC， 所以p是q的充要条件． ②若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p⇒q； 若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q⇒p，故p⇔q， 所以p是q的充要条件． ③由于p：|x|>3⇔q：x2>9，所以p是q的充要条件．
(2)①∵q是r的必要条件，∴r⇒q. ∵s是r的充分条件，∴s⇒r， ∴s⇒r⇒q，又∵q是s的充分条件，∴q⇒s. ∴s是q的充要条件． ②由r⇒q，q⇒s⇒r，知r是q的充要条件． ③∵p是r的必要条件，∴r⇒p， ∴q⇒r⇒p. ∴p是q的必要条件．
[归纳提升] 判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，对于条件和结论是否定 形式的命题，一般运用等价法． (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn， 可得p1⇒pn；充要条件也有传递性．
[归纳提升] 充要条件的证明策略 (1)要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两 个方向进行，即证明命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真． (2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解 集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由.
综上可知，A⊆(A∩B)的充要条件为a≤9；一个充分不必要条件可为 6≤a≤9.
题型二
充要条件的证明
典例2 设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是
xy≥0. [分析] 先证充分性 → 再证必要性
[解析] ①充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况，当xy＝ 0时，不妨设x＝0，得|x＋y|＝|y|，
第一章 集合与常用逻辑用语
1.4 充分条件与必要条件
第2课时 充要条件
必备知识·探新知 关键能力·攻重难 课堂检测·固双基
必备知识 ·探新知
知识点 充要条件
1．定义：若p⇒q且q⇒p，则记作__p_⇔__q__，此时p是q的充分必要条 件，简称__充__要__条__件___.
2．条件与结论的等价性：如果p是q的__充__要__条__件___，那么q也是p的 _充__要__条__件____.
【对点练习】❷ 证明：△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋ c2＝ab＋ac＋bc，这里a，b，c是△ABC的三条边．
[解析] (1)充分性(由a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc⇒△ABC为等边三角 形)：
因 为 a2 ＋ b2 ＋ c2 ＝ ab ＋ ac ＋ bc ， 所 以 2a2 ＋ 2b2 ＋ 2c2 ＝ 2ab ＋ 2ac ＋ 2bc，即(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2＝0，所以a＝b，a＝c，b＝c，即a＝b ＝c，故△ABC为等边三角形；
练一练：
1．“x＝0”是“x2＝0”的 A．充分条件
(D)
B．必要条件
C．既不是充分条件也不是必要条件
D．既是充分条件又是必要条件
[解析] 因为当x＝0时x2＝0，当x2＝0时，x＝0，所以“x＝0”是
“x2＝0”的充要条件．
2．点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是
A．x<0，y<0
B．x<0，y>0
典例5 (2022·江苏连云港高二检测)已知ab≠0，求证：a＋b＝1 的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
[解析] (1)必要性：因为a＋b＝1，所以a＋b－1＝0.所以a3＋b3＋ab －a2－b2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.
C．x>0，y>0
D．x>0，y<0
[解析] P(x，y)在第二象限，等价于x<0，y>0.
(B)
3．设p：x<3，q：－1<x<3，则p是q的 A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
( C)
[解析] 因为{x|－1<x<3} {x|x<3}，所以 p 是 q 的必要不充分条件．
(2)充分性：因为a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，即(a＋b－1)(a2－ab＋b2) ＝0，又ab≠0，所以a≠0且b≠0.
因为 a2－ab＋b2＝a－b22＋34b2>0.所以 a＋b－1＝0，即 a＋b＝1.
综上可得，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝ 0.
[归纳提升] 充要条件的证明思路 (1)根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个 方面分别证明： ①充分性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q； ②必要性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p. 解题的关键是分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向， 至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求． (2)在证明过程中，若能保证每一步推理都有等价性(⇔)，也可以直 接证明充要性．
[方法点拨] 对于两个条件A，B，若A⇒B成立，则A是B的充分条件 (B成立的充分条件是A)，B是A的必要条件；若B⇒A成立，则A是B的必要 条件，B是A的充分条件；若A⇔B，则A，B互为充要条件．解题时最容 易出错的就是颠倒了充分性与必要性．
学科素养
充分条件、必要条件的证明 充分条件与必要条件是高中数学的重要概念，与数学中其他知识的 联系较强，是高考的热点之一，同时也是易错点，充要条件的证明是本 节的难点．
综上，p 是 q 的充要条件的有 2 组，故选 B．
[错因分析] 误将充分条件当作充要条件，当p⇒q时，我们只能判 断p是q的充分条件，只有p⇒q与q⇒p同时成立，才能称p是q的充要条 件．
[正解] 对于①由 p q 知，p 一定不是 q 的充要条件．对于②，由|x| ＋|y|＝|x＋y|知 x，y 要么同为正数，要么同为负数，要么至少一个为零， 能得到 xy≥0，故是充要条件．对于③，方程 x2－x－m＝0 有实数解，判 别式 Δ＝1＋4m≥0，即 m≥－14，所以 q p，∴p 是 q 的充分不必要条件．对 于④，因为 p q，所以 p 不是 q 的充要条件，故只有②是，故选 A．
(2)如图所示，∵甲是乙的必要条件，∴乙⇒甲． 又∵丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，
∴丙⇒乙，但乙 丙． 综上，有丙⇒乙⇒甲，甲 的必要条件．
丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲
(3)A⊆(A∩B)⇔A⊆B，B＝{x|3≤x≤22}． 若A＝∅，则2a＋1>3a－5，解得a<6；
2a＋1≥3，
若 A≠∅，则 A⊆B⇔3a－5≤22， 3a－5≥2a＋1